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【备战2014】高考数学 2013届全国统考区(甘肃、贵州、云南)精选试题分类汇编3 三角函数 理



备战 2014 年高考之 2013 届全国统考区(甘肃、贵州、云南) 精选理科试题(大部分详解)分类汇编 3:三角函数

一、选择题 1 . ( 甘 肃 省 兰 州 一 中 2013 高 考 冲 刺 模 拟 ( 一 ) 数 学 ( 理 ) ) 设 函 数

f ( x) ? sin(? x ? ? ) ? cos(? x ? ? )(? ?

0, ? ?
f (? x) ? f ( x) 则
A. y ? f ( x) 在 (

?
2

) 的 最 小 正 周 期 为 ? , 且
( )

? 3?
4 ,

4 ? 3? C. y ? f ( x) 在 ( , ) 单调递减 4 4
【答案】D

) 单调递增

B. y ? f ( x) 在 (0, D. y ? f ( x) 在 (0,

? ?
2 2

) 单调递增 ) 单调递减

2 .(云南省部分名校 2013 届高三第一次统一考试理科数学(玉溪一中、昆明三中、楚 雄 一 中 ) ) 函 数

? n f ?x? ? A s i?x ? ? ? ? b 的 图 象 如 上 , 则

? S ? f ?0? ? f ?1? ? ? ? ? ? f ?2013 等于
A.0 B.503 C.2013 D.2014.5





【答案】D【解析】由图象可知函数的周期 T ? 4 ,即 T ?

2?

3 1 1 1 ? , ? A ? b ? , 解 得 A ? , b ? 1 , 所 以 f ( x )? s i n (x ? ? ? ) ,1又 2 2 2 2 2 1 ? 1 3? f (3) ? sin( ? 3 ? ? ) ? 1 ? s i ?? n ?( , ? , 即 即) 2 2 2 2 3? 3? 1 ? ?? ? ? 2k? , k ? Z ,所以 ? ? 2k? , k ? Z ,所 以 f ( x) ? sin( x) ? 1 。因 2 2 2 2 A?b ?


?

? 4 ,所以 ? ?

?
2



1

f (0) ? f (1) ? f (2) ? f (3) ? 4






1

3 S ? f (0) ? f (1) ? 503 ? 4 ? 1 ? ? 2012 ? 2014.5 ,选 2

D.

3 . ( 云 南 省 昆 明 三 中 2013 届 高 三 高 考 适 应 性 月 考 ( 三 ) 理 科 数 学 ) 设 函 数

f ( x) ?

5? sin ? 3 3 cos ? 2 x ? x ? tan ? ,其中 θ∈ [0, ] ,则导数 f ?( 1) 的取值范围是 12 3 2
( )

A.[-2,2] 【 答 案 】

B.[ D 【

2, 解

3] 析 】

C.[

3,2]

D.[

2,2] , 所 以

f '( x) ? sin ? x2 ? 3 cos? x

1 3 f '(1) ? sin ? ? 3 cos ? ? 2( sin ? ? cos ? ) 2 2

? 5? ? ? 3? ? 2sin(? ? ) , 因 为 0 ? ? ? ?? ? ? , 所 以 , 所 以 3 12 3 3 4 3? ? 2sin ? 2sin(? ? ) ? 2 , 即 2 ? f ' ( 1 ) , 即 导 数 f ?( 1) 的 取 值 范 围 是 ? 2 4 3
[ 2, 2] ,选
D.

4 .(云南省部分名校(玉溪一中、昆明三中、楚雄一中)2013 届高三下学期第二次统考 数学(理)试题)将函数 f ( x) ? sin(? x ? ? ) 的图象向左平移 原图象重合,则 ? 的值不可能等于 A.4 【答案】 B.6 B. C.8 D.12

? 个单位,若所得图象与 2
( )

5 .(甘肃省 2013 届高三第一次诊断考试数学(理)试题) 已知函数 f(x)=sin (2x+ ? ),其中 ? 为实数,若 f(x)≤ f ( ) 对 x∈R 恒成立,且 f ( ) ? f (? ) ,则

?

?

6

2

f(x)的单调递增区间是 A. ? k? ?

( B. ? k? , k? ?



? ?

?
3

, k? ?

??

(k ? Z ) 6? ? 2? ? (k ? Z ) 3 ? ?

? ?

??
2? ?

(k ? Z )

C. ? k? ?

? ?

?
6

, k? ?

D. ? k? ?

? ?

?

? , k? ? ( k ? Z ) 2 ?
2

【答案】C【解析】若 f ( x) ? f ( ) 对 x ? R 恒成立,则 f ( ) ? sin(

?

?

?
3

6

6

? ? ) ? 1,

, k ? Z .由 f ( ) ? f (? ) ,( k ? Z ), 2 3 2 6 7? 可知 sin(? ? ? ) ? sin(2? ? ? ) ,即 sin ? ? 0 ,所以 ? ? 2k? ? , k ? Z ,代入 6 7? ? 7? ? ) ,由 2k? ? 剟 x ? 2 2 k? ? , f ( x) ? sin(2 x ? ? ) ,得 f ( x) ? sin(2 x ? 6 2 6 2 5? ? 得 k? ? C. 剟 k? ? ,故选 x 6 3
所以

?

? ? ? k? ?

