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江苏省扬州市邗江中学2015-2016学年高二(下)期中数学试卷(理科)(解析版)


2015-2016 学年江苏省扬州市邗江中学高二(下)期中数学试卷 (理科)
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请把答案填写在答题卡相应的位置 上. 1.C53= . 2.已知复数 z 满足 3.观察式子 (i 是虚数单位) ,则|z|= , . 4.用数学归纳法证明等式 时,第一步验证 n=1 . …,则可归纳出

时,左边应取的项是 5.把分别写有“灰”、“太”、“狼”的三张卡片随意排成一排,则能使卡片排成的顺序从左向右 或从右向左都可以念为“灰太狼”的概率是 . (用分数表示) 6.设函数 f(x)= f1(x)=f(x)= (x>0) ,观察: , , , ,

f2(x)=f(f1(x) )= f3(x)=f(f2(x) )= f4(x)=f(f3(x) )=

… 根据以上事实,由归纳推理可得: 当 n∈N*且 n≥2 时,fn(x)=f(fn﹣1(x) )= . 7.某射手射击所得环数 ξ 的分布列如表,已知 ξ 的期望 Eξ=8.9,则 y 的值为 . ξ 7 8 9 10 P x 0.1 0.3 y 8.若把英语单词“book”的字母顺序写错了,则可能出现的错误共有 种(用数 字作答) . 9.已知扇形的圆心角为 2α(定值) ,半径为 R(定值) ,分别按图一、二作扇形的内接矩形, 若按图一作出的矩形面积的最大值为 ,则按图二作出的矩形面积的最大值 为 .

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10.若

,则(a0+a2+a4)2﹣(a1+a3)2 的值

为 . 11.如果复数 z 满足|z|=1,那么|z﹣3+i|的最大值是 . 12.四面体 ABCD 中, ,∠ABD=30°,∠ABC=60°,则 AB 与 CD 所成角为 . 13.在 6×6 的表中停放 3 辆完全相同的红色车和 3 辆完全相同的黑色车,每一行、每一列都 只有一辆车,每辆车占一格,共有 种停放方法. (用数字作答) 14. (理)已知△ ABC 三边 a,b,c 的长都是整数,且 a≤b≤c,如果 b=m(m∈N*) ,则这样 的三角形共有 个(用 m 表示) . 二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分,请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文 字说明、证明或演算步骤. 15.已知复数 z=b﹣2i(b 为实数) ,且 是实数.

(1)求复数 z; (2)若复数(z+ai)2 在复平面上对应的点在第四象限,试求实数 a 的取值范围. 16.已知 的展开式中第 3 项的系数与第 5 项的系数之比为 .

(1)求 n 的值; (2)求展开式中的常数项. 17.已知 , .

(1)当 n=1,2,3 时,分别比较 f(n)与 g(n)的大小(直接给出结论) ; (2)由(1)猜想 f(n)与 g(n)的大小关系,并证明你的结论. 18.如图,在直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,底面△ ABC 是直角三角形,AB=AC=1,AA1=2, 点 P 是棱 BB1 上一点,满足 (1)若 =λ (0≤λ≤1) .

,求直线 PC 与平面 A1BC 所成角的正弦值;

(2)若二面角 P﹣A1C﹣B 的正弦值为 ,求 λ 的值.

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19.一个摸球游戏,规则如下:在一不透明的纸盒中,装有 6 个大小相同、颜色各异的玻璃 球.参加者交费 1 元可玩 1 次游戏,从中有放回地摸球 3 次.参加者预先指定盒中的某一种 颜色的玻璃球,然后摸球.当所指定的玻璃球不出现时,游戏费被没收;当所指定的玻璃球 出现 1 次,2 次,3 次时,参加者可相应获得游戏费的 0 倍,1 倍,k 倍的奖励(k∈N*) ,且 游戏费仍退还给参加者.记参加者玩 1 次游戏的收益为 X 元. (1)求概率 P(X=0)的值; (2)为使收益 X 的数学期望不小于 0 元,求 k 的最小值. (注:概率学源于赌博,请自觉远离不正当的游戏! ) n 2 n * 20.设(1﹣x) =a0+a1x+a2x +…+anx ,n∈N ,n≥2. (1)设 n=11,求|a6|+|a7|+|a8|+|a9|+|a10|+|a11|的值; (2)设 bk= 的值. ak+1(k∈N,k≤n﹣1) ,Sm=b0+b1+b2+…+bm(m∈N,m≤n﹣1) ,求| |

