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高中数学公式总结



高中数学公式总结
一、 函数
1、 若集合 A 中有 n (n ? N ) 个元素,则集合 A 的所有不同的子集个数为 2 ,所有非空真子集的个数是 2 ? 2 。
n
n

二次函数 y ? ax2 ? bx ? c 的图象的对称轴方程是 x ? ?

? b 4ac ? b 2 b ,顶点坐标是

? ? ? 2a , 4a 2a ?

? ? 。用待定系数法 ? ?

求 二 次 函 数 的 解 析 式 时 , 解 析 式 的 设 法 有 三 种 形 式 , 即 f ( x) ? ax2 ? bx ? c(一般式) , 和 。 f ( x) ? a( x ? x1 ) ? ( x ? x2(零点式) f ( x) ? a( x ? m) 2 ? n (顶点式) )

二、 三角函数
1、 以角 ? 的顶点为坐标原点,始边为 x 轴正半轴建立直角坐标系,在角 ? 的终边上任取一个异于原点的点

P( x, y) ,点 P 到原点的距离记为 r ,则 sin ? =
2、 同角三角函数的关系中,

y x y r x r ,cos ? = ,tg ? = ,ctg ? = ,sec ? = ,csc ? = 。 r x r x y y

平方关系是: sin ? ? cos ? ? 1 , 1 ? tg 2? ? sec 2 ? , 1 ? ctg 2? ? csc2 ? ;
2 2

倒数关系是: tg? ? ctg? ? 1 , sin ? ? csc ? ? 1 , cos ? ? sec ? ? 1 ; 相除关系是: tg? ?

sin ? cos ? , ctg ? ? 。 cos ? sin ?

3、诱导公式可用十个字概括为:奇变偶不变,符号看象限。

(其中A ? 0,? ? 0) 4、 函数 y ? A sin(?x ? ? ) ? B 的最大值是 A ? B ,最小值是 B ? A ,周期是 T ?

2?

?

,频

率是 f ?

? ? ,相位是 ?x ? ? ,初相是 ? ;其图象的对称轴是直线 ?x ? ? ? k? ? ( k ? Z ) ,凡是该图象与 2? 2

直线 y ? B 的交点都是该图象的对称中心。 5、 三角函数的单调区间:

? 3? ? ? ?? ? ? y ? s i nx 的递增区间是 ?2k? ? ,k? ? ? (k ? Z ) , (k ? Z ) ;y ? cos x 递减区间是 ?2k? ? ,k? ? 2 2 2 2? 2 2? ? ? ?
2k 2k 的 递 增 区 间 是 ?2k? ? ?, ? ? (k ? Z ) , 递 减 区 间 是 ?2k?, ? ? ? ? (k ? Z ) , y ? tgx 的 递 增 区 间 是

? ?? ? ? k? ? ,k? ? ? (k ? Z ) 2 2? ?
6、和角、差角公式: sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos? sin ?

cos(? ? ? ) ? cos? cos ? ? sin ? sin ?

tg (? ? ? ) ?

tg? ? tg? 1 ? tg? ? tg?

7、二倍角公式是:sin2 ? = 2 sin ? ? cos ? cos2 ? = cos ? ? sin ? = 2 cos ? ? 1 = 1? 2 sin ?
2 2 2 2

tg2 ? =

2tg? 。 1 ? tg 2?
cos

8、半角公式是:sin

? 1 ? cos? =? 2 2

? 1 ? cos? =? 2 2

tg

? sin ? 1 ? cos? 1 ? cos ? =? = = 。 sin ? 1 ? cos ? 2 1 ? cos?
2

9、升幂公式是: 1 ? cos ? ? 2 cos

?

2 1 ? cos 2? 2 10、降幂公式是: sin ? ? 2
11.特殊角的三角函数值:

2 1? c o s ? 2s i n ? 2 cos ? ?

?
2



1? c o s ? 2 。 2

?
sin ?

