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2015-2016天津市十二区县联考数学试卷



2016 年天津市十二区县重点学校高三毕业班联考(一) 数 学(理)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.共 150 分.考试时间 120 分钟. 第Ⅰ卷 选择题 (共 40 分) 注意事项: 1.答第Ⅰ卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目填涂在答题卡规定的位置上. 2.第Ⅰ卷每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑; 参考

公式: ·如果事件 A 、 B 互斥,那么 P( A ? B) ? P( A) ? P( B) ? 柱体的体积公式 V ? Sh . 其中 S 表示柱体的底面积, h 表示柱体的高. 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分. 1. 已知全集 U ? ?0,1, 2,3, 4,5? ,集合 A ? ?1,2,3,5? , B ? ?2,4? ,则 ? CU A? ? B 为 A. ?0, 2, 4? B. ?4? C. ?1, 2, 4? D. ?0, 2,3, 4?

?x ? 2 ? 0 ? 2. 设变量 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 3 ? 0 ,则目标函数 z ? x ? 2 y 的最大值为 ?2 x ? y ? 3 ? 0 ?
A.0 B.3 C.6 D.12 3. 如图所示的程序框图输出的所有点都在函数 A.y=x+1 的图象上 C.y=2x 的图象上 4. 下列说法正确的是 A.命题“若 x2=1,则 x=1”的否命题为“若 x2=1,则 x≠1” B.若 a,b ?R ,则“ ab ? 0 ”是“ a ? 0 ”的充分不必要条件 2 C.命题“?x0∈R,x2 0+x0+1<0”的否定是“?x∈R,x +x+1>0” D.若“ p且q ”为假,则 p , q 全是假命题 B.y=2x 的图象上 D.y=2x-1 的图象上

y 2 x2 5 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的离心率 e ? ,点 P 是抛物线 y ? 4 x 上的一动 2 a b 2 x ? ?1 的距离之和的最小值为 6 ,则该双 点,P 到双曲线 C 的上焦点 F 1 (0, c) 的距离与到直线
5. 已知双曲线 C: 曲线的方程为

y 2 x2 ? ?1 A. 2 3

y2 ? x2 ? 1 B. 4

x2 ?1 C. y ? 4
2

y 2 x2 ? ?1 D. 3 2

6. 在 ?ABC 中 , 内 角 A, B, C 的 对 边 分 别 为 a , b, c , 若 ?A B C 的 面 积 为 S , 且
2 6S ? (a ? b) ? c 2 ,则 tan C 等于

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5 12 12 C. D. ? 5 12 5 7. 如 图 , PT 切 ? O 于 点 T , PA 交 ? O 于 A, B 两 点 , 且 与 直 径 CT 交 于 点 D ,
A. B. ?

5 12

CD ? 3, AD ? 4, BD ? 6 ,则 PB =
A

C

A.6 8. 已 知

B.8

C.10

D.14

D O B

f ( x) 为 偶 函 数 , 当 x ? 0 时 ,
, 若 函 数
T P

f ( x) ? m( x ? 2 ? x ? 4 ),(m ? 0) y?
? ?

f) ? f( ??
1? 6?

恰有 x 4 4 个零点,则实数 m m 的取值范围 B. ? 0, ? ? ? ,

A. ? 0, ?

? ?

1? 6?

?5 5? ? ?6 2?

C. ? 0, ? ? ?

? ?

1? 4?

?5 5? , ? ?4 2?

D. ? 0, ?

? ?

1? 4?

第Ⅱ卷 非选择题 (共 110 分) 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.把答案填在答题卡中的相应横线上. 9. i 是虚数单位,复数

2?i ? 1? i
2



? 3 ? ? 10. 在 ? ?x ? ? x? ?

5

的二项展开式中, x 的系数为
?1



11. 已 知 曲 线 y ? x

与 直 线 x ? 1 , x?

3, x轴 围 成 的 封 闭 区 域 为 A , 直 线

x ? 1 , x ? 3 ,y ? 0 y ,? 1 围成的封闭区域为 B,在区域 B 内任取一点 P ,该点 P 落在区域 A 的
概率为 .

12. 一个机器零件的三视图如图所示,其中俯视图是一个半圆内 切于边长为 3 的正方形,则该机器零件的体积为 .

13.直线 l : ?