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2015-2016 学年江苏省扬州市邗江中学高二(下)期中数 学试卷(理科)
参考答案与试题解析

一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请把答案填写在答题卡相应的位置 上. 1.C53= 10 . 【考点】组合及组合数公式. 【分析】根据组合数的公式,计算即可. 【解答】解: 故答案为:10. = = =10.

2.已知复数 z 满足

(i 是虚数单位) ,则|z|=

\sqrt{5} .

【考点】复数求模. 【分析】直接利用复数的模等于分子的模与分母的模,即可求出复数的模, 【解答】解:由题意可知 故答案为: . = = .

3.观察式子

, \frac{2n+1}{n+1}(n≥1) .

…,则可归纳出

【考点】归纳推理. 【分析】 根据已知中, 分析左边式子中的数与右边式了中的数之间的关系, 由此可写出结果. 【解答】解:根据题意,每个不等式的右边的分母是 n+1. 不等号右边的分子是 2n+1, ∴1+ 故答案为: …+ (n≥1) . < (n≥1) .

4.用数学归纳法证明等式 时,左边应取的项是 1+2+3+4 【考点】用数学归纳法证明不等式.

时,第一步验证 n=1

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【分析】本题考查的知识点是数学归纳法的步骤,由等式 ,当 n=1 时,n+3=4,而等式左边起始为 1 的连 续的正整数的和,由此易得答案. 【解答】解:在等式 当 n=1 时,n+3=4, 而等式左边起始为 1 的连续的正整数的和, 故 n=1 时,等式左边的项为:1+2+3+4 故答案为:1+2+3+4 5.把分别写有“灰”、“太”、“狼”的三张卡片随意排成一排,则能使卡片排成的顺序从左向右 或从右向左都可以念为“灰太狼”的概率是 \frac{1}{3} . (用分数表示) 【考点】古典概型及其概率计算公式. 【分析】本题是一个古典概型,试验发生包含的事件是三张卡片全排列,满足条件的事件是 卡片排成的顺序从左向右或从右向左都可以念为“灰太狼”,写出事件数,根据古典概型概率 公式得到概率. 【解答】解:由题意知本题是一个古典概型, 试验发生包含的事件是三张卡片全排列,共有 A33=6 种结果, 满足条件的事件是卡片排成的顺序从左向右或从右向左都可以念为“灰太狼”,共有 2 种结 果, 根据古典概型概率公式得到 P= = , 故答案为: 中,

6.设函数 f(x)= f1(x)=f(x)=

(x>0) ,观察: , , , ,

f2(x)=f(f1(x) )= f3(x)=f(f2(x) )= f4(x)=f(f3(x) )=

… 根据以上事实,由归纳推理可得: 当 n∈N*且 n≥2 时,fn(x)=f(fn﹣1(x) )= \frac{x}{({2}^{n}﹣1)x+{2}^{n}} . 【考点】归纳推理. 【分析】观察所给的前四项的结构特点,先观察分子,只有一项组成,并且没有变化,在观 察分母, 有两部分组成, 是一个一次函数, 根据一次函数的一次项系数与常数项的变化特点, 得到结果.

