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四川省雅安中学2014-2015学年高一(下)期末数学模拟试卷 Word版含解析



四川省雅安中学 2014-2015 学年高一(下)期末数学模拟试卷
一、选择题(每题 5 分,共 50 分) 1.函数 A. D. B. 的周期,振幅,初相分别是( C. )

2.函数 y=sin(x+φ) (0≤φ≤π)是 R 上的偶函数,则 φ=( A. 0 B. C.

) D. π

3.已知 , 均

为单位向量,它们的夹角为 A. 1 B.

,则| + |=( C.

) D. 2

4.下列关系式中正确的是( ) A. sin11°<cos10°<sin168° C. sin11°<sin168°<cos10° 5.y=sin(3x﹣ A. [ C. [ + + )的单调递减区间是( , , + + ](k∈Z) ](k∈Z) )

B. sin168°<sin11°<cos10° D. sin168°<cos10°<sin11°

B. [ D. [

+ +

, ,

+ +

](k∈Z) ](k∈Z)

6.如图曲线对应的函数是(



A. y=|sinx| 7.要得到函数 A. 向右平移

B. y=sin|x|

C. y=﹣sin|x| 的图象(

D. y=﹣|sinx| )

的图象,只需将 个单位

B. 向右平移

个单位

C. 向右平移

个单位

D. 向左平移

个单位

8.如图,已知正六边形 P1P2P3P4P5P6,下列向量的数量积中最大的是(



A. C.

B. D.

9.已知 A1,A2,…,An 为凸多边形的内角,且 lgsinA1+lgsinA2++lgsinAn=0,则这个多边 形是( ) A. 正六边形 B. 梯形 C. 矩形 D. 含锐角菱形

10. 在直角坐标系 xOy 中, 中, A. 1 个 ,

分别是与 x 轴, y 轴平行的单位向量, 若直角三角形 ABC ,则 k 的可能值有( ) D. 4 个

B. 2 个

C. 3 个

二.填空题(每题 5 分,共 25 分) 11.求值:sin750°= .

12.若向量

=(1,2) ,

=(3,4) ,则

=



13.函数 y=5sin( x+

)的最小正周期是=



14.已知

,则 cosα﹣sinα=



15.对于函数 f(x)=

,给出下列四个命题:

①该函数是以 π 为最小正周期的周期函数; ②当且仅当 x=π+kπ(k∈Z)时,该函数取得最小值﹣1;

③该函数的图象关于 x= ④当且仅当 2kπ<x< 其中正确命题的序号是

+2kπ(k∈Z)对称; +2kπ(k∈Z)时,0<f(x)≤ .

. (请将所有正确命题的序号都填上)

三.解答题(16.17.18.19 题每题 12 分,20 题 13 分,21 题 14 分,共 75 分) 16.已知向量 =(3,﹣1) , =(2,1)求: (1)| + | (2)求 与 的夹角 (3)求 x 的值使 x +3 与 3 ﹣2 为平行向量.

17. (1)已知 tanα=﹣4,求 (2)已知 sin(3π+θ)= ,求 + 的值.

的值;

18.已知△ ABC 顶点的直角坐标分别为 A(3,4) ,B(0,0) ,C(c,0 ) (1)若 c=5,求 sin∠A 的值; (2)若∠A 是钝角,求 c 的取值范围. 19.如图,函数 y=2sin(πx+φ) ,x∈R(其中 0<φ≤ (1)求 φ 的值; (2)设 P 是图象上的最高点,M,N 是图象与 x 轴交点,求 夹角的余弦值. )的图象与 y 轴交与点(0,1) .

20.已知向量 =(cosx,﹣1+sinx) , =(2cosx,sinx)

(1)试用 sinx 表示 ? ; (2)求 ? 的最大值及此时的 x 的值. 21.已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ) , (ω>0,|φ|<π)部分图象如图所示. (1)求 ?,? 的值; (2)若方程 f(x+ i)m 的取值范围; ii)求 x1+x2. )=m 在区间[0, ]内有两个不相等的实数根 x1,x2.求:

四川省雅安中学 2014-2015 学年高一(下)期末数学模拟试卷
参考答案与试题解析

一、选择题(每题 5 分,共 50 分) 1.函数 A. D. B. 的周期,振幅,初相分别是( C. )

