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向量复习题



§ 5.1~§ 5.2 向量、向量的加减法 班级: 姓名: 一、 选择题(本大题共 5 小题,每小题 2 分,共 10 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.下列关于零向量的说法中,错误的是 A.零向量长度为 0 B.零向量是没有方向的 C.零向量的方向是任意的 D.零向量与任一向量平行 2.下列命题中,正确的是 A.若|a|=|b|,则 a=b B.若|

a|>|b|,则 a>b C.若 a=b,则 a∥b D. 若|a|=1,则 a=± 1 3.若 O 是△ ABC 内的一点, OA + OB + OC =0,则 O 是△ ABC 的 A.内心 B.外心 C.垂心 D.重心 4.若 O 为□ABCD 的对角线交点, AB =4e1, BC =6e2,则 3e2-2e1 等于 A. AO B. BO C. CO D. DO 5.当|a|=|b|,且 a 与 b 不共线时,a+b 与 a-b 的关系为 A.平行 B.垂直 C.相交但不垂直 D.相等 二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 3 分,共 15 分.把答案填在题中横线上) 6.如下图,已知 O 为正六边形 ABCDEF 的中心,则与向量 DO 相等的向量有 .

§ 5.3 实数与向量的积 班级: 姓名: 一、选择题(本大题共 5 小题,每小题 2 分,共 10 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的) 1.已知□ABCD 中,点 E 是对角线 AC 上靠近 A 的一个三等分点,设 EA =a, EB =b,则向量 BC 等于 A. 2a+b B.2a-b C.b-2a D.-b-2a 2.若 AB =5e1, CD =-7e1,且| AD |=| BC |,则四边形 ABCD 是 A.平行四边形 B.等腰梯形 C.菱形 D.梯形但两腰不相等 3.设 D、E、F 分别为△ ABC 的边 BC、CA、AB 的中点,且 BC =a, CA =b,给出下列命题: ① AB =- a-b ② BE =a+ b
2 2 1 1 1 1

③ CF =- a+ b ④ AD + BE + CF =0.其中正确的命题个数为
2 2

A.1 B.2 C.3 D.4 4.设 e1,e2 为两个不共线向量,则向量 a=e1+λe2(λ∈R)与向量 b=-(e2-2e1)共线的充要条件为 A.λ=0 B.λ=-1 C.λ=-2 D.λ=-
1 2

5.若 O 为平行四边形 ABCD 的中心, AB =4e1, BC =6e2,则 3e2-2e1 等于 A. AO B. BO C. CO D. DO 二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 3 分,共 15 分.把答案填在题中横线上) 6.已知向量 a,b 不共线,实数 x,y 满足等式 3xa+(10-y)b=2xb+(4y+7) a,则 x= 7.在△ ABC 中, AE =
1 5

,y=

. . . 条件.

AB

,EF∥BC 交 AC 于点 F,设 AB =a, AC =b,用 a、b 表示向量 BF 为

7.已知| AB |=10,| AC |=7,|则| BC |的取值范围为 . 8.已知 OA =a, OB =b,且|a|=|b|=4,∠AOB=60° .则|a+b|= ,|a-b|= . 9.化简 AB + DA + BD - BC - CA = . 10.已知向量 a 表示“向东行走 3 km”,b 表示“向南行走了 3 km”,则 a+b 表示 三、解答题(本大题共 3 小题,共 25 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 11.(5 分)判断以下说法是否正确. (1)向量 a 与 b 共线,b 与 c 共线,则 a 与 c 共线. (2)任意两个非零的相等向量的起点与终点是一平行四边形的四个顶点. (3)向量 AB 与 CD 是共线向量,则 A、B、C、D 必在同一直线上. (4)向量 a 与 b 平行,则 a 与 b 的方向相同. (5)长度相等且起点相同的两个向量,其终点必相同. 12.(10 分)已知两个力 F1、F2 的方向互相垂直,且它们的合力 F 大小为 10 N,与力 F1 的夹角为 60° , 求力 F1 与 F2 的大小. 13.(10 分)一架飞机从 A 地按北偏西 30° 方向飞行 300 km,到达 B 地,然后向 C 地飞行,设 C 地恰 在 A 北偏东 60° ,且距 A 100
3

