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全概率公式和贝叶斯公式



单位代码: 005 分 类 号: o1

西安创新学院 本科毕业论文设计



目:

全概率公式和贝叶斯公式 数学与应用数学 行一舟 0703044138 程值军 二 0 一一年六月

专业名称: 学生姓名: 学生学号: 指导教师: 毕业时间:

全概率公式和贝叶斯公式

摘要:对全概率公式和贝叶斯公式 ,探讨了寻找完备事件组的两个常用方法 ,和
一些实际的应用.全概率公式是概率论中的一个重要的公式 ,它提供了计算复杂 事件概率的一条有效的途径 ,使一个复杂事件的概率计算问题化繁就简 .而贝叶 斯公式则是在乘法公式和全概率公式的基础上得到的一个著名的公式.

关键词:全概率公式;贝叶斯公式;完备事件组

I

The Full Probability Formula and Bayes Formula
Abstract:To the full probability formula and bayes formula for complete, discusses the two commonly used methods of events, and some practical applications. Full probability formula is one of the important full probability formula of calculation, it provides an effective complex events of the way the full probability of a complex events, full probability calculation problem change numerous will Jane. And the bayes formula is in full probability formula multiplication formula and the basis of a famous formula obtained. Key words:Full probability formula; Bayes formula; Complete event group;

II

目 录
引言................................................................ 1 1.全概率公式和贝叶斯公式............................................ 1 1.1 全概率公式 .................................................. 1 1.2 贝叶斯公式 .................................................. 2 1.3 全概率公式和贝叶斯公式的应用 ................................ 2 2 全概率公式和贝叶斯公式的推广 ...................................... 8 结 束 语........................................................... 10 参 考 文 献........................................................ 11 致 谢 词........................................................... 12

III

延安大学西安创新学院本科毕业论文(设计)

引言
应用全概率公式和贝叶斯公式是生活中和学习中经常运用到的两个公式,而在计 算某个事件概率的关键是寻找与该事件相关的完备事件组,但在日常教学中发现许多 同学在利用这两个公式计算某个事件的概率时,往往找不准相关的事件组,因而所求答 案出现失误.本文针对这个问题展开讨论,通过对全概率公式和贝叶斯公式相关问题的 分析,探讨了寻找完备事件组的两个常用方法, 并发现贝叶斯公式和全概率公式在生活 和应用中的推广.

1.全概率公式和贝叶斯公式
定义1.1 设 S 为样本空间 , 设 A1 , A2 ,An 为 S 的一个划分组,若它满足(1) Ai Aj =? ,

i , j =1,2,?, n , i ≠ j ;
· · · ∪An = S . (2) A1∪A2∪

则称 A1 , A2 ,? An 为一个完备事件组. 1.1 全概率公式 全概率公式是指若 A1 , A2 ,? An 为一完备事件组, P ( Ai )> 0 ( i = 1, 2 ?),则对于任 意事件 B ,有
P ( B ) ? ? P ( Ai ) P ( B | Ai ) .
i ?1 n [1]

全概率公式的直观意义是:某事件 B 的发生有各种可能的原因 Ai ( i = 1, 2 ?),并且 这些原因两两不能同时发生,如果 B 是由原因 Ai 所引起的,若 B 发生时, BAi 必同时发 生,因而 P( B) 与 P ( BAi ) ( i = 1, 2 ?)有关,且等于其总和

? P( BAi ) ?? P( Ai ) P( B | Ai ) .
i ?1 i ?1

n

n

全概率的全就是总和的含义,当然这个总和要能求出来,需已知概率 P ( BAi ) ,或已 知各原因 Ai 发生的概率 P( Ai ) 及在 Ai 发生的条件下 B 的条件概率 P( B | Ai ) ( i = 1, 2 ?). 通俗地说,事件 B 发生的可能性,就是其原因 Ai 发生的可能性与在 Ai 发生的条件下事件

1

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B 发生的可能性的乘积之和.
1.2 贝叶斯公式 贝叶斯公式是指若 A1 , A2 ,? An 为一完备事件组,且 P( Ai ) >0( i =1,2,?),则对任何 概率非零的事件 B ,有
P( Ai | B) ? P( Ai ) P( B | Ai ) ? P( B) P( Ai ) P( B | Ai )
n

? P( A ) P( B | A )
j ?1 j j

.