考点:y=Asin(ωx+φ)中参数的物理意义. 专题:计算题. 分析:本题的函数解析式已知,由其形式观察出振幅,初相,再由公式求出函数的周期,对 照四个选项得出正确选项 解答: 解:∵函数 ∴振幅是 2,初相是 又 x 的系数是 ,故函数的周期是 T= =4π

对照四个选项知应选 C 故选 C 点评:本题考查 y=Asin(ωx+φ)中参数的物理意义,解题的关键是理解 A,ω,φ 的意义, 根据解析式及相关公式求出此三个参数的值.本题是基本概念型题. 2.函数 y=sin(x+φ) (0≤φ≤π)是 R 上的偶函数,则 φ=( A. 0 B. C. ) D. π

考点:正弦函数的对称性. 分析:根据 y=sinx 是奇函数,y=cosx 是偶函数,对选项逐一排除即可. 解答: 解:当 φ=0 时,y=sin(x+φ)=sinx 为奇函数不满足题意,排除 A; 当 φ= 当 φ= 时,y=sin(x+φ)=sin(x+ )为非奇非偶函数,排除 B;

时,y=sin(x+φ)=cosx,为偶函数,满足条件.

当 φ=π 时,y=sin(x+φ)=﹣sinx,为奇函数, 故选 C. 点评:本题主要考查三角函数的奇偶性.属基础题.

3.已知 , 均为单位向量,它们的夹角为 A. 1 B.

,则| + |=( C.

) D. 2

考点:数量积表示两个向量的夹角;向量的几何表示. 专题:平面向量及应用. 分析:根据| + | = 合向量数量积的公式可得答案. 解答: 解:由题意可得:| + | = ∵ , 均为单位向量,它们的夹角为 ∴| + | = ∴| + |= ,
2 2 2

,而 , 均为单位向量,它们的夹角为

,再结

, , =3,

=1+1+2×1×1×cos

故选 C. 点评:本题主要考查向量模的计算公式与向量数量积的公式, 解决此类问题的关键是熟练记 忆公式并且细心认真的运算即可得到全分.属于基础题. 4.下列关系式中正确的是( ) A. sin11°<cos10°<sin168° C. sin11°<sin168°<cos10°

B. sin168°<sin11°<cos10° D. sin168°<cos10°<sin11°

考点:正弦函数的单调性. 专题:三角函数的图像与性质. 分析:先根据诱导公式得到 sin168°=sin12°和 cos10°=sin80°,再结合正弦函数的单调性可得 到 sin11°<sin12°<sin80°从而可确定答案. 解答: 解:∵sin168°=sin(180°﹣12°)=sin12°, cos10°=sin(90°﹣10°)=sin80°. 又∵y=sinx 在 x∈[0, ]上是增函数,

∴sin11°<sin12°<sin80°,即 sin11°<sin168°<cos10°. 故选:C. 点评:本题主要考查诱导公式和正弦函数的单调性的应用. 关键在于转化, 再利用单调性比 较大小.

5.y=sin(3x﹣ A. [ C. [ + +

)的单调递减区间是( , , + + ](k∈Z) ](k∈Z)

) B. [ D. [ + + , , + + ](k∈Z) ](k∈Z)

考点:正弦函数的单调性. 专题:三角函数的图像与性质. 分析:由 2kπ+ 区间. 解答: 解:由 2kπ+ ≤x≤ 故函数的单调递减区间是[ , ], ≤3x﹣ ≤2kπ+ ,k∈Z 可得, ≤3x﹣ ≤2kπ+ ,k∈z,由此求得 x 的范围,即可得到函数的单调递减

故答案为:D. 点评:本题主要考查正弦函数的单调区间的求法,属于基础题. 6.如图曲线对应的函数是( )

A. y=|sinx|

B. y=sin|x|

C. y=﹣sin|x|

D. y=﹣|sinx|

考点:函数的图象与图象变化. 专题:数形结合. 分析:应用排除法解决本题,先从图象的右侧观察知它与正弦曲线一样,可排除一些选项, 再从左侧观察又可排除一些,从而可选出答案. 解答: 解:观察图象知: 在 y 轴的右侧,它的图象与函数 y=﹣sinx 相同,排除 A、B; 又在 y 轴的左侧,它的图象与函数 y=sinx 相同,排除 D; 故选 C. 点评:本题主要考查了三角函数函数的图象与图象变化, 同学们对于常用的正弦函数的图象 要切实掌握.