?

, k ? Z , ? ? k? ?

?

?

6 .(【解析】甘肃省天水市一中 2013 届高三上学期第三次考试数学理试题)若 函 数

f ( x) ? sin ? x ? 3 cos ? x, x ? R, 又f (a) ? ?2, f (? ) ? 0, 且 | ? - ? | 的 最 小 值 为
3? , 则正数? 的值为 4 1 2 A. B. 3 3
( C. )

4 3

D.

3 2

【 答 案 】 B 【 解 析 】 f ( x) ? sin ? x ? 3 cos ? x ? 2sin ? ? x ?

? ?

??

? , 因 为 3?

f ( a) ? 2 ,f ( ? ) ?0- ? |的 最 小值为 ? ? , 且|

??

2? 2? 2 ? ? 。 T 3? 3

3? ,所以函数 f(x)的周期为 3? ,所以 4

7 .(甘肃省兰州一中 2013 届高三上学期 12 月月考数学(理)试题)已知函数

f ( x) ? a sin x ? b cos x ,( a, b 为常数, a ? 0, x ? R )在 x ?
函数 y ? f (

?
4

处取得最小值,则

3? ? x) 4

A. 是偶函数,且它的图像关于 (? , 0) 对称 B. 是偶函数,且它的图像关于 (


3? , 0) 对 2

C. 是奇函数,且它的图像关于 (


3? , 0) 对称 D. 是奇函数,且它的图像关于 (? , 0) 对 2

【答案】D【解析】已知函数 f ( x) ? a sin x ? b cos x ? 数的周期为 2? ,又因为在 x ?

a 2 ? b 2 sin ? x ? ? ? ,所以函

?
4

处取得最小值,

3

不 妨 设 f ? x ? ? sin ? x ?

? ?

3? 4

3? ? ? 3? ? ? 3? ? x ? ? sin ? ?x? ? , 则y ? f ? 4 ? ? 4 ? ? 4

? ? ? ? sin x , 故 ?

3? ? f ? x ? ? sin ? x ? 4 ?

? ? 是奇函数且它的图像关于点 ?? , 0 ? 对称,因此选 D。 ?

8 .(云南省玉溪一中 2013 届高三第五次月考理科数学)设 ? 是第二象限角, P ? x,4? 为 其终边上的一点,且 cos ? ? A.

1 x ,则 tan ? = 5
C. ?





4 3

B.

3 4

3 4

D. ?

4 3

【 答 案 】 D 【 解 析 】 因 为 ? 是 第 二 象 限 角 , 所 以 cos ? ?

1 x?0 x?0 5 ,即 。又
D.

cos? ?

1 x? 5

x x 2 ? 16 ,解得

x ? ?3

,所以

tan ? ?

4 4 ? ? ,选 x 3

9 .(【解析】贵州省四校 2013 届高三上学期期末联考数学(理)试题)要得到函数

y ? 2 cos(2 x ? ) 的图象,只需将函数 y ? sin 2 x ? 3 cos 2 x 的图象 3
A.向左平移 C.向右平移 【 答

?





?

?

4 3

个单 位 个单位 案

B.向右平移

?

2

个单位 个单位 【 解 析 . 】 又

D.向左平移 】

?
8

A

1 3 ? y ? sin 2 x ? 3 cos 2 x ? 2( sin 2 x ? cos 2 x) ? 2 cos(2 x ? ) 2 2 6

? ? ? ? ? ? ? ? y ? 2cos(2 x ? ) ? 2cos(2 x ? ? ? ) ? 2cos(2 x ? ? ) ? 2cos[2( x ? ) ? ] , 所 3 3 6 6 2 6 4 6
以 只 需 要 将 y ? sin 2 x ? 3 cos 2x 的 图 象 向 左 平 移

?

y ? 2 cos(2x ?

?
3

4

个单位,即可得到

) 的图象,选 A.

10.(云南师大附中 2013 届高考适应性月考卷(八)理科数学试题(详解))定义在 R 上 的偶函数 f ( x ) 满足 f ( x ? 1) ? ?

2 ( f ( x) ? 0) ,且在区间 ? 2013,2014? 上单调递增, f ( x)


已知 ? , ? 是锐角三角形的两个内角,比较 f (sin ? ) , f (cos ? ) 的大小的结果是(

4

A. f (sin ? ) ? f (cos ? ) C. f (sin ? ) ? f (cos ? ) 【 答 案 】 f ( x ? 2) ? ?

B. f (sin ? ) ? f (cos ? ) D.以上情况均有可能

2 2 ?? ? f ( x) , 周 期 T ? 2 , 因 为 f ( x) 在 区 间 2 f ( x ? 1) ? f ( x)

( 2 0 1 3 , 2上单调递增,所以 f ( x) 在区间 (?1, 0) 上单调递增,又 f ( x) 在 R 上是偶函数, 014)

所以 f ( x) 在区间 (0, 1) 上单调递减.因为 ? , ? 是锐角三角形的两个内角,有 ? ? ? ?

π ,即 2

0?

π π ?π ? ? ? ? ? ? , sin ? ? sin ? ? ? ? ? cos ? ,从而, f (sin ? ) ? f (cos ? ) .故选 2 2 ?2 ?

A.

