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高三数学第一轮复习-第十九课时导数的综合应用




苏 省 沙 溪 高 级 中 学

2011 届 高

三 数 学 复 习 学 案

第 19 课时 导数的综合应用
导数是高中数学中重要知识点,它在研究函数性质,解决实际问题方面有着重要价值。纵观各地新 课标高考试卷,大多数试卷都有涉及导数的一个大题出现,主要内容考查导数与单调性、最值、切线这 三个方面的有关问题. 【基础训练】 1.函数 随 堂 反 思

f ( x) ?

a 3 b 2 x ? x ? cx ? d 在 R 上为减函数的充要条件是 3 2
,减区间是

2.函数 3.函数

f ( x) ? x 2 ? ln 2 x 的单调增区间是
y ? e x ? x ? 1 的极小值是
? ?? y ? x ? 2 cos x 在区间 ?0, ? 的最大值是 ? 2?

4.函数

5.周长为 12cm 的矩形围成的圆柱(无底) ,当圆柱的体积最大时,圆柱的底面周长 与圆柱高的比是 【例题分析】 例 1.(1)若函数

f ?x ? ?

1 3 x ? a 2 x 满足:对于任意的 x1 , x 2 ? ?0,1? 都 有 3

f ?x1 ? ? f ?x2 ? ? 1恒成立,则 a 的取值范围是

(2)已知函数

?1 ? f ?x ? ? ax ? x 4 , x ? ? ,1? , A, B 是其图象上不同的两点, ?2 ?
的斜率 k 总满足

若直线

AB

1 ? k ? 4 ,则实数 a 的值是 2 f ?x ? ,若函数 x

(3) 设 函 数

f ?x? ? x 3 ? 2ex 2 ? mx ? ln x , 记 g ? x ? ?

g ?x ? 至少存在一个零点,则实数 m 的取值范围是

1



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例 2.已知函数

f ( x) ? ln x ?

x ?1 x
(2)设 a

(1)确定函数

f (x) 的单调性;

ln a 1 ? 1,证明: ? a ?1 a

例 3.设函数 在x

f ( x) ? ax3 ? bx ? c 是定义在 R 上的奇函数,且函数 f (x) 的图像

? 1 处的切线方程为 y ? 3x ? 2

(1)求 a、b、c 的值; (2)若对任意 x ? (3)若对任意 x ?

?0,都有 f ( x) ? k 成立,求实数 k 的取值范围; 1?
x

?0,? 都有 3

f ( x) ? mx ? 16 成立,求实数 m 的取值范围.

【巩固训练】 1.函数

y ? x cos x 在 x ?

?
3

处的导数值是

2.设函数

f ( x) ? ( x ? 1)(x ? 2)(x ? 3)(x ? 4) ,则 f‘ ( x) ? 0 有

个实根

3.设向量 a 区间是

? (1 x),? ( x,,b 夹角的余弦值为 f (x) ,则 f (x) 的单调增 , b 1) a、

2



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4.设函数

, f ( x) ? ax3 ? 3x ? 1 ,若对于任意 x ? ?? 11? 都有 f ( x) ? 0 成立,

则实数 a 的值是 5.若函数 则实数 a f ( x) ? x 3 ? 3a 2 x ? 1 的图像与直线 y ? 3 只有一个公共点,

的取值范围是 6.若函数

f ( x) ? 2 x 2 ? ln x 在其定义域的一个子区间 ?k ? 1,k ? 1? 内不是单

调函数,则实数 k 的取值范围是 【感悟高考】 1.(2010 全国卷 2)设函数 (1)证明:当 x (2)设当 x

f ?x ? ? 1 ? e ? x
x ; x ?1

? ?1 时, f ? x ? ?

? 0 时, f ? x ? ?

x ,求 a 的取值范围. ax ? 1

2.(2010 全国卷 1 理数)已知函数 (1)若 xf

f ?x? ? ?x ? 1?ln x ? x ? 1 .

??x? ? x 2 ? ax ? 1,求 a 的取值范围;

(2)证明:

?x ? 1? f ?x? ? 0

3



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3.(2010 江苏卷)设

f (x) 是定义在区间 (1,??) 上的函数,其导函数为 f ' ( x) 。

如果存在实数 a 和函数 h(x) ,其中 h(x) 对任意的 x ? (1,??) 都有 h?x ? ? 0 , 使得

f ' ( x) ? h( x)(x 2 ? ax ? 1) ,则称函数 f (x) 具有性质 P (a ) 。
f ?x ? ? ln x ? b?2 ?x ? 1? ,其中 b 为实数。 x ?1
(ii)求函数

(1)设函数

(i)求证:函数

f (x) 具有性质 P(b) ;

f (x) 的单调区间。

(2)已知函数 g (x) 具有性质 P ( 2) 。给定 x1 , x2 ? (1, ??), x1 ? x2 , 设 m 为实数,

? ? mx1 ? (1 ? m) x2 , ? ? (1 ? m) x1 ? mx2 ,且 ? ? 1, ? ? 1 ,


g?? ? ? g?? ? ? g?x1 ? ? g?x2 ? ,求 m 的取值范围。

4


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