7.要得到函数 A. 向右平移 C. 向右平移 个单位 个单位

的图象,只需将

的图象(



B. 向右平移 D. 向左平移

个单位 个单位

考点:函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 专题:三角函数的图像与性质.

分析:把 解答: 解:∵ ∴要得到函数

变形为

,由自变量的变化得答案. ,

的图象,只需将

的图象向右平移

个单位.

故选:C. 点评:本题主要考查三角函数的平移, 三角函数的平移原则为左加右减上加下减, 是中低档 题. 8.如图,已知正六边形 P1P2P3P4P5P6,下列向量的数量积中最大的是( )

A. C.

B. D.

考点:平面向量数量积的运算. 分析: 设边长|P1P2|=a,∠P2P1P3= = ∠P2P1P4= ,|P1P4|=2a, = , =0, <0, , . ,根据向量数量积的定义,

从而得到答案. 解答: 解:如图,已知正六边形 P1P2P3P4P5P6,设边长|P1P2|=a, 则∠P2P1P3= ∠P2P1P4= . ,|P1P4|=2a, = ∴数量积中最大的是 , , =0, <0, , = ,

故选 A. 点评:本题主要考查平面向量的数量积运算.注意向量数量积的定义和运算法则.

9.已知 A1,A2,…,An 为凸多边形的内角,且 lgsinA1+lgsinA2++lgsinAn=0,则这个多边 形是( ) A. 正六边形 B. 梯形 C. 矩形 D. 含锐角菱形 考点:对数的运算性质. 专题:计算题;转化思想. 分析:由于 A1,A2,…,An 为凸多边形的内角,lgsinAi≤0, (i=1,2,3,…,n)又 lgsinA1+lgsinA2++lgsinAn=0 从而 lgsinAi=0?sinAi=0?Ai=90°最后得出这个多边形所有的角 都是直角,从而解决问题. 解答: 解:∵A1,A2,…,An 为凸多边形的内角, ∴lgsinAi≤0, (i=1,2,3,…,n) 又 lgsinA1+lgsinA2++lgsinAn=0 ∴lgsinAi=0?sinAi=1?Ai=90° 则这个多边形是矩形. 故选 C. 点评:本小题主要考查对数的运算性质、 实数的性质等基础知识, 解答的关键是利用角的范 围得出角的正弦的常用对数的取值范围.属于基础题.

10. 在直角坐标系 xOy 中, 中, A. 1 个 ,

分别是与 x 轴, y 轴平行的单位向量, 若直角三角形 ABC ,则 k 的可能值有( ) D. 4 个

B. 2 个

C. 3 个

考点:平面向量数量积的坐标表示、模、夹角. 专题:压轴题. 分析:根据给的两个向量写出第三条边所对应的向量, 分别检验三个角是直角时根据判断向 量垂直的充要条件,若数量积为零,能做出对应的值则是,否则不是. 解答: 解:∵ (1)若 A 为直角,则 (2)若 B 为直角,则 (3)若 C 为直角,则 ? ? ; ; .

∴k 的可能值个数是 2, 故选 B 点评:能利用数量积的 5 个重要性质及数量积运算规律解决有关问题;会解两个向量共线、 垂直的几何判断,会证明两向量垂直,以及能解决一些简单问题. 二.填空题(每题 5 分,共 25 分) 11.求值:sin750°= .

考点:运用诱导公式化简求值. 专题:三角函数的求值. 分析:利用终边相同角的诱导公式及特殊角的三角函数值即可得答案. 解答: 解:sin750°=sin(2×360°+30°)=sin30°= , 故答案为: . 点评:本题考查运用诱导公式化简求值, 着重考查终边相同角的诱导公式及特殊角的三角函 数值,属于基础题.

12.若向量

=(1,2) ,

=(3,4) ,则

= (4,6) .

考点:平面向量的坐标运算. 专题:平面向量及应用. 分析:根据向量的三角形法则可得 解答: 解: .

=(1,2)+(3,4)=(4,6) ,

故答案为: (4,6) . 点评:本题考查平面向量的坐标运算,属基础题.

13.函数 y=5sin( x+

)的最小正周期是=

5π .