? x ? at ? ( t 为参数) ,圆 C : ? ? 2 2 cos(? ? ) (极轴与 x 轴的非负半轴重 4 ? y ? 1 ? 2t
2 ,则实数 a 的取值范围 2

合,且单位长度相同) ,若圆 C 上至少有三个点到直线 l 的距离恰为 为 .

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14. 如图,在直角梯形 ABCD 中, AB // CD , AB ? 2, AD ? DC ? 1, P 是线段 BC 上一动点,

???? ??????? ? ??? ? Q 是 线 段 DC 上 一 动 点 , DQ ? ? DC , CP ? (1? ? )CB,若 集 合 M ? {x | x ? AP ? AQ} ,
? ? a 2 ? b2 ? 1 ? ? N ? ?x x ? , a ? b, ab ? 1? .则 M ? N ? 3(a ? b) ? ? ? ?


三、解答题:本大题 6 小题,共 80 分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分13分) 已知函数 f ( x) ? cos x ? cos ( x ?
2 2

?
6

), x?R

(Ⅰ)求 f ( x ) 最小正周期; (Ⅱ)求 f ( x ) 在区间 [ ?

? ?

, ] 上的最大值和最小值. 3 4

16. (本小题满分 13 分) 某大学自主招生考试面试环节中,共设置两类考题,A 类题有 4 个不同的小题,B 类题有 6 个不同的小题, 某考生从中任抽取四道题解答. (Ⅰ)求该考生至少抽取到 2 道 B 类题的概率; (Ⅱ)设所抽取的四道题中 B 类题的个数为 X,求随机变量 X 的分布列与期望. 17. (本小题满分 13 分) 如 图 , 在 四 棱 锥 A ? EFCB 中 , △AEF 为 等 边 三 角 形 , 平 面 AEF ? 平 面 E F C B,

EF / / BC , BC ? 4 , EF ? 2a , ?EBC ? ?FCB ? 60? , O 为 EF 的中点.
(Ⅰ) 求证: AO ? BE ; (Ⅱ) 求二面角 F ? AE ? B 的余弦值; (Ⅲ) 若 直 线 CA 与 平 面 BEA 所 成 的 角 的 正 弦 值 为

C

2 6 ,求实数 a 的值. 5

B O E
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F

A

18. (本小题满分 13 分) 设椭圆 E 的方程为

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? ,点 O 为坐标原点,点 A 的坐标为 ? a, 0? ,点 a 2 b2
1 . 4

B 的坐标为 ? 0, b? ,点 M 在线段 AB 上,满足 BM ? 2 MA ,直线 OM 的斜率为
(Ⅰ)求椭圆 E 的离心率 e ; (Ⅱ) PQ 是圆 C : ( x ? 2) ? ( y ? 1) ?
2 2

15 的一条直径, 若椭圆 ? 经过 P ,Q 两点, 求椭圆 E 的 2

方程.

19. (本小题满分 14 分) 已知非单调数列 {an } 是公比为 q 的等比数列,且 a1 ? ? (Ⅰ)求 {an } 的通项公式; (Ⅱ)若对任意正整数 n , | m ? 1|? 3bn 都成立,求实数 m 的取值范围; (Ⅲ)设数列 {b2 n } , {b2n?1} 的前 n 项和分别为 S n , Tn ,证明:对任意的正整数 n ,都有

5an 1 , a2 ? 16a4 ,记 bn ? . 1 ? an 4

2 S n ? 2Tn ? 3 .
20. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? ln x ?

1 , g ( x) ? ax ? b . x

(Ⅰ)若函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) 在 (0, ??) 上单调递增,求实数 a 的取值范围; (Ⅱ)若直线 g ( x) ? ax ? b 是函数 f ( x) ? ln x ?

1 图象的切线,求 a ? b 的最小值; x
2

(Ⅲ)当 b ? 0 时,若 f ( x ) 与 g ( x) 的图象有两个交点 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,试比较 x1 x2 与 2e 的 大小. (取 e 为 2.8 ,取 ln 2 为 0.7 ,取 2 为 1.4 )

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2016 年天津市十二区县重点学校高三毕业班联考(一) 数学理科参考答案
一、选择题:每小题 5 分,满分 40 分 题号 1 2 3 4 答案 A C D B 二、填空题: 每小题 5 分,共 30 分. 9. ? 5 B 6 C 7 D 8 B

1 2

3 i ; 2

10.90;

11.

ln 3 ; 2

12.27 ?

