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函数性质的综合运用(教师版)



江苏省泰州中学校本教学案

一轮复习 13

编者: 余静

预习讲义

2.7
课前训练

函数性质的综合应用

? 2x ? 3 ? 1.函数 y= ? x ? 3 ?? x ? 5 ?
答案: (-∞,4].

(

x ? 0), (0 ? x ? 1), 的值域为________________. ( x ? 1)

提示:当 x≤0 时,y=2x+3∈(-∞,3] ;当 0<x≤1 时,y=x+3∈(3,4] ;当 x>1 时,y=-x+5∈ (-∞,4).∴函数的值域为(-∞,3]∪(3,4]∪(-∞,4)=(-∞,4].

2.设函数 f(x)(x∈R)是奇函数, f (1) ? 答案:

1 ,f(x+2)=f(x)+f(2),则 f(5)=_____________. 2

5 . 2

1 ,且 f(1)=f(-1+2)=f(-1)+f(2),所以 f(2)=f(1)-f(-1) 2 3 5 =1,f(3)=f(2)+f(1)= ,f(5)=f(2)+f(3)= . 2 2
提示: 由已知 f(-1)=-f(1)= ? 2x 3.函数 f(x)= 在[1,2]的最大值和最小值分别是_______________________________. x+1 答案 4 ,1 3 2x 2?x+1?-2 2 4 = =2- 在[1,2]上是增函数,∴f(x)max=f(2)= ,f(x)min= x+1 x+1 x+1 3

解析 f(x)=

f(1)=1
4.设函数 f(x)是定义在 R 上的以 3 为周期的奇函数,若 f(1)>1, f ( 2) ? 值范围是_________________. 答案: ? 1 ? a ? 提 示 :

2a ? 3 ,则 a 的取 a ?1

2 . 3 f (?1) ? f (2) ?
,f(-1) = -f(1) < -1, ∴

2a ? 3 a ?1 2a ? 3 3a ? 2 2 ? ?1 ? ? 0 ? ?1 ? a ? . a ?1 a ?1 3

5.f(x)是定义在 R 上的以 3 为周期的奇函数,且 f(2)=0,在区间(0,6)内 f(x)=0 解的个数 的最小值是_________________.

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编者: 余静

答案:7. 提示:f(2)=f(5)=0,f(0)=f(3)=0,f(2)=f(-1)=-f(1)=0, ∴f(1)=f(4)=0.∴f(x)=0 在(0,6)内至少有 5 个根,x=1,2,3,4,5,1.5,4.5

6.“a≤0”是“函数 f(x)=|(ax-1)x|在区间(0,+∞)内单调递增”的_______条件. 答案 充分必要 解析 本题利用函数的图象确定字母的取值范围,再利用充要条件的定义进行判断. 当 a=0 时,f(x)=|(ax-1)x|=|x|在区间(0,+∞)上单调递增; 当 a<0 时, 结合函数 f(x)=|(ax-1)x|=|ax -x|的图象知函数在(0, +∞)上单调递增, 如图(1)所示;
2

当 a>0 时,结合函数 f(x)=|(ax-1)x|=|ax -x|的图象知函数在(0,+∞)上先增后减 再增,不符合条件,如图(2)所示. 所以,要使函数 f(x)=|(ax-1)x|在(0,+∞)上单调递增只需 a≤0. 即“a≤0”是“函数 f(x)=|(ax-1)x|在(0,+∞)上单调递增”的充分必要条件.

2

7.若函数 y ? x ? 3x ? 4 的定义域为 [0, m ] ,值域为 [ ?
2

25 , ? 4] ,则 m 的取值范围是_________. 4

答案: [ , 3] .
2 2 提示:因为函数 y ? x ? 3x ? 4 即为 y ? ( x ? ) ?

3 2

3 2

25 3 ,其图象的对称轴为直线 x ? , 4 2

其最小值为 ?

25 ,并且当 x ? 0 及 x ? 3 时, y ? ?4 ,若定义域为 [0, m ] ,值域为 4

[?