考点:三角函数的周期性及其求法. 专题:三角函数的图像与性质. 分析:直接利用三角函数的周期公式,求出函数的周期即可. 解答: 解:函数 y=5sin( x+ ∴T= =5π. )中 ω= ,

故答案为:5π. 点评:本题考查三角函数的周期公式的应用,是基础题.

14.已知

,则 cosα﹣sinα= ﹣



考点:同角三角函数基本关系的运用. 专题:三角函数的求值. 分析:根据 α 的范围,确定 cosα﹣sinα 的符号,然后利用平方,整体代入,开方可得结果.

解答: 解:因为 2 所以 cosα﹣sinα=﹣ 故答案为: . = ,

,所以 cosα﹣sinα<0,所以(cosα﹣sinα) =1﹣

2

点评:本题是基础题,考查三角函数的化简求值,注意平方关系的应用,角的范围以及三角 函数的符号是解题的关键,考查计算能力,推理能力.

15.对于函数 f(x)=

,给出下列四个命题:

①该函数是以 π 为最小正周期的周期函数; ②当且仅当 x=π+kπ(k∈Z)时,该函数取得最小值﹣1; ③该函数的图象关于 x= ④当且仅当 2kπ<x< +2kπ(k∈Z)对称; +2kπ(k∈Z)时,0<f(x)≤ .

其中正确命题的序号是 ③④

. (请将所有正确命题的序号都填上)

考点:三角函数的最值;三角函数的周期性及其求法;余弦函数的单调性. 专题:作图题;数形结合. 分析:由题意作出此分段函数的图象, 由图象研究该函数的性质, 依据这些性质判断四个命 题的真假,此函数取自变量相同时函数值小的那一个,由此可顺利作出函数图象. 解答: 解:由题意函数 f(x)= 象. 由图象知,函数 f(x)的最小正周期为 2π, 在 x=π+2kπ(k∈Z)和 x= +2kπ(k∈Z)时,该函数都取得最小值﹣1,故①②错误, +2kπ(k∈Z)对称, ,故③④正确. ,画出 f(x)在 x∈[0,2π]上的图

由图象知,函数图象关于直线 x= 在 2kπ<x< 故答案为

+2kπ(k∈Z)时,0<f(x)≤ ③④

点评:本题考点是三角函数的最值, 本题是函数图象的运用, 由函数的图象研究函数的性质, 并以由图象研究出的结论判断和函数有关的命题的真假. 三.解答题(16.17.18.19 题每题 12 分,20 题 13 分,21 题 14 分,共 75 分) 16.已知向量 =(3,﹣1) , =(2,1)求: (1)| + | (2)求 与 的夹角 (3)求 x 的值使 x +3 与 3 ﹣2 为平行向量.

考点:数量积表示两个向量的夹角;平行向量与共线向量. 专题:平面向量及应用. 分析: (1)由题意求得 + 的坐标,可得| + |的值. (2)由条件根据 cosθ= = = ,求得 与 的夹角 θ 的值.

(3)求出 x +3 和 3 ﹣2

的坐标,根据这两个向量为平行向量,利用两个向量共线的性

质,求得 x 的值,可得结论. 解答: 解: (1)由题意可得 + =(5,0) ,∴| + |=5. (2)由于 则 cosθ= =6﹣1=5,| |= = = ,| |= ,∴θ= . ,设 与 的夹角为 θ,

(3)由于 x +3 =(3x+6,3﹣x) ,3 ﹣2 =(5,﹣5) ,且这两个向量为平行向量, ∴(3x+6) (﹣5)﹣5(3﹣x)=0,求得 x=﹣ ,即 x=﹣ 满足使 x +3 与 3 ﹣2 为平行 向量.

点评:本题主要考查两个向量的数量积的定义, 两个向量坐标形式的运算, 两个向量共线的 性质,属于基础题.

17. (1)已知 tanα=﹣4,求 (2)已知 sin(3π+θ)= ,求 + 的值.

的值;

考点:运用诱导公式化简求值;三角函数的化简求值. 专题:三角函数的求值. 分析: (1)tanα=﹣4,将所求关系式中的“弦”化“切”,再将 tanα=﹣4 代入计算即可; (2)由诱导公式可知 sinθ=﹣ ,利用诱导公式化简后将 sinθ=﹣ 代入计算即可. 解答: 解: (1)∵tanα=﹣4, ∴原式= = =2; .

