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高一数学 等比数列(含答案)



高一数学讲义 第二讲
一、知识要点
等比数列知识要点 1、定义:如果一个数列{an}从第 2 项起,每一项与它的前一项的比都等于同一个常数,则这个 a 数列叫等比数列。即若 n ?1 ? q (公比) 。 an 2、通项公式:an= 3、前 n 项和公式:Sn = 或 an= (q=1) = , (q≠1) 4、等比中项:如果在 a 与 b 中间插入一个数 G

,使 a、G、b 成等比数列,则 G 叫做 a 与 b 的 ,即 G2 = 5、重要性质: (1)若 m ? n ? p ? q ,则 或G= ; ;特例:若 m ? n ? 2 p ,则 ;

等比数列(含答案)

(2)连续每 m 项和成等比数列,即 Sm , S2m ? Sm , S3m ? S2 m 成等比数列。

二、学法指导
1、学习等比数列要对照等差数列来进行,切实把握他们之间的区别,要深刻理解等比数列的 定义及其等价形式,熟练运用通项公式和求和公式,注意用方程的思想、消元的思想及整体 思想分析问题与解决问题。 a 2、已知三个数成等比数列,分别可设为 , a , aq ,也可设为 a , aq , aq 2 ;四数成等比, q 可设为

a a , , aq , aq 3 。 q q3

三、例题分析
例 1、在各项为负数的数列 ?an ? 中,已知 2an ? 3an ?1 ,且 a2 ? a5 ? (1)求证: ?an ? 是等比数列,并求出通项;

8 , 27

(2)试问 ?

16 是这个等比数列中的项吗?如果是,指明是第几项;如果不是,请说明理由。 81

变式 1:若数列 ?an ? 是公差为 2 的等差数列,则数列 {2an } 是( A.公比为 4 的等比数列


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B.公比为 2 的等比数列

C.公比为

1 的等比数列 2

D.公比为

1 的等比数列 4


例 2、 北京) (11 在等比数列 ?an ? 中, a1 ? 若

1 ,a4 ? ?4 , 则公比 q ? 2

a1 ? a2 ? · ? an ? · ·
变式 2: (08 浙江)已知 ?an ? 是等比数列,a2 ? 2 ,a5 ? A. 16 1 ? 4? n

?

?

B. 16 1 ? 2? n

?

?

1 · · ,则 a1a2 ? a a ? · ? an an ? ?( ) 2 3 1 4 32 32 C. ?1 ? 4? n ? D. ?1 ? 2? n ? 3 3


例 3、 (1)等比数列 ?an ? 各项为正数,且 3 是 a 5 和 a6 的等比中项,则 a1 ? a2 ? · ? a10 ? ( · · A. 3
9

B. 3

10

C. 3

11

D. 3

12

(2)在等比数列{an}中, a1 ? an ? 66 , a2 ? an ?1 ? 128 ,且前 n 项和 Sn ? 126 ,求 n 及公 比 q。

变式 3: (09 广东)已知等比数列 ?an ? 满足 an>0,n=1,2, · ,且 a5 ? a2n?5 ? 22n (n≥3) , · · 则当 n ≥1 时, log 2 a1 ? log 2 a3 ? ??? ? log 2 a2 n?1 ? ( A. ? n ? 1?
2


2

B. n

2

C. ? n ? 1?

D. n ? 2n ? 1?

例 4、有 4 个数,其中前 3 个数成等差数列,后 3 个数成等比数列,并且第 1 个数与第 4 个数 的和是 16,第 2 个数与第 3 个数的和是 12,求这 4 个数。

变式 4:三个正数成等差数列,它们的和等于 15,如果它们分别加上 1,3,9 就成为等比数 列,求此三个数。

例 5、 (10 陕西)已知 ?an ? 是公差不为零的等差数列, a1 ? 1 ,且 a1,a3,a9 成等比数列。 (1)求数列 ?an ? 的通项; (2)求数列 2an 的前 n 项和 Sn 。
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? ?

