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三角函数及解三角形



三角函数及解三角形
1.函数 y=sin x+sinx-1 的值域为( (A)[-1,1] 2.函数 y=2sin( (A)2- 3 (B)[2

) (C)[-

5 ,-1] 4

5 ,1] 4

(D)[-1,

5 ] 4
)

π

x π - )(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为( 6 3
(C)-1 (D)-1- 3 .

(B)0

3.当函数 y=sinx- 3 cosx(0≤x<2π )取得最大值时,x= 4.设当 x=θ 时,函数 f(x)=sinx-2cosx 取得最大值,则 cosθ =

.

5.已知△ABC 中,AB= 3 ,BC=1,sinC= 3 cosC,则△ABC 的面积为________. 6.已知函数 f(x)=sin ? x ? 7.已知向量 a=(cosx,-

? ?

??

? 1 ? ? ? ? ? ,其中 x∈ ? ? , a ? ,若 f(x)的值域是 ? ? ,1? ,则 a 的取值范围是________. 6? ? 2 ? ? 3 ?

1 ),b=( 3 sinx,cos2x),x∈R,设函数 f(x)=a·b. 2 π (1)求 f(x)的最小正周期.(2)求 f(x)在[0, ]上的最大值和最小值. 2

8.设向量 a=( 3 sinx,sinx),b=(cosx,sinx),x∈ ? 0,

? ?? . ? 2? ?

(1)若|a|=|b|.求 x 的值;(2)设函数 f(x)=a·b,求 f(x)的最大值.

试卷第 1 页,总 3 页

9.在△ABC 中,角 A、B、C 对应的边分别是 a、b、c.已知 cos2A-3cos(B+C)=1. (1)求角 A 的大小;(2)若△ABC 的面积 S=5 3 ,b=5,求 sinBsinC 的值.

10.在△ABC 中,a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边,△ABC 的周长为 2 +2,且 sinA+sinB= 2 sinC. (1)求边 c 的长;(2)若△ABC 的面积为

1 sinC,求角 C 的度数. 3

11.在锐角△ABC 中,角 A、B、C 所对的边长分别为 a、b、c.向量 m=(1,cosB),n=(sinB,- 3 ),且 m⊥n. (1)求角 B 的大小;(2)若△ABC 面积为 10 3 ,b=7,求此三角形周长.

试卷第 2 页,总 3 页

12.已知△ABC 的角 A、B、C 所对的边分别是 a、b、c,设向量 m=(a,b),n=(sinB,sinA),p=(b-2,a- 2).(1)若 m∥n,求证:△ABC 为等腰三角形;(2)若 m⊥p,边长 c=2,角 C=

? ,求△ABC 的面积. 3

13.在锐角△ABC 中,内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,且 2asinB= 3 b. (1)求角 A 的大小;(2)若 a=6,b+c=8,求△ABC 的面积.

试卷第 3 页,总 3 页

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参考答案 1.C 【解析】令 sinx=t,则 t∈[-1,1], 可得 y=t +t-1=(t+ 故 y∈[故选 C. 2.A 【解析】当 0≤x≤9 时,所以- 3 ≤2sin(
2

1 2 5 )- , 2 4

5 ,1]. 4

π πx π 7 π ≤ - ≤ , 3 6 6 3

πx π - )≤2, 6 3

所以最大值与最小值之和为 2- 3 .故选 A. 3.

5π 6 π ), 3

【解析】y=sinx- 3 cosx=2sin(x∵x∈[0,2π ),

π π 5π ∈[- , ), 3 3 3 π π ∴当 x- = , 3 2 5π 即 x= 时,函数值最大为 2. 6
∴x4.

2 5 5
5 2 5 sinxcosx) 5 5

【解析】f(x)=sinx-2cosx= 5 ( = 5 sin(x- ? ), 其中 sin ? =

2 5 5 ,cos ? = , 5 5
π (k∈Z), 2

当 x- ? =2kπ + 即 x=2kπ +

π + ? 时函数 f(x)取到最大值, 2 π 即θ =2kπ + + ? , 2

答案第 1 页,总 5 页

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所以 cosθ =-sin ? =-

2 5 . 5

5.

3 2

【解析】 由 sinC= 3 cosC, 得 tanC= 3 >0, 所以 C=

? BC AB = .根据正弦定理可得 , sinA sinC 3



1 ? ? 1 3 =2,所以 sinA= .因为 AB>BC,所以 A<C,所以 A= ,即 B= ,所以 = 2 6 2 sinA 3 2 1 3 × 3 ×1= 2 2

三角形为直角三角形,所以 S△ABC=

6. ?

?? ? ,? ?3 ? ?

【解析】 若- sin ? x ?

? ? ? ? ? ? ? 7? ≤x≤a, 则- ≤x+ ≤a+ , 因为当 x+ =- 或 x+ = 时, 6 3 6 6 6 6 6 6

? ?

??

