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《三维设计》2016级数学一轮复习基础讲解基本不等式(含解析)



《三维设计》2014 届高考数学一轮复习教学案+复习技法

第四节

基本不等式

[知识能否忆起] a+b 一、基本不等式 ab≤ 2 1.基本不等式成立的条件:a>0,b>0. 2.等号成立的条件:当且仅当 a=b 时取等号. 二、几个重要的不等式 b a a2+b2≥2ab(a,b∈R); + ≥2(a

,b 同号). a b ab≤? a+b?2 a+b?2 a2+b2 (a,b∈R);? ? 2 ? ? 2 ? ≤ 2 (a,b∈R).

三、算术平均数与几何平均数 a+b 设 a>0,b>0,则 a,b 的算术平均数为 ,几何平均数为 ab,基本不等式可叙述为: 2 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 四、利用基本不等式求最值问题 已知 x>0,y>0,则: (1)如果积 xy 是定值 p,那么当且仅当 x=y 时,x+y 有最小值是 2 p.(简记:积定和最 小) p2 (2)如果和 x+y 是定值 p,那么当且仅当 x=y 时,xy 有最大值是 .(简记:和定积最大) 4 [小题能否全取] 1 1.(教材习题改编)函数 y=x+ (x>0)的值域为( x A.(-∞,-2]∪[2,+∞) C.[2,+∞) )

B.(0,+∞) D.(2,+∞)

1 解析:选 C ∵x>0,∴y=x+ ≥2,当且仅当 x=1 时取等号. x 2.已知 m>0,n>0,且 mn=81,则 m+n 的最小值为( A.18 C.81 B.36 D.243 )

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解析:选 A

∵m>0,n>0,∴m+n≥2 mn=18.当且仅当 m=n=9 时,等号成立. )

3.(教材习题改编)已知 0<x<1,则 x(3-3x)取得最大值时 x 的值为( 1 A. 3 3 C. 4 1 B. 2 2 D. 3

1 1 9 3 1 解析:选 B 由 x(3-3x)= ×3x(3-3x)≤ × = ,当且仅当 3x=3-3x,即 x= 时等 3 3 4 4 2 号成立. 4 4.若 x>1,则 x+ 的最小值为________. x-1 4 4 解析:x+ =x-1+ +1≥4+1=5. x-1 x-1 4 当且仅当 x-1= ,即 x=3 时等号成立. x-1 答案:5 2 5 5.已知 x>0,y>0,lg x+lg y=1,则 z= + 的最小值为________. x y 解析:由已知条件 lg x+lg y=1,可得 xy=10. 2 5 则 + ≥2 x y y=5 时等号成立. 答案:2 1.在应用基本不等式求最值时,要把握不等式成立的三个条件,就是“一正——各项均 为正;二定——积或和为定值;三相等——等号能否取得”,若忽略了某个条件,就会出现 错误. 2.对于公式 a+b≥2 ab,ab≤? a+b?2 ? 2 ? ,要弄清它们的作用和使用条件及内在联系, 2 5? 10 =2, 故? 当且仅当 2y=5x 时取等号. 又 xy=10, 即 x=2, ?x+y?min=2, xy

两个公式也体现了 ab 和 a+b 的转化关系. 3.运用公式解题时,既要掌握公式的正用,也要注意公式的逆用,例如 a2+b2≥2ab a2+b2 a+b a+b?2 逆用就是 ab≤ ; ≥ ab(a,b>0)逆用就是 ab≤? 2 2 ? 2 ? (a,b>0)等.还要注意“添、 拆项”技巧和公式等号成立的条件等.

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利用基本不等式求最值

典题导入 4 [例 1] (1)已知 x<0,则 f(x)=2+ +x 的最大值为________. x (2)(2012· 浙江高考)若正数 x,y 满足 x+3y=5xy,则 3x+4y 的最小值是( 24 A. 5 C.5 28 B. 5 D.6 )

[自主解答] (1)∵x<0,∴-x>0,

? 4 ? 4 ∴f(x)=2+ +x=2-? +?-x??. x - x ? ?
4 4 ∵- +(-x)≥2 4=4,当且仅当-x= ,即 x=-2 时等号成立. x -x ∴f(x)=2-?

? 4 +?-x?? ?≤2-4=-2, ?-x ?

