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湖南永州四中2014年高一下期第一次月考数学试题



永州四中 2014 年高一第一次月考数学试题
考试时间:120 分钟; 总分 150 分 命题人:伍达志

一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,在每小题四个选项中,仅有一个选项是正确的 )
1.设角 ? 的终边上有一点 P(4, ?3) ,则 2sin ? ? cos ? 的值是( A. ? ) D. 1

2 5

B.

2 5

C. ?

2 2 或 5 5


2.已知 sin x ? ? A.

2 ? 3? ,则角 x = ( 、 ?x? 2 2 2
C.

4? 3

B.

3? 4

5? 4
是( )

D.

7? 4

3.已知 α 是第二象限角,那么 A.第一象限角 C. 第二或第四象限角

B. 第二象限角 D.第一或第三象限角

4.已知 sin ? ? tan ? ? 0 ,那么角 ? 是( ) A.第一或第二象限角 B.第二或第三象限角 C.第三或第四象限角 D.第一或第四象限角 5.若 ? 是 ?ABC 的一个内角,且 sin ? cos ? ? ? ,则 sin ? ? cos ? 的值为( A. ?
3 2

1 8

)

B.

3 2

C. ?

5 2

D.

5 2

6.函数 y=cosx+|cosx| x∈[0,2π]的大致图象为(

)

7.要得到函数 y ? 3sin 2 x 的图像,只需将函数 y ? 3sin(2 x ?

?
3

) 的图像(

)

? 个单位 6 ? C.向左平移 个单位 6
A.向右平移

? 个单位 3 ? D.向车平移 个单位 3
B.向右平移

1

8.下列函数中,最小正周期为 ? ,且图像关于直线 x ? A. y ? sin( 2 x ? C. y ? sin( 2 x ?

?
?
3

对称的是(



? ?
3

) )

B. y ? sin( 2 x ? D. y ? sin(

x ? ? ) 6 2 6 二填空题(本大题共 7 小题,每小题 5 分. 请把答案填在答题卷相应的位置上)
9.比较大小: sin1 10.圆心角为

6

)

cos1 (用“ ? ”,“ ? ”或“ ? ”连接).
. .

?
3

弧度,半径为 6 的扇形的面积为

11.函数 y ? 2cos(2 x ?

?

), x ?[ ? , ] 的值域为 6 6 4
?
.

? ?

12.化简:

sin 20? ? 1 ? sin 2 20? 1 ? 2sin 20? cos 20?

13. 函数 y=2sin(ω x+φ )( ? ? 0 ,? ?

?
2

)的部分图象如图所示, 则 φ 的值是__________.

14.函数

的定义域为

______________ 。 _

15.函数 f ( x) ? 3 sin( 2 x ?

?
3

) 的图象为 C,如下结论中正确的是_______
①图象 C 关于直线 x= 11π 对称; 12

(写出所有正确结论的编号). ②图象 C 关于 点 (

? 5? 2? ,0) 对称;③函数 f(x)在区间 ( ? , ) 内是增函数; 12 12 3

π ④由 y=3sin2x 的图象向右平移 个单位长度可 以得到图象 C. 3 三.解答题(本大题共 6 小题,共 55 分. 解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤) 17. (本小题满分 12 分)已知 sin?? ? ? ? ? 2 cos?? ? ? ? ,计算: (1)

2 sin ? ? cos ? ; sin ? ? 2 cos ?
2

(2) sin

? ? sin ? cos? ? 2 cos2 ? .

2

18. (本题 12 分)已知 ? 为第三象限角, f ?? ? ?

sin(? ?

? ? ) tan(? ? ? ) 2 2 . tan( ?? ? ? ) sin( ?? ? ? ) ) cos(

?

3?

(1)化简 f

?? ? ;
3? 1 ) ? ,求 f ?? ? 的值. 2 5

(2)若 cos(? ?

