9512.net
甜梦文库
当前位置:首页 >> 数学 >>

2.1.1参数方程的概念与圆的参数方程 课件(人教A版选修4-4)



【综合评价】 参数方程是以参变量为中介来表示曲线上点的坐标的 方程,是曲线在同一坐标系下的又一种表示形式.某些曲 线上点的坐标,用普通方程描述它们之间的关系比较困

难,甚至不可能,列出的方程既复杂又不易理解,而用参
数方程来描述曲线上点的坐标的间接关系比较方便,学习 参数方程有助于学生进一步体会数学方法的灵活多变,提 高应用意识和实践能力.

/>课前自主学习 课堂讲练互动

教材超级链接

【学习目标】 1.通过分析抛物运动中时间与运动物体位置的关系,写 出抛物运动轨迹的参数方程,体会参数的意义.

2.分析直线、圆和圆锥曲线的几何性质,选择适当的参
数写出它们的参数方程. 3.举例说明某些曲线用参数方程表示比用普通方程表示

更方便,感受参数方程的优越性.

课前自主学习

课堂讲练互动

教材超级链接

【学习计划】

学习重点 参数方程概念,圆的参数 曲线的参数方程 方程和普通方程的互化 圆锥曲线的参数 椭圆、双曲线的参数方程 方程 及应用 直线的参数方程 直线参数方程的应用

内容

建议学习时间
3课时

3课时
2课时

课前自主学习

课堂讲练互动

教材超级链接

第一节

曲线的参数方程

第1课时 参数方程的概念与圆的参数方程
【课标要求】 1.理解曲线参数方程的有关概念.

2.掌握圆的参数方程.
3.能够根据圆的参数方程解决最值问题.

课前自主学习

课堂讲练互动

教材超级链接

【核心扫描】 1.对圆的参数方程的考查是热点. 2.根据几何性质选取恰当的参数,建立曲线的参数方

程.(难点)

课前自主学习

课堂讲练互动

教材超级链接

自学导引
1.参数方程的概念
(1)在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标 x,y 都是某个变数
? ?x= f( t), t 的函数? (*),并且对于 ? ?y= g( t)

t 的每一

个允许值,由方程组 (*)所确定的点 M(x, y)都在这条曲线 上, 那么方程(*)就叫做这条曲线的参数方程 _________, 联系变数 x, 参变数 , 参数 . y 的变数 t 叫做 _______ 简称 _____ 相对于参数方程而言, 普通方程 . 直接给出点的坐标间关系的方程叫做 _________ (2)参数是联系变数 x,y 的桥梁,可以是一个有物理意义或 几何意义的变数,也可以是没有明显实际意义的变数.
课前自主学习 课堂讲练互动

教材超级链接

2.圆的参数方程 (1)如图所示,设圆 O 的半径为 r,点 M 从初始位置 M0 出 发,按逆时针方向在圆 O 上作匀速圆周运动,设 M(x,y),
? ?x= rcos θ 则? ? ?y= rsin θ



(θ 为参数).

这就是圆心在原点 O,半径为 r 的圆的参数方程,其中 θ 的几何意义是 OM0 绕点 O 逆时针旋转到 OM 的位置时, OM0 转过的角度.

课前自主学习

课堂讲练互动

教材超级链接

(2)圆心为C(a,b),半径为r的圆的普通方程与参数方程
普通方程
2 2 2

参数方程
? a+rcos θ ?x=_________ ? (θ ? b +rsin θ _________ ?y=

(x-a) +(y-b) =r

为参数)

课前自主学习

课堂讲练互动

教材超级链接

名师点睛
1.曲线的普通方程直接地反映了一条曲线上点的横、纵 坐标之间的联系,而参数方程是通过参数反映坐标变

量 x 、 y 间的间接联系.在具体问题中的参数可能有相
应的几何意义,也可能没有什么明显的几何意义.曲 线的参数方程常常是方程组的形式,任意给定一个参 数的允许取值就可得到曲线上的一个对应点 ,反过 来,对于曲线上的任一点也必然对应着参数相应的允

许取值.

课前自主学习

课堂讲练互动

教材超级链接

2.求曲线参数方程的主要步骤

第一步,画出轨迹草图,设M(x,y)是轨迹上任意一点
的坐标.画图时要注意根据几何条件选择点的位置, 以利于发现变量之间的关系. 第二步,选择适当的参数.参数的选择要考虑以下两 点:一是曲线上每一点的坐标x,y与参数的关系比较

明显,容易列出方程;二是x,y的值可以由参数唯一
确定. 第三步,根据已知条件、图形的几何性质、问题的物

理意义等,建立点的坐标与参数的函数关系式,证明
可以省略.
课前自主学习 课堂讲练互动

教材超级链接

3.圆的参数方程中参数的理解
在圆的参数方程中,设点 M 绕点 O 转动的角速度为ω (ω 为常数 )转动的某一时刻为 t,因此取时刻 t 为参数可
? ?x= rcos 得圆的参数方程为:? ? ?y= rsin

ω t, (t 为参数 ),此时参数 ωt

t 表示时间. 若以 OM 转过的角度 θ(∠ M0OM=θ)为参数,可得圆的参
? ?x= rcos 数方程为? ? ?y= rsin

θ , (θ 为参数 ),此时 θ 具有明显的几 θ

何意义.