11.(贵州省贵阳市 2013 届高三适应性监测考试(二)理科数学 word 版含答案)已知 函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? )( A ? 0, ? ? 0,0 ? ? ? ? ) ,其导函数 f '( x) 的部分 图象如图所示,则函数 f ( x ) 的解析 A. f ( x) ? 4sin( x ? ( B )

1 2

3 ?) 4

1 ? f ( x) ? 4sin( x ? ) 2 4 . 2 ? f ( x) ? 4sin( x ? ) 3 4 .

C. f ( x) ? 4sin( x ?

1 3

?
4

)

D

【答案】

B.

12 . ( 云 南 省 昆 明 一 中 2013 届 高 三 新 课 程 第 一 次 摸 底 测 试 数 学 理 ) 化 简

4sin 2 ( ? ? ) tan( ? ? ) 4 4
A. sin 2? 【 答 B. cos 2? 案 】 C. sin ? A 【 D. cos ? 解 析 】
5

?

sin 4?

?







? ? ? ? ? ? 4sin 2 ( ? ? ) tan( ? ? ) ? 4cos 2 ( ? ? ) tan( ? ? ) ? 4cos( ? ? )sin( ? ? ) 4 4 4 4 4 4
? 2sin( ? 2? ) ? 2 cos 2? 2

?







sin 4? 2sin 2? cos 2? ? ? sin 2? ? 2cos 2? 2cos 2? 2 ? 4sin ( ? ? ) tan( ? ? ) 4 4 ,选 A. ?
13.(贵州省遵义四中 2013 届高三第四月考理科数学)已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) (其中 A ? 0, ? ? 需将 f ( x) 的图象

sin 4?

π )的部分图象如右图所示,为了得到 g ( x) ? sin 2 x 的图象,则只 2





π 个长度单位 6 π C.向左平移 个长度单位 6
A.向右平移

π 个长度单位 12 π D.向左平移 个长度单位 12 T 7 ? ? 2? 【答案】A【解析】由图象知 A ? 1, ? ? ? ? ,所以 T ? ? 。又 T ? ??, 4 12 3 4 ? 7? 7? 所 以 ? ? 2 。 此 时 函 数 为 f ( x) ? sin(2 x ? ? ) 。 f ( ) ? sin(2 ? ? ? ) ? ?1 , 即 12 12 7? ? ? ? sin( ? ? ) ? ?1 , 所 以 sin( ? ? ) ? 1 , 即 ? ? ? ? 2k? , k ? Z , 解 得 6 6 6 2
B.向右平移

??

?

3

? 2 k? , k ? Z







f ( x) ? sin(2x ?

?

g ( x) ? sin 2x ? sin[(2 ? x

?
3

? )

?
3

? sin[2(? ] x

?
6

? )

?
3

3

)


。 直 线

又 将

],



f ( x) ? sin(2 x ? ) 向右平移 个单位就能得到函数 g ( x) ? sin 2 x 的图象,选 A. 3 6
14 . ( 云 南 省 昆 明 一 中 2013 届 高 三 新 课 程 第 一 次 摸 底 测 试 数 学 理 ) 函 数

?

?

y ? cos(2 x ?

?
6

)在区间[?

?
2

,? ] 的简图是

6

【 答 案 】 B 【 解 析 】 将 y ? cos 2 x 的 图 象 向 左 平 移

?
12
B.

个单位得到函数

y ? cos 2( x ?

?
12

) ? cos(2x ?

?
6

) 的图象,选

15.(云南省部分名校 2013 届高三第一次统一考试理科数学(玉溪一中、昆明三中、楚 雄一中))函数 f ( x) ? sin 2 x ? 4 sin 3 x cos x( x ? R) 的最小正周期为 A. ( )

? 8

B.

? 4

C.

? 2

D. ?

【答案】C【解析】 f ( x) ? sin 2 x ? 4sin3 x cos x ? 2sin x cos x ? 4sin 3 x cos x

1 ? 2sin x cos x(1 ? 2sin 2 x) ? sin 2 x cos 2 x ? sin 4 x , 所 以 函 数 的 周 期 2 2? 2? ? T? ? ? ,选 C. ? 4 2
16.(云南省昆明一中 2013 届高三新课程第一次摸底测试数学理)在△ABC 中的内角 ( A. )

B.C 所对的边分别为 a,b,c,若 ( )

b ? 2c cos A, c ? 2b cos A, 则△ABC 的形状为
A.直角三角形 C.等边三角形 B.锐角三角形 D.等腰直角三角形

【 答 案】 C【 解析 】 由正 弦 定理 得 sin B ? 2sin C cos A,sin C ? 2sin B cos A, , 即

sin( A ? C ) ? 2sin C cos A ? sin A cos C ? cos A sin C
s i nA c o C ? s c oA s





sin( A ? C ) ? 0, A ? C ,同理可得 A ? B ,所以 s Cn ,所以 i? 0
C.

