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函数的单调性和奇偶性典型题例



函数的单调性与奇偶性
类型一、函数的单调性的证明 例 1.证明函数 上的单调性.

【变式 1】用定义证明函数

上是减函数.

类型二、求函数的单调区间 例 2. 判断下列函数的单调区间; (1)y=x2-3|x|+2; (2)

【变式 1】求下列函数的单调区间: (1)y=|x+1|;

(2) (3) .

类型三、单调性的应用(比较函数值的大小,求函数值域,求函数的最大值或最小值)
2 例 3.已知函数 f(x)在(0,+∞)上是减函数,比较 f(a -a+1)与

的大小.

例 4.求函数值域: y=x2-2x+3; (1)x∈[-1,1]; (2)x∈[-2,2].

【变式 1】已知函数 (1)判断函数 f(x)的单调区间;

. (2)当 x∈[1,3]时,求函数 f(x)的值域.

2 例 5. 已知二次函数 f(x)=x -(a-1)x+5 在区间

上是增函数,求:(1)实数 a 的取值范围;

(2)f(2)的取值范围.

【变式 1】 (2011 北京理 13)已知函数

,若关于 x 的方程

有两个不同的实根,则实数 k 的取值范围是________.

类型四、判断函数的奇偶性 例 6. 判断下列函数的奇偶性: (1) (2)

【变式 1】判断下列函数的奇偶性: (1) ; (2) .

【变式 2】已知 f(x),g(x)均为奇函数,且定义域相同,求证:f(x)+g(x)为奇函数,f(x)·g(x) 为偶函数.

类型五、函数奇偶性的应用(求值,求解析式,与单调性结合) 5 3 例 7.已知 f(x)=x +ax -bx-8,且 f(-2)=10,求 f(2).

【变式 1】 (湖南文 12) 已知

为奇函数,

, 则

=_____ .

2 例 8. f(x)是定义在 R 上的奇函数,且当 x<0 时,f(x)=x -x,求当 x≥0 时,f(x)的解析式

例 9.设定义在[-3,3]上的偶函数 f(x)在[0,3]上是单调递增,当 f(a-1)<f(a)时,求 a 的取值 范围.

★类型六、抽象函数 例 10. 已知函数 f(x)在定义域(0,+∞)上为增函数,f(2)=1,且定义域上任意 x、y 都满足 f(xy)=f(x)+f(y),解不等式:f(x)+f(x-2)≤3. .

【变式 1】设 f(x)定义于实数集上,当 x>0 时,f(x)>1,且对于任意实数 x、y,有 f(x+y)=f(x)f(y), 求证:f(x)在 R 上为增函数。



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