9512.net
甜梦文库
当前位置:首页 >> 销售/营销 >>

3.4基本不等式 (1)



a?b ab ? (2课时) 2

a?b 3. 4基本不等式: ab ? (2课时) 2 一、导学提示,自主学习 二、新课引入,任务驱动 三、新知建构,典例分析 四、当堂训练,针对点评 五、课堂总结,布置作业

一、导学提示,自主学习
1.本节学习目标 (1)理解并掌握基本不等式及其推导过程,明确 基本不等式成立的条件 . (2)能利用基本不等式求代数式或函数的最值 , 并会解决有关的实际问题. 学习重点:基本不等式的应用 学习难点:基本不等式推导过程及成立的条件

一、导学提示,自主学习
2.本节主要题型 题型一 比较大小 题型二 利用基本不等式求最值 题型三 基本不等式的实际应用 3.自主学习教材P97-P100 a?b 3. 4基本不等式: ab ?
2

二、新课引入,任务驱动
线性规划的两类重要实际问题的解题思路:
(1)应准确建立数学模型,即根据题意找出约束条件, 确定线性目标函数。 (2)用图解法求得数学模型的解,即画出可行域, 在可行域内求得使目标函数取得最值的解.(一般最优解 在直线或直线的交点上,要注意斜率的比较.) (3)要根据实际意义将数学模型的解转化为实际 问题的解,即结合实际情况求得最优解。

二、新课引入,任务驱动
通过本节的学习你能掌握基本不等式及 应用吗?

三、新知建构,典例分析
一.基本不等式的推导 二.基本不等式

三、新知建构,典例分析

这是2002年在北京召开的第24届国际数 学家大会会标.会标根据中国古代数学家赵爽 的弦图设计的,颜色的明暗使它看上去象一个 风车,代表中国人民热情好客。

三、新知建构,典例分析

2002年国际数学家大会会标

三国时期吴国的数学家赵爽

三、新知建构,典例分析

思考:这会标中含有 怎样的几何图形? 思考:你能否在这个 图案中找出一些相等 关系或不等关系?

问1:在正方形ABCD中,设AF=a,BF=b,
则AB= a ? b 则正方形的面积为S= a ? b 。
2 2

2

2

问2:Rt△ABF,Rt△BCG,Rt△CDH,Rt△ADE是全等三角 2ab 形,它们的面积总和是S’=———
问3:观察图形S与S’有什么样的大小 D 关系? 易得,s > s’,即

a ? b ? 2ab
2 2

H

G

C

问4:那么它们有相等的情况吗? A 何时相等?

E
c

a

F

b
B

变化的弦图

? a2 ? b2

问题4:s, S’有相等的情况吗?何时相等?
?形的角度

图片说明:当直角三角形 变为等腰直角三角形,即 a=b时,正方形EFGH缩为一 个点,这时有

a ? b =2ab
2 2

?数的角度

当a=b时 a2+b2-2ab =(a-b)2=0

2 2 问5:当a,b为任意实数时, a ? b ? 2a ? b

还成立吗?

结论:一般地,对于任意实数a、b,我们有 2 2

a ? b ? 2a ? b

当且仅当a=b时,等号成立 此不等式称为重要不等式

三、新知建构,典例分析
如果a ? 0, b ? 0, 我们用 a , b分别代替a, b, 可得到什么结论?
替换后得到:( 即:

a ) ? ( b ) ≥2 a ? b
2 2

a ? b≥2 ab

a?b 即: ≥ ab (a ? 0, b ? 0) 2
你能用不等式的性质直接推导这个不等式吗?

a?b 证明:要证 ≥ ab 2
只要证

a?b 证明不等式: ≥ ab (a ? 0, b ? 0) 2

a ? b≥ _______ 2 ab _____ 要证①,只要证 a ? b ? 2 ab ≥0
2

分 析 法

① ②

(a ? 0, b ? 0, a ? ( a ) , b ? ( b ) )
2

要证②,只要证

(___ a ? ___) b ≥0
2



显然, ③是成立的.当且仅当a=b时, ③中的等号成立.

特别地,若a>0,b>0,则

≥ a ? b _____ 2 ab

a?b 通常我们把上式写作: ab≤ (a ? 0, b ? 0) 2
当且仅当a=b时取等号,这个不等式就叫做基本不等式.

