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2015届高考数学二轮复习 专题突破训练二 第1讲 函数、基本初等函数的图象与性质 理(含2014年高考真题)


第1讲
考情解读

函数、基本初等函数的图象与性质

1.高考对函数的三要素, 函数的表示方法等内容的考查以基础知识为主, 难度中

等偏下.2.函数图象和性质是历年高考的重要内容, 也是热点内容, 对图象的考查主要有两个 方面:一是识图,二是用图,即利用函数的图象,通过数形结合的思想解决问题;对函数性 质的考查,则主要是将单调性、奇偶性、周期性等综合一起考查,既有具体函数也有抽象函 数.常以选择、填空题的形式出现,且常与新定义问题相结合,难度较大.

1.函数的三要素 定义域、值域及对应关系 两个函数当且仅当它们的三要素完全相同时才表示同一函数,定义域和对应关系相同的两个 函数是同一函数. 2.函数的性质 (1)单调性:单调性是函数在其定义域上的局部性质.利用定义证明函数的单调性时,规范步 骤为取值、作差、判断符号、下结论.复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则. (2)奇偶性:奇偶性是函数在定义域上的整体性质.偶函数的图象关于 y 轴对称,在关于坐标 原点对称的定义域区间上具有相反的单调性;奇函数的图象关于坐标原点对称,在关于坐标 原点对称的定义域区间上具有相同的单调性. (3) 周期性:周期性是函数在定义域上的整体性质.若函数在其定义域上满足 f(a + x) =

f(x)(a 不等于 0),则其一个周期 T=|a|.
3.函数的图象 对于函数的图象要会作图、识图、用图. 作函数图象有两种基本方法:一是描点法,二是图象变换法,其中图象变换有平移变换、伸 缩变换、对称变换. 4.指数函数、对数函数和幂函数的图象和性质 (1)指数函数 y=a (a>0,a≠1)与对数函数 y=logax(a>0,a≠1)的图象和性质,分 0<a<1,
x

a>1 两种情况,着重关注两函数图象中的两种情况的公共性质.
(2)幂函数 y=x 的图象和性质,分幂指数 α >0,α <0 两种情况.
α

1

热点一 函数的性质及应用 例 1 (1)(2014·课标全国Ⅱ)已知偶函数 f(x)在[0,+∞)单调递减,f(2)=0.若 f(x-

1)>0,则 x 的取值范围是________.

? 1? (2)设奇函数 y=f(x) (x∈R),满足对任意 t∈R 都有 f(t)=f(1-t),且 x∈?0, ?时,f(x) ? 2? ? 3? 2 =-x ,则 f(3)+f?- ?的值等于________. ? 2?
1 思维启迪 (1)利用数形结合,通过函数的性质解不等式;(2)利用 f(x)的性质和 x∈[0, ] 2 3 时的解析式探求 f(3)和 f(- )的值. 2 1 答案 (1)(-1,3) (2)- 4 解析 (1)∵f(x)是偶函数, ∴图象关于 y 轴对称. 又 f(2)=0,且 f(x)在[0,+∞)单调递减, 则 f(x)的大致图象如图所示, 由 f(x-1)>0,得-2<x-1<2,即-1<x<3. (2)根据对任意 t∈R 都有 f(t)=f(1-t)可得 f(-t) =f(1+t),即 f(t+1)=-f(t),进而得到

f(t+2)=-f(t+1)=-[-f(t)]=f(t),
1 ? 3? ?1? 得函数 y=f(x)的一个周期为 2, 故 f(3)=f(1)=f(0+1)=-f(0)=0, f?- ?=f? ?=- . 4 ? 2? ?2? 1 ? 3? ? 1? 所以 f(3)+f?- ?=0+?- ?=- . 2 4 4 ? ? ? ? 思维升华 函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性和周期性以及函数图象的对称性,在解 题中根据问题的条件通过变换函数的解析式或者已知的函数关系,推证函数的性质,根据函 数的性质解决问题. (1)(2013·重庆)已知函数 f(x)=ax +bsin x+4(a, b∈R), f(lg(log210))=5, 则 f(lg(lg 2))等于( )
3