8.已知 α、β∈R,a,b 为不共线向量,若(2α+β-14)a+(α-3β)b=0,则 α= ,β= 9.设命题 P:向量 b 与 a 共线;命题 Q:有且只有一个实数 λ,使得 b=λa,则 P 是 Q 的 10.若 ke1+e2 与 e1+ke2 共线,则实数 k 的值为 . 三、解答题(本大题共 3 小题,共 25 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 11.(7 分)已知任意四边形 ABCD 中,E 为 AD 中点,F 为 BC 的中点,求证: EF 12.(9 分)在△ OAB 中,C 是 AB 边上一点,且
BC CA

= ( AB + DC ).
2

1

=λ(λ>0),若 OA =a, OB =b,试用 a,b 表示 OC .

13.(9 分)如图, OA =a, OB =b, AP =t AB (t∈R),当 P 是(1) AB 中点, (2) AB 的三等分点(离 A 近 的一个)时,分别求 OP .

km 处,求飞机从 B 地向 C 地飞行的方向和 B、C 两地的距离.

§ 5.4 平面向量的坐标运算 班级: 姓名: 一、选择题(本大题共 6 小题,每小题 2 分,共 12 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的) 1.已知 a=(2,3) ,b=(-1,2) ,则 2a-3b 等于 A.(5,1) B.(5,-3) C.(7,0) D.(-7,0) 2.已知 a=(-1,3) ,b=(x,-1) ,且 a∥b,则 x 等于 3.下列各组向量是相互平行的是 A.a=(-2,3) ,b=(3,5) C.a=(2,-1) ,b=(1,4) A.3 B.
1 3

§ 5.5 线段的定比分点 班级: 姓名: 一、选择题(本大题共 6 小题,每小题 2 分,共 12 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要 求的) 1.若点 P 分 AB 所成的比为 ,则 A 分 BP 所成的比是
5 3

C.-3 D.-

1 3

A.

3 8

B.

8 3

C.-

8 3

D.-

3 8

2.设 A、B、C 三点共线,且它们的纵坐标分别为 3、6、10,则点 A 分 BC 所得的比为 B.a=(3,2) ,b=(2,3) D.a=(-2,1) ,b=(4,-2) A.
3 4

B.-

7 4

C.-

3 7

D.-

7 3

4.已知 A(x,2) ,B(5,y-2),若 AB =(4,6) ,则 x、y 的值为 A.x=-1,y=0 B.x=1,y=10 C.x=1,y=-10 D.x=-1,y=-10 5.已知 M(3,-2) ,N(-5,-1) MP = , A.(-8,1)
1 1 2

3.设 P1(2,-1) 2(0,5) 在 P1P2 延长线上,使| p 1 p |=2| pp 2 |,则点 P 的坐标为 ,P ,P A.(-2,11) B.( ,3)
4 3

MN

,则 P 点的坐标为
3 2

C.( ,3)
3

2

D.(2,7)

B.(-1,- )
2

3

C.(1, )

D.(8,-1)

6.若 a- b=(1,2) ,a+b=(4,-10) ,则 a 等于
2

4.已知 A(m,-n),B(-m,n),点 C 分 AB 的比为-2,那么点 C 的坐标为 A.(-m,n) B.(-3m,3n) C.(3m,-3n) D.(m,n) 5.已知 A(-1,-1) ,B(0,1) ,则下列各点在直线 AB 上的是 A.(0,3) B.(1,1) C.(2,4) D.(2,5) 6.已知 P(4,-9) ,Q(-2,3) 轴与线段 PQ 的交点为 M,则 M 分 PQ 所成的比为 ,y A. .
1 3

A.(-2,-2) B.(2,2) C.(-2,2) D.(2,-2) 二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 2 分,共 10 分.把答案填在题中横线上) 7.若向量 a=(-1,x),b=(-x,2)共线且方向相同,则 x= . 8.若点 M(-3,1)与点 N(x,y)关于点 P(-2,-1)对称,则点 N 的坐标为 9.已知向量 OA =(k,12) OB =(4,5) OC =(10,k)若 A、B、C 三点共线,则 k= , , 10.已知|a|=2
3

.

B.

1 2

C.2

D.3

,b=(-1,

3

) ,且 a∥b,则 a=

.

