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广东省中山市第一中学2015-2016学年高二数学上学期第三次段考试题 理



中山市第一中学 2015—2016 学年度第一学期 高二级 第 三次段考 理科数学试题
(120 分钟 150 分)

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的) 1. 已知 a , b 是两个不相等的正数, A 是 a , b 的等差中项, B 是 a , b 的等比中项,则 A 与 B 的大小 关系是( ) A. A ? B
2

B. A ? B

C. A ? B

D.

1 1 ? A B
( )

2.抛物线 y =ax(a≠0)的焦点到其准线的距离是 |a| A. 4 |a| B. 2 C.|a| )

D.- 2

a

3.与命题“能被 6 整除的整数,一定能被 3 整除”等价的命题是( A.能被 3 整除的整数,一定能被 6 整除 B.不能被 3 整除的整数,一定不能被 6 整除 C.不能被 6 整除的整数,一定不能被 3 整除 D.不能被 6 整除的整数,不一定能被 3 整除

4.在△ABC 中,a、b 分别是角 A、B 所对的边,条件“a<b”是使“cosA>cosB”成立的( A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

)

5.如图所示,在棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E,F 分别为棱 AA1,BB1 的中 点, G 为棱 A1B1 上的一点, 且 A1G=λ (0≤λ ≤1), 则点 G 到平面 D1EF 的距离为( A. 3 B. )

2 2

C.

3 2

D.

5 5

6.某学校餐厅每天供应 500 名学生用餐,每星期一都有 A,B 两种菜可供选择.调查资料表明,凡是 在星期一选 A 种菜的,下星期一会有 20%的人改选 B 种菜;而选 B 种菜的,下星期一会有 30%的人改 选 A 种菜.用 an,bn 分别表示在第 n 个 星期选 A 种菜的人数和选 B 种菜的人数,如果 a1=300,则 a10 为( ) A.300 B.350 C.400 D.450 ( )

7.如果把直角三角形的三边都增加同样的长度,则这个新的三角形的形状为

1

A.锐角三角形

B.直角三角形
2

C.钝角三角形

D.由增加的长度决定
2

8.已知命题 p:“ ? x∈[1,2],x -a≥0”,命题 q:“ ? x0∈R,x0 +2ax0+2-a=0”,则命题“p 且 q”是真命题的充要条件是( A.a≤-2 或 a=1 C.a≥1 ) B.a≤-2 或 1≤a≤2 D.-2≤a≤1

9.在四面 体 OABC 中,点 M 在 OA 上,且 OM=2MA,N 为 BC 的中点,若 OG = 则使 G 与 M、N 共线的 x 的值为( A.1 B.2 ) C.

???? 1 ???? x ??? ? x ??? ? OA + OB + OC , 3 4 4
4 3

2 3

D.

x2 y2 10.已知点 F 是双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的左焦点,点 E 是该双曲线的右顶点,过 F 且垂直于 x 轴 a b
的直线与双曲线交于 A、B 两点,若△ABE 是锐角三角形,则该双曲线的离心率 e 的取值范围是( A.(1,+∞) 2) 11. 小王从甲地到乙地往返的时速分别为 a 和 b (a ? b) ,其全程的平均时速为 v ,则 A. a ? v ? ab B. B.(1,2) C.(1,1+ 2) )

D . (2,1 +

ab ? v ?

a?b 2

C.

ab ? v ? b

D. v ?

a?b 2
a2008

1 1 1 1 * 12 .数列 {an} 满足: a1 = 1,且对任意的 m, n∈N 都有 am + n = am + an + mn 则 + + +?+ =

a1 a2

a3

A.

2007 2008

2007 B. 1004

2008 C. 2009

4016 D. 2009

二、填空题 (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,请把正确的答案填在题中的横线上) 13.设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a1=1,S6=4S3,则 a4= .

14.如图 Rt△ABC 中,AB=AC=1,以点 C 为一个焦点作一个椭圆,使这个椭圆的 另一个焦点在 AB 边上, 且这个椭圆过 A、 B 两点, 则这个椭圆的焦距长为 15.正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,直线 BC1 与平面 A1BD 夹角的余弦值是
2

. .

