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单调性及最大(小)值教案1份



函数的单调性及最大(小)值 第一部分 函数的单调性
1.单调函数的定义:设函数 y ? f ( x) 的定义域为 I ,如果对于定义域 I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值

x1 , x2 ,当 x1 ? x2 时,
(1)若 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,则 f ( x ) 在区间D 上是增函数 (2)若 f ( x1

) ? f ( x2 ) ,则 f ( x ) 在区间D 上是减函数 单调性:如果函数 y ? f ( x) 在某个区间是增函数或减函数,那么就说函数 y ? f ( x) 在这一区间具有单调性,这一 区间叫做 y ? f ( x) 的单调区间。

☆☆☆复合函数的单调性☆☆☆ 1、定义: 设 y=f(u),u=g(x),当 x 在 u=g(x)的定义域中变化时, u=g(x)的值在 y=f(u)的定义域内变化, 因此变 量 x 与 y 之间通过变量 u 形成的一种函数关系,记为 y=f(u)=f[g(x)]称为复合函数,其中 x 称为自变量,u 为中间变量,y 为因变量(即函数) 2、复合函数 f[g(x)]的单调性与构成它的函数 u=g(x),y=f(u)的单调性密切相关,其规律如下: 函数 单调性
u ? g ( x) y ? f (u )

增 增 增

增 减 减

减 增 减

减 减 增

y ? f ? g ( x)?

例 1、已知 y ? f (u) ? u ? 1, u ? g ( x) ? ?3x ? 2 ,求 y ? f ? g ( x)? 的单调性。 例 2、已知 y ? f (u) ? u 2 ? 1, u ? g ( x) ? x ? 1 ,求函数 y ? f ? g ( x)? 的单调性。 3、已知 y ? f (u) ? u 2 ? 1, u ? g ( x) ? ? x ? 1 ,求函数 y ? f ? g ( x)? 的单调性。 2、已知 f ( x) ? 8 ? 2 x ? x2 ,如果g ( x) ? f (2 ? x2 ) ,那么g ( x) ( ) A. 在区间(-1,0)上是减函数 C. 在区间(-2,0)上是增函数
2、函数的单调区间
1

B. 在区间(0,1)上是减函数 D. 在区间(0,2)上是增函数

例1、下图中是定义在区 间[-5,5]上的函数 y=f(x) ,根据图象说出 函数的 单 调区间,以及在每一单调 区 间上,它是增函数还 是减函数? y 3 2 1 -5 -4 -3 -2 -1 1 -1 -2 -3 2 3 4 5 x

知识链接: 如何比较两个代数式的大小? (1)作差法 (2)作商法

利用定义证明函数 f(x)在给定的区间 D 上的单调性的一般步骤: ① 任取 x1,x2∈D,且 x1<x2; ② 作差 f(x1)-f(x2); ③变形(通常是因式分解和配方) ; ④定号(即判断差 f(x1)-f(x2)的正负) ; ⑤下结论(即指出函数 f(x)在给定的区间 D 上的单调性) . 1 例 2、证明函数 y ? x ? 在(1,+∞)上为减函数. x
x ?1 ? 0, ?? 上的单调性。 巩固练习: 试确定 函数f(x)= x 在区间

第二部分 最值
最值:一般的,设函 数 y ? f ( x) 的定义域为I ,如果存在实 数M 满足: (1) (2) 对于任意的x ? I ,都有 f ( x) ? M ; 存在 x0 ? I ,使得 f ( x0 ) ? M 。 那么,我们称M 是函 数 y ? f ( x) 的最大值。 例4、求函数 y ?

2 在区间[2,6]上的最大值和最小值 。 x ?1
)

课堂检测 1.函数f(x)(-2≤x≤2)的图象如下图所示,则函数的最大值、最小值分别为(

2

A.f(2),f(-2)

1 3 C.f( ),f(- ) 2 2 2 2.y= 在区间[2,4]上的最大值、 最小值分别是( x 1 1 A.1, B. ,1 2 2 1 1 1 1 C. , D. , 2 4 4 2 4.已知函数y=-x2+4x-2,x∈[0,5]. (1)写出函数的单调区间 ; (2)若x∈[0,3],求函数的最大值 和最小值. 课后作业 一、选择题(每小题5 分,共20 分) 1.

1 B.f( ),f(-1) 2 1 D.f( ),f(0) 2

)

3.函数y=ax+1 在区间[1,3]上的最大值为4,则a=________.

函数y=|x-1|在[-2,2]上的最大值为( A.0 B.1 C.2 D.3
?2x+ 6 ? 2.函数f(x)=? ?x+ 8 ?

)

x∈[1,2] x∈[-1,1]

,则f(x)的最大值 、最小值为(

)

A.10,7 B.10,8 C.8,6 D.以上都不对 3.函数f(x)=x2+3x+2 在区间(-5,5)上的最大值、最小值 分别 为( 1 A.42,12 B.42,- 4 1 1 C.12,- D.无最大值 ,最小 值- 4 4 A.-1 C.1 D.2 二、填空题(每小题5 分,共10 分) 3 5.函数y=- ,x∈(-∞,-3]∪[3,+∞)的值域为________. x 6.已知二次函数f(x)=ax2+2ax+1 在区间[-2,3]上的最大值为6,则a 的值为________. 三、解答题(每小题10 分,共20 分)
3

)

4.已知函数f(x)=-x2+4x+a(x∈[0,1]),若f(x)有最小值-2, 则f(x)的最大值为( B.0

)

2 7.求函数y= 在区间[2,6]上的最大值和最小值. x-1 8.求f(x)=x2-2ax+2 在[2,4]上的最小值. 答案 DADC 1 (0,1]∪[-1,0) 6. 或-5 7.函数y= 在区间[2,6]的两个端点上分别 取得最大值与最小值, 即 在x=2 时取得最 3 大值,最大值是2, 在x=6 时取得最小值,最小值 是0.4. 6-4a (a≤2) ? ? 2 8.f(x)min=?2-a (2<a<4) ? ?18-8a (a≥4)

9.(10 分)某市一家报刊摊点,从 该市报社买进该市的 晚报价格是 每份 0.40 元,卖出价格是每 份 0.60 元,卖 不掉的报纸以每 份0.05 元的价格 退回报社. 在一个月(按30 天计 算)里, 有18 天每天可卖 出400 份, 其余12 天每 天只能卖出180 份. 摊主每天 从 报社买进多少份 , 才能使每月 获 得最大利润(设摊主每天从报社买 进的份数是相同 的)? 【解析】 若设每天 从报社买 进x(180≤x≤400,x∈N)份,则每 月(按30 天计算)可销售(18x+12×180)份, 每份获利0.20 元,退回报 社12(x-180)份,每份亏损0.35 元,建立月纯利润函数,再 求它的最大 值. 设每天从报社买 进x 份报纸,每 月获利为y 元,则有 y=0.20(18x+12×180)-0.35×12(x-180)=-0.6x+1 188,180≤x≤400,x∈N. 函数y=-0.6x+1 188 在区间[180,400]上是减函数,所 以x=180 时函数取最大值,最 大值为y=-0.6×180 +1 188=1 080. 即摊主每天从报社买 进180 份时,每月获得的利润最 大,最大利 润为1 080 元.

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