在理论研究和实际中还会遇到一类问题,这就是需要根据试验发生的结果找原因, 看看导致这一试验结果的各种可能的原因中哪个起主要作用,解决这类问题的方法就 是使用贝叶斯公式.贝叶斯公式的意义是导致事件 B 发生的各种原因可能性的大小, 称 之为后验概率. 1.3 全概率公式和贝叶斯公式的应用 从公式结构上看,全概率公式与贝叶斯公式关系密切,如何正确使用这两个公式是 本文的一个重要的内容.无论全概率公式还是贝叶斯公式都需要正确的找出完备事件 组. 如果所求概率的事件与前后两个实验有关,且这两个实验彼此关联,第一个试验的 各种结果直接对第二个试验产生影响,而问第二个试验出现某结果的概率,这类问题是 属于使用全概率公式的问题,将第一个试验的样本空间分解成若干个互不相容的事件 的和,这些事件就是所求的一个完备事件组 .至于在什么情况下使用贝叶斯公式,这就 要看问题的提法.如果已知某事件已发生,要求该事件与完备事件组中某一事件一同发 生的概率,应采用贝叶斯公式求之. 如果事件 B 能且只能在原因 A1 , A2 ,? An 下发生,且 A1 , A2 ,? An 是两两互不相容, 那么这些原因就是一个完备事件组.如果这些原因发生的概率 P( Ai ) 以及在原因 Ai 发生 下事件 B 的条件概率 P( B | Ai ) ( i =1,2,?)都是已知的,或都可求出,则: (1) 可使用全概率公式计算事件 B 的概率. (2) 如果已知事件 B 发生,要计算导致结果 B 发生的原因 Ai 的可能性大小,即事件
Ai 的条件概率 P( Ai | B) 的大小,可采用贝叶斯公式求之.显然如果把 Ai ( i = 1, 2 ?)看成

是导致事件 B 发生的原因,那么全概率公式与贝叶斯公式可分别说成由因求果与执果
2

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求因的概率计算公式. 例 1.1 设甲箱中有 3 个白球和 2 个黑球,乙箱中有 1 个白球和 2 个黑球,自甲箱

中任意取 2 球放入乙箱,然后再从乙箱中任意取出 2 球,试求: (1) 从乙箱中取出的两球是白球的概率; (2) 在乙箱中取出的两球是白球的条件下,从甲箱中取出的两球是白球的概率. 解 (1) 从乙箱中取球 (第二个试验 ) 之前,要从甲箱中任意取两球放入乙箱 ( 第

一个试验),而从甲箱中取球的结果影响到从乙箱中取球的结果,本题可用全概率公式 来求解. 将第一个试验的样本空间分解,即可求得完备事件组. 因为从甲箱中任意取两球放入乙箱仅有 3 种可能:取得两白球,或者取得一黑球和 一白球,或者取出两黑球,分别用 A1 , A2 , A3 表示,则 A1 , A2 , A3 即为所求的一个完备事 件组,又设 B 为乙箱中取出的两球是白球,则有
P( A1 ) ?
1 1 2 C32 3 C3 C2 3 C2 1 ? , P ( A ) ? ? , P ( A ) ? ? , 2 3 2 2 2 C5 10 C5 5 C5 10

2 C32 3 C2 1 P( B | A1 ) ? 2 ? , P( B | A2 ) ? 2 ? , P( B | A3 ) ? 0 . C5 10 C5 10

由全概率公式得到
P( B) ? ? P( Ai ) P( B | Ai ) ? 0.15 .
i ?1 3

(2)本题是在 B 发生的条件下求导致这一试验结果发生的原因属于事件 A1 的概率 有多大,须用贝叶斯公式,
P( A1 | B) ? P( A1 ) P( B | A1 ) P( A ) P( B | A1 ) ? 3 1 ? 0.16 . P( A ) ? P( Ai ) P( B | Ai )
i ?1