三角形为等边三角形,选

17 . ( 云 南 省 玉 溪 一 中 2013 届 高 三 第 三 次 月 考 理 科 数 学 ) 函 数
7

y ? 2 sin(
A. [0,

?
6 ]

? 2 x)( x ? [0, ? ]) 为增函数的区间是
B. [





?
3

?
12

,

7? ] 12

C. [

?
3

,

5? ] 6

D. [

【 答 案 】 C 【 解 析 】 因 为 y ? 2sin(

? 2 x) ? ?2sin(2 x ? ) , 由 6 6 ? ? 3 ? ? 5? ? 2 k? ? 2 x ? ? ? ? k ? , k ,解得 ? k? ? x ? 2 Z ? k? , k ? Z ,即函数 2 6 2 3 6 ? 5? ? 5? ? k? ]k ? Z ,所以当 k ? 0 时,增区间为 [ , ] ,选C. 的增区间为 [ ? k? , 3 6 3 6
18.(贵州省贵阳市 2013 届高三适应性监测考试(二)理科数学 word 版含答案)若

?

5? , ?] 6

?

3 tan a ? ,a 是第三象限的角,则 4
A. ?

a 2= a 1 ? tan 2 1 ? tan
C.2 D.-2





1 2

B. D.

1 2

【答案】

19 . ( 云 南 省 玉 溪 一 中 2013 届 高 三 第 四 次 月 考 理 科 数 学 ) 已 知 函 数

f ( x) ? 2sin(? x ? ? ) (? ? 0,0 ? ? ? π) 的图象如图所示,则 ? 等于





1 A. 3

2 D. 2 3 T 15? 3? 12? ? ? ? 【答案】C【解析】由图象可知 , 所 以 T ? 3? , 又 2 8 8 8 2? 2 T? ? 3? ,所以 ? ? ,选 C. ? 3
B. 1 C. 20 . ( 云 南 省 昆 明 一 中 2013 届 高 三 第 二 次 高 中 新 课 程 双 基 检 测 数 学 理 ) 已 知

2 24 A. 7

? 3 ? ? ( , ? ),sin ? ? , 则 tan 2? =
5
B.

( C. ?



24 25

【 答 案 】 D 【 解 析 】 因 为 ? ?(

?
2

24 25

D. ?

24 7

, ? ), sin ? ?

3 4 , 所 以 cos ? ? ? , 所 以 5 5
8

3 2 ? (? ) 2 tan ? 3 4 ? ? 24 ,选 ? tan ? ? ? 。所以 tan 2? ? 2 1 ? tan ? 1 ? (? 3 ) 2 7 4 4

D.

21 . ( 云 南 省 昆 明 一 中 2013 届 高 三 第 二 次 高 中 新 课 程 双 基 检 测 数 学 理 ) 函 数

y ? tan(2 x ? ? ) 的最小正周期是
A. 2? B. ? C.





?
2

D.

?
4

【答案】C【解析】根据正切函数的周期公式可知最小正周期为 T ?

? ? ? ,选C. ? 2

22 . ( 云 南 省 玉 溪 一 中 2013 届 高 三 第 四 次 月 考 理 科 数 学 ) 定 义 行 列 式 运 算

a1 a2 a3 a 4

= a1a4 ? a2 a3 .将函数 f ( x) ?

sin 2x cos 2 x

3 1

的图象向左平移

? 个单位,以下是 6
( )

所得函数图象的一个对称中心是

?? ? ? ,0? A. ? 4 ?
【 答 案 】

( , 0) B. 2
B 【 解 析

?

?? ? ? ,0? C. ? 3 ?
】 由 行 列 式

?? ? ? ,0? D. ? 12 ?
的 定 义 可 知

f ( x) ?

sin 2 x cos 2 x

? sin 2 x ? 3 cos 2 x ? 2sin(2 x ? ) ,函数 3 1

3

?

的图象向左平移

? 个 6

单 位 , 得 到 的 函 数 为 g ( x) ? 2sin[2( x ?

?

g ( ) ? 2sin(2 ? ) ? 2sin ? ? 0 ,所以 ( , 0) 是函数 g ( x) 的一个零点,选B. 2 2 2
23.(云南师大附中 2013 届高三高考适应性月考卷(三)理科数学试题)对于函数

?

?

?

) ? ] ? 2sin 2 x , 所 以 有 6 3

?

f ( x) ?

1 1 (sin x ? cos x) ? | cos x ? sin x | ,下列说法正确的是 2 2





A.该函数的值域是 ? ?1,1? B.当且仅当 2k? ? x ? 2k? ? C.当且仅当 x ? 2k? ?

?
2

(k ? Z ) 时, f ( x) ? 0

?
2

(k ? Z ) 时,该函数取最大值 1

D.该函数是以 ? 为最小正周期的周期函数

9

? ?sin x ,sin x<cos x , 2? 【答案】B【解析】 f ( x) ? ? 由图象知,函数值域为 ? ?1 , ? ,A 2 ? ?cos x ,sin x≥ cos x , ?
错;当且仅当 x ? 2kπ ?
2π ,D 错.

2 π , C 错;最小正周期为 (k ? Z) 时,该函数取得最大值 2 4

24 . ( 云 南 省 昆 明 市 2013 届 高 三 复 习 适 应 性 检 测 数 学 ( 理 ) 试 题 ) 已 知 函 数

f ( x) ? 2sin x( 3 cos x ? sin x) ?1 ,若 f ( x ? ? ) 为偶函数,则 ? 的一个值为 (
A.



?
2

B. B.

? 3

C.

? 4

D.