适用范围: a>0,b>0

a?b 在数学中,我们把 叫做正数a,b的算术平均数, 2 ab 叫做正数a,b的几何平均数;
文字叙述为: 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.

你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗? 如图, AB是圆的直径, O为圆心, 点C是AB上一点, AC=a, BC=b. 过点C作垂直于AB的弦DE,连接 AD、BD、OD. a?b ①如何用a, b表示OD? OD=______ 2
②如何用a, b表示CD?

D
A a OC b B

E

ab CD=______

BC DC Rt△ACD∽Rt△DCB, 所以 ? DC AC

所以DC 2 ? BC ? AC ? ab

你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗?
如图, AB是圆的直径, O为圆心, 点C是AB上一点, AC=a, BC=b. 过点C作垂直于AB的弦DE,连接 AD、BD、OD. a?b ①如何用a, b表示OD? OD=______ 2
②如何用a, b表示CD?

D
A a OC b B

E

ab CD=______
≥ OD_____CD >

③OD与CD的大小关系怎样?

a?b ≥ ab 2

几何意义:半径不小于弦长的一半

填表比较:

三、新知建构,典例分析
a ? b ≥2ab
2 2

a?b ≥ ab 2
a>0,b>0

适用范围 文字叙述 “=”成立条件

a,b∈R

两数的平方和不 两个正数的算术平均数不 小于它们积的2倍 小于它们的几何平均数

a =b

a =b

注意从不同角度认识基本不等式

三、新知建构,典例分析
重要变形:
2ab a?b a ?b 若a ? 0, b ? 0, 则 ? ab ? ? , a?b 2 2 (由小到大) 当且仅当a ? b时取等号。
2 2

三、新知建构,典例分析
2 .典例分析:

题型一 利用基本不等式求最值 题型二 基本不等式的实际应用

1 例1. (1)已知x ? 0, 求x ? 的最值; x 1 ( 2) 已知x ? 0,求x ? 的最值 ; x 1 ( 3)若x ? 3,函 数y ? x ? ,当x为 何 值 时 , 函 数 x?3 有最值,并求其最值。
1 1 解: x ? ? 2 x? ? 2 x x 1 当且仅当 x ? 即x ? 1时原式有最小值 2. 结论 1:两个正数积为定值,则和有最小值 x

1 1 1 2、解 : x ? ? ?[( ? x ) ? ( ? )] ? ?2 ( ? x ) ? ( ? ) ? ?2 x x x 1  当且仅当? x ? ? 即x ? ?1时有最大值? 2. x 3、解 :   ?x ? 3 1 1 ?y ? x ? ? ( x - 3) ? ?3 x?3 x-3

1    ? 2 ( x ? 3) ? ?3?5 x?3 1 当且仅当x ? 3 ? ,即x ? 4时,函数有最大值, x?3 最大值为5。

三、新知建构,典例分析
例2. 若 0<x< 1 , 求函数 y = x (1 2 x ) 的最大值 . 2 分析: 2 x+(1-2x) 不是 =1为 常数. 1 解: ∵0<x< 2 , ∴1-2x>0. 1 ∴y=x(1-2x)= 2 ?2x?(1-2x) 1 2x+(1-2x) ]2 1 ≤ ?[ = 8. 2 2 1 当且仅当 2x=(1-2x), 即 x= 4 时, 取“=”号. 1. ∴当 x = 1 时 , 函数 y = x (1 2 x ) 的最大值是 8 4
配凑系数

三、新知建构,典例分析
利用基本不等式求最值问题:
a?b 2 如果a ? 0, b ? 0, 那么a ? b ? 2 ab或ab ? ( ). 2
(1)如果a,b>0,且ab=P(定值),那么

2 p 当且仅当_____ 小 值______( a=b 时取“=”). a+b有最____
(2)如果a,b>0,且a+b=S (定值),那么 1 2 s a=b 时取“=”). 大 值______( ab有最____ 当且仅当______ 4 利用基本不等式求最值的条件:一正、二定、三相等。

三、新知建构,典例分析
例 3.(1) 如图 , 用篱笆围成一个面积为 100m2 的矩形菜 园,问这个矩形的长、宽各为多少时,所用篱笆最短,最 短的篱笆是多少? x A
D

y
B C

例 3.(1) 如图 , 用篱笆围成一个面积为 100m2 的矩形菜 园,问这个矩形的长、宽各为多少时,所用篱笆最短,最 A D 短的篱笆是多少?

