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2015-2016学年高中数学 3.1.2空间向量的数乘运算练习 新人教A版选修2-1


3.1.2
基 础 梳 理 1.空间向量的数乘运算.

空间向量的数乘运算

(1)定义:实数 λ 与空间向量 a 的乘积 λ a 仍然是一个______,称为向量的数乘运算. (2)向量 a 与 λ a 的关系: λ 的范围 λ >0 λ =0 λ <0 (3)空间向量的数乘运算律. 设 λ ,μ 是实数,则有: ①分配律:λ (a+b)=λ a+λ b; ②结 合律:λ (μ a)=(λ μ )a. 2.共线向量与共面向量. 共线(平行)向量 表示空间向量的有向线段所在的直线 定义 ___________, 则这些向量叫做______ 或平行向量 充要 条件 对于空间任意两个向量 a,b(b≠0), 共面向量 平行于__________的向量叫做共面向 量 若两个向量 a,b 不共线,则向量 p 与 a, b 共面的充要条件是存在唯一的 有序实数对(x,y),使 p=xa+yb. 方向关系 方向______ λ a=0,其方向是任意的 方向______ 模的关系 λ a 的模是

a 的模的
_____

a∥b 的充要条件是存在实数 λ 使 a
=λ b. 如果 l 为经过点 A 平行于已知非零向 量 a 的直线, 那么对于空间任一点 O, 点 P 在直线 l 上的充要条件是存在实 → → 数 t,使OP=OA+ta,其中 a 叫做直 线 l 的________,如图所示.

推论 如图,空间一点 P 位于平面 MAB 内的 充要条件是存在有序实数对(x,y), → → → 使MP=xMA+yMB,或对空间任意一点

O 来说,有OP=
1



→ → 若在 l 上取AB=a,则OP= __________.

______________________.

想一想:1.当我们说 a,b 共线时,表示 a,b 的两条有向线段所在直线一定是同一条 直线吗?

→ → → → 2.已知空间任意一点 O 和不共线的三点 A,B,C,满足向量关系式OP=xOA+yOB+zOC (其中 x+y+z=1)的点 P 与点 A,B,C 是否共面? 基础梳理 1.(1)向量 (2)相同 相反 |λ |倍

→ → → → → 2. 互相平行或重合 共线向量 同一个平面 方向向量 OA+tAB OM+xMA+yMB 想一想:1.不一定,也可能是两条平行直线. 2.解 析:四点共面.∵x+y+z=1,∴x=1-y-z, → → → → 又∵OP=xOA+yOB+zOC, → → → → ∴OP=(1-y-z)OA+yOB+zOC, → → → → → → ∴OP-OA=y(OB-OA)+z(OC-OA), → → → ∴AP=yAB+zAC, ∴点 P 与点 A,B,C 共面.

自 测 自 评 → → → → 1.直三棱柱 ABCA1B1C1 中,若CA=a,CB=b,CC1=c,则A1B等于( A.a+b-c B.a-b+c )

C.-a+b+c D.-a+b-c → → → 2.已知 O、A 、B 是平面上的三个点,直线 AB 上有一点 C,满足 2AC+CB=0,则OC等 于( )

A.2OA-OB
2→ 3 1→ 3





B.-OA+2OB
1→ 2→ 3 3





C. OA- OB D.- OA- OB
→ → → → 3.在长方体 ABCDA1B1C1D1 中,若 E 为矩形 ABCD 对角线交点,则A1E=A1A+xA1B1+yA1D1中 的 x,y 值应为 x=________,y=________. 自测自评 1.D
2

→ → 2.解析:∵2AC+CB= 0, → → → → ∴2(OC-OA)+(OB-OC)=0, → → → ∴OC=2OA-OB. 答案:A 1 → → → → 1 → → → 1 → → 3.解析:A1E=A1A+AE=A1A+ (AB+AD)=A1A+ (A1D1+A1B1),∴x=y= . 2 2 2 1 1 答案: 2 2

基 础 巩 固 1.在下列命题中: ①若 a、b 共线,则 a、b 所在的直线平行; ②若 a、b 所在的直线是异面直线,则 a、b 一定不共面; ③若 a、b、c 三向量两两共面,则 a、b、c 三向量一定也共面; ④已知三向量 a、b、c,则空间任意一个向量 p 总可以唯一表示为 p=xa+yb+zc. 其中正确命题的个数为( A.0 个 B.1 个 C.2 个 ) D.3 个