(2) 由已知得 sinθ=﹣

点评:本题考查运用诱导公式化简求值,考查“弦”化“切”,与平方关系式的应用,属于中档 题. 18.已知△ ABC 顶点的直角坐标分别为 A(3,4) ,B(0,0) ,C(c,0 ) (1)若 c=5,求 sin∠A 的值; (2)若∠A 是钝角,求 c 的取值范围. 考点:向量在几何中的应用. 专题:计算题. 分析: (1)通过向量的数量积求出角 A 的余弦,利用平方关系求出 A 角的正弦. (2)据向量数量积的公式知向量的夹角为钝角等价于数量积小于 0,列出不等式解. 解答: 解: (1)根据题意, , 若 c=5,则 ∴ (2)若∠A 为钝角, 则 解得 , , ,∴sin∠A= ; ,

∴c 的取值范围是



点评:本题考查向量数量积在解三角形中的应用及向量的夹角为钝角转化为数量积小于 0. 19.如图,函数 y=2sin(πx+φ) ,x∈R(其中 0<φ≤ (1)求 φ 的值; (2)设 P 是图象上的最高点,M,N 是图象与 x 轴交点,求 夹角的余弦值. )的图象与 y 轴交与点(0,1) .

考点:数量积表示两个向量的夹角;由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式. 专题:计算题. 分析: (1)把点(0,1)代入函数 y=2sin(πx+φ) ,再由?的取值范围求出 φ 的值. (2)由(1)知 函数 y=2sin(πx+ ) ,结合图象可得点 P( ,2 ) ,M(﹣ ,0) ,N ( , >的值. 知

0) ,△ PMN 中,由余弦定理可求得 cos<

解答: 解: (1)把点(0,1)代入函数 y=2sin(πx+φ)可得,sinφ= ,再由 0<φ≤ φ= . ) ,结合图象可得点 P( ,2 ) , = ﹣2× ,PN= × cos< = ,MN=1, >,

(2)由(1)知 函数 y=2sin(πx+ M(﹣ ,0) ,N ( ,0) ,故 PM= △ PMN 中,由余弦定理可得 1= 解得 cos< >= . +

点评:本题主要考查余弦定理的应用, 两个向量的数量积的定义, 以及由函数 y=Asin (ωx+?) 的部分图象求解析式,属于中档题.

20.已知向量 =(cosx,﹣1+sinx) , =(2cosx,sinx) (1)试用 sinx 表示 ? ; (2)求 ? 的最大值及此时的 x 的值.

考点:平面向量数量积的运算. 专题:平面向量及应用. 分析: (1)利用向量的数量积的坐标运算表示 ? ,然后进行三角变换; (2)利用(1)将解析式平方,借助于二次函数以及正弦的范围求 ? 的最大值. 解答: 解: (1)∵向量 =(cosx,﹣1+sinx) , =(2cosx,sinx) , ∴ ? =2cos x﹣sinx+sin x=﹣sin x﹣sinx+2, ∴ (2)2 由(1) ∵﹣1≤sinx≤1, ∴ , . 点评:本题考查了向量的数量积的坐标运算以及二次函数求最值. 21.已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ) , (ω>0,|φ|<π)部分图象如图所示. (1)求 ?,? 的值; (2)若方程 f(x+ i)m 的取值范围; ii)求 x1+x2. )=m 在区间[0, ]内有两个不相等的实数根 x1,x2.求: ,
2 2 2

考点:由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式. 专题:综合题;三角函数的图像与性质. 分析: (1)由周期求出 ω,由最高点求出 φ 的值; (2)i)数形结合可得,要有两个不相等的实根,即可求出 m 的取值范围; ii)利用对称性求 x1+x2. 解答: 解: (1)

(2)i)f(x+ ∵

)=sin(2x+ ,∴

) , , ]内有两个不相等的实数根 x1,x2, ;

由图,方程 f(x+

)=m 在区间[{0,

数形结合可得,∴要有两个不相等的实根,∴m∈ ii)利用对称性,可得 .

点评:本题考查函数与方程的综合运用,正弦函数的值域,正弦函数的对称性,得到 m 的 取值范围,是解题的难点.



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