例 1.2

在数字通讯中,信号是由数字 0 和 1 的长序列组成的,由于随机干扰,发送

的信号 0 或 1 各有可能错误接受为 1 或 0,现假设发送信号为 0 和 1 的概率均为 1/2; 又已知发送 0 时,接受为 0 和 1 的概率分别为 0.7 和 0.3;发送信号为 1 时,接受为 1 和 0 的概率分别为 0.9 和 0.1.求已知收到信号 0 时,发出的信号是 0(即没有错误接受)的 概率.

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解 设 A0 ={发送信号为 0}, A1 ={发送信号为 1}, B0 ={收到信号为 0}, B1 ={收到信 号为 1},因为收到信号为 0 时,除来自发送信号确系为 0 外,还由于干扰原因,发送信号 为 1 时,接受的信号也可能为 0,因此导致事件 B0 发生的原因只有事件 A0 与 A1 ,且它们 互不相容,故 A0 与 A1 构成一完备事件组, 由题设,有
P( A0 ) = P( A1 ) =

1 , P( B0 | A0 ) =0.7, P( B0 | A1 ) = 0.1, 2 1 1 ? 0.7+ ? 0.1=0.4. 2 2


P( B0 ) = P( A0 ) P( B0 | A0 ) + P( A1 ) P( B0 | A1 ) =

若接受信号 0 时,发送信号是 0 的概率由贝叶斯公式得
P( A0 | B0 ) ? P( A0 ) P( B0 | A0 ) ? 0.875 P( B0 )

例 1.3

甲、 乙、 丙三人同时对飞机进行射击,三人击中的概率分别为 0.4,0.5,0.7,

飞机被一人击中而被击落的概率为 0.2,被两人击中而被击落的概率为 0.6,若三人都 击中,飞机必定被击落,求飞机被击落的概率. 解 由于飞机被击落,必然是飞机被一人、二人或三人击中,如令 C 表示事件飞机

被击落, Bi 表示事件飞机被 i 人击中( i = 0,1,2,3), A1 , A2 , A3 分别表示甲、乙、丙击 中了飞机.因 B0 , B1 , B2 , B3 两两互不相容,故 B0 , B1 , B2 , B3 构成一个完备事件组,又由 题设知 A1 , A2 , A3 相互独立,且
P( A1 ) =0.4, P( A2 ) =0.5, P( A3 ) =0.7,


P( B1 ) = P ( A1 A2 A3 ) + P ( A1 A2 A3 ) + P ( A1 A2 A3 )

= P( A1 ) P( A2 ) P( A3 ) + P ( A1 ) P( A2 ) P( A3 ) + P ( A1 ) P( A2 ) P( A3 ) =0.4 ? 0.5 ? 0.3+0.6 ? 0.5 ? 0.7+0.6 ? 0.5 ? 0.3=0.36. 同理可求
P( B2 ) = P ( A1 A2 A3 ) + P ( A1 A2 A3 ) + P ( A1 A2 A3 )

=0.4 ? 0.5 ? 0.3+0.4 ? 0.5 ? 0.7+0.6 ? 0.5 ? 0.7 = 0.41;
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P( B3 ) = P( A1 A2 A3 ) =0.4 ? 0.5 ? 0.7=0.14.

又 P( Bi ) >0( i =0,1,2,3),且由题设有
P(C | B0 ) =0, P(C | B1 ) =0.2, P(C | B2 ) =0.6, P(C | B3 ) =1.