0

? 6
1 2

? 4
2 2 2 2
1

? 3
3 2
1 2

? 2
1

?
0

3? 2
?1

0

cos ?

1

3 2 3 3

0

?1

0

tg ?

0

3
3 3

不存在

0

不存在

ctg ?

不存在

3

1

0

不存在

0

13、正弦定理(其中 R 为三角形的外接圆半径) :
2 2 2

a b c ? ? ? 2R sin A sin B sin C

14、余弦定理:第一形式, b = a ? c ? 2ac cos B

第二形式,cosB=

a2 ? c2 ? b2 2ac

15、△ABC 的面积用 S 表示,外接圆半径用 R 表示,内切圆半径用 r 表示,半周长用 p 表示则:

1 1 a ? ha ? ? ;② S ? bc sin A ? ? ; 2 2 abc 2 ③ S ? 2R sin A sin B sin C ;④ S ? ; 4R
①S ?

⑤S ?

p( p ? a)( p ? b)( p ? c) ;⑥ S ? pr

16、△ABC 中: sin(A + B) = sinC , cos(A + B) ? -cosC , tg(A + B) ? -tgC

A? B C sin ? cos , 2 2

A? B C cos ?sin , 2 2

tg

A? B C ? ct g 2 2

t g A t g B t g C t g At g Bt g C ? ? ? ? ?

三、 不等式
1、两个正数的均值不等式是:

a?b ? ab 2

2、两个正数 a、 b 的调和平均数、几何平均数、算术平均数、均方根之间的关系是

2 1 1 ? a b

? ab ?

a?b ? 2

a2 ? b2 2

3. 双向绝对值不等式: a ? b ? a ? b ? a ? b 左边: ab ? 0(? 0) 时取得等号。右边: ab ? 0(? 0) 时取得等号。

四、 数列
1、等差数列的通项公式是 an ? a1 ? (n ? 1)d ,前 n 项和公式是: S n ?

n(a1 ? a n ) 2

= na1 ?

1 n(n ? 1)d 。 2

2、等比数列的通项公式是 an ? a1q

n?1

? na1 (q ? 1) ? n ,前 n 项和公式是: S n ? ? a1 (1 ? q ) (q ? 1) ? 1? q ?
a1 。 一般地, 如果无穷数列 ?an ? 的前 n 项和的极限 lim S n n?? 1? q
n??

lim 3、 当等比数列 ?an ? 的公比 q 满足 q <1 时, S n =S=
n??

存在,就把这个极限称为这个数列的各项和(或所有项的和) ,用 S 表示,即 S= lim S n 。 4、若 m、n、p、q∈N,且 m ? n ? p ? q ,那么:当数列 ?an ? 是等差数列时,有 am ? an ? a p ? aq ;当数列 ?an ? 是等比数列时,有 am ? an ? a p ? aq 。

五、 排列组合、二项式定理
1、 加法原理、乘法原理:加法分类,类类独立;乘法分步,步步相关。 2、排列数公式: Pnm = n(n ? 1)?(n ? m ? 1) = 排列数与组合数的关系: Pnm ? m!Cn ? m
m 组合数公式: C n =

n! ; (n ? m)!

n(n ? 1) ? (n ? m ? 1) n! = ; 1? 2 ? ? ? m m!(n ? m)! ?

m n 组合数性质: C n = C n ?m ,
n

m m m C n + Cn ?1 = Cn?1 ,

?C
r ?0

r n

=2

n

r r ?1 , Crr ? Crr?1 ? Crr?2 ? ? ? Cn ? Cn?1 。

0 1 2 r n 3.二项式定理: (a ? b) n ? Cn a n ? Cn a n?1b ? Cn a n?2b 2 ? ? ? Cn a n?r b r ? ? ? Cn b n 二项展开式的通项公式: r 1, Tr ?1 ? Cn a n?r b r (r ? 0,2?,n)