A.-5 B.-1 C.3 D.4 (2)已知函数 f(x)=x +x,对任意的 m∈[-2,2],f(mx-2)+f(x)<0 恒成立,则 x 的取值 范围为_________. 2? ? 答案 (1)C (2)?-2, ? 3? ? 解析 (1)lg(log210)=lg?
3

? 1 ?=-lg(lg 2), ? ?lg 2?
2

由 f(lg(log210))=5,得 a[lg(lg 2)] +bsin(lg(lg 2))=4-5=-1,则 f(lg(lg 2))=

3

a(lg(lg 2))3+bsin(lg(lg 2))+4=-1+4=3.
(2)易知 f(x)为增函数. 又 f(x)为奇函数,由 f(mx-2)+f(x)<0 知,

f(mx-2)<f(-x).
∴mx-2<-x,即 mx+x-2<0, 令 g(m)=mx+x-2,由 m∈[-2,2]知 g(m)<0 恒成立, 即?
? ?g ?g ?



=-x-2<0 =3x-2<0

2 ,∴-2<x< . 3

热点二 函数的图象 例2 10ln|x+1| (1)(2014·烟台质检)下列四个图象可能是函数 y= 图象的是( x+1 )

(2)已知函数 f(x)的图象向左平移 1 个单位后关于 y 轴对称, 当 x2>x1>1 时, [f(x2)-f(x1)](x2 1 -x1)<0 恒成立,设 a=f(- ),b=f(2),c=f(3),则 a,b,c 的大小关系为( 2 A.c>a>b C.a>c>b B.c>b>a D.b>a>c )

思维启迪 (1)可以利用函数的性质或特殊点,利用排除法确定图象.(2)考虑函数 f(x)的单 调性. 答案 (1)C (2)D 10ln|x| 解析 (1)函数的定义域为{x|x≠-1},其图象可由 y= 的图象沿 x 轴向左平移 1 个

x

10ln|x| 10ln|x+1| 单位而得到,y= 为奇函数,图象关于原点对称,所以,y= 的图象关于点 x x+1 (-1,0)成中心对称.可排除 A,D. 10ln|x+1| 又 x>0 时,y= >0,所以,B 不正确,选 C. x+1

3

(2)由于函数 f(x)的图象向左平移 1 个单位后得到的图象关于 y 轴对称, 故函数 y=f(x)的图 1 5 象本身关于直线 x=1 对称, 所以 a=f(- )=f( ), 当 x2>x1>1 时, [f(x2)-f(x1)](x2-x1)<0 2 2 恒成立,等价于函数 f(x)在(1,+∞)上单调递减,所以 b>a>c.选 D. 思维升华 (1)作图:常用描点法和图象变换法.图象变换法常用的有平移变换、伸缩变换和 对称变换. 尤其注意 y=f(x)与 y=f(-x)、 y=-f(x)、 y=-f(-x)、 y=f(|x|)、 y=|f(x)| 及 y=af(x)+b 的相互关系. (2)识图:从图象与轴的交点及左、右、上、下分布范围、变化趋势、对称性等方面找准解析 式与图象的对应关系. (3)用图:图象形象地显示了函数的性质,因此,函数性质的确定与应用及一些方程、不等式 的求解常与图象数形结合研究. (1)函数 f(x)=1+log2x 与 g(x)=2
1-x

在同一直角坐标系中的图象大致是(

)

? ?-x +2x,x≤0, (2)(2013·课标全国Ⅰ)已知函数 f(x)=? ? x+ ,x>0. ?

