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# 全概率公式和贝叶斯公式

I

The Full Probability Formula and Bayes Formula
Abstract：To the full probability formula and bayes formula for complete, discusses the two commonly used methods of events, and some practical applications. Full probability formula is one of the important full probability formula of calculation, it provides an effective complex events of the way the full probability of a complex events, full probability calculation problem change numerous will Jane. And the bayes formula is in full probability formula multiplication formula and the basis of a famous formula obtained. Key words：Full probability formula; Bayes formula; Complete event group;

II

III

1.全概率公式和贝叶斯公式

i , j =1,2,?, n , i ≠ j ;
· · · ∪An = S . (2) A1∪A2∪

P ( B ) ? ? P ( Ai ) P ( B | Ai ) .
i ?1 n [1]

? P( BAi ) ?? P( Ai ) P( B | Ai ) .
i ?1 i ?1

n

n

1

B 发生的可能性的乘积之和.
1.2 贝叶斯公式 贝叶斯公式是指若 A1 , A2 ,? An 为一完备事件组,且 P( Ai ) ＞0( i =1,2,?),则对任何 概率非零的事件 B ,有
P( Ai | B) ? P( Ai ) P( B | Ai ) ? P( B) P( Ai ) P( B | Ai )
n

? P( A ) P( B | A )
j ?1 j j

.

Ai 的条件概率 P( Ai | B) 的大小,可采用贝叶斯公式求之.显然如果把 Ai ( i = 1, 2 ?)看成

2

P( A1 ) ?
1 1 2 C32 3 C3 C2 3 C2 1 ? , P ( A ) ? ? , P ( A ) ? ? , 2 3 2 2 2 C5 10 C5 5 C5 10

2 C32 3 C2 1 P( B | A1 ) ? 2 ? , P( B | A2 ) ? 2 ? , P( B | A3 ) ? 0 . C5 10 C5 10

P( B) ? ? P( Ai ) P( B | Ai ) ? 0.15 .
i ?1 3

(2)本题是在 B 发生的条件下求导致这一试验结果发生的原因属于事件 A1 的概率 有多大,须用贝叶斯公式,
P( A1 | B) ? P( A1 ) P( B | A1 ) P( A ) P( B | A1 ) ? 3 1 ? 0.16 . P( A ) ? P( Ai ) P( B | Ai )
i ?1

3

P( A0 ) = P( A1 ) =

1 , P( B0 | A0 ) =0.7, P( B0 | A1 ) = 0.1, 2 1 1 ? 0.7+ ? 0.1=0.4. 2 2

P( B0 ) = P( A0 ) P( B0 | A0 ) + P( A1 ) P( B0 | A1 ) =

P( A0 | B0 ) ? P( A0 ) P( B0 | A0 ) ? 0.875 P( B0 )

P( A1 ) =0.4, P( A2 ) =0.5, P( A3 ) =0.7,

P( B1 ) = P ( A1 A2 A3 ) + P ( A1 A2 A3 ) + P ( A1 A2 A3 )

= P( A1 ) P( A2 ) P( A3 ) + P ( A1 ) P( A2 ) P( A3 ) + P ( A1 ) P( A2 ) P( A3 ) =0.4 ? 0.5 ? 0.3+0.6 ? 0.5 ? 0.7+0.6 ? 0.5 ? 0.3=0.36. 同理可求
P( B2 ) = P ( A1 A2 A3 ) + P ( A1 A2 A3 ) + P ( A1 A2 A3 )

=0.4 ? 0.5 ? 0.3+0.4 ? 0.5 ? 0.7+0.6 ? 0.5 ? 0.7 = 0.41;
4

P( B3 ) = P( A1 A2 A3 ) =0.4 ? 0.5 ? 0.7=0.14.

P(C | B0 ) =0, P(C | B1 ) =0.2, P(C | B2 ) =0.6, P(C | B3 ) =1.

P(C ) ? ? P( Bi )P(C | Bi ) = 0.36 ? 0.2+0.41 ? 0.6+0.41=0.728
i ?1 3

P( A1 ) ? 2 1 , P( A1 ) ? 3 3

2 1 P( B) ? P( A) P( B | A) ? P( A) P( B | A) = ? 0.97 ? ? 0.94 ? 0.96 . 3 3

1 ? 0.06 P( A) P( B | A) 3 P( A | B) ? ? ? 0.5 0.04 P( B)

5

1 ； 2

P( A | B) =1， P( A | B) =0.25.