六、 解析几何
1、 同一坐标轴上两点距离公式: AB ? xB ? x A 2、 数轴上两点间距离公式: AB ? xB ? x A 3、 直角坐标平面内的两点间距离公式: P P2 ? 1 4、 若点 P 分有向线段 P P2 成定比λ ,则λ = 1

( x1 ? x2 ) 2 ? ( y1 ? y 2 ) 2

P1 P PP2

5、 若点 P ( x1 , y1 ),P2 ( x2 , y2 ),P( x, y) ,点 P 分有向线段 P P2 成定比λ ,则: 1 1 λ =

x ? ?x 2 y ? ?y 2 x ? x1 y ? y1 = ; x= 1 , y= 1 1? ? 1? ? x2 ? x y 2 ? y

若 A( x1 , y1 ),B( x2 , y2 ),C( x3 , y3 ) ,则△ABC 的重心 G 的坐标是 ?

? x1 ? x2 ? x3 y1 ? y 2 ? y3 ? , ?。 3 3 ? ?

6、求直线斜率的定义式为 k= tg? ,两点式为 k=

y 2 ? y1 。 x2 ? x1

7、直线方程的几种形式:点斜式: y ? y0 ? k ( x ? x0 ) , 斜截式: y ? kx ? b 两点式:

y ? y1 x ? x1 x y , 截距式: ? ? 1 ,一般式: Ax ? By ? C ? 0 ? a b y 2 ? y1 x2 ? x1

经 过 两 条 直 线 l1:A1 x ? B1 y ? C1 ? 0和l 2:A2 x ? B2 y ? C2 ? 0 的 交 点 的 直 线 系 方 程 是 :

A1 x ? B1 y ? C1 ? ? ( A2 x ? B2 y ? C2 ) ? 0
8、 直线 l1:y ? k1 x ? b1,l 2:y ? k 2 x ? b2 ,则从直线 l1 到直线 l 2 的角θ 满足:tg? ?

k 2 ? k1 ;直线 l1 与 l 2 的夹 1 ? k1 k 2

角θ 满足: tg? ?

k 2 ? k1 。 1 ? k1 k 2

9、 点 P( x0 , y0 ) 到直线 l:Ax ? By ? C ? 0 的距离: d ?

Ax0 ? By0 ? C A2 ? B 2

10、两平行直线 l1:Ax ? By ? C1 ? 0,l 2:Ax ? By ? C2 ? 0 距离 d ? 11、圆的标准方程: ( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2 圆的一般方程: x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0( D 2 ? E 2 ? 4F ? 0) 其中,半径是 r ?

C1 ? C 2 A2 ? B 2

D 2 ? E 2 ? 4F E? ? D ,圆心坐标是 ? ? , ? ? 2? 2 ? 2

圆心在点 C (a,b) ,半径为 r 的圆的参数方程是: ?

?x ? a ? r cos? (?是参数) 。 ? y ? b ? r sin ?

12、若 A( x1 , y1 ),B( x2 , y 2 ) ,则以线段 AB 为直径的圆的方程是

( x ? x1 )(x ? x2 ) ? ( y ? y1 )( y ? y2 ) ? 0
经过两个圆: x 2 ? y 2 ? D1 x ? E1 y ? F1 ? 0 , x 2 ? y 2 ? D2 x ? E2 y ? F2 ? 0 的交点的圆系方程是 x 2 ? y 2 ? D1 x ? E1 y ? F1 ? ? ( x 2 ? y 2 ? D2 x ? E2 y ? F2 ) ? 0 经 过 直 线 l:Ax ? By ? C ? 0 与 圆 x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 的 交 点 的 圆 系 方 程 是 :

x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? ? ( Ax ? By ? C) ? 0
13、圆 x 2 ? y 2 ? r 2的以P( x0 , y0 ) 为切点的切线方程是: x0 x ? y0 y ? r 2 一 般 地 , 曲 线 Ax2 ? Cy 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 的以点P( x0,y0 ) 为 切 点 的 切 线 方 程 是 :

Ax0 x ? Cy 0 y ? D ?

