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8.1 椭圆


椭圆 【知识要点】 1.椭圆的定义: 第一种定义:平面内与两个定点 F1、F2 的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆,这两 个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做焦距. 第二种定义:平面内一个动点到一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是小于 1 的正常数,这个 动点的轨迹叫椭圆,定点是椭圆的焦点,定直线叫做椭圆的准线. 2.椭圆的标准方程:
x2 y2 ? 2 ? 1( a ? b ? 0) 2 b (1) a ,焦点:F1(-c,0),F2(c,0),其中 c=

a 2 ? b2 .

(2)

x2 y2 ? 2 ? 1( a ? b ? 0) b2 a ,焦点:F1(0,-c),F2(0,c),其中

2 2 c= a ? b .

? x ? a cos? ? 3.椭圆的参数方程: ? y ? b sin ?

,(参数 θ 是椭圆上任意一点的离心率).

4.椭圆的几何性质:以标准方程 ① 范围:|x|≤a,|y|≤b;② 对称性:对称轴 x=0,y=0,对称中心为 O(0,0);③ 顶点 A(a,0),A′(-a,0),B(0,b),B′(0,-b);长轴 |AA′|=2a,短轴|BB′|=2b;④ 离心率:e= ,0<e<1;⑤ 准线 x= ;⑥ 焦半径:|PF1|=a+ex,|PF2|=a-ex,其中 P(x,y)是椭圆上任意一点. 【基础训练】 x2 y2 ? ? 1 上一点 P 到椭圆一个焦点的距离是 3, P 点到另一个焦点的距离为: 1、 已知椭圆 则 ( ) 25 16 A、2 B、3 C、5 D、7 2、若椭圆的两个焦点是两条准线间距离的两个三等分点,则椭圆的长轴长与短轴长之比是: ( ) A、2 3、椭圆 B、

x2 y2 ? ? 1( a ? b ? 0) a2 b2 为例:

6 2

C、 2

D、

3 2 4

x2 y2 ? ? 1 的一个焦点为 F1,点 P 在椭圆上,如果线段 PF1 的中点 M 在 y 轴上,那么点 M 12 3 的纵坐标是: ( ) 3 3 2 3 A、 ? B、 ? C、 ? D、 ? 4 2 2 4 4、 b, c, p 分别表示椭圆的半长轴, a, 半短轴, 半焦距及焦点到相应准线的距离, 则它们的关系是: ( ) 2 2 2 2 b a a b A、 p ? B、 p ? C、 p ? D、 p ? a b c c 5、平面上点 P 到两个定点 A、B 的距离之和等于|AB|,则 P 点轨迹是 。 2 6、已知对称轴为坐标轴,长轴长为 6,离心率为 的椭圆方程为 。 3 【例题选讲】 例 1:若椭圆的对称轴在坐标轴上,短轴的一个端点与两个焦点组成一个正三角形,焦点到椭圆上点 的距离的最小值为 3 ,求椭圆的方程。 5 例 2:已知椭圆 3x2+4y2=12 上的点 P 与左焦点的距离为 ,求点 P 到右准线的距离。 2 x2 y2 ? ? 1,能否在此椭圆位于 y 轴左侧的部分上找到一点 M,使它到左准线的距 例 3:已知椭圆 4 3 离为它到两焦点 F1、F2 距离的等比中项? 1 例 4:在面积为 1 的△PMN 中,tanM= ,tanN=-2,建立适当的坐标系,求出以 M、N 为焦点且过 P 2 的椭圆方程。

【作业】 ( )1、方程 x2sinα +y2cosα =1(0<α < A、 (0, (

?
2

)表示焦点在 y 轴上的椭圆,则α 的取值范围是:

?
4



B、 (0,

?
4

]

C、 (

? ?
4 , 2



D、[

? ?
4 , 2

]

x2 y2 ? ? 1 上一点 M 到焦点 F1 的距离为 2, 是 MF1 的中点, 是椭圆中心, N O 则|ON| 25 9 3 的值是: A、2 B、4 C、8 D、 2 x2 y2 ? ? 1 的右焦点,M 是该椭圆上的点,A(-2, 3 )是该椭圆内一点, ( )3、若 F 是椭圆 16 12 则|MA|+2|MF|的最小值是: A、8+ 7 B、4+ 7 C、10 D、8
) 椭圆 2、

x2 y2 10 ? ? 1 的离心率为 ,则实数 m 的值为 。 5 m 5 5、若 M 为椭圆上一点,F1,F2 是椭圆的两个焦点,且∠MF1F2=2∠MF2F1=2α (α ≠0) ,则椭圆的 离心离是 。 6、 P 在椭圆 9x2+25y2=225 上, 点 它到左焦点的距离等于它到右焦点距离的两倍。 则点 P 坐标( , ) 7 7、 已知中心在原点, 焦点在 x 轴上的椭圆左顶点 A, 上顶点 B, 左焦点 F1 到直线 AB 的距离为 |OB|, 7 求椭圆的离心率。
4、椭圆

8、如图,AB 是过椭圆左焦点的一弦,C 是椭圆的右焦点,已知|AB|=|AC|=4,∠BAC=90°,求椭圆 方程。

9、已知 F1(-3,0), F2(3,0)分别是椭圆的左、右焦点,P 是该椭圆上的点,满足 PF2⊥F1F2,∠F1PF2 的 平分线交 F1F2 于 M(1,0) ,求椭圆方程。

10、已知椭圆 C 的长轴两端点 A、B,若 C 上存在一点 Q,且∠AQB=120°,求椭圆 C 的离心率的 范围。


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