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2014《成才之路》高二数学(人教A版)选修1-1课件:3-1-2 导数的几何意义



成才之路· 数学
人教A版 ·选修1-1

路漫漫其修远兮 吾将上下而求索

成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·选修1-1、1-2合订

第三章
导数及其应用

第三章

导数及其应用

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学习指导 ·人教A版 ·数学 ·选修1-1、1-2合订

第三章
3.1 变化率与导数

第三章

导数及其应用

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第三章
第 2 课时 导数的几何意义

第三章

导数及其应用

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学习要点点拨 课堂巩固练习 课前自主预习 课后强化作业 课堂典例讲练

第三章

3.1

第2课时

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课程目标解读

第三章

3.1

第2课时

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1.了解导函数的概念,通过函数图象直观地理解导数的 几何意义. 2.会求导函数,能根据导数的几何意义求曲线上某点处 的切线方程.

第三章

3.1

第2课时

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重点难点展示

第三章

3.1

第2课时

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本节重点:理解导数的几何意义,求曲线上某点处的切线 方程. 本节难点:对导数几何意义的理解.

第三章

3.1

第2课时

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学习要点点拨

第三章

3.1

第2课时

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1.正确理解曲线的切线的定义,即:过曲线 y=f(x)上一 点 P 作曲线的割线 PQ,当 Q 点沿着曲线无限趋近于 P 时,若 割线 PQ 趋近于某一确定的直线 PT,则这一确定的直线 PT 称 为曲线 y=f(x)在点 P 的切线.

第三章

3.1

第2课时

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2.导数的几何意义:函数 y=f(x)在点 x0 处的导数 f ′(x0),就是曲线 y=f(x)在点 P(x0,y0)处的切线的斜率. 导数的物理意义:物体的运动方程 s=s(t)在点 t0 处的导数 s′(t0),就是物体在 t0 时刻的瞬时速度.

第三章

3.1

第2课时

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3.深刻理解“函数在一点处的导数”、“导函数”、“导 数”的区别与联系 (1)函数在一点处的导数 f ′(x0)是一个常数,不是变量. (2)函数的导数,是针对某一区间内任意点 x 而言的.函数 f(x)在区间(a,b)内每一点都可导,是指对于区间(a,b)内的每 一个确定的值 x0,都对应着一个确定的导数 f ′(x0).根据函数 的定义,在开区间(a,b)内就构成了一个新的函数,就是函数 f(x)的导函数 f ′(x).

第三章

3.1

第2课时

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(3)函数 y=f(x)在点 x0 处的导数 f ′(x0)就是导函数 f ′(x) 在点 x=x0 处的函数值,即 f ′(x0)=f ′(x) |x=x0.

第三章

3.1

第2课时

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4.求曲线的切线方程 要正确区分曲线 y=f(x)在点 P 处的切线, 与过点 P 的曲线 y=f(x)的切线. (1)求曲线在点 P(x0,y0)处切线的步骤: ①求出函数 y=f(x)在点 x0 处的导数 f ′(x0); ②根据直线的点斜式方程, 得切线方程为 y-y0=f ′(x0)(x -x0);

第三章

3.1

第2课时

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注意:若曲线 y=f(x)在点 P(x0,y0)处的导数不存在,就是 切线与 y 轴平行或不存在;f ′(x0)>0,切线的倾斜角为锐角; f ′(x0)<0,切线的倾斜角为钝角;f ′(x0)=0,切线与 x 轴平 行.

第三章

3.1

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5 过曲线外的点 P(x1,y1)求曲线的切线方程的步骤: (1)设切点为 Q(x0,y0); (2)求出函数 y=f(x)在点 x0 处的导数 f ′(x0); (3)利用 Q 在曲线上和 f ′(x0)=kPQ, 解出 x0, 0 及 f ′(x0). y (4)根据直线的点斜式方程, 得切线方程为 y-y0=f ′(x0)(x -x0).

第三章

3.1

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课前自主预习

第三章

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1.导数的几何意义 函数 y=f(x)在 x=x0 处的导数,就是曲线 y=f(x)在 x=x0 处的 切线的斜率 ,即 k=f′(x0)=

f?x0+Δx?-f?x0? lim Δx Δx→0

.

第三章

3.1

第2课时

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2.函数的导数 对于函数 y=f(x),当 x=x0 时,f′(x0)是一个确定的数.当 x 变化时,f′(x)便是一个关于 x 的函数,我们称它为函数 y=

f?x+Δx?-f?x? lim Δx f(x)的导函数(简称为导数),即 f′(x)=y′= Δx→0 .