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 3 分,共 15 分.把答案填在题中横线上) 7.点 M(2,1)关于点 N(-3,5)的对称点坐标是 . 8.△ ABC 的顶点分别是 A (7, -5) B , (x, , (-5, , 2) C y) 重心为 G (2, , x= 1) 则 9.已知 A (-1, -2) B ,(4, ,(5, 三点共线, 8) C x) 则点 C 分有向线段 AB 所成的比 λ=

, y= , x=

. . .

11.已知□ABCD 的三个顶点 A、B、C 的坐标分别为(-2,1),(3,4)(-1,3) , ,则第四个顶点 D 的坐标 为 . 三、解答题(本大题共 3 小题,共 28 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 12. 8 分) ( 已知作用于坐标原点的三个力 F1 (3, , 2 4) F (2, -5) F3 , (3, , 1) 求作用于原点的合力 F1+F2+F3 的坐标.

10.已知两点 P(3, -5) P(-1, ,2 -2)在 P1P2 的延长线上有一点 P, , 使得| P1 P |=15, 则 P 点坐标为 1

13.(10 分)设 A、B、C、D 四点坐标分别为(-1,0)(0,2)(2, )( , ) , , , ,求证:ABCD 为
2 2 2

3

3

1

11.已知△ ABC 三个顶点为 A(4,5) ,B(-2,-1) ,C(7,2) ,M、N 分 BA 、 AC 所成的比均为 1∶2, 则 S△ AMN∶S△ ABC= . 三、解答题(本大题共 3 小题,共 23 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 12.(7 分)已知 A(-1,-4) ,B(5,2) ,线段 AB 上的三等分点依次为 P1、P2,求 P1、P2 点的坐标.

梯形. 13.(8 分)已知 A(5,-1) ,B(-1,7) ,C(1,2) ,求△ ABC 中,∠A 的平分线 AD 的长. 14.(10 分)已知 A(2,3) ,B(-1,5) ,满足 AC = 坐标.
1 3

AB

, AD =3 AB , AE =-

1 4

AB

,求 C、D、E 三点 14.(8 分)已知两点 P1(1,3) 2(-2,6) ,P ,求直线 P1P2 上满足| P1 P |=2| PP 2 |的点 P 的坐标.

§ 5.6 平面向量的数量积及运算律 班级: 姓名: 一、选择题(本大题共 6 小题,每小题 2 分,共 12 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的) 1.已知|a|=3,|b|=4,向量 a 与 b 的夹角为 θ,则|a-b|等于 A.
25 ? 24 cos ?

§ 5.7 平面向量数量积的坐标表示 班级: 姓名: 一、选择题(本大题共 6 小题,每小题 2 分,共 12 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要 求的) 1.设 A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),则| AB |的最大值为 A.2 B. 2 C.4 2.在已知 a=(x,y) ,b=(-y,x),则 a,b 之间的关系为 A.平行 B.不平行不垂直 C.a⊥b D.以上均不对 2 3.已知 a=(-4,3) ,b=(5,6) ,则 3|a| -4a· 为 b A.63 B.83 C.23 D.57 4.若 a=(-3,4) ,b=(2,-1) ,若(a-xb)⊥(a-b),则 x 等于 A.-23 B.
23 2

B.

25 ? 24 sin ?

C.

25 ? 24 cos ?

D.

25 ? 24 sin ?

D.不存在

2.设 a,b,c 为任意非 0 向量,且相互不共线,则真命题为 (1) b)· (a· c-(c· b=0(2)|a|-|b|<|a-b|(3)(b· a-(c· b 不与 c 垂直 a)· c)· a)· 2 2 (4) (3a+2b)(3a-2b)=9|a| -4|b| A.(2) (4) B.(2) (3) C.(1) (2) D.(3) (4) 3.已知|a|=3,|b|=4, (a+b)· (a+3b)=33,则 a 与 b 的夹角为 A.30° B.60° C.120° D.150° 4.△ ABC 中, AB =a, BC =b,且 a· b<0,则△ ABC 为 A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形
3 2 3 2 9 4

C.-

23 3

D.-

23 4

5.若 a=(λ,2) ,b=(-3,5) 与 b 的夹角为钝角,则 λ 的取值范围为 ,a D.等腰直角三角形 A.(
10 3

5.已知等边△ ABC 的边长为 1,且 BC =a, CA =b, AB =c,则 a· c+c· 等于 b+b· a A.- B.
2 2

,+∞)

B.[

10 3

,+∞)

C.(-∞,

10 3



D.(-∞,

10 3



C.0

D.