25 3 , ? 4] ,则 ? m ? 3 . 2 4

8.方程 lg x ? sin x 的实根个数是__________个. 分析:该方程为超越方程,用初等方法不能直接对其求解,应利用函数图像对其分析. 解:设 f1 ( x) ? lg x, f 2 ( x) ? sin x,? lg10 ? 1, 而

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3? ? 10 ? 4? , ? f1 ( x) 与 f 2 ( x ) 的图象有 3 个交点.
评注: 画函数图像时要注意函数图像的一些特征点, 本题中特别关注对数函数的特征点 (10, 1) ,否则会得出错误的答案.

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2.7
例题精讲 例1 范围.

函数性质的综合应用

设不等式 2 x ? 1 ? m( x 2 ? 1) 对满足 | m| ? 2 的一切实数 m 恒成立, 求实数 x 的取值

分析:此问题由于常见的思维定势,易把它看成关于 x 的不等式进行分类讨论.然而,若变 换一个角度以 m 为主元,记 f (m) ? ( x 2 ? 1)m ? (2 x ? 1) ,则问题转化为求一次函数(或常 数函数) f ( m) 的值在区间[-2,2]内恒负时参数 x 应该满足的条件.

解:记 f (m) ? ( x 2 ? 1)m ? (2 x ? 1) ,要使 f (m) ? 0 ,只要使 ?

? f ( ?2) ? 0 ? f (2) ? 0

即?

2 ? ??2( x ? 1) ? (2 x ? 1) ? 0 2 ? ?2( x ? 1) ? (2 x ? 1) ? 0

从而解得 x ? (

7 ?1 3 ?1 , ). 2 2

评注:本例采用变更主元法,化繁为简,再巧用函数图象的特征(一条线段) ,解法易懂易 做.如何从一个含有多个变元的数学问题里,选定合适的主变元,从而揭示其中主要的函数 关系,有时便成了数学问题能否“明朗化”的关键所在.

例 2 已知函数 f(x)=ax2+(b-8)x-a-ab(a≠0),当 x∈(-3,2)时,f(x)>0;当 x∈(-∞,- 3)∪(2,+∞)时,f(x)<0. (1)求 f(x)在[0,1]内的值域; (2)c 为何值时,不等式 ax2+bx+c≤0 在[1,4]上恒成立? 解 由 题 意 得 x = - 3 和 x = 2 是 函 数 f(x) 的 零 点 且 a≠0 , 则

?0=a· ?-3?2+?b-8?· ?-3?-a-ab, ? ? 2 ? 2 +?b-8?· 2-a-ab, ?0=a· ? ?a=-3, 解得? ∴f(x)=-3x2-3x+18. ?b=5, ?

(1)由图象知,函数在[0,1]内单调递减, ∴当 x=0 时,y=18;当 x=1 时,y=12,

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∴f(x)在[0,1]内的值域为[12,18]. (2)方法一 令 g(x)=-3x2+5x+c. 5 ∵g(x)在[ ,+∞)上单调递减, 6 要使 g(x)≤0 在[1,4]上恒成立, 则需要 g(x)max=g(1)≤0, 即-3+5+c≤0,解得 c≤-2. ∴当 c≤-2 时,不等式 ax2+bx+c≤0 在[1,4]上恒成立. 方法二 不等式-3x2+5x+c≤0 在[1,4]上恒成立, 即 c≤3x2-5x 在[1,4]上恒成立. 令 g(x)=3x2-5x, ∵x∈[1,4],且 g(x)在[1,4]上单调递增, ∴g(x)min=g(1)=3×12-5×1=-2,∴c≤-2. 即 c≤-2 时,不等式 ax2+bx+c≤0 在[1,4]上恒成立.

例3

已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x≥0 时 f(x)=2x-x2.

