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2016新疆天山职业技术学院数学单招试题测试版(附答案解析)



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一、选择题 π 1.若直线 l 与平面 α 所成的角为 ,则直线 l 与平面 α 内与 l 不相交的直线所成角 4 中最大,最小的角分别为( 3π π A. 4 ,4 π π B.2,4 C. 3π ,0 4 )

π D. ,0 2 π 解析:选 B.直线和平面内直线所成角

最大为2,而直线和平面所成角即为直线和平 π 面内所有直线所成角中的最小角,故最小角为 . 4 2.已知平面 α 截一球面得圆 M,过圆心 M 且与 α 成 60° 二面角的平面 β 截该球面 得圆 N.若该球面的半径为 4,圆 M 的面积为 4π,则圆 N 的面积为( A.7π B.9π C.11π D.13π 解析:选 D. )

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如图,由题意可知∠AMN=60° ,设球心为 O,连接 ON、OM、OB、OC,则 ON ⊥CD,OM⊥AB,且 OB=4,OC=4. 在圆 M 中,∵π·MB2=4π, ∴MB=2.在△OMB 中,OB=4, ∴OM=2 3. 在△MNO 中,OM=2 3,∠NMO=90° -60° =30° , ∴ON= 3. 在△CNO 中,ON= 3,OC=4,∴CN= 13, ∴S=π·CN2=13π. 3.在棱长为 2 的正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,点 A1 到截面 AB1D1 的距离是( 4 3 A. 3 C. 2 3 3 3 B. 4 D. 3 2 )

解析:选 C.

设 A1C1∩B1D1=O1, ∵B1D1⊥A1O1,B1D1⊥AA1, ∴B1D1⊥平面 AA1O1,故平面 AA1O1⊥平面 AB1D1,交线为 AO1,在平面 AA1O1 内 过 A1 作 A1H⊥AO1 于点 H,则易知 A1H 的长即是点 A1 到平面 AB1D1 的距离.在 Rt△ 2 3 A1O1A 中,A1O1= 2,AO1= 6,由 A1O1· A1A=A1H· AO1,可得 A1H= 3 .

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4.正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱上到异面直线 AB,CC1 的距离相等的点的个数为

( A.2 B.3 C.4 D.5

)

解析:选 C.如图所示,则 BC 中点、A1D1 中点、B1、D 分别到两异面直线的距离 相等,即满足条件的点有四个,故选 C 项. 5.设 C 是∠AOB 所在平面外的一点,若∠AOB=∠BOC=∠AOC=θ,其中 θ 是锐 3 角,而 OC 与平面 AOB 所成角的余弦值等于 3 ,则 θ 的值为( A.30° B.45° C.60° D.75° 解析:选 C.作 CC1⊥平面 AOB 于点 C1,CA1⊥OA 于点 A1,CB1⊥OB 于点 B1,连 接 OC1(图略),则∠COC1 为直线 OC 与平面 AOB 所成的角,则 OC1 是∠AOB 的平分线, θ 2cos22-1 x x cosθ 3 设 OA1=x,则 OC=cosθ,OC1= θ,易求得 cos∠COC1= θ= θ = 3 ,即 cos2 cos2 cos2 θ 3 θ θ 3 θ 3 θ 2cos22- 3 cos2-1=0,解之得 cos2= 2 或 cos2=- 3 (舍去),故2=30° ,所以 θ= 60° . 二、填空题 6.在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,若 M 为棱 BB1 的中点,则异面直线 B1D 与 AM 所成角的余弦值是__________. )

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解析:取 AA1 的中点 N,连结 B1N,DN(图略),则 AM∥B1N,∠DB1N 即为所求, 设正方体的棱长为 1,在△B1DN 中,求出各边长,利用余弦定理可求出∠DB1N 的余 15 弦值为 5 . 15 答案: 5 7.已知点 O 在二面角 α-AB-β 的棱上,点 P 在 α 内,且∠POB=45° .若对于 β 内 异于 O 的任意一点 Q,都有∠POQ≥45° ,则二面角 α-AB-β 的大小是________. 解析:由

已知∠POB 是 PO 和平面 β 所成角中的最小角. 由最小角定理,∠POB 是 PO 和面 β 所成的角. 即 BO 是 PO 在 β 内的射影,故 α⊥β. 即二面角 α—AB—β 的大小为 90° . 答案:90° 8.将正方形 ABCD 沿对角线 BD 折成直二面角 A—BD—C,有如下四个结论: ①AC⊥BD; ②△ACD 是等边三角形; ③AB 与平面 BCD 所成的角为 60° ; ④AB 与 CD 所成的角为 60° . 其中正确的序号是______.(写出你认为正确的所有结论的序号) 解析:

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取 BD 中点 O,连结 AO、CO, 则 AO⊥BD,CO⊥BD, ∴BD⊥面 AOC, ∴AC⊥BD.又 AC= 2AO=AD=CD, ∴△ACD 是等边三角形. 而∠ABD 是 AB 与平面 BCD 所成的角,∴应为 45° . 又 A C =A B +B D +D C (设 AB=a), 则 a2=a2+2a2+a2+2· a· 2a· (- 2 2 → → )+2· a· 2a· (- )+2a2cos〈A B ,D C 〉, 2 2









1 → → ∴cos〈A B ,D C 〉=2,∴AB 与 CD 所成角为 60° . 答案:①②④ 三、解答题 9.