变式 5: 等差数列 ?an ? 中,a4 ? 10 , a3, 6, 10 成等比数列, 且 a a 求数列 ?an ? 前 20 项的和 S 20 。

四、课后练习
1、 (09 广东)已知等比数列 ?an ? 的公比为正数,且 a3 ? a9 ? 2a52 , a2 ? 1 ,则 a1 ? ( A. )

1 2

B.

2 2

C. 2

D.2 ) D. 或 ?

2、在等比数列{an}中,a7·11=6,a4+a14=5,则 a A.

a 20 等于( a10
C.

2 3 或 3 2

B.

2 3

3 2

1 3

1 2

3、在各项为正数的等比数列{an}中,若 a5a6=9,则 log3a1+log3a2+·+log3a10=( · · ) A.12 B.10 C.8 D.2+log35 4、在等比数列{an}中, a1 ? 2 ,前 n 项和为 Sn ,若数列 {an ? 1} 是等比数列,则 Sn 等于(
n?1



A. 2 ? 2 B.3n C.2n D. 3 ? 1 5、各项为正数的等比数列{an}的前 n 项和为 Sn ,若 Sn ? 2, S3n ? 14 ,则 S 4n 等于( ) A.80 B.30 C.26 D.16 n 6、在数列{an}中,an+1=can(c 非零常数) ,且前 n 项的和 Sn=3 +k,则 k 等于( ) A.-1 B.1 C.0 D.2 7、组成等差数列的三数之和为 30,如果从第一个数减去 5,第二个数减去 4,第三个数不变, 则所得三个数组成等比数列,求此三个数。
n

8、 (09 辽宁)等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 S1,S3,S2 成等差数列 (1)求{an}的公比 q; (2)若 a1 ? a3 ? 3 ,求 Sn

五、考考你
1、若 k, 2k ? 2 , 3k ? 3 是等比数列的前 3 项,则第 4 项为( A.12 B.-13.5 C.13.5 ) D.-27
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2、已知等比数列 ?an ? 满足 a1 ? a2 ? 3 , a2 ? a3 ? 6 ,则 a7 ? ( A.64 A.81
4 7

) D.243 ) D.243 ) D.

B.81 B.27
10 3n ?10

C.128 C. 3 (n? N ) ,则 f (n) 等于( C.

3、在等比数列 ?an ? 中, a1 ? 1 , a10 ? 3 ,则 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 ? ( 4、设 f (n) ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? ·? 2 · A.

2 n ?8 ? 1? 7

B.

2 n?1 ?8 ?1? 7

2 n?3 ?8 ? 1? 7

2 n? 4 ?8 ? 1? 7

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高一数学讲义第 2 讲参考答案
一、知识要点
2、 a1 q n ?1 ; am q n ? m 3、 na1 ;

a1 ?1 ? q n ? 1? q



a1 ? an q 1? q

4、等比中项; ab ; ? ab 5、 am ? an ? a p ? aq ; am ? an ? ap 2

三、例题分析
例 1、 (1)∵ 2an ? 3an ?1 ,∴ 则 a1 q ? a1 q 4 =

an ?1 2 2 8 ? ,∴{an}是公比为 的等比数列,又 a2 ? a5 ? , an 3 3 27

8 ,即 a12 27
n ?1

3 ?2? ?2? ? ? ? ? ? ? ,∵an<0,∴a1=- , 2 ?3? ?3?
n?2

5

3

3 ?2? ∴ an ? ? ? ? ? 2 ?3?
(2)设 an ? ? 变式 1:A 例 2、 ?2;n?1 ? 2

?2? ? ?? ? ?3?
n? 2

16 16 ?2? ,∴ ? ? ? ? ? 81 81 ?3?

∴4 ? n ? 2即n ? 6 故?