(1)求函数 f(x)的表达式并画出其大致图象; 1 1? (2)若当 x∈[a,b]时,f(x)∈? ?b,a?.若 0<a<b≤2,求 a、b 的值. 思维启迪 (1)根据函数奇偶性画出函数图象;(2)在区间[0,2]上,根据单调区间对 a、b 进 行分类讨论求解. 解 (1)当 x<0 时,f(x)=-f(-x)

=-(-2x-x2)=x2+2x,
?2x-x2 ?x≥0? ? ∴f(x)=? 2 , ?x +2x ?x<0? ?

f(x)的大致图象如右:

?2a-a =b (2)①0<a<b<1 时,f(x)为增函数,? 1 ?2b-b =a
2 2

1 ,

即 2ab-a2b=2ab-ab2=1,得 a=b,与 a<b 矛盾. ②1≤a<b≤2 时,f(x)为减函数,

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?2a-a =a ∴? 1 ?2b-b =b
2 2

1

??a-1??a2-a-1?=0 ? ,即? . 2 ??b-1??b -b-1?=0 ?

1+ 5 ∴a=1,b= . 2 1 ③0<a≤1<b<2 时,由图象知 f(1)= =1, a 得 a=1,由 a<b,知 1<b<2,此时与②一样. 1+ 5 综上:a=1,b= . 2

课后提升 1、 已知 f(x)是定义在 R 上的且以 2 为周期的偶函数,当 0≤x≤1 时,f(x)=x ,如果直线 y= x+a 与曲线 y=f(x)恰有两个交点,则实数 a=__________________. 答案:2k 或 2k ?
2

1 (k∈Z) . 4
1 .又函数的周期为 2,故所求 a 的值为 2k 或 4

提示:用数形结合法.由题意可作出函数的大致图象(如图),满足条件的直线有 L1 和 L2 两 类,L1 这种情况的 a=0,L2 这种情况的 a ? ?

2k ?

1 (k∈Z). 4

1? x ? 1 1 ? 的最大值与最小值分别为 M,m,则 M+m = 2、若函数 y ? 3 ? x2 ln( ) x? ? , ? 2 2? 1? x ? ?

.

答案:6.
2 提示: 由 f ( x) ? x ln(

1? x ) ? x 2 [ln(1 ? x) ? ln(1 ? x)] 知 f ( x) 在 [0, 1 ] 上是增函数,又因为 1? x 2

2 函数 f ( x) ? x ln(

1? x 1? x ? 1 1 ? 是增函数,故 ) 是奇函数,所以函数 y ? 3 ? x2 ln( ) x? ? , ? 2 2? 1 ? x 1? x ? ?

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1 1 1? 1? 1 1 M+m= [3 ? ( ) 2 ln( 2 )] ? [3 ? (? ) 2 ln( 2 )] ? 6 . 1 1 2 2 1? 1? 2 2

3.给出定义:若 m ?

1 1 <x≤ m ? (其中 m 为整数),则 m 叫做离实数 x 最近的整数,记作{x}, 2 2

即{x}=m.函数 f(x)=|x-{x}|(x∈R).对于函数 f(x),现给出如下判断: ①函数 y=f(x)是偶函数; ②函数 y=f(x)是周期函数;

1 1 , ]上单调递增; 2 2 1 ④函数 y=f(x)的图象关于直线 x ? k ? (k∈Z)对称. 2
③函数 y=f(x)在区间( ? 则判断正确的结论的个数是_____________. 答案:3. 提示:对①:当 x∈( m ?

1 1 1 1 , m ? ),m∈Z 时,-x∈( ? m ? , ? m ? ),∴{x}=m,{-x}= 2 2 2 2

1 ,m∈Z 时,f(x)= 2 1 1 1 f(-x) = , 故 函 数 y = f(x) 是 偶 函 数 . 对 ② : 对 任 意 x ∈ ( m ? , m ? ] ,x+1 ∈ 2 2 2 1 1 ( m ? 1 ? , m ? 1 ? ] , ∴ {x+1} = m+1. ∴ f(x+1) = |x+1-{x+1}| = |x+1-m-1| = |x-m| = 2 2 |x-{x}| = f(x). 故 函 数 y = f(x) 是 以 1 为 周 期 的 周 期 函 数 . 对 ③ : ∵ 1 1 1 1 1 f (? ) ?| ? ? {? } |?| ? ? 0 |? ,f(0)=|0-0|=0,∴③错误.对④:∵函数 y=f(x)是 3 3 3 3 3 偶函数,即 f(-x)=f(x),又函数 y=f(x)是以 1 为周期的周期函数,即 f(x+1)=f(x), 1 1 1 1 ∴ f(x+1) = f(-x) ? f ( ? x) ? f ( ? x) ? f (k ? ? x) ? f (k ? ? x) . 故函数 y = 2 2 2 2 1 f(x)的图象关于直线 x ? k ? (k∈Z)对称. 2
-m.∴f(-x)=|-x-{-x}|=|-x+m|=|x-m|=|x-{x}|=f(x);当 x ? m ?