?
6

【答案】

25 . ( 【 解 析 】 云 南 省 玉 溪 一 中 2013 届 高 三 上 学 期 期 中 考 试 理 科 数 学 ) 函 数

y?

3 ? ? s i n x )? c o s ( ? x的最大值为 ( ? ) 2 2 6
13 4
B.





A.

13 4

C.

13 2

D. 13

【答案】C【解析】

y?

3 ? ? 3 3 1 sin( x ? ) ? cos( ? x) ? cos x ? cos x ? sin x 2 2 6 2 2 2

1 1 1 13 13 = 3 cos x ? sin x ,所以函数的最大值为 ( 3)2 ? ( )2 ? 3 ? ? , ? 2 2 4 4 2
选 C.

26.(甘肃省 2013 届高三第一次诊断考试数学(理)试题)设 sin( sin2 ? = A. ?

?
4

? ? )=


1 , 3


7 9

B. ?

1 9

D.

【答案】A【解析】因为 sin(

?

1 9

D.

7 9

1 ? ? )= ,即 4 3

2 2 1 2 sin ? ? cos ? ? , 所以sin ? ? cos ? = ,两边平方,得: 2 2 3 3
2 7 1+2 sin ? cos ? = ,所以 2 sin 2? =- 。 9 9
10

27 . ( 云 南 省 昆 明 一 中 2013 届 高 三 第 二 次 高 中 新 课 程 双 基 检 测 数 学 理 )

3 1 = ? ? cos10 sin170?
A.4 【 答 B.2 案 】 C. ?2 D 【 D. ?4 解 析







3 1 3 1 3 sin10? ? cos10? 2sin(100 ? 30? ) ? ? ? ? ? cos10? sin170? cos10? sin10? sin10? cos10? sin10? cos10?

?

2sin(?200 ) ?2sin 200 ? ? ?4 ,选 D. 1 sin100 cos100 0 sin 20 2

二、填空题 28.(甘肃省河西五市部分普通高中 2013 届高三第二次联合考试 数学(理)试题)如右 图,在△ABC 中,AB=AC=2,BC= 2 3 ,点 D 在 BC 边上,∠ADC= 75 ,则 AD 的
?

长为
A

B

D

C

【答案】 6 - 2 29 . ( 云 南师 大附 中 2013 届 高考 适 应性 月 考卷 (八 )理 科 数学 试 题( 详 解) ) 已知

1 ? ? ? sin ? ? ? ,且 ? ? ? ? ,0 ? ,则 sin 2? =________________. 3 ? 2 ?
【答案】 cos ? ? 1 ? ( ) ?
2

1 3

2 2 3

sin 2? ? 2sin ? cos ? ? ?

4 2 9

30.(云南省玉溪一中 2013 届高三第三次月考理科数学)在 ? ABC 中,D 为 BC 边上一 点,BC=3BD,AD= 2 ,∠ADB=1350,若 AC= 2 AB,则 BD= .

11

【 答 案 】 2 ? 5 【 解 析 】 作 AH ⊥ BC 于 H, 则 AH ? 1, DH ? 1



BH ? BD ? 1, CH ? 2BD ? 1.
2 2 2 又 AB ? BH ? AH ,所以 AB ? ( BD ? 1) ? 1,即, AB ? ( BD ? 1) ? 1 ,

2

2

2

2

AC 2 ? AH 2 ? 2 AB2 ? AH 2 ? 2 AB2 ?1 ? (2BD ?1)2 2 AB2 ? (2BD ?1)2 ? 1 ,








2( BD ? 1)2 ? 2 ? (2BD ?1)2 ? 1 , 整 理 得 2BD2 ? 8BD ? 2 ? 0 , 即
B ?D ? 0, 1
解 得

2 B D? 4

BD ? 2 ? 5



BD ? 2 ? 5





去). 31 . ( 贵 州 省 遵 义 四 中 2013 届 高 三 第 四 月 考 理 科 数 学 ) 已 知 ? 、 ? ? (0, ? ) , 且

tan(? ? ? ) ?

1 1 , tan ? ? ? , 2? ? ? ? 2 7
案 】







?

3? 4









1 1 ? tan(? ? ? ) ? tan ? 1 2 7 tan ? ? tan[(? ? ? ) ? ? ] ? ? ? ?1 , 所 以 1 ? tan(? ? ? ) tan ? 1 ? 1 ? (? 1 ) 3 2 7 1 2? 2 tan ? ? 3 ? 3 ? 1 , 所 以 0 ? 2? ? ? 。 ? , tan 2? ? 0 ?? ? 2 1 ? tan ? 1 ? ( 1 ) 2 4 4 4 3 3 1 ? (? ) tan 2? ? tan ? 7 ?1 。 因 为 0 ? ? ? ? , 所 以 tan(2? ? ? ) ? ? 4 3 1 ? tan 2? tan ? 1 ? ? (? 1 ) 4 7 ? 3? 。 ?? ? ? ? ? 0 ,所以 ?? ? 2? ? ? ? ,所以 2? ? ? ? ? 4 4
12

32.(贵州省贵阳市 2013 届高三适应性监测考试(二)理科数学 word 版含答案)设

?ABC 的内角 A、B、C 的对边长分别为 a、b、c,且 c=b+l=a+2,C=2A,则 ?ABC 的面
积等于_______. 【答案】

15 7 4

33.(云南省部分名校(玉溪一中、昆明三中、楚雄一中)2013 届高三下学期第二次统 考 数 学 ( 理 ) 试 题 ) 在

?ABC 中 , D

为 BC 1 ,

边 上 一

? 点, BC ? 3BD , AD ? 2 , ?ADB ? 135 ,若 AC ?