1.解析:根据空间向量的基本概念知四个命题都不对. 答案:A → → 1→ 1→ 2.已知点 M 在平面 ABC 内,并且对空间任意一点 O,有OM=xOA+ OB+ OC,则 x 的值 3 3 为( ) 1 A.1 B.0 C.3 D. 3 1 1 1 → → 1→ 1→ 2.解析:∵OM=xOA+ OB+ OC,且 M,A,B,C 四点共面,∴x+ + =1,x= ,故 3 3 3 3 3 选 D. 答案:D 3.如图所示,已知 A,B,C 三点不共线,P 为平面 ABC 内一定点,O 为平面 ABC 外任一 → 点,则下列能表示向量OP的为( )

3

→ → → A.OA+2AB+2AC → → → C.OA+3AB-2AC

→ → → B.OA-3AB-2AC → → → D.OA+2AB-3AC

→ → → 3.解析:根据 A,B,C,P 四点共面的条件可知AP=xAB+yAC.由图知 x=3,y=-2, → → → → ∴OP=OA+3AB-2AC,故选 C. 答案:C → → → 4. 已知平行四边形 ABCD 的对角线交于点 O, 且OA=a, OB=b, 则BC=________________. → → → → → 4.解析:BC=BO+OC=BO-OA=-b-a. 答案:-b-a 能 力 提 升 5.当|a|=|b|≠0,且 a、b 不共线时,a+b 与 a-b 的关系是( A.共面 C.共线 B.不共面 D.无法确 定 )

5.解析:由加法法则知,a+b 与 a-b 可以是菱形的对角线. 答案:A 6.如图,空间四边形 OABC 中,M、N 分别是 OA、BC 的中点,点 G 在线段 MN 上,且 MG → → → → =2GN,则OG=xOA+yOB+zOC,则( )

4

1 1 1 A.x= ,y= ,z= 3 3 3 1 1 1 B.x= ,y= ,z= 3 3 6 1 1 1 C.x= ,y= ,z= 6 6 3 1 1 1 D.x= ,y= ,z= 6 3 3 → → → 1→ → 6.解析:∵OG=OM+MG= OA+MG,① 2 → →

OG=OC+CN+NG,② OG=OB+BN+NG,③
→ → → → 又BN=-CN,MG=-2NG, → 1→ → → ∴①+②+③,得 3OG= OA+OB+OC, 2 1 1 1 即 x= ,y= ,z= . 6 3 3 答案:D → 7.已知 O 是空间任一点,A、B、C、D 四点满足任三点均不共线,但四点共面,且OA= → → →

→ → →

→ → → 2xBO+3yCO+4zDO,则 2x+3y+4z=________. 7.解析:∵A、B、C、D 共面, → → → → ∴OA=OB+λ BC+μ BD → → → → → =OB+λ (OC-OB)+μ (OD-OB)
5

→ → → =(1-λ -μ )OB+λ OC+μ OD → → → =(λ +μ -1)BO-λ CO-μ DO → → → =2xBO+3yCO+4zDO. ∴2x+3y+4z=(λ +μ -1)+(-λ )+(-μ )=-1. 答案:-1 → 1→ 3→ → 8.在三棱锥 ABCD 中,若△BCD 是正三角形,E 为其中心,则AB+ BC- DE-AD化简的 2 2 结果为________.

→ 1→ → 3→ → → → → 8.解析:延长 DE 交边 BC 于 点 F,连接 AF,则有AB+ BC=AF, DE+AD= AD+DF=AF, 2 2 → 1→ 3→ → 故AB+ BC- DE-AD=0. 2 2 答案:0 9.已知 i、j、k 是不共面向量,a=i-2j+k,b=-i+3j+2k,c=-3i+7j,证明

a、b、c 三个向量共面.
9.证明:设 a=λ b+ μ c,则 i-2j+k=(-λ -3μ )i+(3λ +7μ )j+2λ k, -λ -3μ =1, ? ? ?λ =2, ? 因为 i,j,k 不共面,所以?3λ +7μ =-2 ,所以? 1 ? ?2λ =1, ? ?μ =-2. 1 1 1 故存在实数 λ = ,μ =- ,使 a=λ b+μ c, 2 2 故 a,b,c 共面.

10.如右图所示,E、F 分别为正方体 ABCDA1B1C1D1 的棱 B1C1 和 AD 的中点.求证: (1)四边形 D1EBF 为平行四边形;
6

(2)AB1∥平面 D1EBF.

→ → 10.分析:(1)要证明四边形 D1EBF 是平行四边形,只需证明D1E=FB即可; → → (2)证明 AB1∥平面 D1EBF,只要证明AB1∥FE即可. → → → → → → 证明:(1)D1E=D1C1+C1E=AB+FA=FB, ∴四边形 D1EBF 为平行四边形. → → → → → → → → → → → → → (2)AB1=AB+BB1=AF+FB+BE+EB1=AF+EB1+FB+BE=0+FE=FE . ∴AB1∥FE. 又∵AB1?平面 D1EBF,FE? 平面 D1EBF, ∴AB1∥平面 D1EBF.

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