9 ?; 8

13.? , 2 ? ; 7

?2 ?

? ?

14.?

?2 3 ? , 2? ? 3 ?

三、解答题:本大题 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分13分) 已知函数 f ( x) ? cos x ? cos ( x ?
2 2

?
6

), x?R

(I)求 f ( x ) 最小正周期;(II)求 f ( x ) 在区间 [ ?

? ?

, ] 上的最大值和最小值. 3 4

1 ? cos(2 x ? ) ? 1 ? cos 2 x 2 2 3 f ( x ) ? cos x ? cos ( x ? ) 解: ? ? 6 2 2
? 3 3 sin 2 x ? cos 2 x ? 1 4 4 3 ? sin(2 x ? ) ? 1 2 3
2? ?? 2

?

??2 分

??3 分

?

??5 分

1) 函数 f ( x ) 的最小正周期 T ? 2) 函数 f ( x ) 在 ? ?

??6 分

? ? ?? ?? ? ? , ? 单调递增,在 ? , ? 单调递减。 ? 3 12 ? ?12 4 ?

??8 分

? 1 ? 3 ? 3 ? f (? ) ? , f ( ) ? ? 1, f ( ) ? 1 ? . 3 4 12 2 4 4
1 3 ? f ( x)min ? , f ( x)max ? ? 1. 4 2

??11 分

??13 分

16. (本小题满分 13 分) 某大学自主招生考试面试环节中,共设置两类考题,A 类题有 4 个不同的小题,B 类题有 6 个不同的小题, 某考生从中任取四道题解答.
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(Ⅰ)求该考生至少取到 2 道 B 类题的概率; (Ⅱ)设所取四道题中 B 类题的个数为 X,求随机变量 X 的分布列与期望. 解:(Ⅰ)设事件 A: ” 该考生至少取到 2 道 B 类题”.

P( A) ? 1 ?

4 3 1 C4 ? C4 C6 37 ? 4 C10 42

??4 分 ??5 分
2 2 C4 C 90 P ? X ? 2? ? 4 6 ? C10 210

(2)随机变量 X 的取值分别为 0,1,2,3,4,
4 C4 1 ? P ? X ? 0? ? 4 ? C10 210 1 3 C4 C6 80 ? 4 C10 210 3 1 C4 C 24 P ? X ? 1? ? 4 6 ? C10 210 4 C6 15 ? 4 C10 210



P ? X ? 3? ?

P ? X ? 4? ?

??10 分

∴随机变量 X 的分布列为: X P 0
1 210

1
24 210

2
90 210

3
80 210

4
15 210

??11 分

∴随机变量 X 的期望为: EX ? 0 ?

1 24 90 80 15 12 ? 1? ? 2? ? 3? ? 4? ? 210 210 210 210 210 5
??13 分

17. (本小题满分 13 分) 如图,在四棱锥 A? EFCB 中 , △AEF 为 等 边 三 角 形 , 平 面 AEF ? 平 面 E F C B, EF ∥ BC , BC ? 4 , EF ? 2a , ?EBC ? ?FCB ? 60? , O 为 EF 的中点. (Ⅰ) 求证: AO ? BE ;(Ⅱ) 求二面角 F ? AE ? B 的余弦值; (Ⅲ) 若直线 CA 与平面 BEA 所成的角的正弦值为

2 6 ,求实数 a 的值. 5

解: (Ⅰ)由于平面 AEF ? 平面 EFCB ,△AEF 为等边三角形,O 为 EF 的中点, 则 AO ? EF ,

平面AEF ? 平面EFCB ? EF ,根据面面垂直性质定理,所以 AO ? 平面 EFCB,又 BE ? 平
面 EFCB ,则 AO ? BE .?3 分 (Ⅱ)取 CB 的中点 D,连接 OD,则 OD ? EF 以 O 为原点,分别以 OE 、OA 、OD 为

z

C

x、y、z 轴建立空间直角坐标系,

?4 分

O(0,0,0) , E (a,0,0) , F (?a,0,0) ,

B E

F O A

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x

A(0, 3a,0) , B(2,0, 3(2 ? a)) , C(?2,0, 3(2 ? a)) ,
BE ? (a ? 2,0, 3(a ? 2))
设平面 AEB 的 法向量 m ? ( x. y, z)

? ? ?m ? AE ? 0 ?ax ? 3ay ? 0 ? 即? 令 y ? 1, x ? 3, z ? ?1 ? ? ( a ? 2 ) x ? 3 ( a ? 2 ) z ? 0 m ? E ? 0 ? ?