∴f(x)的最大值为-2. 1 1 3? + =1. (2)∵x>0,y>0,由 x+3y=5xy 得 ? 5? y x ? ∴ 3x + 4y = ×2 1 3? 12y? 1 1 ?3x 13 1 ?3x 12y? 13 1 · (3x + 4y)·? ?y+x? = 5 ? y +4+9+ x ? = 5 + 5 ? y + x ? ≥ 5 + 5 5

3x 12y · =5(当且仅当 x=2y 时取等号),∴3x+4y 的最小值为 5. y x [答案] (1)-2 (2)C

本例(2)条件不变,求 xy 的最小值. 解:∵x>0,y>0,则 5xy=x+3y≥2 x· 3y, 12 ∴xy≥ ,当且仅当 x=3y 时取等号. 25 12 ∴xy 的最小值为 . 25

由题悟法 用基本不等式求函数的最值, 关键在于将函数变形为两项和或积的形式, 然后用基本不

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等式求出最值.在求条件最值时,一种方法是消元,转化为函数最值;另一种方法是将要求 最值的表达式变形, 然后用基本不等式将要求最值的表达式放缩为一个定值, 但无论哪种方 法在用基本不等式解题时都必须验证等号成立的条件. 以题试法 1.(1)当 x>0 时,则 f(x)= 2x 的最大值为________. x2+1

(2)(2011· 天津高考)已知 log2a+log2b≥1,则 3a+9b 的最小值为________. (3)已知 x>0,y>0,xy=x+2y,若 xy≥m-2 恒成立,则实数 m 的最大值是________. 2x 2 2 解析:(1)∵x>0,∴f(x)= 2 = ≤ =1, 1 x +1 x+ 2 x 1 当且仅当 x= ,即 x=1 时取等号. x (2)由 log2a+log2b≥1 得 log2(ab)≥1, a+2b 即 ab≥2,∴3a+9b=3a+32b≥2×3 (当且仅当 3a=32b,即 a=2b 时取等号). 2 又∵a+2b≥2 2ab≥4(当且仅当 a=2b 时取等号), ∴3a+9b≥2×32=18. 即当 a=2b 时,3a+9b 有最小值 18. (3)由 x>0, y>0, xy=x+2y≥2 2xy, 得 xy≥8, 于是由 m-2≤xy 恒成立, 得 m-2≤8, 即 m≤10.故 m 的最大值为 10. 答案:(1)1 (2)18 (3)10

基本不等式的实际应用

典题导入

[例 2] (2012· 江苏高考)如图,建立平面直角坐标系 xOy,x 轴 在地平面上,y 轴垂直于地平面,单位长度为 1 千米,某炮位于坐 1 标原点.已知炮弹发射后的轨迹在方程 y=kx- (1+k2)x2(k>0)表 20 示的曲线上,其中 k 与发射方向有关.炮的射程是指炮弹落地点的横坐标. (1)求炮的最大射程; (2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小),其飞行高度为 3.2 千米,试问它的横坐标 a

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不超过多少时,炮弹可以击中它?请说明理由. 1 [自主解答] (1)令 y=0,得 kx- (1+k2)x2=0,由实际意义和题设条件知 x>0,k>0, 20 20k 20 20 故 x= = ≤ =10,当且仅当 k=1 时取等号. 2 1+k k+1 2 k 所以炮的最大射程为 10 千米. 1 (2)因为 a>0,所以炮弹可击中目标?存在 k>0,使 3.2=ka- (1+k2)a2 成立 20 ?关于 k 的方程 a2k2-20ak+a2+64=0 有正根 ?判别式 Δ=(-20a)2-4a2(a2+64)≥0 ?a≤6. 所以当 a 不超过 6 千米时,可击中目标. 由题悟法 利用基本不等式求解实际应用题的方法 (1)问题的背景是人们关心的社会热点问题,如“物价、销售、税收、原材料”等,题 目往往较长,解题时需认真阅读,从中提炼出有用信息,建立数学模型,转化为数学问题求 解. (2)当运用基本不等式求最值时,若等号成立的自变量不在定义域内时,就不能使用基 本不等式求解,此时可根据变量的范围用对应函数的单调性求解. 以题试法 2.(2012· 福州质检)某种商品原来每件售价为 25 元,年销售 8 万件. (1)据市场调查,若价格每提高 1 元,销售量将相应减少 2 000 件,要使销售的总收入不 低于原收入,该商品每件定价最多为多少元? (2)为了扩大该商品的影响力,提高年销售量.公司决定明年对该商品进行全面技术革 1 新和营销策略改革,并提高定价到 x 元.公司拟投入 (x2-600)万元作为技改费用,投入 50 6 1 万元作为固定宣传费用,投入 x 万元作为浮动宣传费用.试问:当该商品明年的销售量 a 5 至少应达到多少万件时, 才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和?并求出此时 每件商品的定价. 解:(1)设每件定价为 t 元,

? t-25 ? 依题意,有?8- ×0.2?t≥25×8, 1 ? ?
整理得 t2-65t+1 000≤0,解得 25≤t≤40.