2

若|f(x)|≥ax,则 a 的取值

范围是(

)

A.(-∞,0] B.(-∞,1] C.[-2,1] D.[-2,0] 答案 (1)C (2)D 解析 (1)f(x)=1+log2x 的图象过定点(1,1),g(x)=2
1-x

的图象过定点(0,2).

f(x)=1+log2x 的图象由 y=log2x 的图象向上平移一个单位而得到,且 f(x)=1+log2x 为
单调增函数,g(x)=2
1-x

1 x 1 x 1-x =2×( ) 的图象由 y=( ) 的图象伸缩变换得到,且 g(x)=2 为 2 2

单调减函数.A 中,f(x)的图象单调递增,但过点(1,0),不满足;B 中,g(x)的图象单调递 减,但过点(0,1),不满足;D 中,两个函数都是单调增函数,也不满足.选 C. (2)函数 y=|f(x)|的图象如图.

4

①当 a=0 时,|f(x)|≥ax 显然成立. ②当 a>0 时,只需在 x>0 时, ln(x+1)≥ax 成立. 比较对数函数与一次函数 y=ax 的增长速度. 显然不存在 a>0 使 ln(x+1)≥ax 在 x>0 上恒成立. ③当 a<0 时,只需在 x<0 时,x -2x≥ax 成立. 即 a≥x-2 成立,∴a≥-2.综上所述:-2≤a≤0.故选 D. 热点三 基本初等函数的图象及性质 log2x,x>0, ? ? (1)若函数 f(x)=? 1 log -x ,x<0, ? ? 2 ) B.(-∞,-1)∪(1,+∞) D.(-∞,-1)∪(0,1) )
2

例3

若 f(a)>f(-a),则实数 a 的取值范围是

(

A.(-1,0)∪(0,1) C.(-1,0)∪(1,+∞)

π π (2)已知 α ,β ∈[- , ]且 α sin α -β sin β >0,则下面结论正确的是( 2 2 A.α >β B.α +β >0 C.α <β D.α >β
2 2

思维启迪 (1)可利用函数图象或分类讨论确定 a 的范围;(2)构造函数 f(x)=xsin x,利用

f(x)的单调性.
答案 (1)C (2)D 解析 (1)方法一 由题意作出 y=f(x)的图象如图.

显然当 a>1 或-1<a<0 时,满足 f(a)>f(-a).故选 C. 方法二 对 a 分类讨论: 当 a>0 时,log2a>log1a,即 log2a>0,∴a>1.
2

当 a<0 时,log1(-a)>log2(-a),即 log2(-a)<0,
2

∴-1<a<0,故选 C. π π (2)设 f(x)=xsin x,x∈[- , ], 2 2 ∴y′=xcos x+sin x=cos x(x+tan x),
5

π 当 x∈[- ,0]时,y′<0,∴f(x)为减函数, 2 π 当 x∈[0, ]时,y′>0,∴f(x)为增函数, 2 且函数 f(x)为偶函数,又 α sin α -β sin β >0, ∴α sin α >β sin β ,∴|α |>|β |,∴α >β . 思维升华 (1)指数函数、对数函数、幂函数和三角函数是中学阶段所学的基本初等函数,是 高考的必考内容之一,重点考查图象、性质及其应用,同时考查分类讨论、等价转化等数学 思想方法及其运算能力.(2)比较数式大小问题,往往利用函数图象或者函数的单调性. 1 1 b 1 a (1)设 <( ) <( ) <1,那么( 5 5 5 A.a <a <b C.a <b <a
a a a b a
2 2

)
a

B.a <a <b D.a <b <a
b a

b

a

b

a

?f ? 1 x (2) 已知函数 f(x) = 2 - x ,函数 g(x) = ? 2 ?f ?

x ,x≥0,
-x ,x<0,

则函数 g(x) 的最小值是

________. 答案 (1)B (2)0 解析 1 x 1 1 b 1 a (1)因为指数函数 y=( ) 在(-∞,+∞)上是递减函数,所以由 <( ) <( ) <1 得 5 5 5 5

0<a<b<1, 所以 0< <1. 所以 y=a ,y=b ,y=( ) 在(-∞,+∞)上都是递减函数,从而 a <a ,( ) <1 得 b >a , 故 a <a <b , 答案选 B. 1 x (2)当 x≥0 时,g(x)=f(x)=2 - x为单调增函数,所以 g(x)≥g(0)=0;当 x<0 时,g(x) 2 =f(-x)=2 -
-x

a b

x

x

a b

x

b

a

a b

a

a

a

b

a

a

1 -x为单调减函数,所以 g(x)>g(0)=0,所以函数 g(x)的最小值是 0. 2

1.判断函数单调性的常用方法 (1)能画出图象的一般用数形结合法去观察. (2)由基本初等函数通过加、 减运算或复合而成的函数, 常转化为基本初等函数单调性的判断 问题. (3)对于解析式较复杂的一般用导数法.
6

