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数系的扩充与复数的引入单元测试题二



数系的扩充与复数的引入单元测试题二
一、选择题 1. 已知全集 C ? ?复数? , Q ? ?有理数? , S ? ?无理数? , R ? 实数 , P ? ?虚数? ,那么

?

?

P ? Q 的补集是(

)A.S

B.C

C.R

/>
D.Q )象限.

2. 已知 3 ? 3i ? z ? (?2 3i) ,那么复数 z 在复平面内对应的点位于第( A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

3. 已知复数 Z ? a ? i ? a ? R ? 对应的点都在圆心为原点的单位圆内 (不包括边界) ,则 a 的 取值范围是( )A. ? ?1,1? B.

1 3

? 0,1?

C. ? ?

? 2 2 2 2? , ? ? 3 3 ? ? ?

D. ? ?1, 0 ? ? ? 0,1?

4.设 a ? ?

?2 ? ,1? ,则复数 ? 3a ? 2 ? ? ? a ? 1? i 的对应点位于复平面的( ?3 ?
B. 第二象限 C. 第三象限 ) D. 第四象限



A.第一象限 5. 计算 (

2

1 ? 3i

)2 ? (

1? i 3 ?i

)2 ? (

A.

3 ? 2 ? (1 ? 2 3 )i 4 3 ? 2 ? (1 ? 2 3 )i 4
2

B.

3 ? 2 ? (1 ? 2 3 )i 4

C.

D.

3 ? 2 ? (1 ? 2 3 )i 4

6.已知复数 Z 与(Z-2) –8i 均为纯虚数,则 Z 为( ). A 2i B –2i C ±2i D i 7. 若 ? ? ? 0, 2? ? ,若 Z ? 1 ? sin ? ? ? cos ? ? sin ? ? i 是虚数,则 ? ? ( A. ).

?
4



3? 4

B.

?
4



5? 4

C.

?
4



5? 6

D.

?
3



3? 4
D. ?? 2,?1?

8. 已知正方形 ABCD 的三个顶点坐标分别是 A(1,2) ,B(-2,1) ,C(-1,-2) ,则 D 点的坐标是( )A.

?2,1?

D. ?? 2,1?

C. ?2,?1? )

6 5 4 3 9. 已知 z=2 ? i ,则 z ? 3z +z +5z +2 的值为(

A. 1

B.

-1
2

C.

-2
2

D. 2

10. 已知集合 M={1, (m ? 3m ? 1) ? (m ? 5m ? 6)i } ,N={1,3} ,M∩N={1,3} ,则实 数 m 的值为( ).A. 4 B.-1 C.4 或-1 D.1 或 6

11.

?1 ? 3i ? ? ?1 ? 3i ?
15

6 4

2i ?? 1 ? i ?

12

?1 1 ? ? ? i? ?2 2 ?

=(

) A. 1025 i

B. 1026 i

C. 1027 i

D. 1028 i

12. 设函数 f ?z ? ? 1 ? z ? z ,z1=2+3i,z2=5-i,则 f z1 ? z 2 =
2

?

?

(

)

A. 3+20i 二、填空题 13、计算: ( ?

B. -3-20i

C. -3+20i

D. 3-20i

1 3 10 1 ? i 6 ? i) ? ( ) = 2 2 2

14、已知复数 z1=3+4i, z2=t+i,,且 z1· z 2 是实数,则实数 t 等于 15、如果复数 z 满足 z ? 1 ? i ? 2 ,则 z ? 2 ? i 的最大值是 16、已知虚数 ( x ? 2) ? yi ( x, y ? R )的模为 3 ,则 最小值为 .

y 的最大值是 x



y ?1 的 x ?1

三、解答题 17. 已知 x ? 3i

?

?

3

? 1 ? ? log 2 ? 4 ? ,求 x . ?2 ?

18.计算:1+i+3 i +…+1000 i

2

999

19. (本题满分 12 分)是否存在实数 a,使得复数 Z=a -a-6+ 的点在虚轴上,说明理由。

2

a 2 ? 2a ? 15 i 在复平面上对应 a2 ? 4

20. 若复数 z 满足 z ? 1, 求复数 2 z ? 3 ? 4i 对应的点的轨迹.

21. 已知复数 Z 满足 Z ? 4 ? Z ? 4i 且 Z ?

14 ? Z ? R ,求 z. Z ?1

2 22.设 ? , ? 是关于 x 的方程 x ? 2 x ? m ? 0(m ? R) 的两个根,求 ? ? ? 的值.

参考答案 一、选择题 1. B 2:D 提示:由 3 ? 3i ? z ? (?2 3i) 可得: z ? 内对应的点位于第四象限. 3.C 4.D 5.D 6.A 提示:设 Z ? bi ,代入(Z-2) –8i 展开后令其实部为零求出 b . 7.B
2

3 ? 3i ? 2 3i

?

3 ? 3i 2 3

?

