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9.21.3 二次函数与一元二次方程



数 学
新课标(HK) 九年级上册

21.3 二次函数与一元二次方程

21.3 二次函数与一元二次方程

基础自主学习 ? 学习目标1 阅读至本课时例题前内容,知道根的判别 式与二次函数图象和x轴交点个数之间的关系
1.抛物线 y=x2-4x+5 与 x 轴的交点个数为( A ) A.0 个

B.1 个 C.2 个 D.3 个

2. 若二次函数 y=x2-4x+c 的图象与 x 轴有两个交点,

c<4. 则 c 的取值范围为____
3. [2013· 滨湖区一模] 若抛物线 y=x2-x+m 与 x 轴只 1 有一个公共点,则 m=____ 4 .

21.3 二次函数与一元二次方程

2 b [归纳] 二次函数 y=ax +bx+c,当 -4ac>0 ____时,

2

2 b 抛物线与 x 轴有两个交点;当 -4ac=0 ____时,抛物线与

0 时, x 轴有一个交点; 当 b2-4ac<____ 抛物线与 x 轴没有交点.

21.3 二次函数与一元二次方程

? 学习目标2 会根据二次函数解一元二次方程 4. 二次函数 y=-x2+2x+k 的部分图象如图 21-3-1
所示,则关于 x 的一元二次方程-x2+2x+k=0 的一个解 x1=3,另一个解 x2=( A.1 B.-1

B

) D.0

C.-2

5.如图 21-3-2 为二次函数 y=ax2+bx+c 的图象, 方程 ax2+bx+c=0 的根是 x1=-1,x2=3 ____.

21.3 二次函数与一元二次方程

6.抛物线 y=ax2+bx+c 上部分点的横坐标 x、纵坐标 y 的对应值如下表:
x … -3 -2 -1 0 1 … y … -6 0 4 6 6 …

容易看出,(-2,0)是它与 x 轴的一个交点,则它与 x 轴的另

(3, 0) 一个交点的坐标为____ . 横坐标 [归纳] 二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与 x 轴交点的____ ,
就是对应方程 ax2+bx+c=0 的根.

21.3 二次函数与一元二次方程

重难互动探究
探究问题一
例1

二次函数图象与一元二次方程之间的关系

[教材例题变式题] 已知函数 y=ax2+bx+c 的图

象如图 21-3-3 所示,那么关于 x 的方程 ax2+bx+c+2= 0 的根的情况是( D ) A.无实数根 B.有两个相等的实数根 C.有两个异号的实数根 D.有两个同号不等的实数根

21.3 二次函数与一元二次方程

[解析]

由图可知二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与 x 轴

有两个交点,顶点坐标的纵坐标是-3.∵方程 ax2+bx+c+2 =0,∴当 ax2+bx+c=-2 时,即是在二次函数 y=ax2+bx +c 中,y=-2 求 x 的值,由图象可知:有两个同号不等的 实数根.

[ 归纳总结] 利用函数图象确定方程 ax2+bx+ c +k= 0 的根的情况,可以利用 y=ax2+bx+c 的图象与 y=-k 的图 象交点来进行判断.

21.3 二次函数与一元二次方程

探究问题二
例2

运用二次函数图象求方程的近似解
[教材例题变式题] 利用二次函数的图象估计一元

二次方程 x2+2x-10=0 的根.

[解析] 欲估计一元二次方程 x2+2x-10=0 的根,必须先画 出函数 y=x2+2x-10 的图象,确定根的大致范围,再进一 步估算.

21.3 二次函数与一元二次方程

解:作函数 y=x2+2x-10 的图象,如图 21-3-4.由图象可 知方程的一个根在-5 与-4 之间,另一个根在 2 与 3 之间.

21.3 二次函数与一元二次方程

我们先求-5 与-4 之间的根,利用计算器探索如下:
x -4.1 -4.2 -4.3 -4.4 0.56

y -1.39 -0.76 -0.11

∴一个根约为-4.3,即 x1≈-4.3. 同理可求出另一个根近似值为 x2≈2.3.

[归纳总结] 求一元二次方程的近似解,首先应画出它所对应 的二次函数的图象,观察函数图象与x轴的交点落在哪两个

数之间,再从介于这两个数之间的数中找近似解.

21.3 二次函数与一元二次方程

探究问题三

关于二次函数与不等式的问题

例 3 [教材例题拓展题] 二次函数 y=x2-x-2 的图象 如图 21-3-5 所示,则不等式 x2-x-2<0 的解集是( C ) A.x<-1 B.x>2 C.-1<x<2 D.x<-1 或 x>2

21.3 二次函数与一元二次方程

[解析] 由图可知,抛物线与 x 轴的交点为(-1,0),(2, 0),函数图象在 x 轴下方的部分所对应的函数值 y<0.所以, 不等式 x2-x-2<0 的解集是-1<x<2.故选 C.

[归纳总结] 此类题目主要利用数形结合的思想求解.已知函

数图象求不等式解集的问题,要先求出抛物线与x轴的交点
,然后观察图象得出不等式的解集是哪一部分函数图象对应 的自变量的取值范围.

21.3 二次函数与一元二次方程

例4

[教材例题拓展题] 如图 21-3-6, 抛物线 y1=ax2

+bx+c 与直线 y2=kx+h 相交于(3,0),(0,-3)两点,当 ax2+bx+c>kx+h 时,自变量 x 的取值范围是( D ) A.-1<x<3 B.x>3 或 x<-1 C.-3<x<3 D.x>3 或 x<0

21.3 二次函数与一元二次方程

[解析]

由图可知,x>3 或 x<0 时,抛物线在直线上

方,即 y1>y2,所以,当 y1>y2 时,自变量 x 的取值范围是 x >3 或 x<0.故选 D.

[归纳总结] 利用函数图象求不等式的解集,关键是转化 为找出函数值大于0或小于0时,自变量的取值范围,比 较两个函数值大小时,即找出函数值大的图象在函数值 小的图象上方所对应的自变量的取值范围.

21.3 二次函数与一元二次方程

课 堂 小 结




没有

横坐标

21.3 二次函数与一元二次方程

[反思] 利用图象法求方程 x2-2x-1=0 的近似解,除 了直接作出函数 y=x2-2x-1 的图象, 利用图象与 x 轴交点 横坐标求解,还可以怎么做?
[答案] 还可以作出 y=x2 与 y=2x+1 的图象,利用它 们的交点进行解决.



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