于是由全概率公式即得
P(C ) ? ? P( Bi )P(C | Bi ) = 0.36 ? 0.2+0.41 ? 0.6+0.41=0.728
i ?1 3

例1.4

两台车床加工同样的零件,第一台出现不合格品的概率是 0.03,第二台出

现不合格品的概率是0.06, 加工出来的零件放在一起,并且已知第一台加工的零件比第 二台加工的零件多一倍. (1)求任取一个零件是合格品的概率; (2)如果取出的零件是不合格品,求它是由第二台车床加工的概率. 解 记事件 A1 为“取到第一台车床加工的零件”,则
P( A1 ) ? 2 1 , P( A1 ) ? 3 3

又记事件 B 为“取到合格品”.显然 A1 , A1 为一个完备事件组, 则知
2 1 P( B) ? P( A) P( B | A) ? P( A) P( B | A) = ? 0.97 ? ? 0.94 ? 0.96 . 3 3

且用贝叶斯公式可得到
1 ? 0.06 P( A) P( B | A) 3 P( A | B) ? ? ? 0.5 0.04 P( B)

例1.5

学生在做一道有4个选项的选择题时,如果他不知道问题的正确答案时,

就做随机猜测.现从卷面上看题是答对了,试在以下情况求学生确实知道正确答案的概 率. (1)学生知道正确答案和胡乱猜想的概率都是 (2)学生知道答案的概率是0.2. 解 记事件 A 为“题目答对了”,事件 B 为“知道正确答案”,则按题意有
5

1 ; 2

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P( A | B) =1, P( A | B) =0.25.

(1)此时有 P( B) = P ( B ) =0.5,所以由贝叶斯公式得
P( B | A) ? P( B) P( A | B) P( B) P( A | B) ? P( B) P( A | B)

=

0.5 ?1 =0.8 0.5 ?1 ? 0.5 ? 0.25

(2)此时有 P( B) =0.2, P( B) =0.8,所以由贝叶斯公式得
P( B | A) ? P( B) P( A | B) P( B) P( A | B) ? P( B) P( A | B)

= 例1.6

0.2 ?1 =0.5 0.2 ?1 ? 0.8 ? 0.25

有两箱零件,第一箱装50件,其中10件是一等品;第二箱装30件,其中18件

事一等品,现从两箱中任挑选出一箱,然后从该箱中先后任意取出两个零件试求: (1)第一次取出的是一等品的概率. (2)在第一次取出的是一等品的概率的情况下,第二次取出的仍是一等品的概率. 解 记事件 Ai 为“第 i 次取出的是一等品”, i =1,2.又记事件 Bi 为“取到第 i 箱的

零件”, i =1,2.则 A1 , A2 为一个完备事件组. (1)用全概率公式可得
1 10 1 18 P( A1 ) ? P( B1 ) P( A1 | B1 ) ? P( B2 ) P( A1 | B2 ) ? ? ? ? ? 0.4 2 50 2 30

(2)又因为
1 10 9 1 18 17 P( A1 A2 ) ? P( B1 ) P( A1 A2 | B1 ) ? P( B2 ) P( A1 A2 | B2 ) ? ? ? ? ? ? ? 0.19423 2 50 49 2 30 29

所以 例1.7 甲、 乙轮流掷一颗骰子,甲先掷.每当某人掷出1点时,则交给对方掷,否则

此人继续掷.试求第 n 次由甲掷的概率. 解 设 事 件 Ai 为 “ 第 i 次 由 甲 掷 骰 子 ” , 记 Pi ? P( Ai ) , i =1,2 ? . 则 有

5 1 P , P( Ai ?1 | Ai ) ? ,那么 A1 , A2 ,? An 为一个完备事件组. 1 ? 1 , P ( Ai ?1 | Ai ) ? 6 6
6

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所以由全概率公式可知道
P( An ) ? P( An ?1 ) P( An | An ?1 ) ? P( An ?1 ) P( An | An ?1 )

则可得
Pn ? 5 1 2 1 Pn?1 ? (1 ? Pn?1 ) ? Pn?1 ? , n ? 2 . 6 6 3 6

由此可得递推公式
Pn ? 1 2 1 ? ( Pn ?1 ? ) , n ? 2 . 2 3 2

所以得
Pn ? 1 2 1 ? ( )n?1 ( P 1? ), 2 3 2

则将 P 1 ? 1 ,代入上式可得
Pn ? 1 1 2 n?1 ? ( ) 2 2 3

由此得
Pn ? 1? 2 ? 1 ? ( ) n ?1 ? , n =2,3,? ? 2? 3 ?