(4)对于抽象函数一般用定义法. 2.函数奇偶性的应用 函数的奇偶性反映了函数图象的对称性,是函数的整体特性. 利用函数的奇偶性可以把研究整个函数具有的性质问题转化到只研究部分(一半)区间上,是 简化问题的一种途径.尤其注意偶函数 f(x)的性质:f(|x|)=f(x). 3.函数图象的对称性 (1)若函数 y=f(x)满足 f(a+x)=f(a-x),即 f(x)=f(2a-x),则 f(x)的图象关于直线 x =a 对称.提醒:函数 y=f(a+x)与 y=f(a-x)的图象对称轴为 x=0,并非直线 x=a. (2)若 f(x)满足 f(a+x)=f(b-x),则函数 f(x)的图象关于直线 x=

a+b
2

对称.

(3)若函数 y=f(x)满足 f(x)=2b-f(2a-x),则该函数图象关于点(a,b)成中心对称. 4.二次函数、一元二次方程和一元二次不等式是一个有机的整体,要深刻理解它们之间的相 互关系,能用函数与方程、分类讨论、数形结合思想来研究与“三个二次”有关的问题,高 考对“三个二次”知识的考查往往渗透在其他知识之中,并且大都出现在解答题中. 5.指数函数、对数函数的图象和性质受底数 a 的影响,解决与指、对数函数特别是与单调性 有关的问题时,首先要看底数 a 的范围. 比较两个对数的大小或解对数不等式或解对数方程时,一般是构造同底的对数函数,若底数 不同,可运用换底公式化为同底的对数,三数比较大小时,注意与 0 比较或与 1 比较. 6.解决与本讲有关的问题应注意函数与方程、数形结合、分类讨论、化归与转化等思想的运 用.

真题感悟 1.(2014·安徽)若函数 f(x)(x∈R)是周期为 4 的奇函数,且在[0,2]上的解析式为 f(x)=
? -x ,0≤x≤1, ?x ? ?sin π x,1<x≤2, ?

?29? ?41? 则 f? ?+f? ?=________. ?4? ?6?

答案

5 16

解析 ∵f(x)是以 4 为周期的奇函数,

?29? ? 3? ? 3? ∴f? ?=f?8- ?=f?- ?, ? 4 ? ? 4? ? 4?
f? ?=f?8- ?=f?- ?. 6 6 6

?41? ? ?

? ?

7?

?

? 7? ? ?

∵当 0≤x≤1 时,f(x)=x(1-x),

7

?3? 3 ? 3? 3 ∴f? ?= ×?1- ?= . ?4? 4 ? 4? 16
∵当 1<x≤2 时,f(x)=sin π x, 7π 1 ?7? ∴f? ?=sin =- . 6 2 ?6? 又∵f(x)是奇函数, 3 ? 3? ?3? ∴f?- ?=-f? ?=- , 16 ? 4? ?4?

f?- ?=-f? ?= . 6 6

? 7? ? ?

?7? 1 ? ? 2

?29? ?41? 1 3 5 ∴f? ?+f? ?= - = . ? 4 ? ? 6 ? 2 16 16
2.(2014·福建)若函数 y=logax(a>0,且 a≠1)的图象如图所示,则所给函数图象正确的是 ( )

答案 B 解析 由题意得 y=logax(a>0,且 a≠1)的图象过(3,1)点,可解得 a=3.选项 A 中,y=3
-x

1 x 3 3 =( ) ,显然图象错误;选项 B 中,y=x ,由幂函数图象可知正确;选项 C 中,y=(-x) 3 =-x ,显然与所画图象不符;选项 D 中,y=log3(-x)的图象与 y=log3x 的图象关于 y 轴 对称,显然不符,故选 B. 押题精练 1.已知函数 f(x)=e
|ln x| 3

? 1? -?x- ?,则函数 y=f(x+1)的大致图象为( ?
x?

