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1.4 绝对值的三角不等式 教学案 3


1.4 绝对值的三角不等式 教学案 3 教学目标: 1:理解并掌握 x ? a 和 x ? a 型不等式的解法. 2:充分运用观察、类比、猜想、分析证明的数学思维方法,体会转化和数形结合的数 学. 思想,并能运用绝对值三角不等式公式进行推理和证明. 教学重点: 绝对值三角不等式的含义,绝对值三角不等式的理解和运用. 教学难点: 绝对值三角不等式的发现和推导、取等条件. 教学过程: 一、复习引入: 在初中课程的学习中,我们已经对不等式和绝对值的一些基本知识有了一定的了解. 请同学们回忆一下绝对值的意义. 在数轴上,一个点到原点的距离称为这个点所表示的数的绝对值.即 ? x,如果x ? 0 ? x ? ?0,如果x ? 0 . ?? x,如果x ? 0 ? 在此基础上,本节讨论含有绝对值的不等式. 二、新课学习: 关于含有绝对值的不等式的问题,主要包括两类:一类是解不等式,另一类是证明不等 式.下面分别就这两类问题展开探讨. 1、解在绝对值符号内含有未知数的不等式(也称绝对值不等式),关键在于去掉绝对值 符号,化成普通的不等式.主要的依据是绝对值的几何意义. 2、含有绝对值的不等式有两种基本的类型. 第一种类型:设a为正数.根据绝对值的意义,不等式 x ? a 的解集是 {x | ?a ? x ? a} , 它的几何意义就是数轴上到原点的距离小于a的点的集合是开区间(-a,a),如图所示. ?a 图1-1 a 如果给定的不等式符合上述形式,就可以直接利用它的结果来解. 第二种类型:设a为正数.根据绝对值的意义,不等式 x ? a 的解集是 { x | x ? a 或 x ? ?a },它的几何意义就是数轴上到原点的距离大于 a 的点的集合是两个 开区间 (??,?a), (a, ?) 的并集.如图1-2所示. –a 图1-2 a 同样,如果给定的不等式符合这种类型,就可以直接利用它的结果来解. 3、 ax ? b ? c 和 ax ? b ? c 型不等式的解法. ax ? b ? c ? ?c ? ax ? b ? c ax ? b ? c ? ax ? b ? ?c或ax ? b ? c 4、 x ? a ? x ? b ? c 和 x ? a ? x ? b ? c 型不等式的解法.(三种思路) 三、典型例题: 例1、解不等式 3x ? 1 ? x ? 2 . 例2、解不等式 3x ? 1 ? 2 ? x . 方法1:分类讨论. 方法2:依题意,原不等式等价于 3 x ? 1 ? 2 ? x 或 3x ? 1 ? x ? 2 ,然后去解. 例3、解不等式 2x ? 1 ? 3x ? 2 ? 5 . 例4、解不等式 x ? 2 ? x ? 1 ? 5 . 解: 本题可以按照例3的方法解, 但更简单的解法是利用几何意义.原不等式即数轴上的 点x到1,2的距离的和大于等于5.因为1,2的距离为1,所以x在2的右边,与2的距离大于等 于2(=(5-1) ? 2) ;或者x在1的左边,与1的距离大于等于2.这就是说, x ? 4 或 x ? ?1. 例5、不等式 x ? 1 ? x ? 3 > a ,对一切实数 x 都成立,求实数 a 的取值范围. 四、课堂练习:解下列不等式: 1、 2 2 x ? 1 ? 1. 4、 x ? 1 ? 2 ? x . 7、 x ? x ? 2 ? 4 2、 41 ? 3x ? 1 ? 0 2 5、 x ? 2 x ? 4 ? 1 3、 3 ? 2x ? x ? 4 . 2 6、 x ? 1

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