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课后作业 一、填空题 1.下面四个结论:①偶函数的图象一定与 y 轴相交;②奇函数的图象一定通过原点;③偶函数 的图象关于 y 轴对称;④既是奇函数又是偶函数的函数一定是 f(x)=0(x∈R).其中正确命题 的个数是___________________ 答案:1. -2 0 提示:偶函数的图象关于 y 轴对称,但不一定与 y 轴相交,反例:y=x ,y=x 等,∴①错误, -1 ③正确.奇函数的图象关于原点对称,但不一定经过原点,反例:y=x ,∴②错误.若 y=f(x) 既是奇函数又是偶函数,由定义可得 f(x)=0,但未必 x∈R.(只要定义域关于原点对称就可 以) 2 2. 已知 f(x) 是定义在 R 上的奇函数 , 当 x > 0 时 ,f(x) = x -2x+1, 则 f(x) 的表达式为 _________.

? x 2 ? 2 x ? 1, x ? 0, ? 答案: f ( x) ? ?0, x ? 0, ?? x 2 ? 2 x ? 1, x ? 0 ?
提示:∵f(x)是奇函数,∴f(-0)=-f(0).∴f(0)=0.当 x<0 时,-x>0,则 f(-x)=x +2x+1.
2

? x 2 ? 2 x ? 1, x ? 0, ? 2 ∵f(-x)=-f(x),∴f(x)=-x -2x-1.∴ f ( x) ? ?0, x ? 0, ?? x 2 ? 2 x ? 1, x ? 0. ?
3. 函数 f(x) 对于任意实数 x 满足条件 f ( x ? 2) ? __________. 答案: ?

1 , 若 f(1) = -5, 则 f [ f(5) ]= f ( x)

1 . 5
1 1 ? f ( x) , 所以 f(5) = f(1) = -5, 则 f 得 f ( x ? 4) ? f ( x) f ( x ? 2) 1 1 ?? . f (?1 ? 2) 5

提示:由 f ( x ? 2) ?

[f(5)]=f(-5)=f(-1)=

4.若 f (sin x) ? 3 ? cos2 x ,则 f [sin( 答案: 3 ? cos 2 x . 提示: f [sin(

?
2

? x)] ?

?
2
2

? x )] ? f (sin x) ? 3 ? cos 2x ? 3 ? (1 ? 2sin 2 x) ? 2sin 2 x ? 2
2 2

所以 f ( x) ? 2 x ? 2 ,因此 f (cos x) ? 2cos x ? 2 ? (2cos x ?1) ? 3 ? 3 ? cos 2 x 5.设 f ? x ? ? ________. 答案: x .

1? x ,又记 f1 ? x ? ? f ? x ? , fk ?1 ? x ? ? f ? f k ? x ?? , k ? 1,2,?, 则 f 2008 ? x ? ? 1? x

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1 ? f 1 ( x) 提示:由已知条件得到 f 2 ( x) ? f [ f1 ( x)] ? ? 1 ? f 1 ( x) 1? 1? 1? 1? 1?

1?

1? x 1? x ? ? 1 , 1? x x 1? 1? x


f 3 ( x) ? f [ f 2 ( x)] ?

f 4 ( x) ? f [ f 3 ( x)] ?

1 f 1 ( x) x ? x ?1 ? 1 x ?1 f 1 ( x) 1? x x ?1 1? f 3 ( x) x ? 1 ? x , f ( x) ? f [ f ( x)] ? 1 ? x ? 5 4 x ?1 1? x f 3 ( x) 1? x ?1

可见, f n ( x) 是以 4 为周期的函数,而 2008 ? 502 ? 4 ,所以, f 2008 ( x) ? f 4 ( x) ? x 6.已知函数 f ( x) ? sin x ? 5x,x ? ( ?1,1) ,如果 f (1 ? a) ? f (1 ? a 2 ) ? 0 ,则实数 a 的 取值范围是__________. 答案: 1 ? a ?