解:如图设BC=x ,CD=y , 若x、y皆为正数, 则xy=100,篱笆的长为2(x+y)m.

y
B

x

C

x ?则当 y xy的值是常数P时, ? x ? y≥2 100 ? 20, ? ≥ xy 2当且仅当x=y时, ? 2( x ? y)≥40 x+y有最小值_______. 2 P 当且仅当 x=y 时,等号成立 此时x=y=10.
x ?? yxy ≥2 xy ? 2 P? x ? 10 10m时,所用的篱笆 因此,这个矩形的长、宽都为 ? 100 解? ,可得 ? 最短,最短的篱笆是 40m. ? x? y ? y ? 10

例3.(2)如图,用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜 园,问这个矩形菜园的长和宽各为多少时,菜园的面积 最大,最大面积是多少? A D

解:如图,设BC=x ,CD=y ,
则 2( xx +、 y)= 36 , x + y =18 若 y皆为正数,
B

y

x

C

则当x+y的值是常数 矩形菜园的面积为 xy m2S时, 当且仅当 =y时, x ? y x18 ? xy ≤ ? ?1 9 2 得 xy ≤ 81 2 2 S ; xy有最大值 _______ 4 当且仅当x=y时,等号成立 即x=y=9 x? y S 1 2 因此,这个矩形的长、宽都为 xy ≤ ? ? xy≤ 9m S 时, 4 2 2 2 菜园面积最大,最大面积是 81m

已知 x, y 都是正数, P, S 是常数. (1) xy=P ? x+y≥2 P(当且仅当 x=y 时, 取“=”号). 2(当且仅当 x=y 时, 取“=”号). (2) x+y=S ? xy≤ 1 S 4

利用基本不等式求最值时,要注意
①各项皆为正数; ②和或积为定值; ③注意等号成立的条件.
一“正” 二“定” 三“相等”

例4.某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池,其容 积为4800m3,深为3m.如果池底每平方米的造价为 150元,池壁每平方米的造价为120元,怎样设计水 池能使总造价最低?最低总造价是多少?

分析:水池呈长方体形,它的高是3m,底面的长 与宽没有确定.如果底面的长与宽确定了, 水池的总造价也就确定了.因此应当考察底 面的长与宽取什么值时水池总造价最低。

解:设底面的长为xm,宽为ym,水池总造价为z元. 4800 根据题意,有:
z ? 150 ? 3 ? 240000 ? 720(x ? y) ? 120(2 ? 3x ? 2 ? 3y)

由容积为4800m3,可得:3xy=4800 因此 xy=1600 由基本不等式与不等式的性质,可得
240000 ? 720(x ? y) ? 240000 ? 720 ? 2 xy
z ? 240000 ? 720 ? 2 1600
z ? 297600



当x=y,即x=y=40时,等号成立 所以,将水池的地面设计成边长为40m的正方 形时总造价最低,最低总造价为297600元.

四、当堂训练,针对点评
b >0,若 3是 1.设 a >0,
得最小值为(

3a 与 3b

1 1 的等比中项,则 a ? b

B)
B. 4

(2009年天津理6)

A. 8

C. 1

D.

1 4

因此,这个矩形的长为12m、宽为6m时, 因此,这个矩形的长为12m、宽为 6m时, 2 花园面积最大,最大面积是72m 2 花园面积最大,最大面积是72m

? 3 x ? y ? 6 ? 0, ? 2.(2009山东理12T)设 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 2 ? 0, 若目标函数 ? x ? 0, y ? 0, ?

z ? ax ? by(
A.

a>0, b
B.

2 3 ? 的最小值为( A >0)的最大值为12,则 ) a b

25 6

8 3

C.

11 3
y

D. 4

略解:
把点(4,6)代入z = ax + by得4a + 6b = 12, 2 3 ? 2 3 ? 2a + 3b 即2a + 3b = 6,而 + = ? + ? a b ?a b? 6 13 b a 13 25 = +( + ) ? + 2 = ,故选A 6 a b 6 6
-2

(4,6)

x? y?2?0
z ? ax ? by

2 0

2

3x ? y ? 6 ? 0

x

四、当堂训练,针对点评
2.如图,用一段长为24m 的篱笆围一个一边靠墙 的矩形花园,问这个矩形的长、宽各为多少时,花 园的面积最大,最大面积是多少?