19.(本题 12 分)如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为矩形, PA ? 底面 ABCD , M 、 N 分别是 AB 、 PC 中点. P

N

M B

A C

D

(1)求证: MN // 平面 PAD ; (2)求证: AB ? MN . 20. (本题 13 分)已知曲线 y ? A sin(? x ? ? ) ? B 个最高点坐标为 (

( A ? 0, ? ? 0,| ? |?

?
2

, B ? R) 上的一

?
3

, 2 ? 1) ,与此点相邻的一个最低点的坐标为 (

7? , ? 2 ? 1) 。 3

(1)求这条曲线的函数解析式 (2)在下图的平面直角坐标系中,用“五点作图法”画出该曲线在 [0,3? ] 上的图像。 y

2 ?1

?
-1

2?

3?

x

? 2 ?1

3

21. (本题 13 分)已知圆 C 的圆心在直线 y ? ?4 x 上,且与直线 x ? y ? 1 ? 0 相切于点

P(3, ?2) .(Ⅰ)求圆 C 方程;
(Ⅱ) 点 M (0,1) 与点 N 关于直线 x ? y ? 0 对称.是否存在过点 N 的直线 l ,l 与圆 C 相交 于 E , F 两点,且使三角形 S?OEF ? 2 2 ( O 为坐标原点) ,若存在求出直线 l 的方程,若不 存在用计算过程 说明理由. ....

22. (13 分)对于函数 f(x) ,其定义域为 D,若任取 x1、x2∈D,且 x1≠x2, 若 f( )> [f(x1)+f(x2)],则称 f(x)为定义域上的凸函数.
2

(1)设 f(x)=ax (a>0) ,试判断 f(x)是否为其定义域上的凸函数,并说明原因; (2)若函数 f(x)=㏒ ax(a>0,且 a≠1)为其定义域上的凸函数,试求实数 a 的取值范围.

永州四中 2014 年高一第一次月考数学参考答案
一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分) 题号 1 2 3 4 5
4

6

7

8

答案

A

C

D

B

D

D

C

B

二、填空题(本大题共有 7 小题,每题 5 分,共 35 分,把正确的答案写在横线上) 9 > .10. 6π 11. [ -1,2] 12 -1 .

13.

π/6

14. [2kπ+π/6, 2kπ+5π/6]

15. ①②③ 17. 由 sin?? ? ? ? ? 2 cos?? ? ? ? 可得 ? sin ? ? ?2 cos ? ,2 分 ∴ tan ? ? 2 . (1)原式=

2 tan ? ? 1 tan ? ? 2 2 ? 2 ?1 3 ? ? . 2?2 4

sin 2 ? ? sin ? cos ? ? 2 cos 2 ? sin 2 ? ? sin ? cos ? ? 2 cos 2 ? ? (2)原式 ? 1 sin 2 ? ? cos 2 ? ? tan 2 ? ? tan ? ? 2 4 ? 2 ? 2 4 ? ? . tan 2 ? ? 1 4 ?1 5

? cos ? sin ? (? tan ? ) ? ? cos ? ? tan ? sin ? 3? 1 1 ) ? ,得 sin ? ? ? 。 6 分 (2)由 cos(? ? 2 5 5
18 解: (1) f (? ) ? 又已知 ? 为第三象限角,

4分

所以 cos ? ? 0 ,所以 cos ? ? ? 1 ? sin 2 ? ? ?

2 6 , 10 分 5

所以 f (? ) =

2 6 5

12 分

19 证明: (1)取 PD 中点 Q ,连结 AQ, NQ . 因为 N 是 PC 中点, 所以 NQ //

1 DC . 2 1 DC , 2

又 M 是 AB 中点, AM // 所以 AM // NQ ,

四边形 AQNM 是平行四边形 . 所以 MN //AQ . 因为 MN ? 平面 PAD , AQ ? 平面
5

PAD , 所以 MN // 平面 PAD . 7分 (2)因为 PA ^ 平面 ABCD ,所以 PA ^ AB . 又 ABCD 是矩形, 所以 AB ^ AD .
所以 AB ^ 平面 PAD , 所以 AB ^ AQ .又 AQ //MN , 所以 AB ^ MN . 20 解:(1)依题意: A ?

