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等差数列的性质习题课



等差数列的定义: a n ?1 ? an ? d .

等差数列的通项公式: an ? a1 ? ?n ? 1?d . an ? am d? . n?m 若a, A, b成等比数列,则 2 A ? a ? b.

等差数列的性质: (1)等差中项:2an=an+1+an-1
(2)在等差数列{an}中a1+an = = = …a

m+an-m —a3+ an-2 3.在等差数列{an}中,由

a2+ an-1—

m+n=p+q

am+an=ap+aq

2n ? p ? q时, 2a n ? a p ? aq

n?a1 ? an ? n?n ? 1? 等差数列的前 n项和:S n ? ? na1 ? d 2 2 ?S n ? S n ?1.?n ? 2? an ? ? ?S1.?n ? 1?
在等差数列中,
Sn , S2n ? Sn , S3n ? S2n成等差数列,即 2?S2n ? Sn ? ? Sn ? ?S3n ? S2n ?

例题分析 例1 .在等差数列{an}中 (1) 已知 a6+a9+a12+a15=20,求a1+a20 解:由 a1+a20 =a6+ a15 = a9 +a12 及

a6+a9+a12+a15=20,可得a1+a20=10
(2)已知 a3+a11=10,求

a6+a7+a8
,又已知

解: a3+a11 =a6+a8 =2a7

a3+a11=10, a 7 ? 5

a 6 ? a7 ? a8 ? 15

课堂练习: 1. 在等差数列{an}中,a1-a5-a9-a13+a17=-6, 则S17=

102

.

2. 在等差数列{an }中,a5+a10+a15+a20 =20, 则S24= . 120 3. 在等差数列{an }中,S6=65,

a7+a8+a9+a10+a11+a12=-15, 则a13+a14+ a15+a16+a17+a18=

-95

.

例2 一个等差数列的前四项的和为26,最 后四项的和为110,所有项的和为187,则 该数列共有多少项?

解: ? a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? 26 an ? an?1 ? an?2 ? an?3 ? 110
? a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? an ? an?1 ? an?2 ? an?3 ? 110 ? 26

? 4( a1 ? an ) ? 136 n( a1 ? an ) ? sn ? ? 187 2

n ? 34 ? ? 187? n ? 11 2

例3 : 求满足下列条件的数列 的通项 ( 1 )s ? 2n ? 3n; ( 2)s ? 2n ? 3n ? 4 n n
2 2

例4有两个等差数列{an },{bn }, 前n项和分别为: S n 7n ? 2 a5 s ,T 若 ? .求 n n Tn n?3 b5

例5:已知数列{a n }的首项a 1 ? 3, 通项an 和sn满足 2an ? sn ? sn?1 ( n ? 2), 1 ( 1 )求证: { }成等差数列 sn ( 2 )求通项 an

sn?1 ? sn 1 1 证明: ? ? ? sn sn?1 sn ? sn ?1
sn?1 ? sn 1 1 1 n ? ? ? ? ?? sn sn?1 sn ? sn?1 2a 2 n 1 1 1 ? ? ?? sn sn?1 2 1 ? 数列 { }是等差数列 sn ?a

1 1 1 ( 2 ) ? ? ?? sn sn?1 2 1 1 1 1 5 ? ? ? ( n ? 1) ? ( ? ) ? ? n ? sn s1 2 2 6

6 6 ? an ? sn ? sn?1 ? ? 5 ? 3n 5 ? 3( n ? 1)
18 ?a ? n (3n ? 5)(3n ? 8)

6 ?s ? n 5 ? 3n

?



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