课前自主学习

课堂讲练互动

教材超级链接

【思维导图】

课前自主学习

课堂讲练互动

教材超级链接

题型一
【例1】 已知某条曲线

参数方程的概念
t 是参数,

? ?x= 1+ 2t C 的参数方程为? , (其中 2 ? ?y= at

a∈R),点 M(5,4)在该曲线上.

(1)求常数a; (2)求曲线C的普通方程. [思维启迪] 本题主要应根据曲线与方程之间的关系,可知 点M(5,4)在该曲线上,则点M的坐标应适合曲线C的方 程,从而可求得其中的待定系数,进而消去参数得到其普 通方程.
课前自主学习 课堂讲练互动

教材超级链接



? ? ?1+ 2t= 5 ?t= 2 (1)由题意可知有? 2 ,故? .∴ a= 1. ? ? ?at = 4 ?a= 1 ? ?x= 1+ 2t C 的方程为? . 2 ? ?y= t

(2)由已知及 (1)可得,曲线

x- 1 由第一个方程得 t= 代入第二个方程,得 2 ?x- 1? ?2 2 y=? ,即 ( x - 1) =4y 为所求. ? ? ? 2 ?

【反思感悟】 将曲线的参数方程化为普通方程主要是消 去参数,简称为“消参”.消参的常用方法是代入消元法和

利用三角恒等式消参法两种.

课前自主学习

课堂讲练互动

教材超级链接

【变式1】 设质点沿以原点为圆心,半径为 2 的圆作匀角速度运 π 动, 角速度为 rad/s.试以时间 t 为参数, 建立质点运动轨迹 60 的参数方程.
解 如图所示, 运动开始时质点位于点 A 处,此时 t=0,设动点 M(x,y)对应时刻 ? ?x= 2cos θ , t,由图可知? ? ?y= 2sin θ , π 又 θ= t (t 的单位:S),故参数方程为 60 π ? ?x=2cos 60t, ? ?y=2sin π t. ? 60
课前自主学习 课堂讲练互动

教材超级链接

题型二
【 例 2】

圆的参数方程及其应用

已知圆的直径AB上有两点C、D,且|AB|=10,

|AC|=|BD|=4,P为圆上一点,求|PC|+|PD|的最大值. [思维启迪] 本题应考虑数形结合的方法,因此需要先建立 平面直角坐标系.将P点坐标用圆的参数方程的形式表示

出来,θ为参数,那么|PC|+|PD|就可以用只含有θ的式子
来表示,再利用三角函数等相关知识计算出最大值. 解 以AB所在直线为x轴,以线段 AB的中点为原点建立平面直角坐标 系.

课前自主学习

课堂讲练互动

教材超级链接

? ?x= 5cos 因为 |AB|= 10,所以圆的参数方程为? ? ?y= 5sin

θ , (θ 为参数 ). θ

因为 |AC|= |BD|= 4,所以 C,D 两点的坐标为 C(- 1,0),D(1,0). 因为点 P 在圆上,所以可设点 P 的坐标为(5cos θ , 5sin θ ). 所以 |PC|+|PD| = ( 5cos θ + 1) 2+( 5sin θ ) 2+ ( 5cos θ - 1) 2+(5sin θ )2 = 26+ 10cos θ + 26- 10cos θ = ( 26+ 10cos θ + 26- 10cos θ )2 = 52+ 2 262- 100cos2 θ .

当 cos θ = 0 时,(|PC|+ |PD|)max= 52+ 52= 2 26. ∴ |PC|+ |PD|的最大值为 2 26.
课前自主学习 课堂讲练互动

教材超级链接

【反思感悟】 如果取半径绕原点 O 逆时针旋转转过的角度 θ 为参数,圆
? ?x=rcos θ, 2 2 2 x +y =r 对应的参数方程为? ? ?y=rsin θ.

同 理 , 圆 (x - x0)2 + (y - y0)2 = r2 对 应 的 参 数 方 程 为
? ?x=x0+rcos θ, ? ? ?y=y0+rsin θ

(θ 为参数).

圆的参数方程对于需要将圆上点的两个坐标分别表示,代入计 算的问题比较方便.