1 ? ? 7? ? ? 1 ? ? = 2 ,所以要使 f(x)的值域是 ? ? ,1? ,则有 2 ≤a+ 6 ≤ 6 ,即 3 ≤a≤ 6? ? 2 ?

π ,即 a 的取值范围是 ? 7.(1)π 【解析】 解:f(x)=(cosx,= 3 cosxsinx-

?? ? ,? . ?3 ? ?
1 2

(2) 最大值是 1,最小值是-

1 )·( 3 sinx,cos2x) 2

1 cos2x 2

=

1 3 sin2x- cos2x 2 2

π π sin2x-sin cos2x 6 6 π =sin(2x- ). 6
=cos (1)f(x)的最小正周期为 T=

2π 2π = =π , ? 2

即函数 f(x)的最小正周期为π .

答案第 2 页,总 5 页

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π , 2 π π 5π ∴- ≤2x- ≤ . 6 6 6
(2)∵0≤x≤ 由正弦函数的性质,知当 2x即 x=

π π = , 6 2

π 时,f(x)取得最大值 1. 3 π π 当 2x- =- , 6 6 1 即 x=0 时,f(x)取得最小值- , 2 π 1 因此,f(x)在[0, ]上的最大值是 1,最小值是- . 2 2 ? 3 8. (1)x= (2) 2 6
【解析】(1)由|a| =( 3 sinx) +(sinx) =4sin x. |b| =(cosx) +(sinx) =1. 2 由|a|=|b|,得 4sin x=1, 又 x∈ ? 0,
2 2 2 2 2 2 2

1 ? ? ?? ,从而 sinx= ,所以 x= . ? 2 6 ? 2?
2

(2)f(x)=a·b= 3 sinx·cosx+sin x =

1 1 3 ?? 1 ? sin2x- cos2x+ =sin ? 2 x ? ? + , 2 2 2 6? 2 ?

当 x=

? ? ?? 3 ?? ? ∈ ? 0, ? 时,sin ? 2 x ? ? 取最大值 1,所以 f(x)的最大值为 . 2 3 ? 2? 6? ?
5 7
2

9. (1)A=60°(2)

【解析】(1)由已知条件得:cos2A+3cosA=1,∴2cos A+3cosA-2=0,解得 cosA= ∴∠A=60°. (2)S=

1 , 2

1 bcsinA=5 3 2

c=4,由余弦定理,得 a =21,(2R) =

2

2

a2 =28,∴sinBsinC sin 2 A



bc 5 = . 2 4R 7

10. (1) 2 (2)∠C=60 【解析】(1)在△ABC 中,∵sinA+sinB= 2 sinC,由正弦定理,得 a+b= 2 c,∴a+b
答案第 3 页,总 5 页

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+c= 2 c+c=( 2 +1)c= 2 +2. ∴a+b=2,c= 2 . (2)在△ABC 中,S△ABC= ∴

1 1 absinC= sinC, 2 3

1 1 2 ab= ,即 ab= . 2 3 3

b 2+a 2-c 2 (a ? b) 2+ ? 2ab-2 1 又 a+b=2, 在△ABC 中, 由余弦定理, 得 cosC= = = , 2 2ab 2ab
又在△ABC 中∠C∈(0,π ), ∴∠C=60° 11. (1)

? (2)20 3

【解析】(1)m·n=sinB- 3 cosB,∵m⊥n,∴m·n=0, ∴sinB- 3 cosB=0.∵△ABC 为锐角三角形,∴cosB≠0, ∴tanB= 3 .∵0<B<

? ? ,∴B= . 2 3

(2)∵S△ABC=
2

1 3 3 2 2 2 acsinB= ac, 由题设 ac=10 3 , 得 ac=40.由 7 =a +c -2accosB, 2 4 4
2 2 2 2

得 49=a +c -ac,∴(a+c) =(a +c -ac)+3ac=49+120=169.∴a+c=13, ∴三角形周长是 20. 12. (1)见解析(2) 3 【解析】(1)证明:∵m∥n,∴asinA=bsinB,即 a·

a b =b· ,其中 R 是△ABC 外接 2R 2R

圆半径,∴a=b.∴△ABC 为等腰三角形. (2)解:由题意可知 m·p=0,即 a(b-2)+b(a-2)=0.∴a+b=ab.由余弦定理可知,4= 2 2 2 2 a +b -ab=(a+b) -3ab,即(ab) -3ab-4=0,∴ab=4(舍去 ab=-1), ∴S=

1 1 ? absinC= ×4×sin = 3 . 2 2 3

13. (1)

? 7 3 (2) 3 3
a b 3 = ,得 sinA= .因为 A 是锐角,所 sinA sinB 2

【解析】(1)由 2asinB= 3 b 及正弦定理 以 A=

? . 3

答案第 4 页,总 5 页

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(2)由余弦定理 a =b +c -2bccosA,得 b +c -bc=36.又 b+c=8,所以 bc=

2

2

2

2

2

28 . 3

由三角形面积公式 S=

1 7 3 bcsinA,得△ABC 的面积为 2 3

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