)

8

答案 A 解析 据已知关系式可得

? ?e f(x)=? ? ?e

-ln x

? 1? +?x- ?=x ?
x?

x




ln x

? 1? 1 -?x- ?= x ?
x? x

作出其图象然后将其向左平移 1 个单位即得函数 y=f(x+1)的图象. 2.已知函数 f(x)=|log1x|,若 m<n,有 f(m)=f(n),则 m+3n 的取值范围是(
2

)

A.[2 3,+∞) C.[4,+∞) 答案 D

B.(2 3,+∞) D.(4,+∞)

解析 ∵f(x)=|log1x|,若 m<n,有 f(m)=f(n),
2

1 ∴log m=-log1n, 2 2 ∴mn=1,∴0<m<1,n>1, 3 ∴m+3n=m+ 在 m∈(0,1)上单调递减,

m

当 m=1 时,m+3n=4,∴m+3n>4. 3. 已知 f(x)=2 -1, g(x)=1-x , 规定: 当|f(x)|≥g(x)时, h(x)=|f(x)|; 当|f(x)|<g(x) 时,h(x)=-g(x),则 h(x)( A.有最小值-1,最大值 1 B.有最大值 1,无最小值 C.有最小值-1,无最大值 D.有最大值-1,无最小值 答案 C 解析 由题意得,利用平移变化的知识画出函数|f(x)|,g(x)的图象如图, )
x
2

9

?|f x ,|f x ? 而 h(x)=? ?-g x ,|f x ?

g x g x



故 h(x)有最小值-1,无最大值.

(推荐时间:40 分钟) 一、选择题 1. 下列函数 f(x)中, 满足“对任意的 x1, x2∈(0, +∞)时, 均有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0” 的是( ) B.f(x)=x -4x+4
x
2

1 A.f(x)= 2 C.f(x)=2 答案 C

D.f(x)=log1x
2

解析 函数 f(x)满足“对任意的 x1,x2∈(0,+∞)时,均有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0”等 价于 x1-x2 与 f(x1)-f(x2)的值的符号相同,即可化为
x

f x1 - f x2 >0,表示函数 f(x) x1-x2

在(0,+∞)上单调递增,由此可得只有函数 f(x)=2 符合.故选 C. 2.(2014·浙江)在同一直角坐标系中,函数 f(x)=x (x≥0),g(x)=logax 的图象可能是 ( )
a

10

答案 D 解析 方法一 分 a>1,0<a<1 两种情形讨论. 当 a>1 时,y=x 与 y=logax 均为增函数,但 y=x 递增较快,排除 C; 当 0<a<1 时,y=x 为增函数,y=logax 为减函数,排除 A.由于 y=x 递增较慢,所以选 D. 方法二 幂函数 f(x)=x 的图象不过(0,1)点,排除 A;B 项中由对数函数 f(x)=logax 的图 象知 0<a<1,而此时幂函数 f(x)=x 的图象应是增长越来越慢的变化趋势,故 B 错,D 对;C 项中由对数函数 f(x)=logax 的图象知 a>1,而此时幂函数 f(x)=x 的图象应是增长越来越 快的变化趋势,故 C 错.
a a a a a a a

? ? 1 ?? 3.已知函数 y=f(x)是奇函数,当 x>0 时,f(x)=lg x,则 f?f? ??的值等于( ? ?100??
A. 1 1 B.- C.lg 2 D.-lg 2 lg 2 lg 2

)

答案 D 解析 当 x<0 时,-x>0,则 f(-x)=lg(-x). 又函数 f(x)为奇函数,f(-x)=-f(x), 所以当 x<0 时,f(x)=-lg(-x). 所以 f?