如图所示,在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=AD=1,AA1=2,M 是棱 CC1 的 中点. (1)求异面直线 A1M 和 C1D1 所成的角的正切值; (2)证明:平面 ABM⊥平面 A1B1M. 解:(1)因为 C1D1∥B1A1,所以∠MA1B1 为异面直线 A1M 与 C1D1 所成的角.

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因为 A1B1⊥平面 BCC1B1,所以∠A1B1M=90° .
2 而 A1B1=1,B1M= B1C2 1+MC1= 2,

B1M 故 tan∠MA1B1=A B = 2,
1 1

即异面直线 A1M 和 C1D1 所成的角的正切值为 2. (2)证明:由 A1B1⊥平面 BCC1B1,BM?平面 BCC1B1,得 A1B1⊥BM.① 由(1)知,B1M= 2,又 BM= BC2+CM2= 2,B1B=2,所以 B1M2+BM2=B1B2, 从而 BM⊥B1M.② 又 A1B1∩B1M=B1,再由①②得 BM⊥平面 A1B1M,而 BM?平面 ABM,因此平面 ABM⊥平面 A1B1M. 10.如图,在四棱锥 P-ABCD

中,PD⊥底面 ABCD,底面 ABCD 为正方形,PD=DC,E、F 分别是 AB、PB 的 中点. (1)求证:EF⊥CD; (2)求 DB 与平面 DEF 所成角的正弦值. 解:

以 DA、DC、DP 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系(如图).

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a 设 AD=a,则 D(0,0,0),A(a,0,0),B(a,a,0),C(0,a,0),E(a, ,0),P(0,0,a), 2 a a a F(2,2,2). a a → → (1)证明:∵EF· DC=(-2,0,2)· (0,a,0)=0, → → ∴EF⊥DC,∴EF⊥CD. (2)设平面 DEF 的法向量为 n=(x,y,z), → ? DF=0, ?n· 则? → ? DE=0, ?n· ? , , ?=0, ??x,y,z?· 2 2 2 得? a ?a,2,0?=0, ??x,y,z?· a a a

?2?x+y+z?=0, 即? a ?ax+2y=0.
取 x=1,则 y=-2,z=1,∴n=(1,-2,1), → BD· n a 3 → ∴cos〈BD,n〉= = = . → 2a· 6 6 |BD|· |n| 3 设 DB 与平面 DEF 所成角为 θ,则 sinθ= 6 . 11.

a

如图,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,已知 BC=1,BB1=2,AB⊥平面 BB1C1C. (1)求直线 C1B 与底面 ABC 所成角的正切值; (2)在棱 CC1(不包括端点 C、C1)上确定一点 E 的位置,使 EA⊥EB1(要求说明理由);

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(3)在(2)的条件下,若 AB= 2,求二面角 A-EB1-A1 的大小. 解:

以 B 为坐标原点,BC、BB1、AB 所在的直线分别为 x、y、z 轴建立如图所示的空 间直角坐标系,则 B(0,0,0),C1(1,2,0),B1(0,2,0). → → (1)在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,平面 ABC 的一个法向量为BB1=(0,2,0),又BC1= 2 5 → → (1,2,0),设 BC1 与平面 ABC 所成的角为 θ,则 sinθ=|cos〈BB1,BC1〉|= 5 , ∴tanθ=2,即直线 C1B 与底面 ABC 所成角的正切值为 2. (2)设 E(1,y,0),A(0,0,z), → → 则EB1=(-1,2-y,0),EA=(-1,-y,z), ∵EA⊥EB1, → → ∴EA· EB1=1-y(2-y)=0, ∴y=1,即 E(1,1,0), ∴E 为 CC1 的中点. → → (3)由题知 A(0,0, 2),则AE=(1,1,- 2),且由(2)知B1E=(1,-1,0).设平面 AEB1 的一个法向量为 n=(x1,y1,z1), → ? AE=0 ?n· ?x1+y1- 2z1=0 则? ,∴? , → ?x1-y1=0 ? B1E=0 ?n· 令 x1=1,则 n=(1,1, 2). → ∵BE=(1,1,0), → → ∴BE· B1E=1-1=0, ∴BE⊥B1E. 又 BE⊥A1B1,

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∴BE⊥平面 A1B1E, → ∴平面 A1B1E 的一个法向量为BE=(1,1,0). → n· BE 2 → ∴cos〈n,BE〉= =2, → |n|· |BE| ∴二面角 A-EB1-A1 的大小为 45° .



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