? m ? ( 3,1,?1)
平面 AEF 的法向量为 n ? (0,0,1) , 二面角 F ? AE ? B 的余弦值 cos ? m , n ??

??6 分 ??7 分

m?n mn

??

5 , 5

??8 分

由二面角 F ? AE ? B 为钝二面角,所以二面角 F ? AE ? B 的余弦值为 ? (Ⅲ) CA ? (2, 3a, 3(a ? 2)) 设直线 CA 与平面 BEA 所成角为 ? ,

5 . ??9 分 5
??10 分

sin ? ?

CA ? m CA m

?

4 3 5 4 ? 3a ? 3(a ? 2)
2 2

?

2 6 5
??12 分

? 6a 2 ? 12a ? 16 ? 10 ? a ? 1? (0,2) 满足题意
18. (本小题满分 13 分) 设椭圆 E 的方程为

?a ?1

??13 分

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? ,点 O 为坐标原点,点 A 的坐标为 ? a, 0? ,点 B 的 a 2 b2
1 . 4

坐标为 ? 0, b? ,点 M 在线段 AB 上,满足 BM ? 2 MA ,直线 OM 的斜率为 (Ⅰ)求椭圆 E 的离心率 e ; (Ⅱ) PQ 是圆 C : ( x ? 2) ? ( y ? 1) ?
2 2

15 Q 两点, 的一条直径, 若椭圆 ? 经过 P , 求椭圆 E 的 2

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方程. ( I ) ?

A

0? ? a,

B

b? ? 0,



M

在 线 段

AB

上 , 满 足 ??1 分 ??2 分

BM ? 2 MA ? M (
kOM ? b 1 ? 2a 4

2a b , ) 3 3 b 1 ? ? a 2

c b 3 ? ? 1 ? ( )2 ? a a 2

? 椭圆 E 的离心率 e 为

3 2

??4 分

(II)解法一:由(I)知,椭圆 ? 的方程为 x 2 + 4 y 2 = 4b2 . (1) 依题意,圆心 C (?2,1) 是线段 PQ 的中点,且 PQ ? 30 . 易知, PQ 不与 x 轴垂直,设其直线方程为 y = k ( x + 2) +1 , 代入(1)得 (1 + 4k 2 ) x2 +8k (2k +1) x + 4(2k +1)2 - 4b2 = 0 设 P( x1, y1 ) , Q( x2 , y2 ) 则 x1 ? x2 ? ? 由 x1 + x2 = - 4 ,得 从而 x1 x2 = 8 - 2b2 . 于是 PQ ? 1 ? ( ) x1 ? x2 ?
2

??5 分 ??6 分 ??7 分 ??8 分

8k (2k ? 1) , 1 ? 4k 2

x1 x2 ?

4(2k ? 1) 2 ? 4b 2 1 ? 4k 2

??9 分

8k (2k +1) 1 = - 4, 解得 k = . 2 1 + 4k 2

??10 分

1 2

5 ( x1 ? x2 )2 ? 4 x1x2 ? 5 2b2 ? 4 2
2 2

??11 分

由 PQ ? 30 ,得 5 2b2 ? 4 ? 30 , 2b ? 4 ? 6 解得 b ? 5 故椭圆 ? 的方程为

. ??12 分

x2 y 2 ? ? 1. 20 5
2 2 2

??13 分

解法二:由(I)知,椭圆 ? 的方程为 x + 4 y = 4b .(1) 依题意点 P、Q 关于圆 C (?2,1) 对称且 PQ ? 30
2 2 2 ? ? x1 ? 4 y1 ? 4b P( x1, y1 ) , Q( x2 , y2 ) 则 ? 2 2 2 ? ? x2 ? 4 y2 ? 4b

??5 分 ??6 分

??7 分

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两式相减得 ? 4( x1 ? x2 ) ? 8( y1 ? y2 ) ? 0 易知 PQ 不与 x 轴垂直,则 x1 ? x2 ,

y1 ? y2 1 ? x1 ? x2 2

??8 分

1 1 1 ? PQ 的斜率为 ,设其直线方程为 y ? ( x ? 2) ? 1 ? x ? 2 ,代入(1)得 2 2 2

x 2 ? 4 x ? 8 ? 2b2 ? 0

? x1 + x2 = - 4

x1x2 = 8 - 2b2 .

