9512.net
甜梦文库
当前位置:首页 >> 数学 >>

4三角方程的增根与失根


三角方程的增根与失根
上海市松江二中 朱伟卫 201600

在解三角方程时,由于对方程实施了不等价变形,从而造成了方程增根或失根。一般来说,可能产 生增根是因为扩大了未知数的允许取值范围,如实施平方运算、去分母、万能公式从右边用到左边等; 可能失根是因为缩小了未知数的允许取值范围,如实施开方运算只取其中一个平方根、错误运用消去率 (即方程两边同时除以一个含有字母的式子) 、万能公式从左边用到右边等。当然在三角中还有运用其 它三角恒等变换公式带来的未知数的允许取值范围的变化造成了方程增根或失根。 下面用一个课本练习 题来说明。 题目:解方程 sin x ? cos x ? 1 . 错解一:原方程即为 (sin x ? cos x)2 ? 1,sin 2 x ? cos2 x ? 2sin x cos x ? 1,sin 2 x ? 0 ,

k? ,k ? Z , 2 k? , k ? Z} 。 即原方程的解集为 {x | x ? 2 x x 2 tan 1 ? tan 2 2 ? 2 ? 1, 去分母整理得 tan x ? 1 , 错解二:原方程即为 x x 2 1 ? tan 2 1 ? tan 2 2 2 x ? ? 所以 ? k? ? , k ? Z , x ? 2k? ? , k ? Z , 2 4 2
所以 2 x ? k? , k ? Z , x ? 即原方程的解集为 {x | x ? 2k? ?

?

2

, k ? Z}。 cos x ? 1 x ? 1, tan ? 1 ,以下同错解二。 sin x 2

错解三:原方程即为 sin x ? cos x ? 1,

错解四:原方程即为 sin x ? cos x ? 1 ,两边平方得 sin 2 x ? (cos x ? 1)2 ,即1 ? cos2 x ? (cos x ? 1)2 , 整理得 cos2 x ? cos x ? 0,cos x ? 0 或 cos x ? ?1 。 由此得原方程的解集为 { x | x ? k ? ?

?
2

, 或 x ? 2k? ? ? , k ? Z }。

辨析:
k? (k ? Z ) 2 ? 3? 的角的终边是落在坐标轴上, 将它们分四种情况 x ? 2k? , x ? 2k? ? , x ? 2k? ? ? , x ? 2k? ? ( , 2 2
错解一将原方程平方后扩大了未知数允许的取值范围, 可能产生增根。 注意到形如 x ? 其中 k ? Z )分别代入原方程检验可知,即原方程的解集为 {x | x ? 2k ? ? 也就是说, x ? 2k? , x ? 2k? ?

?

3? (k ? Z ) 是增根。 2

2

, 或 x ? 2k? ? ? , k ? Z }。

错解二用万能公式将原方程变形,缩小了未知数的允许取值范围,可能使方程失根。因此要将使

tan

x x ? 没有意义的 x 的值代入原方程检验。检验知,当 ? k? ? , x ? 2k? ? ? , k ? Z 时原方程成立。 2 2 2

可见,这样做使原方程失去一种形式的解 x ? 2k? ? ? (k ? Z ) ,应捡回来。 错解三错误运用消去率在原方程两边同除以 sin x ,缩小了未知数的允许取值范围,可能使方程失 根。因此要将使 sin x ? 0 的 x 的值代入原方程检验。检验知,当 x ? 2k? (k ? Z ) 时原方程不成立,当

x ? 2k? ? ? (k ? Z ) 时原方程成立。可见,这样做也使原方程失去一种形式的解 x ? 2k? ? ? (k ? Z ) 。
但并不是使 sin x ? 0 的 x 都是原方程的解。 错解四与错解一的错误类似,检验可知, x ? 2k? ?

3? (k ? Z ) 是增根。 2



更多相关文章:
分式方程的增根与无解的区别及联系
②的根. 把 x=2 或-2 代入方程②中,解得,a=-4 或 6. 【说明】做此类题首先将分式方程转化为整式方程,然后找出使公分母为零的未知 数的值即为增根,...
分式方程的增根与无解的区别及联系
②的根. 把 x=2 或-2 代入方程②中,解得,a=-4 或 6. 【说明】做此类题首先将分式方程转化为整式方程,然后找出使公分母为零的未知 数的值即为增根,...
分式方程的增根与无解
②的根. 把 x=2 或-2 代入方程②中,解得,a=-4 或 6. 【说明】做此类题首先将分式方程转化为整式方程,然后找出使公分母为零的未知数的值即为增根,最后...
分式方程的增根与无解(1)
方程的根. 把 x=2 或-2 代入方程②中,解得,a=-4 或 6. 若将此题“会产生增根”改为“无解” ,即: 当 a 为何值时,关于 x 的方程 2 ax 3...
解分式方程增根_无解的典型问题含答案
(2) 解这个整式方程。 (3) 把整式方程的带入最简公分母,看结果是不是为零,使最简公分母为零的是原 方程的增根,必须舍去。 (4) 写出原方程的根。 ...
第三单元 反三角函数和简单三角方程
应注意掌握解三角方程的增根失根和解集的等效性问题是本章的又一个 难点。...C.[- ,π ] 2 , cos1] )B.(-π,π ) D.[- 3 4 3 4 π, π...
解分式方程增根,无解的典型问题含答案
(2) 解这个整式方程。 (3) 把整式方程的带入最简公分母,看结果是不是为零,使最简公分母为零的是原 方程的增根,必须舍去。 (4) 写出原方程的根。 ...
分式方程的增根与无解 (教师版)
②的根. 把 x=2 或-2 代入方程②中,解得,a=-4 或 6. 【说明】做此类题首先将分式方程转化为整式方程,然后找出使公分母为零的未知数的值即为增根, ...
指数方程与对数方程(二)
2.教学难点:对数方程的增根与失根. 3.教学疑点:造成增根与失根的原因. 三,课时安排 本课题安排 1 课时. ,教与学过程设计 (一)复习引入新课 求下列函数的...
小论文
4 等于 0,所以 X=2 是增根 分式方程两边都乘以最简公分母化分式方程为整公...B(x)=0 的根但不是 A(x)=0 的根,称 x=b 是方程 B(x)=0 的失根...
更多相关标签:

All rights reserved Powered by 甜梦文库 9512.net

copyright ©right 2010-2021。
甜梦文库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com|网站地图