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湖南省衡阳市八中2013-2014年上学期高一期末考试数学试卷



湖南省衡阳市八中 2013-2014 年上学期高一期末考试 数学 试题
(本卷共 21 道小题,考试时间 120 分钟,满分 100 分)

注意事项:答题前,考生务必将自己的班级、姓名、考试号写在答题纸的密封线内.答题时,答案
写在答题纸上对应题目的空格内,答案写在试卷上无效 .考试结束后,上交答题纸. .........

一、选择题(每小题 3 分,共 10 小题,满分 30 分) 1.设全集为 R , 函数 f ( x ) ? lg(1 ? x) 的定义域为 M , 则 CR M 为 A. (1, ??) B. [1, ??) C. ( ??,1)
2.一个几何体的三视图如右图所示,则该几何体可以是 A.棱柱 B.棱台 C.圆柱 D.圆台 3.直线 3x ? y ? 1 ? 0 的倾斜角为 A.150? B. 120? C.60? D. 30? 4.已知函数 f ( x) 为奇函数,且当 x ? 0 时, f ( x) ? x 2 ? A. 2 B. 1

D. ( ??,1]

1 ,则 f (?1) ? x C. ? 1

D. ? 2

5.底面直径和高都是 4 的圆柱的侧面积为 A. 20? B. 18?

C. 16?

D. 14?

6.圆 C1 : ( x ? 2)2 ? ( y ? 2)2 ? 1 与圆 C2 : ( x ? 2)2 ? ( y ? 5)2 ? 16 的位置关系是 A.外离 B.相交 C.内切 D.外切

7.下列函数中,在区间 (0, 2) 上单调递减的是 A. y ? ?

1 x

B. y ? ln x

C. y ? ? 3 x 2

D. y ?| x |

8.设 l 为直线, ? , ? 是两个不同的平面,下列命题中正确的是 A.若 l //? , l // ? ,则 ? // ? C.若 l ? ? , l // ? ,则 ? // ?
x

B.若 l ? ? , l ? ? ,则 ? // ? D.若 ? ? ? , l //? ,则 l ? ?

9.若函数 f ( x) ? 2 ? mx 在区间 ?? 1 , 0? 内有一个零点,则实数 m 的取值可以是 A. ? 1
2 2

B. 1

. C. ?

1 4

D.

1 4

10.已知圆的方程为 x ? y ? 6 x ? 8 y ? 0 .设该圆过点 (3,5) 的最长弦和最短弦分别为 AC 和 BD, 则四边形 ABCD 的面积为 A.10 6 B.20 6 C.30 6 D.40 6

二、填空题(第 11-14 题每小题 3 分,第 15 题 4 分,共 5 小题,满分 16 分) 11.计算: 1.10 ? 3 64 ? 0.5?2 ? lg 25 ? 2lg 2 ? .
12. 在空间直角坐标系 O ? xyz 中, 设点 M 是点 N (2, ?3,5) 关于坐标平面 xoy 的对称点, 则线段 MN 的长度等于 . 13. 若直线 l 过点 (1, 2) 且垂直于直线 x ? y ? 1 ? 0 ,则直线 l 的斜截式方程是 14.已知一个正方体的所有顶点在一个球面上,若正方体的棱长为 3 , 则球的体积为 . .

15.已知函数 f ( x ) 是定义在 (0, ??) 上的增函数, 且对任意正实数 x, y ,都有 f ( xy) ? f ( x) ? f ( y) 成 立. 则: (1) f (1) ? ; (2)不等式 f (log2 x) ? 0 的解集是____________.

三、解答题(共 6 小题,满分 54 分) a 2 2 16.(本题满分 8 分) 设集合 A ? ?a ? R | 2 ? 4? , B ? ?x ? R | x ? 2( m ? 1) x +m ? 0? .
(1)若 m ? 4 ,求 A ? B ; (2)若 A ? B ? B ,求实数 m 的取值范围.

17.(本题满分 8 分) 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E、F 为棱 AD、AB 的中点. (1)求证:EF∥平面 CB1D1; (2)求证:平面 CAA1C1⊥平面 CB1D1

18.(本题满分 8 分) 等腰 ?ABC 的顶角 B 的平分线所在直线方程为 x ? 4 y ? 10 ? 0 ,腰 AB 的长为

85 ,若已知点 A(3, ?1) ,求腰 BC 所在直线的方程.

19.(本题满分 10 分) 如图, 在体积为

2 已知 O 的直径 AB ? 2 , C 是 AB 的中点, ? 的圆锥 PO 中, 3

(1)指出二面角 D ? PO ? A 的平面角,并求出它的大小; (2)求异面直线 PD 与 BC 所成的角的正切值.

D 是弦 AC 的中点.

20.(本题满分 10 分) 某公司生产一种电子仪器的固定成本为 20000 元,每生产一台仪器需增加投入

1 2 ? ?400 x ? x , 0 ? x ? 400 100 元,已知总收益满足函数: R( x) ? ? ,其中 x 是仪器的月产量. 2 ? 80000, x ? 400 ?
(注:总收益=总成本+利润) (1)将利润 f ( x ) 表示为月产量 x 的函数; (2)当月产量 x 为何值时,公司所获利润最大?最大利润为多少元?