第三章

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3. “函数 f(x)在点 x0 处的导数”、 “导函数”之间的区别 与联系 (1)区别 ①函数在一点处的导数,就是在该点附近的函数值的改变 量与自变量的改变量之比的极限,它是一个常数,不是变量. ②函数的导数,是对某一区间内任意点 x 而言的,就是函 数 f(x)的导函数 f′(x).

第三章

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(2)联系: 函数 f(x)在点 x0 处的导数 f′(x0)就是导函数 f′(x) 在 x=x0 处的函数值,即 f′(x0)=f′(x)|x=x0.这也是求函数在 点 x0 处的导数的方法之一.所以,求函数在一点处的导数,通 常是先求出函数的导函数,再计算这点的导函数值.

第三章

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课堂典例讲练

第三章

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思路方法技巧
命题方向
[例 1]

求切线方程
已知曲线 C:f(x)=x3.

(1)求曲线 C 上横坐标为 1 的点处的切线的方程; (2)求过点(1,1)与曲线 C 相切的直线方程.

第三章

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[解析]

(1)∵f′(x)

?x+Δx?3-x3 =lim Δx Δx→0 ?Δx?3+3x2· Δx+3x· 2 ?Δx? =lim Δx Δx→0 =lim [(Δx)2+3x2+3x· Δx]
Δx→0

=3x2,

第三章

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第2课时

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∴f′(1)=3×12=3,又 f(1)=13=1, ∴切线方程为 y-1=3(x-1), 即 3x-y-2=0. (2)设切点为 P(x0,x2), 0
2 由(1)知切线斜率为 k=f′(x0)=3x0, 2 故切线方程为 y-x2=3x0(x-x0). 0

又点(1,1)在切线上,将其代入切线方程得 1-x2=3x2(1- 0 0 x0),
3 即 2x0-3x2+1=0, 0

第三章

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1 解得 x0=1 或 x0=- . 2 故所求的切线方程为 3 y-1=3(x-1)或 y-1=4(x-1), 即 3x-y-2=0 或 3x-4y+1=0.

第三章

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第2课时

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[点评]

求曲线的切线要注意“过点 P 的切线”与“在 P

点处的切线”的差异:过点 P 的切线中,点 P 不一定是切点, 点 P 也不一定在曲线上; 而在点 P 处的切线, P 必为切点. 点 因 此在求过点 P 的曲线的切线方程时, 应先验证点 P 是否在曲线 上,再依据验证结论求切线方程.

第三章

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第2课时

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已知曲线方程为 y=x2,求: (1)过点 A(2,4)且与曲线相切的直线方程; (2)过点 B(3,5)且与曲线相切的直线方程.

第三章

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[解析]

?x+Δx?2-x2 (1)∵f′(x)=lim Δx Δx→0

2Δx· x+Δx2 =lim Δx Δx→0 =lim (2x+Δx)=2x,
Δx→0

又点 A(2,4)在曲线 y=x2 上, ∴f′(2)=4, ∴所求切线的斜率 k=4, 故所求切线的方程为 y-4=4(x-2), 即 4x-y-4=0.
第三章 3.1 第2课时

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(2)∵点 B(3,5)不在曲线 y=x2 上,
2 ∴设切点坐标为(x0,x0),

由(1)知 f′(x)=2x, ∴切线的斜率 k=2x0, 切线方程为 y-x2=2x0(x-x0), 0 又∵点 B(3,5)在切线上,
2 ∴5-x0=2x0(3-x0),

第三章

3.1

第2课时

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解得 x0=1 或 x0=5. ∴切点坐标为(1,1),(5,25). 故所求切线方程为 y-1=2(x-1)或 y-25=10(x-5), 即 2x-y-1=0 或 10x-y-25=0.

第三章

3.1

第2课时

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建模应用引路
命题方向 求切点坐标

[例 2]

1 2 已知曲线 f(x)= x +2x 的一条切线斜率是 4,则 2 ) B.-1 D.2

切点的横坐标为( A.-2 C.1

第三章

3.1

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[解析]

1 1 2 2 Δy=f(x+Δx)-f(x)= 2(x+Δx) +2(x+Δx)- 2 x -

1 2x=x· Δx+ (Δx)2+2Δx, 2 Δy 1 ∴Δx=x+2Δx+2, Δy ∴f′(x)=lim =x+2. Δx Δx→0 设切点坐标为(x0,y0),则 f′(x0)=x0+2. 由已知 x0+2=4,∴x0=2,故选 D.

