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1.双曲线的简单几何性质2



双曲线的简单几何性质(一)
上一节,我们认识了双曲线的标准方程:
双曲线的图象特 形式一: x 2 y 2 点与几何性质到现 ? ? 1 ( a ? 0 , b ? 0 ) a2 b2 在仍是一个谜? F1 -c,0)、 F2 (焦点在x轴上,( (c,0)) 形式二: y 2 x 2

a

2

?

b

2

? 1(a ? 0, b ? 0)

F1 0,-c)、( (焦点在y轴上,( F2 0,c))
其中 c ? a ? b 类比椭圆几何性质的研究方法 椭圆几何性质包括哪些呢?.
2 2 2

现在就用方 程来探究一下! 如何探究呢?

标 准 方 程
范 围 对称性

复习 椭圆的图像与性质
x2 y2 ? 2 ?1 2 a b

Y
B2

|x|?a,|y|≤b
关于X,Y轴, 原点对称

顶点 焦 点
对称轴 离心率 准 线

(±a,0),(0,±b) (±c,0) A1A2 ; B1B2
e ? c a

A1

F1

o

A2

F2

X

a2 x?? c

a2 x?? c

B1

a2 x? c

课堂新授

一、研究双曲线

x2 y2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 a b
(-x,y)

的简单几何性质
y
(x,y)

1、范围 2 x 2 2 ? 2 ? 1,即x ? a a ? x ? a, x ? ? a 2、对称性

-a (-x,-y)

o a
(x,-y)

x

关于x轴、y轴和原点都是对称。 x轴、y轴是双曲线的对称轴,原点是对称中心, 又叫做双曲线的中心。

3、顶点
(1)双曲线与对称轴的交点,叫做双曲线的顶点
顶点是 A1 (?a,0)、A2 (a,0)

( 2) 如图,线段 A1A2 叫做双曲线 的实轴,它的长为2a,a叫做 实半轴长;线段 B1B2 叫做双 曲线的虚轴,它的长为2b,b 叫做双曲线的虚半轴长 ( 3) 实轴与虚轴等长的双曲线 叫等轴双曲线
A1 -a

y b

B2
o a A2 x

x ? y ? m( m ? 0)
2 2

-b B 1

4、离心率 c 双曲线的焦距与实轴长 的比e ? ,叫做 (1)定义: a 双曲线的 离心率。
(2)e的范围:

? c>a>0 ?

e >1

(3)e的含义:
e是表示双曲线开口大小的一个量,e越大开口越大!

b c2 ? a2 c 2 ? ? ( ) ? 1 ? e2 ? 1 a a a b b ?当e ? (1,?? )时, ? (0,?? ), 且e增大, 也增大 a a ? e增大时,渐近线与实轴 的夹角增大 (4)等轴双曲线 e ? 2

x y 练习 双曲线 ? ?1 16 9
(1)范围: x ? ?4或x ? 4, y ? R (2)顶点坐标:A1 (?4,0), A2 (4,0)

2

2

y

F

? ? 1

A1

O

A2 ?

?

F2

x

c 5 (4)离心率: e ? ? a 4 1 思考:y ? 的图像是什么形状? x

(3)焦点坐标:F1 (?5,0), F2 (5,0)

图像无限靠近x轴和y轴

1 x轴, y轴叫做y ? 的渐进线. x

5、渐近线
x2 y 2 双曲线 2 ? 2 ? 1, (a ? 0, b ? 0) a b
b a2 b 2 2 y?? x ? a ? ? | x | 1? 2 a x a
a2 当x ? ?时, 2 ? 0. x

b a2 ? ? x 1? 2 a x y

y?

b x a

说明: 当x ? ?时, 双曲线上点的纵坐标 b 与y ? ? x的纵坐标很接近. a

O

x
y?? b x a

b a2 b 即y ? ? x 1 ? 2 与y1 ? ? x中,当x ? ?时, y ? y1. a x a

x2 y2 双曲线 2 ? 2 ? 1, (a ? 0, b ? 0) a b
b 直线y ? ? x叫做双曲线的渐进线. a
x2 y2 3 ? ? 1的渐进线为: y?? x 2 4 3 x2 y2 y ? ?x ? ? 1的渐进线为: 2 2

y

b y? x a

O

x
b y?? x a

焦点在x轴上的双曲线的几何性质
x2 y2 双曲线标准方程: 2 ? 2 ? 1 a b

1、 范围: x≥a或x≤-a 2、对称性: 关于x轴,y轴,原点对称。 3、顶点: A1(-a,0),A2(a,0)
A1

Y
B2

X
A2

4、轴:实轴 A1A2 虚轴 B1B2 b 5、渐近线方程: y ? ? x a c e= 6、离心率:

B1

a

B2

. .
B2
A2
2 2 2 2

图形

. .
F1(-c,0)
2 2

y

y
F2 B1

F1

A1 A2
O

F2(0,c) x F1(0,-c)

B1 F2(c,0)

F2

x

A1 O F1

方程 范围 对称性 顶点 离心率 渐进线

x y ? ? 1 (a ? b ? 0) a b
2 2

y x ? ? 1 (a ? 0,b ? 0 ) a b

x ? a 或 x ? ?a,y ? R

y ? a 或 y ? ?a,x ? R

关于x轴、y轴、原点对称
A1(- a,0),A2(a,0)

关于x轴、y轴、原点对称
A1(0,-a),A2(0,a)

如何记忆双曲线的渐进线方程?

c e? a
y ? ?
?

(e ? 1)
? y x ? ? 0 b a

c e? a
y ? ?
?

(e ? 1)

b x a

a y x x ? ? ?0 b a b

例题讲解

例1、求下列双曲线的渐近线方程 2x±3y=0 (1)4x2-9y2=36, (2)25x2-4y2=100.
5x±2y=0

例题讲解

例2 :求双曲线

9y2 ?16x2 ? 144 的实半轴长,虚半轴长,
y2 x2 ? 2 ?1 2 4 3

焦点坐标,离心率.渐近线方程。 解:把方程化为标准方程

可得:实半轴长a=4

虚半轴长b=3
半焦距c=
42 ?32 ? 5

焦点坐标是(0,-5),(0,5) 离心率:
e ?

4 渐近线方程: y ? ? x 3

c 5 ? a 4

P61, 1,2
小结: 本节课讨论了双曲线的简单几何性质:范围, 对称性,顶点,离心率,渐近线,请同学们 熟练掌握并补写完成黑板余下的部分。

谢 谢 光 临!

例3、双曲线型自然通风塔的外形,是双曲线
的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面,它的 最小半径为12m,上口半径为13m,下口半径 为20m,高55m.选择适当的坐标系,求出此 双曲线的方程(精确到1m).
y
13 C′ 12 A′ 0 A x C

B′

20

B



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