x ? x0 y ? y0 ?E? ? F ? 0。 2 2

14、研究圆与直线的位置关系最常用的方法有两种: ①代数法(判别式法) >0,=0,<0,等价于直线与圆相交、相切、相离; :Δ ②几何法(圆心到直线的距离与半径的大小关系) :距离大于半径、等于半径、小于半径,等价于直线与圆相 离、相切、相交。 15、抛物线标准方程的四种形式是: y ? 2 px,y ? ?2 px, ? 2 py,x ? ?2 py。 x
2 2 2 2

16、抛物线 y ? 2 px 的焦点坐标是: ?
2

p ?p ? ,? ,准线方程是: x ? ? 。 0 2 ?2 ?
p ,过该抛物 2

2 点 P( x0 , y0 ) 是抛物线 y ? 2 px 上一点,则点 P 到抛物线的焦点的距离(称为焦半径) x 0 ? :

线的焦点且垂直于抛物线对称轴的弦(通径)的长: 2 p 。

17、椭圆标准方程的两种形式是:

x2 y2 y2 x2 ? 2 ? 1 和 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 。 a2 b a b

18、 椭圆

c x2 y2 a2 2b 2 , 离心率是 e ? , 通径的长是 。 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的焦点坐标是 (?c,) , 0 准线方程是 x ? ? a c a a2 b
2

其中 c ? a ? b 。
2 2

19、若点 P( x0 , y0 ) 是椭圆

x2 y2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 上一点, F1、F2 是其左、右焦点,则点 P 的焦半径的长是 a2 b2

PF1 ? a ? ex0 和 PF2 ? a ? ex0 。
20、双曲线标准方程的两种形式是:

x2 y2 y2 x2 ? 2 ? 1 和 2 ? 2 ? 1 (a ? 0,b ? 0) 。 a2 b a b

21、双曲线

c x2 y2 a2 2b 2 ? 2 ? 1 的焦点坐标是 (?c,) ,准线方程是 x ? ? ,离心率是 e ? ,通径的长是 ,渐近 0 a c a a2 b

线方程是

x2 y2 ? 2 ? 0 。其中 c 2 ? a 2 ? b 2 。 2 a b

22、与双曲线

x2 y2 x2 y2 x2 y2 ? 2 ? 1 共渐近线的双曲线系方程是 2 ? 2 ? ? (? ? 0) 。与双曲线 2 ? 2 ? 1 共焦点的双 a2 b a b a b
x2 y2 ? 2 ? 1。 a2 ? k b ? k
AB ? (1 ? k 2 )( x1 ? x 2 ) 2 ; AB ? (1 ? m 2 )( y1 ? y 2 ) 2 。

曲线系方程是

23、若直线 y ? kx ? b 与圆锥曲线交于两点 A(x1,y1),B(x2,y2),则弦长为 若直线 x ? my ? t 与圆锥曲线交于两点 A(x1,y1),B(x2,y2),则弦长为

24、圆锥曲线的焦参数 p 的几何意义是焦点到准线的距离,对于椭圆和双曲线都有: p ?

b2 。 c

25、平移坐标轴,使新坐标系的原点 O ? 在原坐标系下的坐标是(h,k) ,若点 P 在原坐标系下的坐标是 ( x, y), 在 新坐标系下的坐标是 ( x ?, y ?) ,则 x ? = x ? h , y ? = y ? k 。

七、 立体几何
一、有关平行的证明
⑴公理 4 l1∥l2 1、 线∥线 l2∥l3
线∥线 ? 线∥线

⑵ l1∥α

⑶ α ∥β



l1 ??

? l1∥l3

l1 ? ?
α ∩β =l2

? l1∥l2 ? ? ? ? l1 ? l1∥l2

? l1∥l2
l 2 ??

? ? ? ? l2
面∥面 ? 线∥线

线∥面 ? 线∥线

同垂直于一个平面 ? 线∥线

2、 线∥面





a ?? b ??