[答案] D
第三章 3.1 第2课时

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设 P0 为曲线 f(x)=x3+x-2 上的点, 且曲线在 P0 处切线平 行于直线 y=4x-1,则 P0 点的坐标为( A.(1,0) C.(1,0)或(-1,-4) B.(2,8) D.(2,8)或(-1,-4) )

[答案]

C

第三章

3.1

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[解析] ?x+Δx?3+?x+Δx?-2-?x3+x-2? f′(x)=lim Δx Δx→0 ?3x2+1?Δx+3x?Δx?2+?Δx?3 =lim =3x2+1. Δx Δx→0 由于曲线 f(x)=x3+x-2 在 P0 处的切线平行于直线 y=4x -1,所以 f(x)在 P0 处的导数值等于 4,设 P0(x0,y0),有 f′(x0)
2 =3x0+1=4.解得 x0=± 1,这时 P0 点的坐标为(1,0)或(-1,-

4).

第三章

3.1

第2课时

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探索延拓创新
命题方向 导数几何意义的综合应用

[例 3]

若抛物线 y=4x2 上的点 P 到直线 y=4x-5 的距

离最短,求点 P 的坐标. [分析] 抛物线上到直线 y=4x-5 的距离最短的点,是

平移该直线与抛物线相切时的切点. 解答本题可先求导函数, 再求 P 点的坐标.

第三章

3.1

第2课时

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[解析]

由点 P 到直线 y=4x-5 的距离最短知, 过点 P 的

切线方程与直线 y=4x-5 平行.设 P(x0,y0),则 4?x+Δx?2-4x2 Δy y′=lim Δx=lim Δx Δx→0 Δx→0 8x·Δx+4?Δx?2 =lim =lim (8x+4Δx)=8x, Δx Δx→0 Δx→0
?8x =4 ? 0 由? ?y0=4x2 ? 0

1 ? ?x0= 2 , ,得? ?y0=1 ?
?1 ? P?2,1?. ? ?
第三章 3.1 第2课时

故所求的点为

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[点评]

求最值问题的基本思路:(1)目标函数法:通过设

变量构造目标函数,利用函数求最值;(2)数形结合法:根据问 题的几何意义,利用图形的特殊位置求最值.

第三章

3.1

第2课时

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曲线 y=-x2 上的点到直线 x-y+3=0 的距离的最小值为 ________.
11 2 8

[答案]

第三章

3.1

第2课时

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[解析]

设与直线 x-y+3=0 平行的直线与曲线 y=-x2

切于点 P(x0,y0),则由 -?x0+Δx?2+x2 Δy 0 y′=lim =lim Δx Δx→0 Δx Δx→0 =lim (-2x0-Δx)=-2x0,
Δx→0

1 ? ?-2x =1 ?x0=-2 ? 0 由? 2 得,? ?y0=-x0 ? ?y0=-1 4 ?



第三章

3.1

第2课时

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1 1 ∴P(-2,-4),点 P 到直线 x-y+3=0 的距离 1 1 |-2+4+3| 11 2 d= = . 8 2

第三章

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名师辨误作答
[例 4] 程.
3 3 Δy ?x+Δx? +1-x -1 [错解] Δx= Δx

试求过点 M(1,1)且与曲线 y=x3+1 相切的直线方

3xΔx2+3x2Δx+Δx3 = =3xΔx+3x2+Δx2. Δx Δy lim Δx=3x2,因此 y′=3x2,所以在 x=1 处的切线斜率 k Δx→0 =3,切线方程为 y-1=3(x-1),即 3x-y-2=0.
第三章 3.1 第2课时

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[辨析]

上述解法错在将点(1,1)当成了曲线 y=x3+1 上的

点. 因此在求过某点的切线时, 一定要先判断点是否在曲线上, 再据不同情况求解.

第三章

3.1

第2课时

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[正解]

y′=3x2(解法同上),设过(1,1)点的切线与 y=x3

3 +1 相切于点 P(x0,x0+1),据导数的几何意义,函数在点 P

处的切线的斜率为 k=3x 2 0 x3+1-1 0 x0-1

①,过(1,1)点的切线的斜率 k=

x3 3 0 2 ②,∴3x0= ,解得 x0=0 或 x0=2,所以 k=0 x0-1

27 或 k= ,因此 y=x3+1 过点 M(1,1)的切线方程有两个,分别 4 27 为 y-1= 4 (x-1)和 y=1,即 27x-4y-23=0 或 y=1.