? 1 ?=lg 1 =-2, ? 100 ?100?

f?f?

? ? 1 ??=f(-2)=-lg 2. ?? ? ?100??
)
a b

4.若 a>b,则下列不等式成立的是( A.ln a>ln b C. a ? b 答案 D
1 2 1 2

B.0.3 >0.3 3 3 D. a> b

解析 因为 a>b,而对数的真数为正数,所以 ln a>ln b 不一定成立; 因为 y=0.3 是减函数,又 a>b,则 0.3 <0.3 ,故 B 错; 因为 y= x 在(0,+∞)是增函数,又 a>b,则 a 2 ? b 2 不一定成立,故 C 错;
1 2 1 1
x a b

y= x 3 在(-∞,+∞)是增函数,又 a>b,则 a 3 ? b 3 ,即 a> b成立,选 D.
5.设偶函数 f(x)满足 f(x)=2 -4(x≥0),则{x|f(x-2)>0}等于( A.{x|x<-2 或 x>4} B.{x|x<0 或 x>4} C.{x|x<0 或 x>6} D.{x|x<-2 或 x>2}
x

1

1

1

3

3

)

11

答案 B 解析 由于函数 f(x)是偶函数,因此有 f(|x|)=f(x),不等式 f(x-2)>0, 即 f(|x-2|)>0,

f(|x-2|)=2|x-2|-4>0,|x-2|>2,
即 x-2<-2 或 x-2>2,由此解得 x<0 或 x>4. 于是有{x|f(x-2)>0}={x|x<0 或 x>4},故选 B. 6.使 log2(-x)<x+1 成立的 x 的取值范围是( A.(-1,0) C.(-2,0) 答案 A 解析 在同一坐标系内作出 y=log2(-x),y=x+1 的图象,知满足条件的 x∈(-1,0),故 选 A. B.[-1,0) D.[-2,0) )

7.下列函数中,与函数 f(x)=2 A.y=e C.y=x 答案 B 解析 因为函数 f(x)=2
x x-1 x

x-1

1 - x+1的奇偶性、单调性均相同的是( 2
2

)

B.y=ln(x+ x +1) D.y=tan x

2

1 1 x 1 - x+1= (2 - x),可知函数 f(x)在定义域上是奇函数,且单调 2 2 2
2

递增,y=e 为非奇非偶函数,y=x 为偶函数,y=tan x 在定义域上是奇函数,但不单调递 增,只有 y=ln(x+ x +1)在定义域上是奇函数,且单调递增,故选 B. 8.(2013·天津)已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且在区间[0,+∞)上单调递增.若 实数 a 满足 f(log2a)+f(log1a)≤2f(1),则 a 的取值范围是(
2 2

)

A.[1,2]

? 1? B.?0, ? ? 2?
D.(0,2]

?1 ? C.? ,2? ?2 ?
答案 C

解析 由题意知 a>0,又 log1a=log2a =-log2a.
2

-1

12

∵f(x)是 R 上的偶函数, ∴f(log2a)=f(-log2a)=f(log1a).
2

∵f(log2a)+f(log1a)≤2f(1),
2

∴2f(log2a)≤2f(1),即 f(log2a)≤f(1). 又∵f(x)在[0,+∞)上递增. ∴|log2a|≤1,-1≤log2a≤1,

?1 ? ∴a∈? ,2?,选 C. ?2 ?
二、填空题 1 ? ? ex x 9.已知函数 f(x)=?3 ? ?f x+ 答案 e 1 解析 f(ln 3)=f(ln 3+1)= eln 3+1=e,故填 e. 3 10.已知函数 f(x)=x|x-a|,若对任意的 x1,x2∈[2,+∞),且 x1≠x2,(x1-x2)·[f(x1) -f(x2)]>0 恒成立,则实数 a 的取值范围为________. 答案 {a|a≤2} 解析 f(x)=? ?-x ?
? ?x

,则 f(ln 3)=________.