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【解答】解:∵函数 f(x)= f1(x)=f(x)= f2(x)=f(f1(x) )= f3(x)=f(f2(x) )= f4(x)=f(f3(x) )= … , , , ,

(x>0) ,观察:

所给的函数式的分子不变都是 x, 而分母是由两部分的和组成, 第一部分的系数分别是 1,3,7,15…2n﹣1, 第二部分的数分别是 2,4,8,16…2n ∴fn(x)=f(fn﹣1(x) )=

故答案为:

7.某射手射击所得环数 ξ 的分布列如表,已知 ξ 的期望 Eξ=8.9,则 y 的值为 0.4 . ξ 7 8 9 10 P x 0.1 0.3 y 【考点】离散型随机变量及其分布列. 【分析】 根据分布列的概率之和是 1, 得到关于 x 和 y 之间的一个关系式, 由变量的期望值, 得到另一个关于 x 和 y 的关系式,联立方程,解出要求的 y 的值. 【解答】解:由表格可知:x+0.1+0.3+y=1, 7x+8×0.1+9×0.3+10×y=8.9 解得 y=0.4. 故答案为:0.4. 8. 若把英语单词“book”的字母顺序写错了, 则可能出现的错误共有 11 种 (用数字作答) . 【考点】计数原理的应用. 【分析】首先用倍分法求出单词“book”四个字母中其不同的排列数目,再在其中排除正确的 1 种情况,即可得答案. 【解答】解:根据题意,因为“book”四个字母中的两个“o”是相同的,则其不同的排列有 ×A44=12 种, 而正确的排列只有 1 种, 则可能出现的错误共有 11 种; 故答案为:11.

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9.已知扇形的圆心角为 2α(定值) ,半径为 R(定值) ,分别按图一、二作扇形的内接矩形, 若按图一作出的矩形面积的最大值为 \frac{1}{2}{R^2}tanα ,则按图二作出的矩形面积 的最大值为 {R^2}tan\frac{α}{2} .

【考点】函数的最值及其几何意义. 【分析】思考图二与图一有怎样的联系?将图二拆分成两个图一的形式,可以类比得到结 论.图一角是 2α,图二拆分后角是 α,故最值为 ,两个则为 R2tan

【解答】解:图一作出的矩形面积的最大值为 R2tanα,图二可拆分成两个, 图一角是 2α,图二拆分后角是 α,故矩形面积的最大值为 R2tan ,两个则为 R2tan .

10.若

,则(a0+a2+a4)2﹣(a1+a3)2 的值为

1 . 【考点】二项式定理的应用. 【分析】通过对 x 分别赋值 1,﹣1,求出各项系数和和正负号交替出现的系数和,两式相 乘得解. 【解答】解:对于 令 x=1 得 令 x=﹣1 得 =a0+a1+a2+a3+a4 =a0﹣a1+a2﹣a3+a4 ,

两式相乘得 1=(a0+a2+a4)2﹣(a1+a3)2 故答案为 1 11.如果复数 z 满足|z|=1,那么|z﹣3+i|的最大值是 \sqrt{10}+1 . 【考点】复数的代数表示法及其几何意义.

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【分析】由题意画出图形,利用|z﹣3+i|的几何意义,即圆上的点与定点 P(3,﹣1)距离求 得答案. 【解答】解:由|z|=1,的复数 z 在复平面内对应的点在以原点为圆心,以 1 为半径的圆上, 如图,

|z﹣3+i|的几何意义为圆上的点与定点 P(3,﹣1)距离,其最大值为 . 故答案为: . ,∠ABD=30°,∠ABC=60°,则 AB

12.四面体 ABCD 中, 与 CD 所成角为 60° .

【考点】解三角形. 【分析】根据题意画出相应的图形,如图所示,在三角形 ABD 中,过 A 作 AE 垂直于 BD, 交 BD 于点 E,连接 CE 并延长,使 EF=EC,连接 BF,DF,AF,可得出∠ABF 为 AB 与 CD 所成角,求法为:在三角形 ABE 中,由 30°所对的直角边等于斜边的一半,根据 AB 的 长求出 AE 的长,进而利用勾股定理求出 BE 的长,发现 BE 为 BD 的一半,即 E 为 BD 的 中点,又 BC=DC,CE 为 BD 上的中线,根据三线合一得到 CE 垂直于 BD,根据 AE 垂直 于面 BCDF,可得出 AE 垂直于 EF,再由 EF=CE,BE=DE,得到四边形 BCDF 为平行四边 形,再由邻边 BC=DC,可得出四边形 BCDF 为菱形,得出 BF=BC,由 BC 的长,得出 BF 的长,在直角三角形 AEF 中,由 EF 及 AE 的长,利用勾股定理求出 AF 的长,在三角形 ABF 中,利用余弦定理表示出 cos∠ABF,将三边长代入求出 cos∠ABF 的值,由∠ABF 的 范围,利用特殊角的三角函数值即可求出∠ABF 的度数,即为 AB 与 CD 所成角的度数. 【解答】解:根据题意画出相应的图形,如图所示: 在△ ABD 中,过 A 作 AE⊥BD,交 BD 于点 E,连接 CE,并延长使 EF=EC,连接 BF,DF, AF, 在△ ABE 中,∠ABD=30°,AB=2, ∴AE= AB=1,根据勾股定理得到 BE= ,