2 AB ,则 BD ? ___________.

【答案】

2? 5

3

34.(云南省昆明三中 2013 届高三高考适应性月考(三)理科数学)在 ?ABC 中,角 , 5 ??? ??? ? ? b2 ? c2 ? a2 ? 3bc ,若 AB ? BC ? 0 ,则 cos B ? sin C 的取值范围是 _____________. 【答案】 (

A、B、C 所对的边分别为 a、b、c 且 2b ? 2a ,log b ? log c , sin 2 sin 2

3 6 , ) 【 解 析 】 由 2b ? 2 a 得 b ? a , 因 为 0 ? sin 2 ? 1 , 所 以 由 2 2

c logsin 2 b ? logsin 2 c 得 b ? c . 所 以 b 最 大 . 因 为 b2 ? c2 ? a2 ? 3 b, 所 以 b2 ? c2 ? a2 ? 3bc , 即 cos A ?
B?C ?? ?

? b2 ? c 2? a 2 3bc 3 ? ? ,所以 A? 6 ,即 2bc 2bc 2

5? 5? ,因为 b ? c ,所以 B ? C ,即 6 ? B ? C ? B ? B ?2 B ,所 6 6 ??? ??? ? ? 5? A ? B 0 ? B, C 所 B? 以 以 . 因 为 12 ??? ??? ??? ??? ? ? ? ? ??? ??? ? ? s 0 AB ? BC ? AB ? BC cos(? ? B) ? ? AB ? BC cos B ? 0 , 所 以 c o B ? , 即

?

?

0?B?

?
2

,所以

5? ? ?B? . 12 2

cos B ? sin C ? cos B ? sin(? ?

?

? B) ? cos B ? sin( ? B) 6 6
13

?

3 3 ? ? cos B ? sin B ? 3 sin( B ? ) 2 2 3







5? ? ?B? 1 2



2





3? ? 5? 5? ? 3? 1 ? 2 ? B? ? ? sin( B ? ) ? sin ,即 sin ,即 ? sin( B ? ) ? ,所 4 3 6 6 3 4 2 3 2


3 ? 6 3 6 .即 cos B ? sin C 的取值范围是 ( ? 3 sin( B ? ) ? , ). 2 3 2 2 2

35.(云南省部分名校(玉溪一中、昆明三中、楚雄一中)2013 届高三下学期第二次统 考数学(理)试题)若 tan ? ? ? 【答案】

3 ? ,且 ? ? (0, ? ) ,则 sin( ? ? ) ? ________. 4 2

?

4 ; 5

36.(甘肃省 2013 届高三第一次诊断考试数学(理)试题)在△ABC 中,角 A,B,C 所 对 的 边 分 别 为 cosA= 【答案】 a , b , c , 若 ( 。

3 b - c ) cosA=acosC , 则

3 【解析】由正弦定理得: 3 sin B cos A ? sin C cos A ? sin A cos C , 3

即 3sin B cos A=sin C cos A+sin A cos C ,所以 3sin B cos A=sin( A ? C) ,即 3sin B cos A ? sin B ,因为 B 为三角形的内角,所以 sin B ? 0 ,两边同时除以
sin B ,得 cos A ?

3 。 3

37.(云南师大附中 2013 届高三高考适应性月考卷(三)理科数学试题)在锐角△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,若 b=2,B= sin2A+sin(A+C)=sinB,则△ABC 的面积为 【 答 案 】

? 且 3



3
cos A?


sin( C ? ) A?


sin(C A? , )





? sin 2A ? sin ? sin( ? C ,? 2 sin B A ) A

? 2sin A cos A ? 2cos A sin C. ? △ABC是锐角三角形 , cos A ? 0 , ? ? sin A ? sin C,即A ? C ? B ? π 1 3 , S△ABC ? ? 2 ? 2 ? ? ? 3. 3 2 2
14

三、解答题 38.(甘肃省兰州一中 2013 届高三上学期 12 月月考数学(理)试题)如图,A,B 是海面 上位于东西方向相距 5(3 ? 3) 海里的两个观测点,现位于 A 点北偏东 45? ,B 点北偏 西 60? 的 D 点有一艘轮船发出求救信号,位于 B 点南偏西 60? 且与 B 点相距 20 3 海 里的 C 点救援船立即前往营救,其航行速度为 30 海里/小时,该救援船到达 D 点需要 多长时间?

【答案】解:

39.(【解析】云南省玉溪一中 2013 届高三上学期期中考试理科数学)(本小题满分 12

15

分)已知函数 f ( x) ? (Ⅰ)当 x ? [ ?

3 1 sin 2 x ? cos 2 x ? , ( x ? R) 2 2

, ] 时,求函数 f ( x) 的最小值和最大值; 12 12

? 5?

(Ⅱ)设 ?ABC 的内角 A, B, C 的对应边分别为 a , b, c ,且 c ? 3, f (C) ? 0 , 若向量 m ? (1,sin A) 与向量 n ? (2,sin B) 共线,求 a , b 的值。 【 答 案 】

??