(1)此时有 P( B) = P ( B ) =0.5,所以由贝叶斯公式得
P( B | A) ? P( B) P( A | B) P( B) P( A | B) ? P( B) P( A | B)

=

0.5 ?1 =0.8 0.5 ?1 ? 0.5 ? 0.25

(2)此时有 P( B) =0.2, P( B) =0.8,所以由贝叶斯公式得
P( B | A) ? P( B) P( A | B) P( B) P( A | B) ? P( B) P( A | B)

= 例1.6

0.2 ?1 =0.5 0.2 ?1 ? 0.8 ? 0.25

1 10 1 18 P( A1 ) ? P( B1 ) P( A1 | B1 ) ? P( B2 ) P( A1 | B2 ) ? ? ? ? ? 0.4 2 50 2 30

(2)又因为
1 10 9 1 18 17 P( A1 A2 ) ? P( B1 ) P( A1 A2 | B1 ) ? P( B2 ) P( A1 A2 | B2 ) ? ? ? ? ? ? ? 0.19423 2 50 49 2 30 29

5 1 P , P( Ai ?1 | Ai ) ? ,那么 A1 , A2 ,? An 为一个完备事件组. 1 ? 1 , P ( Ai ?1 | Ai ) ? 6 6
6

P( An ) ? P( An ?1 ) P( An | An ?1 ) ? P( An ?1 ) P( An | An ?1 )

Pn ? 5 1 2 1 Pn?1 ? (1 ? Pn?1 ) ? Pn?1 ? ， n ? 2 . 6 6 3 6

Pn ? 1 2 1 ? ( Pn ?1 ? ) ， n ? 2 . 2 3 2

Pn ? 1 2 1 ? ( )n?1 ( P 1? )， 2 3 2

Pn ? 1 1 2 n?1 ? ( ) 2 2 3

Pn ? 1? 2 ? 1 ? ( ) n ?1 ? ， n =2,3,? ? 2? 3 ?

P( Ai ?1 | Ai ) ? P , P( Ai ?1 | Ai ) ? 1 ? P .

P ? PPn?1 ? (1 ? P)(1 ? Pn?1 ) ? (2 P ? 1) Pn ?1 ? 1 ? P , n ? 2 .

Pn ? 1 1 ? (2P ? 1)( Pn?1 ? ) , 2 2

7

Pn ?

1 1 ? (2 P ? 1)n ?1 ( P 1? ) , 2 2

Pn ? 1 1 ? (2 P ? 1)n?1 ( ) 2 2

Pn ? 1 ? 1 ? (2 P ? 1)n?1 ? ? ? , n =2,3,?. 2

2 全概率公式和贝叶斯公式的推广

· · · ∪An = S (2) A1∪A2∪

P( B) ? ? P( B | Ai ) P( Ai )
i=1 n

n , j =1,2,?, m j ,且 P(Cij ) ＞0,在 Ai 发生的条件下同样有:
P( B | Ai ) = ? P ( B|Cij )P (Cij )
j ?1 mj

P( B) = ? P ( Ai )? P ( B|Cij )P (Cij )
i ?1 j ?1 n mj

8

P ( Ai )? P ( B|Cij )P (Cij )
mj

(1)

P( Ai | B) =

? P( A )? P( B|C
i ?1 i j ?1

n

j ?1 mj

ij

)P (Cij )

(2)

P(Cij | B ) ?

P( B|Cij ) P(Cij | Ai ) P( Ai )

? P( A )? P( B|C
i ?1 i j ?1

n

mj

ij

)P(Cij )

1 ,取第二、 第三大盒子中的 2

1 1 概率都为 在取定某个大盒时,取其中第一小盒概率是 ,取第二、三小盒子概率均为 4 2 1 .今任取一个大盒,再从中任取一小盒,从此小盒中任取一球.问: 4

(1) 此球为红球的概率. (2) 若已知取的球为红球,问此球是第一个大盒的概率. (3) 若已知取的球为红球,问此球是第一个大盒中第二小盒的概率. 解 设 A1 , A2 , A3 分别表示从第一、二、三大盒中取球的事件, B 表示取红球的事

1 1 , P( A2 ) ? P( A3 ) ? 2 4 1 1 i ? 1, 2,3, P(Cij | Ai ) ? i ? 1, 2,3, P(Ci1 | Ai ) ? 2 4 P( A1 ) ?

j ? 2,3,

9

1 1 3 P( B | Ci1 ) ? , P( B | Ci 2 ) ? , P( B | Ci 3 ) ? , i =1,2,3， 4 2 4

(1) 由③可知
P( B) = ? P ( Ai )? P ( B|Cij )P (Cij ) =
i ?1 j ?1 3 3

7 16

(2) 由④可知
P( Ai )? P( B|C1 j )P(C1 j )
j ?1 3

P ( A1 | B ) ?

P( B)

=

1 2

(3) 由⑤可知
P(C12 | B) ?

P( B|C12 ) P(C12 | A1 ) P( A1 ) 2 = P( B) 7

10

11

（全文共5765字）

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3.全概率公式和贝叶斯公式
3.全概率公式和贝叶斯公式【教学内容】 :高等教育出版社浙江大学盛骤,谢式千,潘承毅编的《概率论与数理统计》 第一章第§5 的条件概率中的全概率公式和贝叶斯公式...