又 BD=2 ,∴E 为 BD 的中点, ∵BC=DC=3,∴CF⊥BD,又 AE⊥BD, ∴BD⊥面 ACF,又面 ABD 与面 ACF 交于直线 BD, ∴AE⊥面 BCD, ∴AE⊥CF, ∵CE=EF,BE=DE, ∴四边形 BCDF 为平行四边形,又 BC=DC, ∴四边形 BCDF 为菱形, ∴BF=BC=CD=DF=3,
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在 Rt△ BCE 中,BC=3,BE= 根据勾股定理得:CE=

, = ,

∴EF=CE= ,又 AE=1, 在 Rt△ AEF 中,根据勾股定理得:AF= 在△ ABF 中,AB=2,BF=3,AF= , ∴由余弦定理得:cos∠ABF= 又 0<∠ABF≤90°,∴∠ABF=60°, 则 AB 与 CD 所成角为 60°. 故答案为:60°



= ,

13.在 6×6 的表中停放 3 辆完全相同的红色车和 3 辆完全相同的黑色车,每一行、每一列都 只有一辆车,每辆车占一格,共有 14400 种停放方法. (用数字作答) 【考点】分步乘法计数原理. 【分析】利用分步计数原理,第一步先选车,第二种再排列,问题得以解决 【解答】解:第一步先选车有 种,第二步因为每一行、每一列都只有一辆车,每辆车占

一格,从中选取一辆车后,把这辆车所在的行列全划掉,依次进行,则有 = 故答案为:14400. 14. (理)已知△ ABC 三边 a,b,c 的长都是整数,且 a≤b≤c,如果 b=m(m∈N*) ,则这样 的三角形共有 \frac{m(m+1)}{2} 个(用 m 表示) . 【考点】进行简单的合情推理. 【分析】 本题是推理和证明这一章的习题, 考查合情推理能力. 讲评时可改为 c=m 再探究. 本 题也可以用线性规划知识求解. 【解答】解:当 m=1 时,这样的三角形共有 1 个,即(1,1,1) 当 m=2 时,这样的三角形共有 3 个,即(1,2,2) ; (2,2,2) ; (2,2,3) . m=3 6 1 3 3 2 3 3 2 3 4 当 时,这样的三角形共有 个,即: ( , , ) ; ( , , ) ; ( , , ) ; (3,3,3) ; (3,3,4) ; (3,3,5) . 当 m=4 时,这样的三角形共有 10 个… 当 m=5 时,这样的三角形共有 15 个…
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种,根据分步计数原理得;

=14400 种.

… 根据上述结论我们可以推断:当 b=m(m∈N*) ,则这样的三角形共有 故答案为: 个

二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分,请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文 字说明、证明或演算步骤. 15.已知复数 z=b﹣2i(b 为实数) ,且 是实数.

(1)求复数 z; (2)若复数(z+ai)2 在复平面上对应的点在第四象限,试求实数 a 的取值范围. 【考点】复数代数形式的乘除运算;复数的代数表示法及其几何意义. 【分析】 (1)把 z=b﹣2i(b 为实数) ,代入 ,利用复数代数形式的乘除运算化简后由

虚部等于 0 求得 b 的值,则 z 可求; (2)直接展开乘方运算,然后由实部大于 0 且虚部小于 0 求解实数 a 的取值范围. 【解答】解: (1)∵z=b﹣2i, 由 = 为实数,

则 b=4. ∴z=4﹣2i; (2)∵(z+ai)2=(4﹣2i+ai)2=16﹣(a﹣2)2+8(a﹣2)i 在复平面上对应的点在第四象 限, ∴ ,解得﹣2<a<2.