2

提示: : 由题意知 f(x)是奇函数且在 (-1, 1) 上单调递增, 又由 f (1 ? a) ? f (1 ? a 2 ) ? 0 ,

? ?1 ? 1 ? a ? 1 ? 2 2 2 得 f (1 ? a) ? ? f (1 ? a ) ? f (a ? 1) ,则 ??1 ? 1 ? a ? 1 ,解得 1 ? a ? 2 . ?1 ? a ? a 2 ? 1 ?
n 5 7.若 x∈R、n∈N ,定义: M x =x(x+1)(x+2)?(x+n-1),例如: M ? 5 = (-5)× (-4)× (-3)×
*

(-2)×(-1)=-120,则函数 f ( x) ? xM 19 x ?9 的奇偶性为____________________. 答案:偶函数 提示: f ( x) ? xM 19 x ?9 =x(x-9)(x-8)?x?(x+8)[(x-9)+19-1]=x (x -9 )?(x -1).
2 2 2 2

二、解答题 8.已知函数 f ( x) ? 1 ? 2x ? 4x m 若此函数在(-∞,1)上有意义,求 m 的取值范围. 解: m ? ?

3 4

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9.已知函数 f ( x) ?

x 2 ? ax ? 4 ( x ? 0) . x

(Ⅰ)若 f ( x) 为奇函数,求 a 的值; (Ⅱ)若 f ( x) 在 [3,??) 上恒大于 0,求 a 的取值范围. 解:(Ⅰ) f ( x ) 的定义域关于原点对称 若 f ( x ) 为奇函数,则 f (? x) ? (Ⅱ) f ?( x ) ? 1 ?

(? x) 2 ? a ( ? x) ? 4 ? ? f ( x) ?x

∴a ? 0

4 x2

∴在 [3,??) 上 f ?( x) ? 0 ∴ f ( x ) 在 [3,??) 上单调递增 ∴ f ( x ) 在 [3,??) 上恒大于 0 只要 f (3) 大于 0 即可, ∴ 3a ? 13 ? 0 ? a ? ?

13 3 13 3

若 f ( x ) 在 [3,??) 上恒大于 0, a 的取值范围为 a ? ?

10.已知函数 g(x)=ax2-2ax+1+b(a≠0,b<1),在区间[2,3]上有最大值 4,最小值 1,设 f(x) = g?x? . x

(1)求 a,b 的值; (2)若不等式 f(2x)-k· 2x≥0 在 x∈[-1,1]上恒成立,求实数 k 的范围. 思维启迪 对于恒成立问题, 若能转化为 a>f(x) (或 a<f(x))恒成立, 则 a 必须大于 f(x)的最 大值(或小于 f(x)的最小值).因此恒成立问题可以转化为我们较为熟悉的求最值的问题进行 求解.若不能分离参数,可以将参数看成常数直接求解. 解 (1)g(x)=a(x-1)2+1+b-a. 当 a>0 时,g(x)在[2,3]上为增函数,
? ? ? ?g?3?=4, ?9a-6a+1+b=4, ?a=1, 故? 即? 解得? ?g?2?=1, ?4a-4a+1+b=1, ?b=0, ? ? ?

当 a<0 时,g(x)在[2,3]上为减函数,
?g?3?=1, ?9a-6a+1+b=1, ?a=-1, ? ? ? 故? 即? 解得? ? ? ? ?g?2?=4, ?4a-4a+1+b=4, ?b=3.

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因为 b<1,所以 a=1,b=0. 1 (2)方程 f(2x)-k· 2x≥0 化为 2x+ x-2≥k· 2x, 2 1 2 1 即 1+( x)2- x≥k.令 x=t,则 k≤t2-2t+1, 2 2 2 1 因为 x∈[-1,1],所以 t∈[ ,2],记 φ(t)=t2-2t+1, 2 所以 φ(1)min=0,所以 k≤0.