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因此要使销售的总收入不低于原收入,每件定价最多为 40 元. (2)依题意,x>25 时, 1 1 不等式 ax≥25×8+50+ (x2-600)+ x 有解, 6 5 150 1 1 等价于 x>25 时,a≥ + x+ 有解. x 6 5 150 1 ∵ + x≥2 x 6 150 1 · x=10(当且仅当 x=30 时,等号成立),∴a≥10.2. x 6

因此当该商品明年的销售量 a 至少应达到 10.2 万件时,才可能使明年的销售收入不低 于原收入与总投入之和,此时该商品的每件定价为 30 元.

1 1.已知 f(x)=x+ -2(x<0),则 f(x)有 ( x A.最大值为 0 C.最大值为-4

)

B.最小值为 0 D.最小值为-4

1 1 解析: 选 C ∵x<0, ∴f(x)=- ??-x?+?-x??-2≤-2-2=-4, 当且仅当-x= , ? ? -x 即 x=-1 时取等号. a+b?2 a +b 2.(2013· 太原模拟)设 a、b∈R,已知命题 p:a +b ≤2ab;命题 q:? ? 2 ?≤ 2 ,
2 2 2 2

则 p 是 q 成立的(

) B.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件

A.必要不充分条件 C.充分必要条件

解析:选 B 命题 p:(a-b)2≤0?a=b;命题 q:(a-b)2≥0.显然,由 p 可得 q 成立, 但由 q 不能推出 p 成立,故 p 是 q 的充分不必要条件. x2+2 3.函数 y= (x>1)的最小值是( x-1 A.2 3+2 C.2 3 解析:选 A B.2 3-2 D.2 ∵x>1,∴x-1>0. )

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x2+2 x2-2x+2x+2 x2-2x+1+2?x-1?+3 ∴y= = = x-1 x-1 x-1 ?x-1?2+2?x-1?+3 3 = =x-1+ +2 x-1 x-1 ≥2 3 ?x-1? +2=2 3+2. x-1

3 当且仅当 x-1= ,即 x=1+ 3时,取等号. x-1 4.(2012· 陕西高考)小王从甲地到乙地往返的时速分别为 a 和 b(a<b),其全程的平均时 速为 v,则( ) B.v= ab a+b D.v= 2

A.a<v< ab a+b C. ab<v< 2

s 解析:选 A 设甲、乙两地的距离为 s,则从甲地到乙地所需时间为 ,从乙地到甲地 a s 2s 2ab 2ab 所需时间为 ,又因为 a<b,所以全程的平均速度为 v= = < = ab, b s s a+b 2 ab + a b 2ab 2ab > =a,即 a<v< ab. a+b 2b 5.已知正项等比数列{an}满足:a7=a6+2a5,若存在两项 am,an 使得 aman=4a1,则 4 + 的最小值为( n 3 A. 2 25 C. 6 ) 5 B. 3 D.不存在 1 m

解析:选 A 设正项等比数列{an}的公比为 q,由 a7=a6+2a5,得 q2-q-2=0,解得 q=2. m+n-2 + - 由 aman=4a1,即 2 =4,得 2m n 2=24,即 m+n=6. 2 1 4? 5 1?4m n ? 5 4 3 1 4 1 4m n 故 + = (m+n)? ?m+n?=6+6? n +m?≥6+6=2,当且仅当 n =m时等号成立. m n 6 1 1 k 6.设 a>0,b>0,且不等式 + + ≥0 恒成立,则实数 k 的最小值等于( a b a+b A.0 B.4 )

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C.-4

D.-2

?a+b?2 ?a+b?2 b a 1 1 k 解析: 选C 由 + + ≥0 得 k≥- , 而 = + +2≥4(a=b 时取等号), a b a+b ab ab a b ?a+b?2 ?a+b?2 所以- ≤-4,因此要使 k≥- 恒成立,应有 k≥-4,即实数 k 的最小值等于 ab ab -4. 7.已知 x,y 为正实数,且满足 4x+3y=12,则 xy 的最大值为________. 3 ? ? ?x=2, ?4x=3y, 解析:∵12=4x+3y≥2 4x×3y,∴xy≤3.当且仅当? 即? 时 xy ?4x+3y=12, ? ? ?y=2 取得最大值 3. 答案:3 p 8.已知函数 f(x)=x+ (p 为常数,且 p>0)若 f(x)在(1,+∞)上的最小值为 4,则实 x-1 数 p 的值为________. 解析:由题意得 x-1>0,f(x)=x-1+ +1≥2 p+1,当且仅当 x= p+1 时取等 x-1 p