x

x-a ,x≥a x-a ,x<a

,由(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0 知,函数 y=f(x)在[2,

+∞)单调递增,当 a≤0 时,满足题意,当 a>0 时,只需 a≤2,即 0<a≤2,综上所述,实数

a 的取值范围为 a≤2.
11 . 设 f(x) 是 定 义 在 R 上 且 周 期 为 2 的 函 数 , 在 区 间 [ - 1,1] 上 , f(x) =

ax+1,-1≤x<0, ? ? ?bx+2 ,0≤x≤1, ? ? x+1
答案 -10

?1? ?3? 其中 a,b∈R.若 f? ?=f? ?,则 a+3b 的值为________. ?2? ?2?

解析 因为 f(x)的周期为 2,

?3? ?3 ? ? 1? ?1? ? 1? 所以 f? ?=f? -2?=f?- ?,即 f? ?=f?- ?. ?2? ?2 ? ? 2? ?2? ? 2?
+2 1 ? 1? ?1? 2 =b+4, 又因为 f?- ?=- a+1,f? ?= 2 3 ? 2? ?2? 1 +1 2

b

13

1 b+4 所以- a+1= . 2 3 2 整理,得 a=- (b+1).① 3 又因为 f(-1)=f(1), 所以-a+1=

b+2
2

,即 b=-2a.②

将②代入①,得 a=2,b=-4. 所以 a+3b=2+3×(-4)=-10. 12.已知定义在 R 上的函数 y=f(x)满足以下三个条件: ①对于任意的 x∈R,都有 f(x+4)=f(x); ②对于任意的 x1,x2∈R,且 0≤x1<x2≤2,都有 f(x1)<f(x2); ③函数 y=f(x+2)的图象关于 y 轴对称. 则判断 f(4.5),f(6.5),f(7)的大小关系为________. 答案 f(4.5)<f(7)<f(6.5) 1 解析 由已知得 f(x)是以 4 为周期且关于直线 x=2 对称的函数.所以 f(4.5)=f(4+ )= 2

f( ), f(7)=f(4+3)=f(3), f(6.5)=f(4+ )=f( ).
又 f(x)在[0,2]上为增函数. 所以作出其在[0,4]上的图象知 5 2 5 2

1 2

f(4.5)<f(7)<f(6.5).
1+ - 13.设函数 f(x)= 2
x

(x∈Z),给出以下三个结论:

①f(x)为偶函数; ②f(x)为周期函数; ③f(x+1)+f(x)=1, 其中正确结论的序号是________. 答案 ①②③ 解析 对于 x∈Z,f(x)的图象为离散的点,关于 y 轴对称,①正确;f(x)为周期函数,T=2, 1+ - ②正确;f(x+1)+f(x)= 2 确. 14.能够把圆 O:x +y =16 的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为圆 O 的“和谐 函数”,下列函数是圆 O 的“和谐函数”的是________. ①f(x)=e +e
x
-x 2 2

x+1



1+ - 2

x

=1+



x+1

+ - 2

x

=1,③正

5-x ②f(x)=ln 5+x
14

③f(x)=tan 2 答案 ②③④

x

④f(x)=4x +x

3

解析 由“和谐函数”的定义知,若函数为“和谐函数”,则该函数为过原点的奇函数,① 中,f(0)=e +e =2,所以 f(x)=e +e 的图象不过原点,故 f(x)=e +e 不是“和谐函 5-0 5+x 5-x 数”;②中 f(0)=ln =ln 1=0,且 f(-x)=ln =-ln =-f(x),所以 f(x)为 5+0 5-x 5+x 5-x -x 奇函数,所以 f(x)=ln 为“和谐函数”;③中,f(0)=tan 0=0,且 f(-x)=tan = 5+x 2 -tan =-f(x),f(x)为奇函数,故 f(x)=tan 为“和谐函数”;④中,f(0)=0,且 f(x) 2 2 为奇函数,故 f(x)=4x +x 为“和谐函数”,所以,②③④中的函数都是“和谐函数”.
3 0 -0

x

-x

x

-x

x

x

15


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