1 3 ? i .,所以 z 在复平面 2 2

8.C 提示: 设点 D 对应的复数为 Z ? x ? yi, ?x, y ? R ? .∵ABCD 为正方形 而 BA 表示的复数为 (1 ? 2i) ? (?2 ? i) ? 3 ? i 即 CD 表示的复数为 3 ? i 又? OD ? OC ? CD
即点D表示的复数为2 ? i

∴ CD ? BA

? OD 表示的复数为 (?1 ? 2i) ? (3 ? i) ? 2 ? i
? 点D的坐标为(2, ? 1)

9.D 提示: ∵z=2 ? i,∴(z ? 2) 2 =( ? i) 2 = ? 1,即 z 2 ? 4z+5=0.
6 5 4 3 2 4 3 ∴z ? 3z +z +5z +2=(z ? 4z+5) (z +z )+2=2.
2 ? ?m ? 3m ? 1 ? 0 10.B 提示:由 M∩N= {1,3} 知 (m ? 3m ? 1) ? (m ? 5m ? 6)i 为纯虚数即 ? 2 ? ? m ? 5m ? 6 ? 0

2

2

11.B 提示: 原式 ?

215 ? ?? 1? ? 2 6 ? ?? 1? 2 6 ? 2 9 ? 1 2?? 513 ? ? i ? ? ? 1026 i i ?i 25 ? i ? 1? 2i ? ?? 64 ? ? ? ? ? ? 4?
5 2

?

?

12.C 提示: ∵ z1-z2=2+3i-(5-i)=-3+4i,∴ z1 ? z 2 ? ? 3 ? 4i ? ?3 ? 4i . ∴ f z1 ? z 2 ? 1 ? ?z1 ? z 2 ? ? z1 ? z 2

?

?

?

? =1-(-3+4i)+(-3-4i)
2

2

=4-4i+9+24i-16=-3+20i. 二、填空题

13、 ?
14、

1 3?2 ? i 2 2

提示: 利用 ( ?

1 3 3 2 ? i ) ? 1 , ?1 ? i ? ? ?2i . 2 2

3 4

提示: z1· z 2 展开后令其虚部为 0,建立方程解 t .

15、 13 ? 2 16、 3
三、解答题 17. 解:由条件得:

18.解法 1:原式=(1+2i ? 3 ? 4i)+(5+6i ? 7 ? 8i)+…+(997+998i ? 999 ? 1000i) =250( ? 2 ? 2i)= ? 500 ? 500i 解法 2:设 S=1+2i+3 i +…+1000 i ∴(1 ? i)S=1+i+ i +…+ i
2 999 2 999

,则 iS=i+2 i +3 i +…+999 i

2

3

999

+1000 i

1000



? 1000 i1000

?a 2 ? a ? 6 ? 0 ? a ? 3或a ? ?2? 2 ? ? ? a ? 2a ? 15 ? 19. 解:假设存在实数 a,则 Z 满足以下条件: ? ? 0 ? a ? ? 5 或 3 ? ? 方程 2 a ? 4 ? ? ? a 2 ? 4 ? 0 ? a ? ?2 ? ? ?
组无公共解,故不存在这样的实数 a. 20. 解: 设z ? a ? bi(a,b ? R) ,另设复数? ? 2z ? 3 ? 4i,且? ? x ? yi( x,y ? R)
则x ? yi ? 2(a ? bi) ? 3 ? 4i ? (2a ? 3) ? (2b ? 4)i

x?3 ? ?a ? 2 ? x ? 2a ? 3 ? 由复数相等,得 ? ?? ?y ? 2 b ? 4 ?b ? y ? 4 ? 2 ?

? z ? 1 ?a ? b ? 1
2 2

? x ? 3? ? y ? 4? 2 2 ?? ? ?? ? ? 1即 ?x ? 3? ? ? y ? 4? ? 4 . ? 2 ? ? 2 ?

2

2

它表示以(3, ? 4)为圆心,以2为半径的圆 .

21. 解:设 z=x+yi(x,y∈R)

将 z=x+yi 代入|z ? 4|=|z ? 4i|可得 x=y,∴z=x+xi

(2)当|z ? 1| 2 =13 时,即有 x 2 ? x ? 6=0 则有 x=3 或 x= ? 2 综上所述 故 z=0 或 z=3+3i 或 z=-2 ? 2i 22.解、 ? ? 4 ? 4m , (1)当 ? ? 0 ,即 m ? 1 时,方程有两个实根: ? ? ?1 ? 1 ? m , ? ? ?1 ? 1 ? m , (a)当 0 ? m ? 1 时, ? ? ? = 1 ? 1 ? m ? 1 ? 1 ? m =2; (b)当 m ? 0 时, ? ? ? = 2 1 ? m ;

? ? ?1 ? (2) 当? ? 0, 即 m ? 1 时, 方程有两个共轭虚根:

m ? 1i ,? ? ?1 ? m ? 1i

? ? ? = 1 ? m ?1 ? 1? m ?1 ? 2 m .
?2 1 ? m , (m ? 0) ? 综上所述: ? ? ? = ?2, (0 ? m ? 1) ? ?2 m , (m ? 1)



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