16.已知方程 x ? ax ? 2b ? 0 (a ? R, b ? R) ,其一根在区间 (0,1) 内,另一根在区间 (1, 2) 内,则 的取值范围为

b?3 a ?1

2

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
2 ? ? x ? 4x ? 3 ? 0, 17.( 本小题满分 10 分) 已知 p:2x -9x+a<0,q: ? 2 且 ? q 是 ? p 的必要条件,求实数 ? ? x ? 6x ? 8 ? 0,
2

a 的取值范围. 18.( 本小题满分 12 分) 如图,正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中,AA1=2AB=4,点 E 在 CC1 上且 C1E=3EC.

(1)证明:A1C⊥平面 BED; (2)求二面角 A1-DE-B 的余弦值. 19. (本小题满分 12 分)在 ?ABC 中,内角 A , B , C 对应的边分别为 a , b , c ( a ? b ? c ) ,且
b cos C ? c cos B ? 2a sin A .(Ⅰ)求角 A ; (Ⅱ)求证: a2 ? (2 ? 3)bc ; (Ⅲ)若 a ? b ,且 BC 边上的

中线 AM 长为 7 ,求 ?ABC 的面积.

20. (本小题满分 12 分)某厂生产某种产品的年固定成本为 250 万元,每生产 x 千件,需另投入成本 为 C ? x ? , 当 年 产 量 不 足 80 千 件 时 , C ? x ? ? 时, C ? x ? ? 51x ? 能全部售完. (1)写出年利润 L(万元)关于年产量 x (千件)的函数解析式. (2)年产量为多少千件时,该厂 在这一商品的生产中所获利润最大?

1 2 x ? 10 x ( 万 元 ); 当 年 产 量 不 小 于 80 千 件 3

10000 ? 1450 (万元).通过市场分析,若每件售价为 500 元时,该厂年内生产的商品 x

3

n ?1 21. (本小题满分 12 分) 已知数列 ?an ? 的前 n 项和 S n ? ? an ? ( ) ? 2 (n ? N ? ) 。 (Ⅰ) 求数列 ?an ?

1 2

的通项公式; (Ⅱ)令 cn ?

n ?1 an , Tn ? c1 ? c2 ? ........ ? cn ,求 Tn 。 n

22. (本小题满分 12 分)已知椭圆 C1 : (Ⅰ)求椭圆 C1 的标准方程;

y2 ? x 2 ? 1(a ? 1) 与抛物线 C2 : x2 ? 4 y 有相同焦点 F1 . 2 a

(Ⅱ) 已知直线 l1 过椭圆 C1 的另一焦点 F2 , 且与抛物线 C2 相切于第一象限的点 A , 的直线 l 交椭圆 C1 于 B, C 两点,当△ OBC 面积最大时,求直线 l 的方程.

设平行 l1

中山一中 2015-2016 学年度第一学期第三次段考 高二级 理科数学答案 一、选择题 BBBCD AAAAB AD

4

二、填空题 三、解答题

13.

3

14.

6. 2

15.

3 3

16.

1 3 ( ,) 2 2

17.【解析】由 ?

? x 2 ? 4x ? 3 ? 0, ? 2 ? ? x ? 6x ? 8 ? 0,

得?

?1 ? x ? 3, 即 2<x<3.∴q:2<x<3.----------2 ?2 ? x ? 4,
2

设 A={x|2x -9x+a<0},B={x|2<x<3}, ∵ ? p? ? q,∴q? p.∴B
2

A.--------------5

即 2<x<3 满足不等式 2x -9x+a<0. 设 f(x)=2x -9x+a, 要使 2<x<3 满足不等式 2x -9x+a<0, 需?
2 2

?f(2) ? 0, ?8 ? 18 ? a ? 0, 即? ------------8 ?f(3) ? 0, ?18 ? 27 ? a ? 0.