2, B ? ?1, T ? 2(

?? ?

2? 1 ? 4? 2 x ?y ? 2 sin( ? ? 2

7? ? ? ) ? 4? 3 3

?

?

?? ? k ? 6 2

?

1 ? ) ?又 1 sin( , ? ? ?) ? 1 2 3 (k ? Z) ? ? ? k ?

?

?? ?
(2)

?

3

,? y ?

x ? 2 sin( ? ) ? 1 2 3
0

?又 , | ? |< , (k ? Z) 3 2

?

x
x ? ? 2 3 y ? 2 sin(

? 3
?

? 3 ? 2
2 ?1

4? 3

?
?1

7? 3 3? 2

3?

11? 6

?
2

?
3

) ?1

6 ?1 2

? 2 ?1

?

2 ?1 2

y

2 ?1
-1

?

2?

3?

x

? 2 ?1

21. (Ⅰ) ( x ?1) ? ( y ? 4) ? 8 ; (Ⅱ) x ? 1
2 2

解析: (Ⅰ)过切点 P(3, 2) 且与 x ? y ? 1 ? 0 垂直的直线为 y ? 2 ? x ? 3 ,即 y ? x ? 5 .

6

与直线 y ? ?4 x 联立可求圆心为 (1, ?4) , 所以半径 r ?

(3 ? 1) 2 ? (?2 ? 4) 2 ? 2 2 ,

所以所求圆的方程为 ( x ?1)2 ? ( y ? 4)2 ? 8 . (Ⅱ)设 N (a, b) ,∵点 M (0,1) 与点 N 关于直线 x ? y ? 0 对称,

?b ?1 a ? ? ? 2 2 ? a ? 1, b ? 0,? N (1, 0) . ∴? b ? 1 ? ? ?1 ? ? a
注意:若没证明,直接得出结果 N (1, 0) ,不扣分. 1.当斜率不存在时,此时直线 l 方程为 x ? 1 ,原点到直线的距离为 d ? 1 , 同时令 x ? 1 代人圆方程得 y ? ?4 ? 2 2 ,∴| EF | ?4 2 , ∴ S ?OEF ?

1 ?1? 4 2 ? 2 2 满足题意,此时方程为 x ? 1 . 2

x ?1 ) ,即kx ?y ?k ? 0 , 2.当斜率存在时,设直线l 的方程为 y ? k ( 1 ,? 4) 到直线l 的距离 d ? 圆心C (

|k ?4?k | k ?1
2

?

4 k 2 ?1



设 EF 的中点为 D ,连接CD ,则必有CD ?EF , 在 Rt ?CDE 中, DE ? 8 ? d 2 ? 8 ?

16 2 2 k2 ? 1 4 2 k 2 ?1 ,所以 , ? EF ? k 2 ?1 k 2 ?1 k 2 ?1
距 离 为











线



d1 ?

|k| k 2 ?1







2 1 4 2 k 2 ?1 | k | ? S?OEF ? ? ? 2 k 2 ?1 k 2 ?1
2

k 2 k2 |? | ?2 2, 2 k ?1

1

整理,得3k ?1 ?0 ,不存在这样的实数k , 综上所述直线的方程为 x ? 1 . 22. 解: (1)f(x)不是其定义域上的凸函数. f(x)的定义域为 R,设 x1≠x2,则 f( )﹣ [f(x1)+f(x2)]=a ﹣ (a ﹣a )=﹣

7

<0,…2 分 ∴ f( )< [f(x1)+f(x2)],…4 分

∴ f(x)不是其定义域上的凸函数…6 分 (2)∵ f(x)的定义域为(0,+∞) ,且 f(x)在(0,+∞)内是凸函数, ∴ f( )> [f(x1)+f(x2)],…8 分 > (logax1+logax2)= ① …10 分



∵ x1、x2∈(0,+∞) ,且 x1≠x2, ∴ ﹣x1x2= >0,即 > …12 分

故要① 成立,则 a>1. ∴ 实数 a 的取值范围是(1,+∞)…14 分

8



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