∴实数 a 的取值范围是(﹣2,2) .

16.已知

的展开式中第 3 项的系数与第 5 项的系数之比为



(1)求 n 的值; (2)求展开式中的常数项. 【考点】二项式定理的应用. 【分析】 (1)直接根据 的展开式中第 3 项的系数与第 5 项的系数之比为 列

出关于 n 的方程,结合组合数的性质即可求出结论; (2)先求出其通项,再令自变量的指数为 0 即可求出结论. 【解答】解: (1)由题设,得 ,

第 10 页(共 16 页)



?n2﹣5n﹣50=0?n=10 或 n=﹣5

(舍) (2) =

当 即当 r=8 时为常数项 .

17.已知





(1)当 n=1,2,3 时,分别比较 f(n)与 g(n)的大小(直接给出结论) ; (2)由(1)猜想 f(n)与 g(n)的大小关系,并证明你的结论. 【考点】用数学归纳法证明不等式;不等式比较大小. 【分析】 (1)先令 n=1,2,3.分别求得 f(n)和 g(n) ,再通过计算比较它们的大小即可; 2 3 ( )通过前 项进行归纳猜想,用数学归纳法证明.检验 n 取第一个值时,等式成立,假 设 n=k 时成立,证明当 n=k+1 时也成立,即可得到猜想成立. 【解答】解: (1)当 n=1 时,f(1)=1, ,f(1)>g(1) , 当 n=2 时, 当 n=3 时, , ,f(2)>g(2) , ,g(3)=2,f(3)>g(3) . .

(2)猜想:f(n)>g(n) (n∈N*) ,即 下面用数学归纳法证明:①当 n=1 时,上面已证. ②假设当 n=k 时,猜想成立,即 则当 n=k+1 时, = 而 ; ,下面转化为证明:

只要证: ,需证: (2k+3)2>4(k+2) (k+1) , 2 2 即证:4k +12k+9>4k +12k+8,此式显然成立.所以,当 n=k+1 时猜想也成立. 综上可知:对 n∈N*,猜想都成立, 即 成立.

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18.如图,在直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,底面△ ABC 是直角三角形,AB=AC=1,AA1=2, 点 P 是棱 BB1 上一点,满足 (1)若 =λ (0≤λ≤1) .

,求直线 PC 与平面 A1BC 所成角的正弦值;

(2)若二面角 P﹣A1C﹣B 的正弦值为 ,求 λ 的值.

【考点】二面角的平面角及求法;直线与平面所成的角. 【分析】 (1)如图所示,建立空间直角坐标系,设平面 A1BC 的法向量为 =(x,y,z) , 则 ,可得 .设直线 PC 与平面 A1BC 所成角为 θ,则 sinθ=

=



(2)设二面角 P﹣A1C﹣B 的平面角为 α,由图可知为锐角,由于 sinα= ,可得 cosα= .由于 =λ (0≤λ≤1) ,可得 P(1,0,2λ) .设平面 A1CP 的法向 = ,即可得出.

量为 =(x0,y0,z0) ,

【解答】解: (1)如图所示,建立空间直角坐标系, A(0,0,0) ,B(1,0,0) ,C(0,1,0) ,A1(0,0,2) ,P =(1,0,﹣2) , =(﹣1,1,0) , = . .

设平面 A1BC 的法向量为 =(x,y,z) , 则 ,即 ,取 =(2,2,1) ,

设直线 PC 与平面 A1BC 所成角为 θ, 则 sinθ= = = = .

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(2)设二面角 P﹣A1C﹣B 的平面角为 α,由图可知为锐角, ∵sinα= ,∴cosα= ∵ =λ (0≤λ≤1) , = .

