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综合测试题二



综合测试题二
一、填空题 1.设 f ( x) ? x( x ? 1)(x ? 2) ?( x ? 100) ,则 f ?(0) ? _________ . 答案: 100! . 提示:用导数定义或求导法则. 2.设函数 y ? f (x) 在 (??, ??) 内一阶导数连续,且 f (0) ? 0 .对于函数

? f ( x) x, x ? 0

, ,若 g (x) 在 (??,??) 内连续,则 a ? ________. g ( x) ? ? ? a, x ? 0
答案: f ?(0) . 3.设 f ( x) ? ( x 2 ? a 2 )? ( x) ,其中函数 ? (x) 在点 x ? a 处连续,则 f ?(a) ? _____. 答案: 2a? (a) . 提示:由于仅知 ? (x) 在 x ? a 处连续,未必可导,所以不能用乘积的求导法则对

f ( x) ? ( x2 ? a2 )? ( x) 求导,而应当用导数定义. 4 . 设 函 数 f (x) 对 任 何 x, y , 恒 有 f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) , 且 f ?( 0 )? 2, 则 f ?( x) ? _______. 答案: 2 . ? x 2 , x ? 0, 5.设 f ( x) ? ? , ? ( x) ? x 2 ? 5x ,则 f [? ?(1)] ? _________. ?3x, x ? 0 答案: 9 .
6.设 xy ? e 答案:
x? y

,则 y? ? _______.

e x? y ? y . x ? e x? y tan x 7.设 y ? x ,则 dy ? ________. tan x tan x (sec 2 x ? ln x ? )dx . 答案: x x ? x ? t ln t ? 8.曲线 ? ln t 在 t ? 1 处的切线方程为__________,法线方程为______________. ?y ? t ?
答案: y ? x , y ? ? x .
2 9.若 f (x) 是可导函数,且 f ?( x) ? sin [sin( x ? 1)] , f (0) ? 4 ,则 f (x) 的反函数

x ? ? ( y ) 当自变量取 4 时的导数值为____________. 1 答案: . 2 sin (sin1) 1 ? a , x ? 1, ?( x ? 1) cos 10.设 f ( x) ? ? ,则当 a 的值为________时, f (x) 在 x ? 1 处 x ?1 ?0, x ?1 ? 连续,当 a 的值为________时, f (x) 在 x ? 1 处可导. 答案: a ? 0 , a ? 1 .

11.若函数 y ? f (x) 在点 x0 处与增量 ?x ? 0.2 对应的函数增量 ?y 的线性主部等于

0.8 ,则函数 y ? f (x) 在点 x0 处的导数为__________.
答案: 4 . 二、单项选择题 1.设 f ( x) ? etan x ,且 f ?( ) ? e ,则 k ? (
k

?

4



(A)1 答案:C.

(B) ?1

(C)

1 2


(D)2

2.设 f ( x) ? arctan x ,则 lim
x ?0

f ( x0 ? x) ? f ( x0 ) ?( x
(C)

(A)

1 1 ? x0

(B)

1 2 1 ? x0

2 x0 1 ? x0

(D)

1 2 x0 (1 ? x0 )

答案:D. 3.设 f ( x0 ) ? 2 ,则 lim
x ?0

x2 ?( f ( x0 ) ? f ( x0 ? x 2 )
(C)



(A)

1 2

(B) ?2

1 4

(D)4

答案:A. 4.设 f ( x) ? x ln 2 x 在点 x0 处可导,且 f ?( x0 ) ? 2 ,则 f ( x0 ) ? ( (A)1 答案:B. 5.已知 f (x) 为可导的偶函数,且 lim
x ?0



(B)

e 2

(C)

2 e

(D) e

f (1 ? x) ? f (1) ? ?2 ,则曲线 y ? f (x) 在点 2x

(?1, 2) 处的切线方程是(
(A) y ? 4 x ? 6 答案:A.

) (C) y ? x ? 3 (D) y ? ? x ? 1

(B) y ? ?4 x ? 2

6.设函数 f (x) 为可导的奇函数,且曲线 y ? f (x) 在点 ( x0 , f ( x0 )) 处的法线与直线

2 x ? 3 y ? 1 ? 0 平行,则 f ?(? x0 ) ? (
(A)

) (C) ?

3 2

(B)

2 3

3 2


(D) ?

2 3

答案:A. 7.设 f ?( x) ? 3 cos x ,则 (A) 3 ln(lncos x)

d f (ln cos x ) ? ( dx
(B)

1 tan x ? 3 cos(ln cos x) 3

(C) ? tan x ? 3 cos(lncos x) 答案:C. 8.设 y ? f ( x) , x ? e ,则
t

(D)

1 cos x

3

cos(lncos x)

d2y ?( dt 2

) (C) et f ??( x) (D) x2 f ??( x) ? xf ( x)

(A) e2t f ??(t ) 答案:B.

(B) x2 f ??( x) ? xf ?( x)

9.若 f ( x) ? sin(1 ? 2 x) ,则 f ( n) ( x) ? (

) (B) (?2) n sin(

n? ? 1 ? 2 x) 2 n? n ? 1 ? 2 x) (C) (?2) cos( 2
(A) (?2) n sin( 答案:A. 10.设 f ( x) ? e (A)
?1/ x

n? ? 1 ? 2 x) 2 n? n ? 1 ? 2 x) (D) (?2) cos( 2 f ?(2 ? ?x) ? f ?(2) ?( ?x
(C) ) (D) ?

,则 lim

?x ? 0

1 16 e

(B) ?