α ∥β

?a∥α

? a∥β

a∥b 线∥线 ? 线∥面 ⑴

a ??
面∥面 ? 线∥面 ⑵

a ?? b ??
a?b ? A
a∥α b∥β 线∥面 ? 面∥面

a??

3、 面∥面

?α ∥β
a??

? α ∥β

同垂直于一直线 ? 面∥面

二、有关垂直的证明
⑴ 1、 线⊥线

a?? b ??


⑵ 三垂线定理

⊥射影 ? ⊥斜线 平面内直线

? a?b

(线⊥面 ? 线⊥线) ⑵

逆定理 ⊥斜线 ? ⊥射影 (线⊥线 ? 线⊥线) ⑶ ⑷

a ??
b ??
2、 线⊥面 a∥b α ∥β

???
a ??

a ? b ? A ? l??
l?a
l?b
(线⊥线 ? 线⊥面)

? b??
a?? l??

? l??

? a??

??? ?l
a?l

a??
3、 面⊥面

? ???
a??
(线⊥面 ? 面⊥面)

1、求二面角的射影公式是 cos ? ?

S? ,其中各个符号的含义是: S 是二面角的一个面内图形 F 的面积, S ? 是图 S

形 F 在二面角的另一个面内的射影, ? 是二面角的大小。 2、若直线 l 在平面 ? 内的射影是直线 l ? ,直线 m 是平面 ? 内经过 l 的斜足的一条直线,l 与 l ? 所成的角为 ? 1 ,l ? 与 m 所成的角为 ? 2 , l 与 m 所成的角为θ ,则这三个角之间的关系是 cos? ? cos?1 ? cos? 2 。 3、体积公式: 直棱柱: V ? S ? h , 锥体: V ?

1 4 S ? h , 球体: V ? ? r 3 。 3 3 1 c ? h? , , 2

3、 侧面积:直棱柱侧面积: S ? c ? h , ;正棱锥侧面积: S ?

球的表面积: S ? 4? r 2 。 5、几个基本公式: 弧长公式: l ? ? ? r ( ? 是圆心角的弧度数, ? >0) ;扇形面积公式:

S?

1 l ?r ; 2

十一、比例的几个性质
1、比例基本性质:

a b a c 更比定理: ? b d a c 分比定理: ? b d a c 合比定理: ? b d
等比定理:若

?

c a c b d ? ad ? bc ;反比定理: ? ? ? d b d a c a b a c a?b c?d ? ? ? ;合比定理; ? ? c d b d b d a ?b c?d a c a?b c?d ? ? ? ;合分比定理: ? ? b d b d a ?b c?d a ?b c?d ? ? a?b c?d

a a ? a2 ? a3 ? ? ? an a1 a1 a2 a3 ? ? ? ? ? n , b1 ? b2 ? b3 ? ? ? bn ? 0 ,则 1 ? 。 b1 b2 b3 bn b1 ? b2 ? b3 ? ? ? bn b1

2004 年新高考新增内容数学概念总结
一、 简易逻辑
1. 可以判断真假的语句叫做命题. 2. 逻辑连接词有“或”“且”和“非”. 、 3. p、q 形式的复合命题的真值表: p 真 真 假 假 q 真 假 真 假 P且q 真 假 假 假 P或q 真 真 真 假

4. 命题的四种形式及其相互关系 原命题 若p则q 互 互 否 逆 互 互 为 逆 逆 逆命题 若q则p 互 否

否 否 否命题 逆否命题 否 否 若﹃p则﹃q 若﹃q则﹃p 否 互 逆 原命题与逆否命题同真同假;逆命题与否命题同真同假.

二、 平面向量

1.运算性质: a ? b ? b ? a, a ? b ? c ? a ? b ? c , a ? 0 ? 0 ? a ? a 2.坐标运算:设 a ? ?x1 , y1 ?, b ? ?x2 , y 2 ? ,则 a ? b ? ?x1 ? x 2 , y1 ? y 2 ? 设 A、B 两点的坐标分别为(x1,y1)(x2,y2) , ,则 AB ? ?x 2 ? x1 , y 2 ? y1 ? . 3.实数与向量的积的运算律:
? ? ? ? ?