?

f(
∵? ∴?

?

3 2

?

x x)

?

3 1 1 sin 2 x ? cos 2 x ? 1 ? s x ? s 2 2 2

? x c 6

?。 2

i

i

o ?

?
12

?x?

5? ? ? 2? ,∴ ? ? 2 x ? ? , 12 3 6 3

3 ? 3 ? ? sin(2 x ? ) ? 1 ? 0 。 ? sin(2 x ? ) ? 1 ,从而 ? 1 ? 2 6 2 6 3 ,最大值是 0 。 2
? ) ? 1 ? 0 ,则 sin(2C ? ) ? 1 ,
6

则 f ( x ) 的最小值是 ? 1 ? (2) f (C ) ? sin(2C ? ∵ 0 ? C ? ? ,∴ ?

?
6

?
6

? 2C ?

?
6

?

11? ? ? ? ,∴ 2C ? ? ,解得 C ? 。 6 6 2 3

∵向量 m ? (1, sinA) 与向量 n ? (2, sinB) 共线,∴ sin B ? 2sin A , 由正弦定理得, b ? 2a
2 2


2

由余弦定理得, c ? a ? b ? 2ab cos 由①②解得 a ? 1, b ? 2 。

?
3

,即 a ? b ? ab ? 3
2 2



40.(云南省玉溪一中 2013 届高三第三次月考理科数学)(本小题满分 12 分)如图 A, B 是单位圆 O 上的动点,且 A, B 分别在第一,二象限. C 是圆与 x 轴正半轴的交点, ?AOB 为正三角形. 若 A 点的坐标为 ( x, y ) . 记 ?COA ? ? .
sin 2 ? ? sin 2? ?3 4? (1)若 A 点的坐标为 ? , ? ,求 的值; cos2 ? ? cos 2? ?5 5?

y
B O

A C

(2)求 | BC |2 的取值范围.

x

16

?3 4? 【答案】解:(Ⅰ)因为 A 点的坐标为 ? , ? ,根据三角函数定义可知, ?5 5?
0 ?? ?

?
2

,sin ? ?

4 3 ,得 cos ? ? ,.................................2 分 5 5

所以

sin 2 ? ? sin 2? sin 2 ? ? 2sin ? cos ? = ? 20 ..........................5 分 cos2 ? ? cos 2? 3cos2 ? ?1

(Ⅱ)因为三角形 AOB 为正三角形,所以 ?AOB ? 600 , 所以
cos ?COB = cos(?COA ? 600 ) = cos(? ? 60? ) ...............................6 分

? 所以 | BC |2 ?| OC |2 ? | OB |2 ?2 | OC || OB | cos ?BOC = 2 ? 2cos(? ? ) .........7 分 3
?

?
6

?? ?

?
2

,?

?
2

?? ?

?

5 ? ? , 3 6

5 ? ? ? cos ? ? cos(? ? ) ? cos , 6 3 2

即? ?

3 ? ? cos(? ? ) ? 0 ,.................................9 分 2 3

? 2 ?| BC |2 ? 3 ? 2 .................................10 分

41.(云南省昆明一中 2013 届高三新课程第一次摸底测试数学理)如图所示,勘探队员 朝一座山行进,在前后两处观察山顶的仰角分别是α,β,两个观察点之间的距离是 d 米。 (I)若 ? ? 45 , ? ? 30 , 求 sin(? ? ? ) 的值;
? ?

(II)求此山的高度 CD。









17

42.(云南省昆明市 2013 届高三复习适应性检测数学(理)试题)在 ?ABC 中,角

A、B、C 所对的边分别为 a、b、c ,已知
(Ⅰ)求 A 的大小; (Ⅱ)若 a ? 6 ,求 ?ABC 的周长的取值范围. 【答案】解:(Ⅰ)由条件结合正弦定理得, 从而 sin A ? 3 cos A , tan A ? 3 ∵ 0 ? A ? ? ,∴ A ?
a

a c ? 3 cos A sin C

,

3 cos A

?

c a ? sin C sin A

?
3

(Ⅱ)法一:由已知: b ? 0, c ? 0 , b ? c ? a ? 6 由余弦定理得: 36 ? b2 ? c2 ? 2bc cos (当且仅当 b ? c 时等号成立) ∴( (b ? c)2 ? 4 ? 36 ,又 b ? c ? 6 , ∴ 6 ? b ? c ? 12 , 从而 ?ABC 的周长的取值范围是 (12,18]
18

?

3 1 ? (b ? c)2 ? 3bc ? (b ? c)2 ? (b ? c)2 ? (b ? c)2 4 4 3

法二:由正弦定理得:

b c 6 ? ? ?4 3. sin B sin C sin ? 3

∴ b ? 4 3 sin B , c ? 4 3 sin C ,
2? ? ? b ? c ? 4 3(sin B ? sin C) ? 4 3 ?sin B ? sin( ? B)? 3 ? ?
?3 ? ? 3 ? 3 1 ? 4 3 ? sin B ? cos B ? ? 12 ? ?2 ? ? 2 sin B ? 2 cos B ? ? 2 ? ? ? ?

?? ? ? 12sin ? B ? ? . 6? ?


?
6

? B?

?
6

?