2 11.已知函数 f ?x ? ? ax 2 ? 2 4 ? 2b ? b 2 x , g ?x ? ? ? 1 ? ?x ? a ? (a,b∈R).

(1) 当 b=0 时,若 f (x)在[2,+∞)上单调递增,求 a 的取值范围; (2) 当 a 为整数时,若存在 x0 使得 f (x0)是 f (x)的最大值,g (x0)是 g(x)的最小值,求 a,

b 的值.
解:(1)当 b=0 时,f(x)= ax -4x, 不合题意.
2

若 a=0,则 f (x)=-4x,则 f(x)在[2,+ ? )上递减,

则知 a≠0,要使 f(x)在[2,+ ? )上单调递增,则知:a ? 1

(2) 若 a=0,f (x)=-2 4 ? 2b ? b 2 x,则 f (x)无最大值,由知 a≠0. 要使 f(x)有最大值,必须 ?

?a ? 0
2 ?4 ? 2b ? b ? 0

即 a<0 且 1- 5 ≤b≤1+ 5

此时 x ? x 0 ?

4 ? 2b ? b 2 ,f (x)取最大值. a
4 ? 2b ? b 2 ∈Z a

又 g (x)取最小值时, x ? x 0 ? a ,依题意有 a ?

2 ∴ a 2 ? 4 ? 2b ? b 2 ? 5 ? ?b ? 1? ? 5 ,又 a<0,a∈Z,

则 a=-1,此时 b =-1 或 3.

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? 1 ? x ? , x ? ? ?2, ?1? x ? ? ? 1? 20.已知函数 f ? x ? ? ? ?2, x ? ? ?1, ? ? 2? ? ? 1 ?1 ? ? x ? , x ? ? , 2? x ?2 ? ?
(1)判断当 x ?? ?2, ?1? 时,函数 f ? x ? 的单调性,并用定义证明之; (2)求 f ? x ? 的值域; (3)设函数 g ? x ? ? ax ? 2 , x ?? ?2, 2? ,若对于任意 x1 ? ? ?2, 2? ,总存在 x0 ???2,2? , 使得 g ? x0 ? ? f ? x1 ? 成立,求实数 a 的取值范围。 解(1)任取 ? 2 ? x1 ? x2 ? ?1 ,易化简得 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ( x1 ? x2 )(1 ?

1 ) x1 x2

1 1 ? 1 ,?1 ? ? 0 ,又? x1 ? x2 ? 0 ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 x1 x2 x1 x2
? f ( x) 在 ?? 2,?1? 上为增函数
(2) f ( x) 在 ?? 2,?1? 上为增函数,代入端点值计算得值域为 ??

? 5 ? ,?2 ? 2 ? ?

?1 ? 1 ? 1 ,2? ,2? y?? ? ? ? y ? x 在 ? 2 ? 上为增函数, x 在 ? 2 ? 上位增函数,
y ? x? 1 ? 1 ,2? ? ? x 在 ? 2 ? 上增函数

所以

? 3 3? ?1 ? f ( x)在? ,2?上为增函数,带入端点值计算得值域为 ?? , ? ? 2 2? ?2 ?
综上, f ( x) 值域为 ??

? 5 ? ? 3 3? ,?2 ? ?? , ? ? 2 ? ? ? 2 2?

(3) f ( x) 值域为 ??

? 5 ? ? 3 3? ? 5 3? ,?2? ? ?? , ? ,? g ( x) 值域为 ?? , ? 可满足题意 ? 2 ? ? 2 2? ? 2 2?

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5 ? ?? 2a ? 2 ? ? 2 7 当a ? 0,? ,得 a ? 3 4 ? 2a ? 2 ? 2 ? 5 ? 2 a ? 2 ? ? ? 2 ,得 a ? ? 7 当a ? 0 ,? 3 4 ?? 2a ? 2 ? 2 ?
综上, a ? ? ? ? ?,? 4 ? ? ? 4 ,?? ?

? ?

7? ?

?7 ?

? ?



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