9 号,因为 f(x)在(1,+∞)上的最小值为 4,所以 2 p+1=4,解得 p= . 4 9 答案: 4 9.(2012· 朝阳区统考)某公司购买一批机器投入生产,据市场分析每台机器生产的产品 可获得的总利润 y(单位:万元)与机器运转时间 x(单位:年)的关系为 y=-x2+18x-25(x∈ N*).则当每台机器运转________年时,年平均利润最大,最大值是________万元. 25? y y 解析:每台机器运转 x 年的年平均利润为 =18-? ?x+ x ?,而 x>0,故x≤18-2 25= x 8,当且仅当 x=5 时,年平均利润最大,最大值为 8 万元. 答案:5 8

10.已知 x>0,a 为大于 2x 的常数, (1)求函数 y=x(a-2x)的最大值; (2)求 y= 1 -x 的最小值. a-2x

解:(1)∵x>0,a>2x, 1 ∴y=x(a-2x)= ×2x(a-2x) 2

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1 ?2x+?a-2x??2 a2 a a2 ≤ ×? ? = 8 ,当且仅当 x=4时取等号,故函数的最大值为 8 . 2 ? 2 ? a-2x a 1 (2)y= + - ≥2 2 2 a-2x 1 a a - = 2- . 2 2 2

a- 2 当且仅当 x= 时取等号. 2 故 y= a -x 的最小值为 2- . 2 a-2x 1

1 9 11.正数 x,y 满足 + =1. x y (1)求 xy 的最小值; (2)求 x+2y 的最小值. 1 9 解:(1)由 1= + ≥2 x y 的最小值为 36. 1 9? 2y 9x + =19+ + ≥19+2 (2)由题意可得 x+2y=(x+2y)? ? x y? x y 2y 9x 当 = ,即 9x2=2y2 时取等号,故 x+2y 的最小值为 19+6 2. x y 12.为了响应国家号召,某地决定分批建设保障性住房供给社会.首批计划用 100 万元 购得一块土地,该土地可以建造每层 1 000 平方米的楼房,楼房的每平方米建筑费用与建筑 高度有关,楼房每升高一层,整层楼每平方米建筑费用提高 20 元.已知建筑第 5 层楼房时, 每平方米建筑费用为 800 元. (1)若建筑第 x 层楼时, 该楼房综合费用为 y 万元(综合费用是建筑费用与购地费用之和), 写出 y=f(x)的表达式; (2)为了使该楼房每平方米的平均综合费用最低,应把楼层建成几层?此时平均综合费 用为每平方米多少元? 解:(1)由题意知建筑第 1 层楼房每平方米建筑费用为 720 元, 建筑第 1 层楼房建筑费用为 720×1 000=720 000(元)=72 (万元), 楼房每升高一层,整层楼建筑费用提高 20×1 000=20 000(元)=2(万元), 建筑第 x 层楼房的建筑费用为 72+(x-1)×2=2x+70(万元), 建筑第 x 层楼时,该楼房综合费用为 2y 9x · =19+6 2, 当且仅 x y 19 1 9 ·得 xy≥36,当且仅当 = ,即 y=9x=18 时取等号,故 xy xy x y

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x?x-1? y=f(x)=72x+ ×2+100=x2+71x+100, 2 综上可知 y=f(x)=x2+71x+100(x≥1,x∈Z). (2) 设 该 楼 房 每 平 方 米 的 平 均 综 合 费 用 为 g(x) , 则 g(x) = 10?x2+71x+100? 1 000 =10x+ +710≥2 x x 1 000 10x· +710=910. x f?x?×10 000 10f?x? = = 1 000x x

1 000 当且仅当 10x= ,即 x=10 时等号成立. x 综上可知应把楼层建成 10 层,此时平均综合费用最低,为每平方米 910 元.

