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高中数学第1章导数及其应用1.4导数在实际生活中的应用自我小测选修2-2讲解



高中数学 第 1 章 导数及其应用 1.4 导数在实际生活中的应用自我 小测 苏教版选修 2-2
1 .做一个容积为 256 cm 的方底无盖水箱,要使用料最省,水箱的底面边长为 __________. 2.某公司生产某种产品,固定成本为 20 000 元,每生产一单位产品,成本增加 100
3

1 2 ? ?400 x ? x , 0 ? x ? 400, 元,已知总收益 R 与年产量 x 个单位产品的关系是 R ? x ? ? ? 则总 2 ? ?80000, x ? 400,
利润最大时,每年生产的产品是__________单位. 3.内接于半径为 R 的半圆的周长最长的矩形的边长为__________. 4. 要做一个圆锥形的漏斗, 其母线长为 20 cm, 要使其体积为最大, 则高为__________. 5.某银行准备新设一种定期存款业务,经预测,存款量与存款利率成正比,比例系数 为 k(k>0),贷款的利率为 4.8%,假设银行吸收的存款能全部放贷出去.若存款利率为 x〔x ∈(0,0.048)〕 ,则存款利率为________时,银行可获得最大收益. 6 .设底面为正三角形的直棱柱的体积为 V ,那么其表面积最小时,底面边长为 __________. 7.已知某工厂生产 x 件产品的成本为 C=25 000+200x+ 低时,x=________件. 8.将一段长为 100 cm 的铁丝截成两段,一段弯成正方形,一段弯成圆,当正方形与圆 的面积之和最小时,圆的周长为__________cm. 9. 某生产饮品的企业拟投入适当的广告费对产品进行促销, 在一年内, 预计年销量 Q(万 件)与广告费 x(万元)之间的函数关系为 Q ?

1 2 x (元),则当平均成本最 40

3x ? 1 (x≥0),已知生产此产品的年固定投入 x ?1

为 3 万元,每生产 1 万件此产品需再投入 32 万元,若每件售价为年平均每件成本的 150%与 平均每件所占广告费的 50%之和. (1)试将利润 y(万元)表示为年广告费 x(万元)的函数, 如果年广告费投入 100 万元, 企 业是亏损还是盈利? (2)当年广告费投入多少万元时,企业年利润最大?

1

参考答案 1 答案:8 解析:设水箱的底面边长为 x cm,容积为 256 cm ,所以水箱的高为
2 3

256 , x2

于是水箱表面积 f(x)=x +4x·
2

256 , x2

即 f(x)=x +

1024 1024 ,f′(x)=2x- 2 , x x

令 f′(x)=0 得 x=8,所以当底面边长为 8 cm 时用料最省. 2 答案:300 解析:依题意可得:

? x2 ?300 x ? ? 20000, 0 ? x ? 400, 总利润为 P ? ? 2 ?60000 ? 100 x, x ? 400, ?

?300 ? x,0 ? x ? 400, P? ? ? ??100, x ? 400.
令 P′=0,当 0≤x≤400 时,得 x=300 时总利润最大为 25 000 元;当 x>400 时,P′ <0 恒成立,易知当 x=300 时,总利润最大. 3 答案:

4 5 5 R R, 5 5

解析:设矩形垂直于直径的一边长为 x ,则另一边长为

2 R2 ? x2 ,则 l=2x+ 4 R2 ? x2 (0<x<R),l′=2-
令 l′=0,解得 x1 ? 当 0<x<

4x R2 ? x2



5 5 R , x2 ? ? R (舍去). 5 5

5 5 R 时,l′>0;当 R <x<R 时,l′<0. 5 5 4 5 5 5 R. R R 时,l 取最大值,即周长最大的矩形的边长为 R, 5 5 5

所以当 x ?

4 答案:

20 3 2 2 cm 解析:设圆锥的高为 x cm,则底面半径为 20 ? x cm, 3
1 2 2 3 π x(20 -x )(0<x<20)(cm ), 3

其体积 V=

V′=

1 2 π (400-3x ), 3

令 V′=0,解得 x1 ?

20 3 20 3 , x2 ? ? (舍去). 3 3
2

当 0<x<

20 3 时,V′>0; 3



20 3 <x<20 时,V′<0, 3 20 3 时,V 取最大值. 3
2

所以当 x ?

5 答案: 0.024 解析: 由题意, 存款量 g(x)=kx(k>0), 银行应支付的利息 h(x)=xg(x) =kx ,x∈(0,0.048).设银行可获得的收益为 y,则 y=0.048kx-kx .于是 y′=0.048k- 2kx,令 y′=0,解得 x=0.024,依题意知 y 在 x=0.024 处取得最大值.故当存款利率为 0.024 时,银行可获得最大收益. 6 答案: 3 4V =V,于是 h ? 解析:设底面边长为 x,则底面面积为
2

3 2 3 2 xh x ,设高为 h,则 4 4

4 V 3 2 4 3V 3 2 3 ? 2 ,这时直棱柱的表面积 S(x)= x ×2+3xh= . x ? 3 x 2 x 4

S' (x) ? 3x ?

4 3V ,令 S′(x)=0 得 x ? 3 4V ,故当 x ? 3 4V 时表面积最小. x2

7 答案:1 000 解析:设平均成本为 y 元,

则y? =

25000 ? 200 x ? x

1 2 x 40

25000 x ? 200 ? (x≥0), x 40

y' ?

25000 1 ? , x2 40

令 y′=0,得 x=1 000 或 x=-1 000(舍去). 当 0≤x<1 000 时,y′<0, 当 x>1 000 时,y′>0, 故当 x=1 000 时,y 取最小值. 8 答案:

100 π 4?π

解析:设圆的周长为 x cm,

则正方形的周长为(100-x) cm,且 0<x<100, ∴圆的半径为 r ?

x x (cm),正方形的边长为 25 ? (cm), 2π 4

∴圆与正方形的面积之和为

3

S (x) ?

1 2 ? x? x ? ? 25 ? ? (0<x<100), 4π 4? ?
1 1? x? x ? ? 25 ? ? . 2π 2? 4?
100π ,此时 S(x)取得最小值. 4?π

2

∴ S? ? x ? ?

由 S′(x)=0,得 x ?

9 答案:解:(1)由题意,每年产销 Q 万件,共计成本为(32Q+3)万元,销售收入是(32Q +3)·150%+x·50%. ∴年利润 y=

1 (32Q+3-x) 2



1? 3x ? 1 ? ?3? x? ? 32 ? 2? x ?1 ?



? x 2 ? 98x ? 35 (x≥0). 2( x ? 1)

∴所求函数关系式为 y ?

? x 2 ? 98 x ? 35 (x≥0). 2( x ? 1)

当 x=100 时,y<0,即当年广告费投入 100 万元时,企业亏损. (2)由 y ?

? x 2 ? 98 x ? 35 (x≥0),可得 2( x ? 1)

(?2 x ? 98)( x ? 1) ? (? x 2 ? 98x ? 35) y' ? 2( x ? 1)2


? x 2 ? 2 x ? 63 . 2( x ? 1)2
2

令 y′=0,则 x +2x-63=0. ∴x=-9(舍)或 x=7. 又 x∈(0,7)时,y′>0;x∈(7,+∞)时,y′<0, ∴x=7 时,y 取得极大值,且 y 极大值=42(万元). 又∵在(0,+∞)上只有一个极值点, ∴ymax=y 极大值=42(万元). ∴当年广告费投入 7 万元时,企业年利润最大,最大年利润为 42 万元.

4



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