∴a≤9.故所求实数 a 的取值范围是{a|a≤9}.---------10 18. 【解析】以 D 为坐标原点,射线 DA 为 x 轴的正半轴, 建立如图所示的空间直角坐标系 Dxyz. 依题设,B(2,2,0),C(0,2,0),E(0,2,1),A1(2,0,4).

??? ? ??? ? DE =(0,2,1), DB =(2,2,0),

???? ? ???? ? A1C =(-2,2,-4), DA1 =(2,0,4).-----------------2
(1)因为 A1C · DB =0, A1C · DE =0, 故 A1C⊥BD,A1C⊥DE. 又因为 DB∩DE=D,所以 A1C⊥平面 BED.---------------------6 (2)设向量 n=(x,y,z)是平 面 DA1E 的法向量,则 n⊥ DE ,n⊥ DA1 .故 2y+z=0,2x+4z=0. 令 y=1,则 z=-2,x=4,n=(4,1,-2).

???? ?

??? ?

???? ?

??? ?

??? ?

???? ?

5

〈n, A1C 〉等于二面角 A1-DE-B 的平面角,

???? ?

???? ? ???? ? n ? A1C 14 cos〈n, A1C 〉= . ???? ? = n A1C 42
所以二面角 A1-DE-B 的余弦值为

14 .-----------------------12 42

19.解: (Ⅰ)∵ b cos C ? c cos B ? 2a sin A ,∴ sin B cos C ? sin C cos B ? 2sin A sin A . 即 sin( B ? C ) ? 2sin A sin A ? sin A ? 2sin A sin A . 1 ? ? ∵ sin A ? 0 ,∴ sin A ? ,∵ a ? b ? c ,∴ 0 ? A ? ,∴ A ? .????4 分 2 3 6 (Ⅱ)∵ a ? (2 ? 3)bc ? b ? c ? 2bc cos
2 2 2

?

6

? (2 ? 3)bc

? b2 ? c2 ? 2bc ? (b ? c)2 ? 0 ,∴ a2 ? (2 ? 3)bc .????7 分
(Ⅲ)由 a ? b 及(Ⅰ)知 A ? B ? 设 AC ? x ,则 MC ?

π 2? ,所以, C ? ,.????8 分 6 3

1 x ,又 AM ? 7. 2 在 ?AMC 中,由余弦定理得 AC 2 ? MC 2 ? 2 AC ? MC cos C ? AM 2 , x x 即 x2 ? ( )2 ? 2 x ? ? cos120o ? ( 7)2 , 解得 x ? 2, ????10 分 2 2 1 2 2? 故 S?ABC ? x sin ? 3. ????12 分 2 3
20. 解析:⑴当 0 ? x ? 80, x ? N * 时,

L ? x? ?

500 ?1000 x 1 2 1 ? x ? 10 x ? 250 ? ? x 2 ? 40 x ? 250 10000 3 3
*

(2 分)

当 x ? 80, x ? N 时,

L ? x? ?

500 ?1000 x 10000 10000 ? ? ? 51x ? ? 1450 ? 250 ? 1200 ? ? x ? ? 10000 x x ? ?

(4 分)

? 1 2 ? x ? 40 x ? 250, ? 0 ? x ? 80, x ? N * ? ? ? 3 ? L ? x? ? ? 10000 ? ?1200 ? ? x? , ? x ? 80, x ? N * ? ? ? ? x ? ? ?
⑵当 0 ? x ? 80, x ? N * 时, L ? x ? ? ?

(6 分)

1 2 ? x ? 60 ? ? 950 , 3
6

? 当 x ? 60 时, L ? x ? 取得最大值 L ? 60? ? 950 (万元)
当 x ? 80, x ? N * 时,

(8 分)

10000 ? 10000 ? L ? x ? ? 1200 ? ? x ? ? 1200 ? 200 ? 1000 ? ? 1200 ? 2 x? x ? x ?
?当x ?

