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5 平面向量与圆锥曲线的综合


联邦理科

高二寒假

第五讲 平面向量与圆锥曲线的综合
一.解析几何与向量综合时可能出现的向量内容: (1)给出 OA ? OB 与 AB 相交,等于已知 OA ? OB 过 AB 的中点; (2)给出 PM ? PN ? 0 ,等于已知 P 是 MN 的中点; (3) 给出以下情形之一: ① AB // AC ; ②存在实数 ? , 使A B ?? A C 使 OC ? ? OA ? ? OB ,等于已知 A , B , C 三点共线. ( 4 )给出 MA ? MB ? 0 ,等于已知 MA ? MB ,即 ?AMB 是直角,给出 MA? MB ? m ? 0 ,等于已知 ; ③若存在实数 ? , 且? ? ? ? 1 , ?,

?AMB 是钝角,给出 MA ? MB ? m ? 0 ,等于已知 ?AMB 是锐角;
(5) 在 ?ABC 中,给出 OA ? OB ? OC ? 0 ,等于已知 O 是 ?ABC 的重心(三角形的重心是三角形三条 中线的交点); (6) 在 ?ABC 中,给出 AD ? 二.例题分析 例 1.已知 A 、 B 为抛物线 x2 ? 2 py( p ? 0) 上两点,直线 AB 过焦点 F , A 、 B 在准线上的射影分别 为C 、 D , (1)若 OA ? OB ? ?6 ,求抛物线的方程; (2) CD 是否恒存在一点 K ,使得 KA ? KB ? 0 .
A F B y

1 ( AB ? AC ) ,等于已知 AD 是 ?ABC 中 BC 边的中线. 2

O C
K D

x

1

联邦理科 例2

高二寒假

2

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高二寒假

例 3.如图,已知点 F (1 , 0) ,直线 l : x ? ?1 , P 为平面上的动点,过 P 作直线 l 的垂线,垂足为点 Q ,且

QP ?QF ? FP ?FQ .
(Ⅰ)求动点 P 的轨迹 C 的方程; (Ⅱ)过点 F 的直线交轨迹 C 于 A,B 两点,交直线 l 于点 M . (1)已知 MA ? ?1 AF , MB ? ?2 BF ,求 ?1 ? ?2 的值; (2)求 MA MB 的最小值.
l y

F

?1 O

1

x

3

联邦理科

高二寒假

x2 例 4.在平面直角坐标系 xOy 中,经过点 (0,2) 且斜率为 k 的直线 l 与椭圆 ? y 2 ? 1有两个不同的交点 2
P 和Q .
(I)求 k 的取值范围; (II) 设椭圆与 x 轴正半轴、y 轴正半轴的交点分别为 A,B , 是否存在常数 k , 使得向量 OP ? OQ 与 AB 共线?如果存在,求 k 值;如果不存在,请说明理由.

4



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