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4三角方程的增根与失根



三角方程的增根与失根
上海市松江二中 朱伟卫 201600

在解三角方程时,由于对方程实施了不等价变形,从而造成了方程增根或失根。一般来说,可能产 生增根是因为扩大了未知数的允许取值范围,如实施平方运算、去分母、万能公式从右边用到左边等; 可能失根是因为缩小了未知数的允许取值范围,如实施开方运算只取其中一个平方根、错误运用消去率 (即方程两边同时除以一个含有字母的式子) 、万能公式从左边用到右边等。当然在三角中还有运用其 它三角恒等变换公式带来的未知数的允许取值范围的变化造成了方程增根或失根。 下面用一个课本练习 题来说明。 题目:解方程 sin x ? cos x ? 1 . 错解一:原方程即为 (sin x ? cos x)2 ? 1,sin 2 x ? cos2 x ? 2sin x cos x ? 1,sin 2 x ? 0 ,

k? ,k ? Z , 2 k? , k ? Z} 。 即原方程的解集为 {x | x ? 2 x x 2 tan 1 ? tan 2 2 ? 2 ? 1, 去分母整理得 tan x ? 1 , 错解二:原方程即为 x x 2 1 ? tan 2 1 ? tan 2 2 2 x ? ? 所以 ? k? ? , k ? Z , x ? 2k? ? , k ? Z , 2 4 2
所以 2 x ? k? , k ? Z , x ? 即原方程的解集为 {x | x ? 2k? ?

?

2

, k ? Z}。 cos x ? 1 x ? 1, tan ? 1 ,以下同错解二。 sin x 2

错解三:原方程即为 sin x ? cos x ? 1,

错解四:原方程即为 sin x ? cos x ? 1 ,两边平方得 sin 2 x ? (cos x ? 1)2 ,即1 ? cos2 x ? (cos x ? 1)2 , 整理得 cos2 x ? cos x ? 0,cos x ? 0 或 cos x ? ?1 。 由此得原方程的解集为 { x | x ? k ? ?

?
2

, 或 x ? 2k? ? ? , k ? Z }。

辨析:
k? (k ? Z ) 2 ? 3? 的角的终边是落在坐标轴上, 将它们分四种情况 x ? 2k? , x ? 2k? ? , x ? 2k? ? ? , x ? 2k? ? ( , 2 2
错解一将原方程平方后扩大了未知数允许的取值范围, 可能产生增根。 注意到形如 x ? 其中 k ? Z )分别代入原方程检验可知,即原方程的解集为 {x | x ? 2k ? ? 也就是说, x ? 2k? , x ? 2k? ?

?

3? (k ? Z ) 是增根。 2

2

, 或 x ? 2k? ? ? , k ? Z }。

错解二用万能公式将原方程变形,缩小了未知数的允许取值范围,可能使方程失根。因此要将使

tan

x x ? 没有意义的 x 的值代入原方程检验。检验知,当 ? k? ? , x ? 2k? ? ? , k ? Z 时原方程成立。 2 2 2

可见,这样做使原方程失去一种形式的解 x ? 2k? ? ? (k ? Z ) ,应捡回来。 错解三错误运用消去率在原方程两边同除以 sin x ,缩小了未知数的允许取值范围,可能使方程失 根。因此要将使 sin x ? 0 的 x 的值代入原方程检验。检验知,当 x ? 2k? (k ? Z ) 时原方程不成立,当

x ? 2k? ? ? (k ? Z ) 时原方程成立。可见,这样做也使原方程失去一种形式的解 x ? 2k? ? ? (k ? Z ) 。
但并不是使 sin x ? 0 的 x 都是原方程的解。 错解四与错解一的错误类似,检验可知, x ? 2k? ?

3? (k ? Z ) 是增根。 2



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