5? 6

?? ? ? ∴ 6 ? 12sin ? B ? ? ? 12 ,即 6 ? b ? c ? 12 (当且仅当 B ? 时,等号成立) 3 6? ?
从而 ?ABC 的周长的取值范围是 (12,18] 43.(甘肃省兰州一中 2013 高考冲刺模拟(一)数学(理))在锐角三角形 ABC 中,a、

b、c 分别是角 A、B、C 的对边,且 3a ? 2c sin A ? 0 .
(Ⅰ)求角 C 的大小; (Ⅱ)若 c ? 2 ,求 a+b 的最大值.

【答案】解:(Ⅰ)由 3a ? 2c sin A ? 0 及正弦定理, 得 3 sin A ? 2sin C sin A ? 0 ( sin A ? 0 ), ∴ sin C ?
3 ? ,∵△ABC 是锐角三角形, ∴ C ? 2 3

…………………………6 分

(Ⅱ)∵ c ? 2 , C ? 即 a 2 ? b2 ? ab ? 4

?
3

,由余弦定理, a2 ? b2 ? 2ab cos

?
3

?4,

………………………………………………………8 分

∴ (a ? b)2 ? 4 ? 3ab ? 4 ? 3 ? (

a?b 2 ) ,即 (a ? b)2 ? 16 , 2

∴ a ? b ? 4 ,当且仅当 a ? b ? 2 取“=”,故 a ? b 的最大值是 4.……………12 分 44.(甘肃省天水一中 2013 届高三下学期五月第二次检测(二模)数学(理)试题)设

? ? ? R , f ( x) ? cos x(? sin x ? cos x) ? cos 2 ( ? x) 满足 2
? ?? f ? ? ? ? f ? 0 ? . (1) 求函数 f (x) 的单调递增区间; ? 3?
19

(2)设 ?ABC 三内角 A, B, C 所对边分别为 a, b, c 且

a2 ? c2 ? b2 c ,求 f (x) 在 ? a 2 ? b 2 ? c 2 2a ? c

?0, B? 上的值域.
【答案】

45.(贵州省六校联盟 2013 届高三第一次联考理科数学试题)(本小题满分 12 分)已知

? ? ? ? a ? (2 cos x ? 2 3 sin x,1) , b ? ( y, cos x) ,且 a // b .
(I)将 y 表示成 x 的函数 f ( x) ,并求 f ( x) 的最小正周期; (II)记 f ( x) 的最大值为 M , a 、 b 、 c 分别为 ?ABC 的三个内角 A 、 B 、 C 对应 的边长,若 f ( ) ? M , 且 a ? 2 ,求 bc 的最大值. 【答案】解:(I)由 a // b 得 2 cos 2 x ? 2 3 sin x cos ? y ? 0 ········································· 2? 即 y ? 2 cos 2 x ? 2 3 sin x cos ? cos 2 x ? 3 sin 2 x ? 1 ? 2sin(2 x ? 所以 f ( x) ? 2sin(2 x ? 又T ?

A 2

? ?

?
6

) ?1

?
6

) ? 1 , ···················································································· 4?

2?

?

?

2? ?? 2

所以函数 f ( x) 的最小正周期为 ? . ···················································································· 6? (II)由(I)易得 M ? 3 ·································································································· 7?
20

于是由 f ( ) ? M ? 3, 即 2sin( A ? 因为 A 为三角形的内角,故 A ?

A 2

?

?
3

) ? 1 ? 3 ? sin( A ? ) ? 1 , 6 6

?

·················································································· 9?

由余弦定理 a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A 得 4 ? b 2 ? c 2 ? bc ? 2bc ? bc ? bc ······················ 11? 解得 bc ? 4 于是当且仅当 b ? c ? 2 时, bc 的最大值为 4 . 12? 46.(云南师大附中 2013 届高三高考适应性月考卷(四)理科数学试题)(本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ?

3 1 sin 2 x ? cos 2 x ? , x ? R . 2 2

(1)求函数 f ( x) 的最小正周期; ( 2 ) 设 ABC △ 的 内 角 A 、 B 、 C 的 对 边 分 别 为 a 、 b 、 c , 且 c ?

3,

f (C ) ? 9 , sin B ? 2sin A ,求 a, b 的值.
【答案】(本小题满分 12 分) 解:(Ⅰ) f ( x) ?

3 1 ? cos 2 x 1 π? ? sin 2 x ? ? ? sin ? 2 x ? ? ? 1 , 2 2 2 6? ?
2π ?π. 2

则 f ( x) 的最小正周期是 T ? 分)

………………………………………………(6

π? π? ? ? (Ⅱ) f (C ) ? sin ? 2C ? ? ? 1 ? 0 ,则 sin ? 2C ? ? ? 1 , 6? 6? ? ?

∵ 0 ? C ? π ,∴ 0 ? 2C ? 2π , ∴?
π π 11π , ? 2C ? < 6 6 6 π π ? ? ,∴ C ? , 6 2 3 a 1 ? ,① b 2

∴ 2C ?

∵ sin B ? 2sin A ,由正弦定理,得

? 由余弦定理,得 c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cos ,即 a 2 ? b 2 ? ab ? 3 , ② 3

由①②解得 a ? 1, b ? 2 .

……………………………………………………………(12

21

分)

22



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