∴P(1,0,2λ) . ∴ =(1,﹣1,2λ) , =(1,0,2λ﹣2) .

设平面 A1CP 的法向量为 =(x0,y0,z0) , 则 ,即 ,

取 =(2﹣2λ,2,1) , ∴ = = = .



=



化简解得:λ2+8λ﹣9=0,0≤λ≤1, 解得 λ=1.

19.一个摸球游戏,规则如下:在一不透明的纸盒中,装有 6 个大小相同、颜色各异的玻璃 球.参加者交费 1 元可玩 1 次游戏,从中有放回地摸球 3 次.参加者预先指定盒中的某一种 颜色的玻璃球,然后摸球.当所指定的玻璃球不出现时,游戏费被没收;当所指定的玻璃球 出现 1 次,2 次,3 次时,参加者可相应获得游戏费的 0 倍,1 倍,k 倍的奖励(k∈N*) ,且 游戏费仍退还给参加者.记参加者玩 1 次游戏的收益为 X 元. (1)求概率 P(X=0)的值; (2)为使收益 X 的数学期望不小于 0 元,求 k 的最小值. (注:概率学源于赌博,请自觉远离不正当的游戏! ) 【考点】离散型随机变量的期望与方差;离散型随机变量及其分布列. 【分析】 (1)事件“X=0”表示“有放回的摸球 3 回,所指定的玻璃球只出现 1 次”,由此能求 出 P(X=0) .

第 13 页(共 16 页)

(2)依题意,X 的可能取值为 k,﹣1,1,0,分别求出相应的概率,由此求出 E(X) ,进 而能求出 k 的最小值. 【解答】解: (1)事件“X=0”表示“有放回的摸球 3 回,所指定的玻璃球只出现 1 次”, 则 P(X=0)=3× = .

(2)依题意,X 的可能取值为 k,﹣1,1,0, 且 P(X=k)=( )3= P(X=﹣1)=( )3= P(X=1)=3× P(X=0)=3× = = , , , ,

∴参加游戏者的收益 X 的数学期望为: E(X)= = ,

为使收益 X 的数学期望不小于 0 元,故 k≥110, ∴k 的最小值为 110. 20.设(1﹣x)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn,n∈N*,n≥2. (1)设 n=11,求|a6|+|a7|+|a8|+|a9|+|a10|+|a11|的值; (2)设 bk= ak+1(k∈N,k≤n﹣1) ,Sm=b0+b1+b2+…+bm(m∈N,m≤n﹣1) ,求| |

的值. 【考点】数列与函数的综合;二项式定理的应用. 【分析】 (1)由二项式定理可得 ak=(﹣1)k? 210; (2)由组合数的阶乘公式可得 bk=(﹣1)k+1? 时,bk=(﹣1)k+1? =(﹣1)k+1?( + ,再由组合数的性质,可得当 1≤k≤n﹣1 )=(﹣1)k﹣1? ﹣(﹣1)k? , ,再由二项式系数的性质,可得所求和为

讨论 m=0 和 1≤m≤n﹣1 时,计算化简即可得到所求值. 【解答】解: (1)由二项式定理可得 ak=(﹣1)k? 当 n=11 时,|a6|+|a7|+|a8|+|a9|+|a10|+|a11|= = ( (2)bk= + +…+ + + +…+ ,

)=210=1024; =(﹣1)k+1? =(﹣1)k+1?(
第 14 页(共 16 页)

ak+1=(﹣1)k+1?

, + )

当 1≤k≤n﹣1 时,bk=(﹣1)k+1?

=(﹣1)k+1?

+(﹣1)k+1?

=(﹣1)k﹣1?

﹣(﹣1)k?



当 m=0 时,|

|=|

|=1;

当 1≤m≤n﹣1 时,Sm=b0+b1+b2+…+bm=﹣1+ =﹣1+1﹣(﹣1)m =﹣(﹣1)m ,

[(﹣1)k﹣1?

﹣(﹣1)k?

]

即有|

|=1.

综上可得,|

|=1.

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2016 年 7 月 14 日

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