例1.8

假设只考虑天气的两种情况:有雨和无雨.若已知今天的天气情况,明天

天气保持不变的概率为 P ,变的概率为 1 ? P .设第一天无雨,试求第 n 天也无雨的概率. 解 设事件 Ai 为“第 i 天无雨”,记 Pi ? P( Ai ) , i =1,2,?. 则有 P 1 ? 1 ,且
P( Ai ?1 | Ai ) ? P , P( Ai ?1 | Ai ) ? 1 ? P .

那么 A1 , A2 , A3 ?为一个完备事件组 所以又全概率公式可得
P ? PPn?1 ? (1 ? P)(1 ? Pn?1 ) ? (2 P ? 1) Pn ?1 ? 1 ? P , n ? 2 .

得递推公式
Pn ? 1 1 ? (2P ? 1)( Pn?1 ? ) , 2 2

所以可知

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Pn ?

1 1 ? (2 P ? 1)n ?1 ( P 1? ) , 2 2

则将 P 1 ? 1 ,代入上式可得
Pn ? 1 1 ? (2 P ? 1)n?1 ( ) 2 2

由此可得
Pn ? 1 ? 1 ? (2 P ? 1)n?1 ? ? ? , n =2,3,?. 2

2 全概率公式和贝叶斯公式的推广
设 S 为样本空间 , 设 A1 , A2 ,? An 为 S 的一个划分组,它满足 (1) Ai Aj =? , i , j =1,2,?, n , i ≠ j ;
· · · ∪An = S (2) A1∪A2∪

若 P( Ai ) >0 , i =1,2,?, n , 则对任一事件 B , 由全概率公式得:
P( B) ? ? P( B | Ai ) P( Ai )
i=1 n



现将①式推广为二重全概率公式. 对于上述的划分: ? Ai ? , i = 1,2,?, n ,如果对 ?Ai 都存在一个划分组 ?Cij ? , i =1,2,?

n , j =1,2,?, m j ,且 P(Cij ) >0,在 Ai 发生的条件下同样有:
P( B | Ai ) = ? P ( B|Cij )P (Cij )
j ?1 mj



利用①,②式,这样我们给出下列定理: 定理1 ?5? 设 ? Ai ? , i =1,2,?, n 为样本空间的一个划分,且 P( Ai ) >0, i =1,2,? n , 对每个 Ai 存在一个划分 ?Cij ? , j =1,2,?, m ,且 P(Cij ) ? 0,则对任意的事件 B ,有
P( B) = ? P ( Ai )? P ( B|Cij )P (Cij )
i ?1 j ?1 n mj



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称③式为二重全概率公式. 类似可以得到下列推广的贝叶斯公式. 定理2 ?5? 设, ? Ai ? i =1,2,?, n 为样本空间的一个划分 ,且 P( Ai ) >0, i =1,2,?, n , 对每个 Ai 存在一个划分 ?Cij ? , j =1,2,?, m j ,且 P(Cij ) >0,则有:
P ( Ai )? P ( B|Cij )P (Cij )
mj

(1)

P( Ai | B) =

? P( A )? P( B|C
i ?1 i j ?1

n

j ?1 mj


ij

)P (Cij )

(2)

P(Cij | B ) ?

P( B|Cij ) P(Cij | Ai ) P( Ai )

? P( A )? P( B|C
i ?1 i j ?1

n

mj



ij

)P(Cij )

例2.1

设有三个大盒子,每个大盒子中有三个小盒子,每个大盒子中的第一个小

盒子中分别装有1 个红球,3个白球;第二小盒中分别装有2个红球,2个白球;第三个小 盒中装有3个红球,1个白球.假设取第一个大盒子的概率为
1 ,取第二、 第三大盒子中的 2

1 1 概率都为 在取定某个大盒时,取其中第一小盒概率是 ,取第二、三小盒子概率均为 4 2 1 .今任取一个大盒,再从中任取一小盒,从此小盒中任取一球.问: 4