? ?

? ?

? ? ? a ? ? ??? ? a, ?? ? ? ? a ? ? a ? ? a, ? ? a ? b ? ? ? a ? ? b ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ?

?

?

?

?

?

设 a ? ?x, y ? ,则λ a ? ? ? x, y ? ? ??x, ?y ? , 4.平面向量的数量积: 定义: a? b ? a ? b cos? ? a ? 0, b ? 0,0 0 ? ? ? 1800 ? ,
? ? ? ? ? ? ? ?

?

?

?? ?

? ?

?

? ?

? ?

0? a ? 0 .

运算律: a? b ? b? a , ? ? a ? ? b ? a? ? ? b ? ? ? ? a? b ? ,

? ?

?

? ?

?

?

? ?

?

? ?

?? ?

?

? ?

?? ?? ? ? ? ? ? ? a ? b ? ? c ? a? c ? b ? c ? ?
坐标运算:设 a ? ?x1 , y1 ?, b ? ?x2 , y 2 ?
? ? ? ?

,则

a? b ? x1 x2 ? y1 y 2

5.重要定理、公式: (1) 平面向量的基本定理
? ?
?

如果 e1
? ?

和 e2
?

是同一平面内的两个不共线向量 ,那么对该平面内的任一向量 a ,有且只有一对实数

?1 , ? 2 ,

使 a ? ?1 e1 ? ? 2 e2
?

(2) 两个向量平行的充要条件
? ?

a// b ? a ? ? b (? ? R)
? ?

?

?

?



a ? ?x1 , y1 ?, b ? ?x2 , y 2 ? ,则 a// b ? x1 y 2 ? x2 y1 ? 0
? ? ? ?

(3) 两个非零向量垂直的充要条件 a ? b ? a ? b ? 0
?



a ? ?x1 , y1 ?, b ? ?x2 , y 2 ? ,则 a ? b ? x1 x2 ? y1 y 2 ? 0
? ?

?

?

?

? ?x ? ? (4) 线段的定比分点坐标公式: P 设 (x, , 1 1, 1) , 2 2, 2) , P1 P ? ? PP2 , ? y) P (x y P (x y 且 则 ?y ? ? ? x1 ? x 2 ? ?x ? 2 ? 中点坐标公式 ? ? y ? y1 ? y 2 ? 2 ?
(5) 平移公式:如果点 P(x,y)按向量 a ? ?h, k ?
?

x1 ? ?x 2 1? ? y1 ? ?y 2 1? ?



平移至 P′(x′,y′) ,则

? x ' ? x ? h, ? ? ' ? y ? y ? k. ?

三、 空间向量
(1)向量加法与数乘向量的基本性质.

?

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?? a ? b ? b ? a, ? a ? b ? ? c ? a ? (b ? c ) , k ? a ? b ? ? k a ? k b ? ? ? ?

(2)向量数量积的性质.
? ?

?? ? ? ? ? ?? ? a? b ? a ? b cos? ? a ? 0, b ? 0,0 0 ? ? ? 1800 ? , a? a ? a , ? ?
? ?
?

2

a ? b ? a? b ? 0

?

? ?

(3)空间向量基本定理.给定空间一个基底 ? a , b , c ? ,且对空间任一向量 p ,存在唯一的有序实数组(x,y,z)使
? ? ? ? ? ?? ? ? ? p ? x a? y b? z c , (x,y,z)叫做向量 p 在基底 ? a , b , c ? 上的坐标. ? ?

?? ?

? ?

? ?

?

设 O、A、B、C 是不共面的四点,则对空间任一点 P,都存在唯一的有序实数组 x,y,z 使

OP ? x OA? y OB? z OC
(4)向量的直角坐标运算 设 a ? ?a1 , a 2 , a3 ?, b ? ?b1 , b2 , b3 ? ,则 a ? b ? ?a1 ? b1 , a 2 ? b2 , a3 ? b3 ? ,
? ? ? ? ?