2.如图,用一段长为24m 的篱笆围一个一边靠墙 的矩形花园,问这个矩形的长、宽各为多少时,花 园的面积最大,最大面积是多少?
解:设AB=x ,BC=24-2x ,
矩形花园的面积为x(24-2x) m2

令y ? x(24 ? 2 x)

则y ? 24 x ? 2 x 2 ? ?2( x ? 6)2 ? 72 (0 ? x ? 12)
当x=6时,函数y取得最小值为72
因此,这个矩形的长为12m、宽为6m时, 花园面积最大,最大面积是72m2

五、课堂总结,布置作业
1.课堂总结: (1)涉及知识点:

基本不等式及其应用。
(2)涉及数学思想方法: 转化与回归思想;数形结合思想;分类与整合 思想。

三、新知建构,典例分析
1. 两个重要的不等式

(1)a, b ? R,那么a 2 ? b2≥2ab ,当且仅当a ? b时,等号成立

a?b (2) ab≤ (a >0,b>0),当且仅当a ? b时,等号成立。 2 2. 利用基本不等式求最值
已知 x, y 都是正数, P, S 是常数. (1) xy=P ? x+y≥2 P(当且仅当 x=y 时, 取“=”号). 2(当且仅当 x=y 时, 取“=”号). (2) x+y=S ? xy≤ 1 S 4

求最值时注意把握 “一正,二定,三相等”

五、课堂总结,布置作业
2.作业设计:P93习题3.3A组1-2 3.预习任务:必修5教材P87-P91 3.3.2简单的线性规划问题



更多相关文章:
3.4.1基本不等式
3.4.1基本不等式_互联网_IT/计算机_专业资料。3.4.1基本不等式 课题: §3.4 基本不等式 ab ? 第 1 课时 a?b 2 授课类型:新授课 【教学目标】 1....
3.4基本不等式教学设计
3.4基本不等式教学设计_数学_高中教育_教育专区。基本不等式,数学,必修五《3.4 基本不等式》第一课时教学设计 授课时间:2015 年 04 月 28 日下午第一节 授课...
3.4基本不等式(1)
3.4基本不等式(1)_高一数学_数学_高中教育_教育专区。3.4基本不等式重难点专题讲义必修5 第 3 章 不等式教学案 §3.4 基本不等式基础梳理 ab≤ a+b 2 ...
§3.4基本不等式 (1)
5 主备人:郭志会 审核人: §3.4 基本不等式 (1) 姓名___ 学习目标 班级___ a?b 的几何意义 2 在右图中, AB 是圆的直径, 点 C 是 AB 上的一点...
3.4基本不等式(1)
第三章 不等式 3.4 基本不等式(1) 科目 高二数学 班级 姓名 时间 2014-10-20 一、学习目标: 1.了解基本不等式的证明过程,会用基本不等式解决简单的最值...
3.4 基本不等式 (1)教师版
3.4 基本不等式 (1)教师版_高一数学_数学_高中教育_教育专区。精心编写的新课程高中数学教案教师版,有答案,成套资料,必修1,2,3,4,5,选修2-1,2-2,2-3,...
§3.4基本不等式 (1)
§3.4基本不等式 (1)_互联网_IT/计算机_专业资料。课题第 周第 课时 ●教学目标 §3.4 基本不等式总第 课时 ab ? a?b (1) 2 审核人:徐慧琳 主备人...
3.4.1 基本不等式(一)
3.4.1 基本不等式(一)_数学_高中教育_教育专区。第三章 不等式 数学· 必修 5(人教 A 版) 3.4 a+ b 基本不等式: ab≤ 2 3.4.1 基本不等式(一)...
3.4.1基本不等式(小结练习)
3.4.1基本不等式(小结练习)_数学_高中教育_教育专区。第三章 不等式 3.4.1 基本不等式一、选择题 1.若 a, b ? R ,且 ab>0,则下列不等式中,恒成立...
3.4基本不等式(1)教案
普安县第五届中小学优质课评选授课教案【课题】 3.4 基本不等式(1) 【执教人】 吴应艳 【上课时间】 2013、12、 【教学方法】 探究学习、学案导学 【教学手段...
更多相关标签:

All rights reserved Powered by 甜梦文库 9512.net

copyright ©right 2010-2021。
甜梦文库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com|网站地图