1.(2012· 浙江联考)已知正数 x,y 满足 x+2 2xy≤λ(x+y)恒成立,则实数 λ 的最小值 为( ) A.1 C.3 B.2 D.4

x+2 2xy 解析:选 B 依题意得 x+2 2xy≤x+(x+2y)=2(x+y),即 ≤2(当且仅当 x= x+y x+2 2xy x+2 2xy 2y 时取等号),即 的最大值是 2;又 λ≥ ,因此有 λ≥2,即 λ 的最小值是 x+y x+y 2. y2 2.设 x,y,z 为正实数,满足 x-2y+3z=0,则 的最小值是________. xz x+3z 解析:由已知条件可得 y= , 2
2 2 y2 x +9z +6xz 所以 = xz 4xz

1 x 9z ? + +6 = ? ? 4?z x 1 ≥ ?2 4? x 9z ? × +6 =3, z x ?

y2 当且仅当 x=y=3z 时, 取得最小值 3. xz 答案:3 3.某食品厂定期购买面粉,已知该厂每天需用面粉 6 吨,每吨面粉的价格为 1 800 元, 面粉的保管等其他费用为平均每吨每天 3 元,购买面粉每次需支付运费 900 元.

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(1)求该厂多少天购买一次面粉,才能使平均每天所支付的总费用最少? (2)某提供面粉的公司规定:当一次购买面粉不少于 210 吨时,其价格可享受 9 折优惠, 问该厂是否考虑利用此优惠条件?请说明理由. 解:(1)设该厂应每隔 x 天购买一次面粉,其购买量为 6x 吨,由题意可知,面粉的保管 等其他费用为 3[6x+6(x-1)+6(x-2)+…+6× 1]=9x(x+1), 设平均每天所支付的总费用为 y1 元, [9x?x+1?+900] 则 y1= +1 800×6 x = 900 +9x+10 809 x 900 · 9x+10 809=10 989, x

≥2

900 当且仅当 9x= ,即 x=10 时取等号. x 即该厂应每隔 10 天购买一次面粉,才能使平均每天所支付的总费用最少. (2)因为不少于 210 吨,每天用面粉 6 吨,所以至少每隔 35 天购买一次面粉. 设该厂利用此优惠条件后,每隔 x(x≥35)天购买一次面粉,平均每天支付的总费用为 y2 元, 1 则 y2= [9x(x+1)+900]+6×1 800×0.90 x = 900 +9x+9 729(x≥35). x

100 令 f(x)=x+ (x≥35),x2>x1≥35, x 100 100 ?x2-x1??100-x1x2? x1+ ?-?x2+ ?= 则 f(x1)-f(x2)=? .∵x2>x1≥35, x1 ? ? x2 ? ? x1x2 ∴x2-x1>0,x1x2>0,100-x1x2<0, 故 f(x1)-f(x2)<0,f(x1)<f(x2), 100 即 f(x)=x+ ,当 x≥35 时为增函数. x 则当 x=35 时,f(x)有最小值,此时 y2<10 989. 因此该厂应接受此优惠条件.

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1.函数 y=a1 x(a>0,且 a≠1)的图象恒过定点 A,若点 A 在直线 mx+ny-1=0(mn>


1 1 0)上,则 + 的最小值为________. m n 解析:因 y=ax 恒过点(0,1),则 A(1,1),又 A 在直线上,所以 m+n=1(mn>0). 1 1 m+n 1 1 故 + = = ≥ =4, m n mn mn ?m+n?

? ?2 ? 2 ?

1 当且仅当 m=n= 时取等号. 2 答案:4 2.已知直线 x+2y=2 分别与 x 轴、y 轴相交于 A、B 两点,若动点 P(a,b)在线段 AB 上,则 ab 的最大值是________. 解析:∵A(2,0),B(0,1),∴0≤b≤1, 由 a+2b=2,得 a=2-2b,

??1-b?+b?2 1 ab=(2-2b)b=2(1-b)· b≤2· ? ? =2. 2 ? ?
1 当且仅当 1-b=b,即 b= 时等号成立,此时 a=1, 2 1 1 因此当 b= ,a=1 时,(ab)max= . 2 2 1 答案: 2 3.若 x,y∈(0,+∞),x+2y+xy=30. (1)求 xy 的取值范围; (2)求 x+y 的取值范围. 解:由 x+2y+xy=30,(2+x)y=30-x, 30-x 则 2+x≠0,y= >0,0<x<30. 2+x -x2+30x (1)xy= x+2 = -x2-2x+32x+64-64 x+2

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64 =-x- +32 x+2 64 ? ? =-??x+2?+ +34≤18,当且仅当 x=6 时取等号, x+2? ? ? 因此 xy 的取值范围是(0,18]. 30-x 32 (2)x+y=x+ =x+ -1 2+x x+2

? ?x=4 2-2, 32 =x+2+ -3≥8 2-3,当且仅当? 时等号成立,又 x+y=x+2+ x+2 ?y=4 2-1 ?
32 x+2 -3<30,因此 x+y 的取值范围是[8 2-3,30).



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