?

?

?

?

a ? b ? ?a1 ? b1 , a2 ? b2 , a3 ? b3 ? , ? a ? ?a1 , ?a2 , ?a3 ?? ? R ?
? ? ?

?

?

?

?

? ?

2 2 a? b ? a1b1 ? a2 b2 ?a 3 b3 , a ? a? a ? a12 ? a2 ? a3

cos ? a, b ??
? ?

? ?

a1 b1 ? a2 b2 ? a3b3
2 2 2 a ? a2 ? a3 b12 ? b2 ? b32 2 1
? ?

a// b ? a1 ? ?b1 ,a 2 ? ?b2 , a3 ? ?b3 , ?? ? R ? , a ? b ? a1b1 ? a2 b2 ? a3b 3 ? 0
? ? ?

设 A= ?x1 , y1 , z1 ? , B= ?x2 , y 2 , z 2 ?,则 AB ? OB ? OA ? ?x2 , y 2 , z 2 ?-

?x1 , y1 , z1 ? = ?x2 ? x1 , y2 ? y1 , z 2 ? z1 ?

AB ? AB? AB ?
四、 概率

?

?

?

?x2 ? x1 ?2 ? ? y2 ? y1 ?2 ? ?z 2 ? z1 ?2

(1)若事件 A、B 为互斥事件,则 P(A+B)=P(A)+P(B) (2)若事件 A、B 为相互独立事件,则 P(A·B)=P(A) ·P(B) (3)若事件 A、B 为对立事件,则 P(A)+P(B)=1。一般地, p A ? 1 ? P? A? ( 4 ) 如 果 在 一 次 试 验 中 某 事 件 发 生 的 概 率 是 p, 那 么 在 n 次 独 立 重 复 试 验 中 这 个 事 恰 好 发 生 K 次 的 概 率
k Pn ?K ? ? Cn p k ?1 ? p? n ?k

??

五、 概率与统计
(1)离散型隋机变量的分布列的性质:① pi ? 0, i ? 1,2,?; ② p1 ? p2 ? ? ? 1. (2)若离散型惰机变量ξ 的分布列为 ξ X1 X2 ? xn ?

p

P1

P2

?

pn

?

则ξ 的数学期望 Eξ = x1 p1 ? x2 p2 ? ? ? xn pn ? ? 期望的性质: 设 a、b 为常数,则 E(aξ +b)=a Eξ +b 若ξ ~B(n,p) ,则 Eξ =np ξ 的方差为 Dξ =(x1- Eξ )2·p1+(x2 - Eξ )2·p2+?+(xn- Eξ )2·pn+? 方差的性质: 设 a、b 为常数,则 D(aξ +b)=a2Dξ 若ξ ~B(n,p) ,则 Dξ =np(1-p) (3)正态分布: ①正态总体函数 f ? x ? ?

1 2? ?

?

?x ? ? ?
2

e

2?

2

, x ? ?? ?, ?? ,其中 ? 表示总体平均值, ? 表示标准差,其分布叫做正

态分布,记作 N( ? , ? 2) ,函数的图象叫正态曲线. ②在正态分布中,当 ? ,=0, ? =1 时,叫做标准正态分布,记作 N(0,1). ③标准正态分布表中,相应于 x0 的值 ? ? x0 ? =P ?x ? x0 ? . ④正态总体 N( ? , ? 2)取值小于 x 的概率 F(x)= ? ?

?x??? ?. ? ? ?

⑤若 x0 <0,则 ? ? x0 ? =1- ? ?? x0 ? ,从而可利用标准正态分布表. ⑥正态分布 N( ? , ? 2), P?x1 ? x0 ? x2 ? ? P?x ? x2 ? ? P?x ? x1 ? = F ?x2 ? ? F ?x1 ? ? ? ?

