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三角函数求值“三步曲”


三角函数求值“三步曲”
孙虎 1. 角的拼凑 适当地变化角的表达式,可以给三角函数求值带来便利。如单角α 可以看成角α +β ? 与角β 的差,也可以看成角α -β 与角β 的和,既可以看成是 的二倍,也可以看成是 2
2

α 的一半。角的分拆与配凑也是变角的常用策略。如 2α =(α +β )+(α -β ),α - β =2α -(α +β )等。当条件所给角都是非特殊角时,要仔细观察非特殊角与特殊角之 间的联系,可通过三角公式转化为特殊角,并且消除非特殊角的三角函数值而得解。 例 1. 已知 co s( ? ?
?
2 ) ? ? 1 9

, sin (

?
2

? ?) ?

2 3

,且

?
2

? ? ? ?, 0 ? ? ?

?
2

,求 cos

(α +β )的值。 分析:所求余弦中的角与已知正、余弦中的角,其运算结构不同,所以要做角的拆拼, ? ?? ? ? ? (? ? ) ? ( ? ? ) 。 注意到
2 2 2

解:因为 所以 于是
?
4

?
2

? ? ? ?, 0 ? ? ?

?
2


?? ?

?? ?

?
2

? ?, ?

?
4

?

?
2
2

?
2



s i n? ? (

?
2

) ? ?

1 ? c o s (? ? 1 ? (?
2

?
2

)

1 9

)

2

?

4 5 9

c o s ( ? ?) ? 2
?

?

1? s i n(

?
2

? ?)
5 3

2 2 1? ( ) ? 3

所以

cos

? ??
2

? c o s ?( ? [
? c o s? ? (

?
2

)?(

?
2

? ? )]

?

) · c o s ( ? ? ) ? s i n? ? ) · s i n ( ? ? ) ( 2 2 2 2

?

?

?

? (? ?

1 9



5 3

?

4 5 9

×

2 3

7 5 27

从而

c o s? ? ? ) ? 2 c o s (
2

? ??
2

?1
239 729

? 2× (

7 5 27

) ?1? ?
2

1

例 2. 求 cot 10 ° ? 4 cos 10 ° 的值。 分析:此题给出的是非特殊角,要设法把非特殊角化为特殊角,相互低消、约分求出 值。 解: co t 1 0 ? ? 4 co s 1 0 ? ?
? ? ?
? 4 co s 1 0 ? sin 1 0 ? co s 1 0 ?? 4 sin 1 0 ? co s 1 0 ? co s 1 0 ?

sin 1 0 ? co s 1 0 ?? 2 sin 2 0 ? sin 1 0 ? co s 1 0 ?? 2 sin ( 3 0 ?? 1 0 ? ) sin 1 0 ? co s 1 0 ?? 2 sin 3 0 ? co s 1 0 ?? 2 co s 3 0 ? sin 1 0 ?

? ? ?

sin 1 0 ? co s 1 0 ?? co s 1 0 ?? 3 sin 1 0 ? sin 1 0 ? 3

2. 化弦(切)法 当已知的式子中切、割、弦混合时,从函数名称的角度去考虑,切割化弦是三角函数 求值的常用方法。 例 3. 求
( 3 ta n 1 2 ?? 3 ) c sc 1 2 ? 4 c o s 1 2 ?? 2
2

的值。
1

(

3 sin 1 2 ?

解:原式 ?

cos12? sin 1 2 ? 2 2 ( 2 c o s 1 2 ?? 1)

? 3)

3 sin 1 2 ?? 3 c o s 1 2 ? ? sin 1 2 ? · c o s 1 2 ? 2 cos 24?

?

3 sin 1 2 ?? 3 c o s 1 2 ? sin 2 4 ? · c o s 2 4 ?

?

2 3 sin ( 1 2 ?? 6 0 ? ) 1 2 sin 4 8 ?

? ?4 3

3. 公式变形 对三角公式不仅要正用,还要注意逆用和变用,要熟悉公式的变形,只有这样才能全 面掌握公式。 tan ? tan ? ? 如 t a n?( ? ? ) ? 1? t a n t a n ? ? 可变化为 t a n ? t a n ? t a n? ? ? )(1 ? tan ? tan ? ) ? ? (
2

特别地,若 ? ? ? ?

?

,有

4 (1 ? t a n )(1 ? tan ? ) ? 2 ?
s i n? ? 2s i n c o ? 2 ? s sin? 2 s 可变形为 c o ? ? ; 2s in ?

1 ? s i n ? ? c o s?
2 2

? ( s i? ? c o ?) ? s i n? n s 2
2

? 2c o s? ? c o s? 等等 2
2

例 4. 化简

sin 2 ? ? 1 1 ? co s 2 ? ? sin 2 ?

解:原式 ?
? ?

(sin ? ? co s ? )
2

2

2 co s ? ? 2 sin ? co s ?

sin ?co? ? s 2c o ? s 1 2 tan ? ? 1 2

例 5. 化简 (1 ? tan 1? )(1 ? tan 2 ? ) ? (1 ? tan 43? )(1 ? tan 44 ? )(1 ? tan 45? ) 解:利用结论: ? 若? ? ? ? ,得
4 (1 ? t a n )(1 ? tan ? ) ? 2 ?

原式 ? [(1 ? tan 1? )(1 ? tan 44 ? )] · [(1 ? tan 2 ? )(1 ? tan 43? )] · ? ·
[(1 ? tan 22 ? )(1 ? tan 23? )] · 2
? 2× 2× ? × 2× 2 ? 2 ?? ??? ? ?
22 个 23

例 6. 计算 sin 6 ? sin 42 ? sin 66 ? sin 78 ? 解:原式 ? sin 6 ? cos 48 ? cos 24 ? cos 12 ?
? sin? 6 ? s i n 6? 9 2 s i n 8? 4 ? · 1 16 s i n 8? 4 2 s i n 4? 2 · s i n 4? 2 2 s i n 2? 1

s i n ?c o s? 6 6 8 s i n 2? 1

[练习] 1. 求 tan 300 ?? cot 405? 的值。 2. 求
3 ta n 4 8 ? 2 se c 4 8 ? ? 2 sin 1 8 ? 的值。
2

3. 求 tan 20 ? tan 30 ?? tan 30 ? tan 40 ?? tan 40 ? tan 20 ? 的值 答案:1. ? 3 ? 1 。2.
1 2
3

。3. 1

年级 内容标题 分类索引号 主题词 供稿老师 录入

高中

学科 G.622.46

数学

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期数 辅导与自学 栏目名称 审稿老师 学法指导

三角函数求值“三步曲” 三角函数求值“三步曲” 蔡卫琴 一校 康纪云 二校

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