1 16 e

3 16 e

3 16 e

答案:C. 11.设 y ? f (x) 且 f ?( x ) ?
2

1 ,则 dy ? ( x2
(C) ln x dx
2

) (D)

(A)

2 dx x

(B) ?

1 dx x3

1 dx x

答案:D.

? 1 ? x ?1 , x ? 0, ? ? x 12.函数 f ( x) ? ? ,在 x ? 0 处( 1 ? , x?0 ?2 ?
(A)不连续 (C)连续且仅有一阶导数 答案:D.
3 2



(B)连续而不可导 (D)连续且有二阶导数

13.设 f ( x) ? 3x ? x x ,则使 f (A) 0 (B) 1 答案:C. 提示: f ( x) ? ? (C) 2

(n)

(0) 存在的最高阶数 n 为(
(D) 4



?2 x3 , x ? 0 ?6 x 2 , x ? 0 ?12 x, x ? 0 ? ? , f ?( x) ? ? , f ??( x) ? ? . 3 2 ?4 x , x ? 0 ?12 x , x ? 0 ?24 x, x ? 0 ? ?

三、解答题 1.求下列函数的导数:

a x x 1 ? sin x ; (2) y ? ln[ln 2 (ln3 x)] ; (3) y ? x x ? xa ? a x ; 1 ? sin x 2 1 ? ln x ). (4) y ? sin ( x

(1) y ? ln

答案: (1) ? sec x ; (2)
xa

6 ; x ln x ln(ln3 x)

x x 1 ? x a ?1 (1 ? a ln x) ? x a a x ( ? ln a ln x) ? a x x x ln a(1 ? ln x) ; x ln x ? 2 1 ? ln x sin 2( ). (4) x x2

(3) x

2.求函数的导数或微分: (1) y ? cos e
2 ?x

(2) y ? arctan e x ? ln ? ln ? ,求 dy ;

e2 x ,求 dy e2 x ? 1

x ?1



1 ? x2 (3) f ( x) ? arcsin ,求 f ?(1) ? f ?(?2) ; 1 ? x2
(4) f ( x) ? x 1 ? x 2 ? ln( x ? 1 ? x 2 ) ,求 f ??(1) ; (5) y ? xe x ? x 2007 ,求 y(2008) .

e ?1 3 dx ; (3) ? ; (4) 2 ; (5) ( x ? 2008)e x . 2 e ?1 5 x e ?1 2x 2x 提示: (2) 先化简后求 y? ? 2 x ; (3) f ?( x) ? ? ; (4) f ??( x) ? . 2 e ?1 x (1 ? x ) 1 ? x2
答案: (1) ?e sin 2e dx ; (2)
?x ?x

2 3.若 f ?( x) ? sin x , y ? f (

2x ?1 dy ) ,求 . x ?1 dx dy 2x ? 1 2 3 答案: . ? sin( ) ? dx x ?1 ( x ? 1) 2

? x ? 3t 2 ? 2t ? 3 dy d 2 y 4.设 y ? y (x) 是由参数方程 ? y 所确定的函数,求 , . dx dx 2 x ?0 ?e sin t ? y ? 1 ? 0 d2y e(2e ? 3) dy e y cost ? 答案: , . ? 2 t ?0 4 dx (6t ? 2)(2 ? y) dx 2 5.设曲线 y ? x ? 5x ? 4 , (1)求过点 (0, 4) 的切线; (2)确定 b ,使直线 y ? 3x ? b 为曲线的切线; (3)求过点 (0,3) 的切线. 答案: (1) y ? 5 x ? 4 ; (2) b ? 3 ; (3) y ? 3x ? 3 , y ? 7 x ? 3 .
?x ? t2 ? t ? 6.求由参数方程 ? y 确定的曲线 y ? y (x) 上对应于 t ? 0 处的切线方程和 y ?te ? e ? 1 ? 0 ?
法线方程. 答案: y ? x , y ? ? x .

?1 ? 1 ? x , x ? 0, ? 7.确定常数 a, b ,使 f ( x) ? ? 在 x ? 0 处可导. x ?ax ? b, x?0 ?
答案: a ? 1/ 8 , b ? 1/ 2 .

1 ? ? g ( x)sin , x ? 0, 8.设 g (0) ? g ?(0) ? 0 ,且函数 f ( x) ? ? 在点 x ? 0 处连续,试判断 x ? a, x?0 ? f ( x) 在点 x ? 0 处是否可导. 答案:可导, f ?(0) ? 0 .
?a ? x 2 , x ? 0, ? 9. 设函数 f ( x) ? ?1, 试确定 a ,b 的值; 并求 f ?( x ) . x ? 0, 在点 x ? 0 处连续, ?ln(b ? x), x ? 0 ? 答案: a ? 1 , b ? e . 2/ 3 2/ 3 2/ 3 10.试证星形线 x ? y ? a 上任一点的切线介于两坐标轴之间的一段长度等于常
数. 11.设函数 f ( x) ? 1 ? xg( x) ,其中 lim g ( x ) ? 1 ,又对任意的 x1 , x2 均有
x ?0

试证: f ?( x) ? f ( x) . 提示: f ?( x) ? lim

f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) f ( x2 ) ,

f ( x ? ?x) ? f ( x) f ( x) f ( ?x) ? f ( x) ? lim ?x ?0 ?x ?0 ?x ?x f (?x) ? 1 ? f ( x) lim ? f ( x) lim g (?x) ? f ( x) . ?x ?0 ?x ? 0 ?x



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