? x2 ? ? ? ? x1 ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?
?y 的极限,,即 ?x

六、 导数
(1)定义:当△x→0 时,函数的增量△y 与自变量的增量△x 的比

f ' ?x ? ? Lim

?y f ?x ? ?x ? ? f ?x ? ? Lim ?x ?0 ?x ?x ?0 ?x

(2)函数 y ? f ?x ?在点 x0 处的导数的几何意义,就是曲线 y ? f ?x ? 在点 P( x0 ,f( x0 ) )处的切线的斜率. (3)质点作直线运动的位移 S 是时间 t 的函数,则 S ' ?t 0 ? 即为质点在 t=t0 的瞬时速度. (4)几个重要函数的导数: ① C ? 0 ,(C 为常数) ;② x n
'

⑤ ?Inx ? ?
'

1 ;⑥ ?Iog a x

? ? ? nx ?n ? Q?③ ?sin x? ? cosx ;④ ?cosx? ? ? sin x 1 x ? ? Iog e ;⑦ ?e ? ? e ;⑧ ?a ? ? a Ina x
' n ?1
' '
'

x '

x

x '

x

a

(6) 导数的四运算法则① ?? ? ? ? ? ? ' ? ? ' ;② ??? ? ? ? '? ? ?? '
' '

③( ) ?
'

? ?

? '? ? ?? ' ?? ? 0? ?2

(5)复合函数求导法则
' ' ' ' ' ' y x ? y ? ? x , 其中 y x 是 y 对 x 求导, y ? 是 y 对 ? 求导, ? x 是 ? 对 x 求导.

(7) 导数的应用

① 可导函数求单调区间或判断单调性的方法:使 f .... ② 可导函数 f ?x ? 求极值的步骤:ⅰ.求导数 f .... ⅲ.检验 f
' '

'

?x ? >0 的区间为增区间,使 f ' ?x ? <0 的区间为减区间.

?x ? ⅱ.求方程 f ' ?x ? =0 的根 x1 , x2 ,?, xn

?x ? 在方程的根的附近左右值的符号,若左正右负,则在这个根处取极大值,若左负右正,则在这个根处取极

小值. ③ 连续函数在闭区间上一定有最大值和最小值, ④

f ?x ? 在闭区间[a,b]上连续,在(a,b)内可导,则求 f ?x ? 最大值、最小值的步骤与格式为:ⅰ. 求导数 f ' ?x ? ⅱ.
求方程 f
'

?x ?=0 的根 x1 , x2 ,?, xn

ⅲ.结合在[a,b]上的根及闭区间[a,b]的端点数值,列出表格若( a ? x1 ? x2 ? ? ? xn ? b ) x a

?a, x1 ?
正负号

x1
0 值

?x1 , x2 ?
正负号 单调性

x2
0 值

?

xn
0 值

?xn , b ?
正负号 单调性

b

y'
y 值

单调性



ⅳ.根据上述表格的单调性及的大小,确定最大值与最小值.

七、 函数极限
(1) Iim f ? x ? ? a的充要条件是 Iim f ? x ? ? Iim f ? x ? ? a
x ?? x ? ?? x ? ??

(2) Iim f ?x ? ? a 的充要条件是 Iim f ?x ? ? Iim f ?x ? ? a ? ?
x ? x0

x ? x0

x ? x0

(3) f ?x ? 在 x0 处连续的充要条件是 Iim f ? x ? ? f ? x0 ? ,几可意义是 f ?x ? 的图象在 x0 处是不间断的,即是连续的.
x ? x0

(4)函数极限的四则运算 如果 Iim f ? x ? ? a, Iim g ? x ? ? b ,那么,
x ? x0 x ? x0

x ? x0

Iim [ f ?x ? ? g ?x ?] ? a ? b ; Iim ? f ?x ? ? g ?x ?? ? a ? b ; Iim
x ? x0

x ? x0

f ?x ? a ? , ?b ? 0? g ?x ? b



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