第三章

3.1

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课堂巩固练习

第三章

3.1

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一、选择题 1. (2012~2013 学年度内蒙古巴市一中高二期末测试)曲线 1 2 3 y=2x -2 在点(1,-2)处切线的倾斜角为( A.1 5π C. 4 π B.4 π D.- 4 )

[答案] B

第三章

3.1

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[解析]

1 2 ∵y= x -2, 2

?1 ? 1 2 2 ?x+Δx? -2-?2x -2? 2 ? ? ∴y′=lim Δx Δx→0

1 2 Δx +x·Δx ? 2 1 ? =lim =lim ?x+2Δx?=x. Δx ? Δx→0 Δx→0 ? ∴y′|x=1=1. ∴点
? 3? P?1,-2?处切线的斜率为 ? ?

π 1,则切线的倾斜角为4.

第三章

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2.(2012~2013 学年度云南玉溪一中高二期末测试)函数 f(x)=x2-2x+1 在点(1,0)处的切线方程是( A.y=x C.x=0 B.y=1 D.y=0 )

[答案] D

第三章

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[解析]

∵f′(x)

?x+Δx?2-2?x+Δx?+1-x2+2x-1 =lim Δx Δx→0 Δx2+2Δx?x-1? =lim Δx Δx→0 =lim (Δx+2x-2)
Δx→0

=2x-2, ∴f′(1)=0, ∴切线的斜率 k=0,即切线方程为 y=0,故选 D.

第三章

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3.曲线 y=x3 在点 P 处的切线斜率为 3,则点 P 的坐标为 ( ) A.(-2,-8) C.(2,8) B.(1,1),(-1,-1) 1 1 D.(-2,-8)

[答案]

B

第三章

3.1

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[解析]

∵y=x3,

?x+Δx?3-x3 ∴y′=lim Δx Δx→0 Δx3+3x·Δx2+3x2·Δx =lim Δx Δx→0 =lim (Δx2+3x·Δx+3x2)=3x2.
Δx→0

令 3x2=3,得 x=± 1, ∴点 P 的坐标为(1,1),(-1,-1).

第三章

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二、填空题 1 4.函数 y=f(x)= 在 x=1 处的切线方程为________. x
[答案] x+y-2=0

第三章

3.1

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[解析]

f?1+Δx?-f?1? y′|x=1=f′(1)=lim Δx Δx→0

1 -1 1+Δx -1 =lim Δx =lim 1+Δx=-1, Δx→0 Δx→0 则切线方程为 y-1=-(x-1), 即 x+y-2=0.

第三章

3.1

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5.P 是抛物线 y=x2 上一点,若过点 P 的切线与直线 y= 1 - x+1 垂直,则过点 P 的切线方程为________. 2

[答案]
[解析]

y=2x-1
设 P(x0,x2),则 k=y′=2x0=2, 0

故 x0=1,∴P(1,1),k=2, ∴切线方程为 y-1=2(x-1),即 y=2x-1.

第三章

3.1

第2课时

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三、解答题 1 8 6.已知曲线 y= x3 上一点 P(2, ),如下图,求: 3 3 (1)点 P 处切线的斜率; (2)点 P 处的切线方程.

第三章

3.1

第2课时

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[分析]

根据导数的几何意义知,函数 y=f(x)在点 x0 处的

导数就是曲线在该点处切线的斜率,再由直线方程的点斜式便 可求出切线的方程.

第三章

3.1

第2课时

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[解析]

1 3 (1)∵y=3x ,

1 1 3 3 3?x+Δx? -3x Δy ∴y′=lim =lim Δx Δx→0 Δx Δx→0 3x2Δx+3x?Δx?2+?Δx?3 1 =3 lim Δx Δx→0 1 =3 lim [3x2+3xΔx+(Δx)2]=x2. Δx→0 ∴y′|x=2=22=4. ∴点 P 处切线的斜率等于 4.

第三章

3.1

第2课时

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8 (2)在点 P 处的切线方程是 y-3=4(x-2), 即 12x-3y-16=0.

第三章

3.1

第2课时

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课后强化作业(点此链接)

第三章

3.1

第2课时



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