6.已知 a=(-2,1) ,b=(-2,-3) ,则 a 在 b 方向上的投影为 A.-
13 13

6.已知|a| =1,|b| =2, (a-b)⊥a,则 a 与 b 的夹角为 A.60° B.90° C.45° D.30° 二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 3 分,共 15 分.把答案填在题中横线上) 7.设 e1,e2 是两个单位向量,它们的夹角为 60° ,则(2e1-e2) 1+2e2)= (3e

B.

13 13

C.0

D.1

二、填空题(本大题共 4 小题,第 7 题 3 分,8~10 每题 4 分,共 15 分.把答案填在题中横线上) . . 7.已知向量 c 与向量 a=(
3

,-1)和 b=(1,

3

)的夹角相等,c 的模为

2

,则 c=

.

8.已知向量 OP 1 , OP 2 , OP 3 满足 OP 1 + OP 2 + OP 3 =0,| OP 1 |=| OP 2 |=| OP 3 |=1,则△ P1P2P3 的形状为

8.已知向量 a=(3,4) ,则与 a 平行的单位向量为 . 9.若 a(3,4) ,b=(1,2)且 a· b=10,则 b 在 a 上的投影为 10. 设 a= ( x1 , y1) , b=(x`2 , y`2) 有 以 下 命 题 : ①|a|=
x1 ? y 1
2 2

. ②b2=
x2
2

9.在△ ABC 中,已知| AB |=4,| AC |=4,且 AB · =8,则这个三角形的形状为 . AC 10.已知| i |=| j |=1,i· j=0,且 a+b=2i-8j,a-b=8i+16j,求 a· b= . 11.已知|a|=3,|b|=5,如果 a∥b,则 a· b= . 三、解答题(本大题共 3 小题,共 23 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 12.(7 分)已知 a,b,c 两两垂直,且|a|=1,|b|=2,|c|=3,求 r=a+b+c 的长及它与 a,b,c 的夹角的余弦.

? y2

2

③a· 1x`2+y1y`2 b=x

④a⊥b?x1x`2+y1y`2=0,其中假命题的序号为 . 三、解答题(本大题共 3 小题,共 23 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 11.(7 分)已知 A(2,1) ,B(3,2) ,D(-1,4)(1)求证: AB ⊥ AD ; , (2)若四边形 ABCD 为矩形, 求点 C 的坐标.

13.(8 分)设 a,b 为两个相互垂直的单位向量,是否存在整数 k,使向量 m=ka+b 与 n=a+kb 的夹角为 60° , 若存在,求 k 值;若不存在,说明理由. 12.(8 分)已知 a=(3,-2) ,b=(k,k) (k∈R),t=|a-b|,当 k 取何值时,t 有最小值?最小值为多少? 14.(8 分)非零向量(a+3b)⊥(2a-b),(a-2b)⊥(2a+b),求向量 a 与 b 的夹角.

13.(8 分)设向量 a,b 满足|a|=|b|=1 及|3a-2b|=3,求|3a+b|的值.

§ 5.9 正弦定理、余弦定理 班级: 姓名: 一、选择题(本大题共 2 小题,每小题 6 分,共 12 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的) 1. 函数 y=x2+2x+5 的图象按 a 平移后得到的函数图象的解析式为 y=x2,则 a 等于 A.(1,4) B.(1,-4) C.(-1,4) D.(-1,-4) 2.一个三角形的三边之长分别是 3、5、7,则最大角为 A.arccos C.arccos
11 14

§ 5.10 解斜三角形应用举例 班级: 姓名: 一、选择题(本大题共 6 小题,每小题 2 分,共 12 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要 求的) 1.在△ ABC 中,下列各式正确的是 A.
a b

=

sin B sin A

B.asinC=csinB

C.asin(A+B)=csinA

D.c2=a2+b2-2abcos(A+B)

B.150° D.120°

2.已知等腰三角形的底边长为 6,腰长为 12,则此三角形外接圆的半径为 A.
7 15 5

B.4

3

C.