??10 分

于是 PQ ? 1 ? ( ) x1 ? x2 ?
2

1 2

5 ( x1 ? x2 )2 ? 4 x1x2 ? 5 2b2 ? 4 2
2 2

??11 分

由 PQ ? 30 ,得 5 2b2 ? 4 ? 30 , 2b ? 4 ? 6 解得 b ? 5 . 故椭圆 ? 的方程为

??12 分

x2 y 2 ? ? 1. 20 5

??13 分

19. (本小题满分 14 分) 已知非单调数列 {an } 是公比为 q 的等比数列,且 a1 ? ?

5an 1 ; , a2 ? 16a4 ,记 bn ? 1 ? an 4

(Ⅰ)求 {an } 的通项公式;(Ⅱ)若对任意正整数 n ,| m ? 1|? 3bn 都成立,求实数 m 的取值范围; (Ⅲ) 设 数 列 {b2 n },{b2 n ?1} 的 前 n 项 和 分 别 为 S n , Tn , 证 明 : 对 任 意 的 正 整 数 n , 都 有

2 S n ? 2Tn ? 3 .
解: 1) ? a1 ? ?

1 1 , a2 ? 16a4 ,? q 2 ? 4 16

1 ? ?an ? 为非单调数列? q ? ? 4
2) ? bn ?

? 1? ? an ? ? ? ? , n ? N ? . ? 4?

n

??3 分

5an 5 5 ? ? ,n? N? n 1 1 ? an ( ? 4) ? 1 ?1 an
bn ? 5
n

??4 分

,? bn ? 0 . ?4 ? 1 5 ,? bn ? 0. 且 ?bn ? 为递减数列 当 n 偶数, bn ? n 4 ?1
当 n 奇数,
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??5 分 ??6 分

1 ? ? bn ?max ? b2 ? ,? m ?1 ? 1,?m ? 2 或 m ? 0 3

??8 分

5 5 5(42 n?1 ? 42 n ) 3) b2 n ? b2 n?1 ? 2 n ? ? 4 ? 1 42 n?1 ? 1 (42 n ? 1)(42 n?1 ? 1)
25 5(42 n ?1 ? 42 n ) 5(42 n ?1 ? 42 n ) 25 ? 2n = ? n ? 4 n?1 2 n < 2 n ?1 4 n ?1 4 16 4 ? 4 ? 4 ?1 4

??9 分

??11 分

? Sn ? Tn ? (b2 ? b1 ) ? (b4 ? b3 ) ? ... ? (b2n ? b2n?1 )

??12 分

5 5 1 1 1 ? ( ? ) ? 25( 2 ? 3 ? ... ? n ) 15 5 16 16 16 4 5 1 4 5 69 3 ? ? (1 ? n ) ? ? = ? .? 2Sn ? 2Tn ? 3 ? 2Sn ? 2Tn ? 3 ??14 分 3 48 16 3 48 48 2
20. (本小题满分 14 分)

1 , g ( x) ? ax ? b . x (Ⅰ)若函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) 在 (0, ??) 上单调递增,求实数 a 的取值范围; 1 (Ⅱ) 若直线 g ( x) ? ax ? b 是函数 f ( x) ? ln x ? 图象的切线,求 a ? b 的最小值; x 2 (Ⅲ)当 b ? 0 时,若 f ( x ) 与 g ( x) 的图象有两个交点 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,试比较 x1 x2 与 2e 的
已知函数 f ( x) ? ln x ? 大小. (取 e 为 2.8 ,取 ln 2 为 0.7 ,取 2 为 1.4 )