16 是这个等比数列的第 6 项。 81

1 2

变式 2:C

例 3、 (1)B (2)∵ a1 an ? a2 an ?1 ? 128 ,∴ a1 ? an ? 66 ,∴a1、an 是方程 x 2 ? 66 x ? 128 ? 0 的两根, 得 x1=2,x2=64,∴a1 =2,an=64 或 a1 =64,an=2,显然 q≠1,若 a1 =2,an=64, a ? an q ? 126 ,得 q=2,由 an ? a1 qn?1 ,得 2 n ?1 =32,∴n=6,若 a1 =64,an=2, 由 Sn ? 1 1? q 同理可得 q= 变式 3:B 例 4、设这 4 个数依次为 a-d,a,a+d,
2 ? ? a ? d ? ? 16 (1) ?a ? d ? ∴? a ?a ? a ? d ? 12 (2) ?

1 1 ,n=6。综上:n 的值为 6,公比 q=2 或 2 2

?a ? d ?
a

2



同(2)得 d =12-2a,代入(1)得 a2-13a+36=0,

?a ? 4 ?a ? 9 解得 a=4 或 a=9,∴ ? ,故这 4 个数是 0,4,8,16 或 15,9,3,1。 或? ?d ? 4 ?d ? ?6 ? a ? d ? a ? a ? d ? 15 ?a ? 5 ? 变式 4:设所求之数为 a ? d , a, a ? d ,则有: ? ,解得 ? , 2 ?? a ? 3? ? ? a ? d ? 1?? a ? d ? 9 ? ?d ? 2 ? ∴所求三数为 3,5,7。
例 5、 (1)∵ d ? 0 , a1 ? 1 , a1 , a 3 , a 9 成等比数列,得

(舍去) ,∴ ?an ? 的通项 an ? 1 ? (n ? 1) ? 1 ? n 。 (2)由(1)知 2 an ? 2 n ,∵

1 ? 2d 1 ? 8d ,解得 d ? 1 或 d ? 0 ? 1 1 ? 2d

2 an?1 2 n ?1 ? n ? 2 ,∴ 2an 是首项为 2,公比为 2 的等比数列。 an 2 2

? ?

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2(1 ? 2n ) ? 2n ?1 ? 2 1? 2 变式 5:由 a3,a6,a10 成等比数列,得 a62 ? a3 ? a10 ,即 (a4 ? 2d )2 ? (a4 ? d )(a4 ? 6d ) ,
∴由等比数列前 n 项和公式得 S n ? ∴ (10 ? 2d )2 ? (10 ? d )(10 ? 6d ) ,解得 d ? 0 或 d ? 1 ,当 d ? 0 时, S20 ? 20a4 ? 200 , 当 d ? 1 时, a1 ? a4 ? 3d ? 7 ,∴ S20 ? 20a1 ?

20 ? 19 d ? 330 。 2

四、课后练习
1、B 5、B 6、A ?a ? d ? a ? a ? d ? 30 7、设这三个数为 a-d,a,a+d,则有 ? , 2 ?(a ? d ? 5) ? (a ? d ) ? (a ? 4) 2、A 3、B 4、C

8、 (1)依题意得 a1 ? ? a1 ? a1 q ? ? 2 a1 ? a1 q ? a1 q 2 ,由 a1 ? 0 ,得 2q 2 ? q ? 0又q ? 0 ,从而

?a ? 10 ?a ? 10 得? ,故此三个数为 3,10,17 或 12,10,8 或? ?d ? ?7 ?d ? 2

?

?

q??

1 2

? ? 1 ?n ? 4 ?1 ? ? ? ? ? 2 n ? ? 2? ? 8? ? 1? ? ? 1? ? ? ? 1? ? (2)∵ a1 ? a1 ? ? ? ? 3 ,∴ a1 ? 4 ,∴ sn ? ? ? ? ? 3? ? 2? ? ? 1? ? 2? ? ? 1? ?? ? ? 2?

五、考考你
1、B 2、A 3、A 4、D

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