8 15 5

D.6
? ab ? b
2

3

13 14

3.在△ ABC 中,根据下列条件解三角形,其中有两个解的是 A.b=10,A=45° ,C=70° B.a=60,c=48,B=60° C.a=7,b=5,A=80° D.a=14,b=16,A=45° 4.在△ ABC 中,若 sin2A=sin2B+sin2C+sinB· sinC,则角 A 等于 A.
?
3

3.已知三角形的三边长分别为 a、b、 A.135° B.120° C.60°

a

2

,则这个三角形的最大角是

D.90°
3

4.某人向正东方向走 x 千米后,他向右转 150° ,然后朝新方向走 3 千米,结果他离出发点恰好 么 x 的值为
5? 6

千米,那

B.

2? 3

C.

3? 4

A.

3

B.2

3

C.2

3



3

D.3

D.

5.在△ ABC 中,若 acosA=bcosB,则△ ABC 的形状是 A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形 6.在△ ABC 中,A=60° ,b=16,面积 S=220 A.10
6 3

5.海上有 A、B 两个小岛相距 10 nmile,从 A 岛望 B 岛和 C 岛成 60° 的视角,从 B 岛望 A 岛和 C 岛成 75° 角的视角,则 B、C 间的距离是 A.5
2

nmile

B.10

3

nmile

C.

10 3 6

nmile

D.5

6

nmile

,则 a 等于 B.75

C.49 D.51 二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 3 分,共 15 分.把答案填在题中横线上) 7.在△ ABC 中,已知 c=10
2

,C=60° ,a=

20 3

3

,则∠A=

. .

8.在△ ABC 中,已知三边满足(a+b+c)(a+b-c)=3ab,则∠C 等于 9.在△ ABC 中,若
a b
2 2

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 3 分,共 15 分.把答案填在题中横线上) 6.某人以时速 a km 向东行走,此时正刮着时速 a km 的南风,那么此人感到的风向为 ,风速 为 . 7.在△ ABC 中,tanB=1,tanC=2,b=100,则 c= . 8.某船开始看见灯塔在南偏东 30° 方向,后来船沿南偏东 60° 的方向航行 30 nmile 后看见灯塔在正西方向, 则这时船与灯塔的距离是 . 9.甲、乙两楼相距 20 m,从乙楼底望甲楼顶的仰角为 60° ,从甲楼顶望乙楼顶的俯角为 30° ,则甲、乙两 楼的高分别是 . 10.在塔底的水平面上某点测得塔顶的仰角为 θ,由此点向塔沿直线行走 30 米,测得塔顶的仰角为 2θ,再 向塔前进 10 . ..
3

=

tan A tan B

,则△ ABC 是

.

米,又测得塔顶的仰角为 4θ,则塔高是

米.

10.在△ ABC 中,已知 B=135° ,C=15° ,a=5,那么此三角形的最大边的长是 11. 函数 y=sin2x 的图象按向量 a=(-
?
6

三、解答题(本大题共 3 小题,共 23 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 11.(7 分)在△ ABC 中,求证:
cos 2 A a
2

,1)平移后所得图象的解析式为



cos 2 B b
2

=

1 a
2



1 b
2

.

三、解答题(本大题共 3 小题,共 23 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 12.(7 分)在△ ABC 中,已知 a=
3

,b=

2

,B=45° ,求 A,C 及 c.
3

13.(8 分)已知△ ABC 中,sinA∶sinB∶sinC=(

+1)∶(

3

-1)∶

10

,求最大角. .

12. 8 分) ( 欲测河的宽度, 在一岸边选定 A、 两点, B 望对岸的标记物 C, 测得∠CAB=45° ∠CBA=75° AB=120 , , m,求河宽.(精确到 0.01 m) 13.(8 分)甲舰在 A 处,乙舰在 A 的南偏东 45° 方向,距 A 有 9 nmile,并以 20 nmile/h 的速度沿南偏西 14° 方向行驶,若甲舰以 28 nmile/h 的速度行驶,应沿什么方向,用多少时间,能尽快追上乙舰?

14.(8 分)函数 y=log2x 的图象 F 按 a=(3,4)平移后得到图象 F′,则 F′对应的函数解析式为



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