(11 分)

10000 ,即x ? 100 时, L ? x ? 取得最大值 1000 万元,即生产量为 100 千件时,该厂在这一 x
(12 分)

商品的生产中所获利润最大 21. (Ⅰ)在 Sn ? ?an ? ( )

1 2

n ?1

? 2 中,令 n=1,可得 S1 ? ?an ?1 ? 2 ? a1 ,即 a1 ?
1 2
n?2

1 ???1 分, 2

当 n ? 2 时, Sn ?1 ? ? an ?1 ? ( )

1 ? 2, ? an ? Sn ? Sn ?1 ? ? an ? an ?1 ? ( ) n ?1 , 2

1 ? 2a n ? an ?1 ? ( ) n ?1 , 即2n an ? 2n ?1 an ?1 ? 1 ,???3 分 2

设bn ? 2n an , 则bn ? bn?1 ?1,即当n ? 2时,bn ? bn?1 ? 1.
又 b1 ? 2a1 ? 1,?数列 bn ? 是首项和公差均为 1 的等差数列. 于是 bn ? 1 ? ( n ? 1) ?1 ? n ? 2 an ,? an ?
n

?

n ?1 1 an ? (n ? 1)( ) n ,所以 n 2 1 1 2 1 3 1 Tn ? 2 ? ? 3 ? ( ) ? 4 ? ( ) ? K ? ( n ? 1)( ) n 2 2 2 2 1 1 1 1 1 Tn ? 2 ? ( ) 2 ? 3 ? ( )3 ? 4 ? ( ) 4 ? K ? (n ? 1)( ) n ?1 2 2 2 2 2 1 1 2 1 3 1 n 1 n ?1 由①-②得 Tn ? 1 ? ( ) ? ( ) ? K ? ( ) ? ( n ? 1)( ) 2 2 2 2 2 1 1 [1 ? ( ) n ?1 ] 1 3 n?3 n?3 2 ???12 分 ? 1? 4 ? (n ? 1)( ) n ?1 ? ? n ?1 , ?Tn ? 3 ? n , 1 2 2 2 2 1? 2 2 22. 解: (1)? 抛物线 x ? 4 y 的焦点为 F1 (0,1) ,
(Ⅱ)由(I)得 cn ?

n .???6 分 2n

? c ? 1 ,又 b2 ? 1,? a ? 2 ? 椭圆方程为
(2) F2 (0, ?1) ,由已知可知直线 l1 的斜率必存在, 设直线 l1 : y ? kx ?1

y2 ? x 2 ? 1 . ???4 分 2

7

?x ? 4 y ∵直线 l1 与抛物线 C2 相切于点 A .
2

由?

? y ? kx ? 1

消去 y 并化 简得 x ? 4kx ? 4 ? 0
2

∴ ? ? (?4k )2 ? 4 ? 4 ? 0 ,得 k ? ?1 . ∵切点 A 在第一象限.∴ k ? 1 ∵ l ∥ l1 ∴设直线 l 的方 程为 y ? x ? m

????5 分 ???6 分

?y ? x ? m ? 2 2 由 ? y2 ,消去 y 整理得 3x ? 2mx ? m ? 2 ? 0 , ??7 分 2 ? ? x ?1 ?2 ? ? (2m)2 ?12(m2 ? 2) ? 0 ,解得 ? 3 ? m ? 3 .
设 B( x1 , y1 ) , C( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ? ?

2m m2 ? 2 , x1 x2 ? 3 3

| x1 ? x2 |? ( x1 ? x2 )2 ? 4 x1 x2 ? (?
又直线 l 交 y 轴于 D(0, m)

2m 2 m2 ? 2 2 2 ) ? 4? ? 3 ? m2 . ?8 分 3 3 3

1 1 2 2 2 ? S?OBC ? ? | OD | ? | x1 ? x2 |? ? | m | ? ? 3 ? m2 ? m2 (3 ? m2 ) ?10 分 2 2 3 3 2 3 9 ? ? ?(m2 ? )2 ? 3 2 4 3 6 2 2 当 m ? ,即 m ? ? . ??11 分 ? (? 3, 3) 时, ( S?OBC )max ? 2 2 2 6 所以,所求直线 l 的方程为 y ? x ? . ?????12 分 2

8



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