(1) 此球为红球的概率. (2) 若已知取的球为红球,问此球是第一个大盒的概率. (3) 若已知取的球为红球,问此球是第一个大盒中第二小盒的概率. 解 设 A1 , A2 , A3 分别表示从第一、二、三大盒中取球的事件, B 表示取红球的事

件, Cij 表示从第 i 个大盒中取第 j 个小盒, i =1,2,3, j = 1,2,3. 则由题意知
1 1 , P( A2 ) ? P( A3 ) ? 2 4 1 1 i ? 1, 2,3, P(Cij | Ai ) ? i ? 1, 2,3, P(Ci1 | Ai ) ? 2 4 P( A1 ) ?

j ? 2,3,



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1 1 3 P( B | Ci1 ) ? , P( B | Ci 2 ) ? , P( B | Ci 3 ) ? , i =1,2,3, 4 2 4

(1) 由③可知
P( B) = ? P ( Ai )? P ( B|Cij )P (Cij ) =
i ?1 j ?1 3 3

7 16

(2) 由④可知
P( Ai )? P( B|C1 j )P(C1 j )
j ?1 3

P ( A1 | B ) ?

P( B)

=

1 2

(3) 由⑤可知
P(C12 | B) ?

P( B|C12 ) P(C12 | A1 ) P( A1 ) 2 = P( B) 7

结 束 语 本文介绍了全概率公式和贝叶斯公式的概念和意义 ,使我可以在遇到很多概率问 题时熟练的应用和使用全概率公式和贝叶斯公式.并且本文还介绍了怎样寻找完备事 件组的两种方法方法,这样在寻找到完备事件组之后就能够个方便和快捷的使用全改 了公式和贝叶斯公式.然后在全概率公式和贝叶斯公式在使用基础上面对两公式进行 了推广.这体现了全概率公式和贝叶斯公式在应用和实践中的重要的作用,并且显示了 两个公式在生活中的重要作用.

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参 考 文 献 [1] 缪铨生.概率与数理统计[M].上海: 华东师范大学出版社,1997.58~61 [2] 章昕.概率统计辅导[M].北京:机械工业出版社,2002.17~18 [3] 宁荣建.概率论中有关计算公式的改进[J].大学数学,2004.20(5). [4] 复旦大学教研室.概率论(第一册概率论基础)[M].北京:高等教育出版 社,1979.17~20 [5] 许绍溥,姜东平,宋国柱,任福贤.数学分析教程(上册)[M].南京:南京大学出版 社,1990.22~26 [6] 盛 骤 , 谢式千 , 潘承毅 . 概率论与数理统计 ( 第二版 )[M]. 北京 : 高等教育出版 社,1989.12(3).50~66 [7] 茆诗松,程依明.概率论与数理统计教程[M].北京:高等教育出版社,2004.31~17

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致 谢 词 本文是在程值军老师的悉心指导下完成的.从毕业设计题目的选择、 到选到课题的 研究和论证,再到本毕业设计的编写、修改,每一步都有程老师的细心指导和认真的解 析.在程老师的指导下,我在各方面都有所提高,老师以严谨求实, 一丝不苟的治学态度 和勤勉的工作态度深深感染了我,给我巨大的启迪,鼓舞和鞭策,并成为我人生路上值 得学习的榜样.使我的知识层次又有所提高 .同时感谢所有教育过我的专业老师,你们 传授的专业知识是我不断成长的源泉也是完成本论文的基础.也感谢我同一组的组员 和班里的同学是你们在我遇到难题是帮我找到大量资料,解决难题.再次真诚感谢所有 帮助过我的老师同学.通过这次毕业设计不仅提高了我独立思考问题解决问题的能力 而且培养了认真严谨, 一丝不苟的学习态度.由于经验匮乏,能力有限,设计中难免有许 多考虑不周全的地方,希望各位老师多加指教. 最后,我要向百忙之中抽时间对本文进行审阅,评议和参与本人论文答辩的各位老 师表示感谢.

(全文共5765字)

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