1 1 1 ? ax ? b, ,则 h?( x ) ? ? 2 ? a , ??1 分 x x x (0, ?? ) ∵ h( x) ? f ( x) ? g ( x) 在 上单调递增,∴对 ?x ? 0 ,都有 1 1 h?( x ) ? ? 2 ? a ? 0 , ??2 分 x x 1 1 1 1 即对 ?x ? 0 ,都有 a ? ? 2 ,∵ ? 2 ? 0 ,∴ a ? 0 , x x x x 故实数 a 的取值范围是 (??, 0] . ??4 分 1 1 1 1 (Ⅱ) 设切点 ( x0 , ln x0 ? ) ,则切线方程为 y ? (ln x0 ? ) ? ( ? 2 )( x ? x0 ) , x0 x0 x0 x0 1 1 1 1 1 即 y ? ( ? 2 ) x ? ( ? 2 ) x0 ? (ln x0 ? ) ,亦即 x0 x0 x0 x0 x0 1 1 2 y ? ( ? 2 ) x ? (ln x0 ? ? 1) , ??5 分 x0 x0 x0 1 1 1 2 ? t ? 0 ,由题意得 a ? ? 2 ? t ? t 2 , b ? ln x0 ? ? 1 ? ? ln t ? 2t ? 1 , ?6 分 令 x0 x0 x0 x0
解:(Ⅰ) h( x) ? f ( x) ? g ( x) ? ln x ?
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令 a ? b ? ? (t ) ? ? ln t ? t 2 ? t ?1 ,则 ? ?(t ) ? ? ? 2t ? 1 ? 当 t ? (0,1) 时 , ? ?(t ) ? 0 , ? (t ) 在 (0,1) 上单调递减; 当 t ? (1, ??) 时, ? ?(t ) ? 0 , ? (t ) 在 (1, ??) 上单调递增, ∴ a ? b ? ? (t ) ? ? (1) ? ?1 ,故 a ? b 的最小值为 ?1.

1 t

(2t ? 1)(t ? 1) , t

??7 分

??9 分

1 1 ? ax1 , ln x2 ? ? ax2 , x1 x2 x1 ? x2 ? a( x1 ? x2 ) ,两式相减得 两式相加得 ln x1 x2 ? x1 x2 x x ?x ln 2 ? 1 2 ? a( x2 ? x1 ) , x1 x1 x2 x x ln 2 ln 2 x1 1 x ?x x1 1 即 ,∴ , ? ?a ln x1 x2 ? 1 2 ? ( ? )( x1 ? x2 ) x2 ? x1 x1 x2 x1 x2 x2 ? x1 x1 x2 2( x1 ? x2 ) x1 ? x2 x2 ? ln , 即 ln x1 x2 ? x1 x2 x2 ? x1 x1 x2 2(t ? 1) ? 1 ,令 F (t ) ? ln t ? (t ? 1) ,则 不妨令 0 ? x1 ? x2 ,记 t ? x1 t ?1
(Ⅲ)由题意知 ln x1 ?

??10 分

??11 分

(t ? 1) 2 ? 0, ??12 分 t (t ? 1) 2(t ? 1) 2(t ? 1) ? F (1) ? 0 , ∴ F (t ) ? ln t ? 在 (1, ??) 上单调递增,则 F (t ) ? ln t ? t ?1 t ?1 x2 2( x2 ? x1 ) 2( x1 ? x2 ) x1 ? x2 x2 2(t ? 1) ? ? ln ? 2 , ∴ ln t ? ,则 ln ,∴ ln x1 x2 ? x1 x1 ? x2 x1 x2 x2 ? x1 x1 t ?1 F ?(t ) ?
又 ln x1 x2 ? ∴ 2ln

4 x1 x2 2( x1 ? x2 ) 4 4 ? ln x1 x2 ? ? ln x1 x2 ? ? 2 ln x1 x2 ? , x1 x2 x1 x2 x1 x2 x1 x2

4 2 ? 2 ,即 ln x1 x2 ? ? 1, ??13 分 x1 x2 x1 x2 2 1 2 令 G ( x) ? ln x ? ,则 x ? 0 时, G?( x) ? ? 2 ? 0 ,∴ G ( x) 在 (0, ??) 上单调递增, x x x 2 1 2 又 ln 2e ? ? ln 2 ? 1 ? ? 0.85 ? 1 , e 2e 2 2 2 ∴ G( x1 x2 ) ? ln x1 x2 ? ,则 x1 x2 ? 2e ,即 ? 1 ? ln 2e ? x1 x2 2e x1 x2 ?

x1 x2 ? 2e2 .

??14 分

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