21.(本题满分 10 分) 已知圆 C : x ? y ? 2 x ? 4 y ? 3 ? 0 . (1)若圆 C 的切线在 x 轴和 y 轴上的截距相等,且截距不为零,求此切线的方程;
2 2

(2)从圆 C 外一点 P 向该圆引一条切线,切点为 M ,O 为坐标原点,且有 PM ? PO ,求使 PM 的长取得最小值的点 P 的坐标.

答案 一、选择题
1-5 BDCDC 6-10DCBAB

二、填空题
11. 3 12. 10 13. y ? ? x ? 3 14.

9? 2

15(1) 0 (2) (1, 2)

三、解答题
16.解析:(1)当 m ? 4 时,

A ? ?a ? R | 2 a ? 4? ? ?2? , B ? ?x ? R | x 2 ? 10 x +16<0? ? (2,8) ,

…2 分

…………………………………………………4 分 ? A ? B ? [2,8) (2)若 A ? B ? B ,则 B ? A ,此时必有 B ? ? . ……6 分 1 于是得 ? ? [?2(m ? 1)]2 ? 4m2 ? 4(2m ? 1) ? 0 ,得 m ? ? , 2 1 故实数 m ? ( ??, ? ] ……………………………………………………8 分 2 17.解析:(1)连结 BD. 在长方体 AC1 中,对角线 BD // B1D1 . 又

? EF∥平面 CB1D1. …………4 分
(2)

? EF // BD . ? EF // B1D1 . 又 B1D1 ? 平面 CB1D1 , EF ? 平面 CB1D1 ,
在长方体 AC1 中,AA1⊥平面 A1B1C1D1,而 B1D1 ? 平面 A1B1C1D1,

E、F 为棱 AD、AB 的中点,

? AA1⊥B1D1.


? B1D1⊥平面 CAA1C1. 又 B1D1 ? 平面 CB1D1, ? 平面 CAA1C1⊥平面 CB1D1.

在正方形 A1B1C1D1 中,A1C1⊥B1D1,

………………8 分

18 解析:设 B(4 y ? 10, y ) ,由两点间距离公式得 (4 y ? 10 ? 3) ? ( y ? 1) ? 85 ,
2 2

所以 B(10,5) .

……………………3 分

易知 A(3, ?1) 点关于 x ? 4 y ? 10 ? 0 的对称点为 C ( a , b) , b ?1 ?a ? 3 ? 4? ? 10 ? 0 ? ? 2 2 则有 ……………………6 分 ? C (1,7) ? b ? 1 1 ? ? ? ?1 ?a ? 3 4 ? 故 BC : 2 x ? 9 y ? 65 ? 0 . ……………………8 分 19.解析:(1)圆锥 PO 中 PO ? 平面 AOD ,故二面角 D ? PO ? A 的平面角为 ?AOD . ……………………2 分

1 ? 90? ? 45? . ……………4 分 2 (2)在 ?ABC 中 OD BC , 故 ?PDO 为异面直线 PD, BC 所成的角。 ……………6 分
由已知易得 ?AOD ? ?A ? 在圆锥 PO 中可求 PO ? 2 , DO ?

2 , 2

…………8 分

故在 Rt ?PDO 中, tan ?PDO ?

PO ? 2 .即所求的正切值为 2 .…………10 分 DO

20.解析:(1)因每月产量 x 台故总成本为 20000 ? 100 x ,

? 1 2 ?? x ? 300 x ? 20000 ?0 ? x ? 400 ? 从而 f ? x ? ? ? 2 ……………4 分 ? ?100 x ? 60000 ? x ? 400 ? ? 1 2 (2) ①当 0 ? x ? 400时, f ? x ? ? ? ? x ? 300 ? ? 25000 2 当 x ? 300时,fmax ? x ? ? 25000 …………………6 分
②当 x ? 400时,f ? x ? ? ?100 x ? 60000 为减函数

? f ? x ? ? ?100 ? 400 ? 60000 ? 20000 ? 25000 ……………8 分
故当月产量为 300 台时,利润最大,最大利润 25000 元。 ………10 分
[来源

21.解析:(1) 切线在两坐标轴上的截距相等且截距不为零, ? 设切线方程为 x ? y ? a ,( a ? 0 ) 又 圆 C: ( x ? 1)2 ? ( y ? 2)2 ? 2 ,? 圆心 C (?1, 2) 到切线的距离等于圆的半径 2 ,

?

?1 ? 2 ? a 2

? 2 ? a ? ?1或a ? 3,
………………4 分
2 2 2

则所求切线的方程为: x ? y ? 1 ? 0或x ? y ? 3 ? 0 . (2)设 P( x1 , y1 ) ,

切线 PM 与半径 CM 垂直,? PM

? PC ? CM ,

?( x1 ? 1) 2 ?( y1 ? 2)2 ? 2 ? x12 ? y12 ,?2x1 ? 4 y1 ? 3 ? 0, ………………6 分 ? 动点 P 在直线 2 x ? 4 y ? 3 ? 0 上,
由已知 PM 的最小值就是 PO 的最小值, 而 PO 的最小值为 O 到直线 2 x ? 4 y ? 3 ? 0 的距离 d ?

3 5 ,………8 分 10

9 3 ? 2 ? 2 x1 ? ? ? x1 ? y1 ? ? ?? ? 20 10 ?? ? ? 2 x1 ? 4 y1 ? 3 ? 0 ?y ? 3 1 ? 5 ? 3 3 ? 所求点坐标为 P ( ? , ) . 10 5

………………10 分



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