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最新人教A版必修2高中数学 4.1.1节 圆的标准方程导入设计(精品)


第 4.1.1 节 圆的标准方程 (一)创设情境(启迪思维) 问题一:已知隧道的截面是半径为 4m 的半 圆,车辆只能在道路中心线一侧行驶,一辆宽为 2.7m,高为 3m 的货车能不能驶入这个隧道? y 4 A 0 2.7 B x [引导] 画图建系 [学生活动]:尝试写出曲线的方程(对求曲线的方程的步骤及圆的定义进行提示性复习) 解:以某一截面半圆的圆心为坐标原点,半圆的直径 AB 所在直线为 x 轴,建立直角坐标系, 则半圆的方程为 x +y =16(y≥0) 将 x=2.7 代入,得 2 2 y ? 16 -2.72 ? 8.71? 3 . 即在离隧道中心线 2.7m 处,隧道的高度低于货车的高度,因此货车不能驶 入这个隧道。 (二)深入探究(获得新知) 问题二: 1. 根据问题一的探究能不能得到圆心在原点, 半径为 r 的圆的方程? 答:x +y =r 2 2 2 y r 0C M(x,y) x 2.如果圆心在 ( a, b) ,半径为 r 时又如何呢? y r C(a,b) 0 x M(x,y) [学生活动] 探究圆的方程。 [教师预设] 方法一:坐标法 如图,设 M(x,y)是圆上任意一点,根据定义点 M 到圆心 C 的距离等于 r,所以圆 C 就是集 合 P={M||MC|=r} 2 2 由两点间的距离公式,点 M 适合的条件可表示为 ( x ? a ) ? ( y ? b) ? r 2 2 2 ① 把①式两边平方,得(x―a) +(y―b) =r 方法二:图形变换法 方法三:向量平移法 (三)应用举例(巩固提高) I.直接应用(内化新知) 问题三:1.写出下列各圆的方程(课本 P77 练习 1) (1)圆心在原点,半径为 3; (2)圆心在 C (3,4) ,半径为 5 ; (3)经过点 P(5,1) ,圆心在点 C (8,?3) . 2.根据圆的方程写出圆心和半径 (1) ( x ? 2) ? ( y ? 3) ? 5 ; (2) ( x ? 2) ? y ? (?2) . 2 2 2 2 2 II.灵活应用(提升能力) 问题四:1.求以 C (1,3) 为圆心,并且和直线 3x ? 4 y ? 7 ? 0 相切的圆的方程. [教师引导]由问题 三知:圆心与半径可以确定圆. 2.已知圆的方程为 x ? y ? 25 ,求过圆上一点 A(4,?3) 的切线方程. 2 2 [学生活动]探究方法 [教师 预设] 方法一:待定系数法(利用几何关系求斜率—垂直) 方法二:待定系数法(利用代数关系求斜率—联立方程) 方法三:轨迹法(利用勾股定理列关系式) 方法四:轨迹法(利用向量垂直列关系式) 3. 你能归纳出具有一般性的结论吗? [多媒体课件演示] 已 知 圆 的 方 程 是 x 2 ? y 2 ? r 2 , 经 过 圆 上 一 点 M ( x0 , y 0 ) 的 切 线 的 方 程 是 : x0 x ? y0 y ? r 2 . III.实际应用(回归自然) 问题五:如图是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图,该圆拱跨度 AB=20m,拱高 OP=4m,在建造时 每隔 4m 需用一个支柱支撑,求支柱 A2 P2 的长度(精确到 0.01m) . [多媒体课件演示创设实际问题情境] (四) 反馈训练(形成方法) 问题六:1.求以 C(-1,-5)为圆心,并且和 y 轴相 切的圆的方程. 2.已知点 A(-4,-5) ,B (6,-1) ,求以 AB 为直径的圆的方程. 3.求圆 x +y =13

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