课前自主学习

课堂讲练互动

教材超级链接

【变式2】 已知实数x,y满足(x-1)2+(y-1)2=9,求x2+y2的 最大值和最小值.
解 由已知,可把点 (x,y)视为圆 (x- 1)2+ (y- 1)2= 9 上的点, θ , θ (θ 为参数 ).
? 2sin? ?θ ? ? ?x= 1+ 3cos 设? ? ?y= 1+ 3sin

则 x2+ y2= (1+ 3cos θ )2+ (1+ 3sin θ )2 = 11+ 6(sin θ + cos θ )= 11+ 6
? ∵- 1≤ sin? ?θ ?

π? ? + ?. 4?

π? ? + ?≤ 1, 4?

∴ 11- 6 2≤ x2+ y2≤ 11+ 6 2. ∴ x2+ y2 的最大值为 11+ 6 2,最小值为 11- 6 2.
课前自主学习 课堂讲练互动

教材超级链接

题型三

参数方程的实际应用

【例3】 某飞机进行投弹演习,已知飞机离地面高度为H=
2 000 m,水平飞行速度为v1=100 m/s,如图所示.

(1)求飞机投弹t s后炸弹的水平位移和离地面的高度;
(2)如果飞机追击一辆速度为v2=20 m/s同向行驶的汽车, 欲使炸弹击中汽车,飞机应在距离汽车的水平距离多远处 投弹?(g=10 m/s2)
课前自主学习 课堂讲练互动

教材超级链接

[思维启迪] 解答本题可以建立直角坐标系,设出炸弹对应 的点的坐标的参数方程,然后利用运动学知识求解.
解 (1)如图所示, 建立平面直角坐标系, 设炸弹投出机舱的时刻为 0 s,在时刻 t s 时其坐标为 M(x, y), 由于炸弹作平抛运动,依题意,得 ? ? ?x=100t, ?x= 100t, ? 1 2 即? 2 ? y = 2 000 - 5 t , y = 2 000 - gt , ? ? ? 2

课前自主学习

课堂讲练互动

教材超级链接

令y=2 000-5t2=0,得t=20(s),

所以飞机投弹t s后炸弹的水平位移为100t m,离地面的高度
为(2 000-5t2)m,其中,0≤t≤20. (2)由于炸弹水平分运动和汽车的运动均为匀速直线运动,以 汽车为参考系.水平方向s相对=v相对t,所以飞机应距离汽车 投弹的水平距离为s=(v1-v2)t=(100-20)×20=1 600(m).

【反思感悟】 本题通过点的坐标的参数方程利用运动学知
识使问题得解.由于水平抛出的炸弹作平抛运动,可以分解 为在水平方向上的匀速直线运动和竖直方向上的自由落体运 动,炸弹飞行的时间也就是它作自由落体运动所用的时间.

课前自主学习

课堂讲练互动

教材超级链接

【变式3】 如果本例条件不变,求: (1)炸弹投出机舱10 s后这一时刻的水平位移和高度各是多 少米? (2)如果飞机迎击一辆速度为v2=20 m/s相向行驶的汽车, 欲使炸弹击中汽车,飞机应在距离汽车的水平距离多远处

投弹?
解 (1)将
? ? ?x= 100t, ?x= 1 000, t= 10 代入? 得? 2 ? ?y= 2 000- 5t , ? ?y= 1 500,

所以炸弹投出机舱 10 s 后这一时刻的水平位移和高度分别是 1 000 米和 1 500 米. (2)由于炸弹水平分运动和汽车的运动均为匀速直线运动,以汽 车为参考系. 水平方向 s 相对= v 相对 t,所以飞机应距离汽车投弹的水平距离为 s= (v1+v2)t= (100+ 20)× 20= 2 400(m).
课前自主学习 课堂讲练互动

教材超级链接

高考在线——圆的参数方程的应用
陕西高考)已知圆 C 【例1】 (2010·
? ?x= cos α , 的参数方程为? ? ?y= 1+ sin α



为参数),以原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,直 线 l 的极坐标方程为 ρsin θ = 1, 则直线 l 与圆 C 的交点的直角 坐标为________. ? ?x= cos α, 解析 由圆 C 的参数方程为? 可求得在直角坐标 ? ?y= 1+ sin α . 系下的方程为 x2+ (y- 1)2= 1,由直线 l 的极坐标方程 ρsin θ
=1 可求得在直角坐标系下的方程为 y= 1,由
? ? 1, ?y= 1, ?x= ± ? 2 ? 可解得 2 ? ? ?x +( y- 1) = 1 ?y= 1.

所以直线 l 与圆 C 的交点的直角坐标为(- 1, 1), (1, 1)

答案

(-1,1),(1,1)
课前自主学习 课堂讲练互动

教材超级链接

安徽高考)以直角坐标系的原点为极点,x 轴的正半 【例2】 (2009· 轴为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位.已知直线的 ? π ?x= 1+ 2cos α , 极坐标方程为 θ= (ρ∈R), 它与曲线? (α 为参 4 ? ?y= 2+ 2sin α 数)相交于两点 A 和 B,则|AB|=________.

解析 直线的普通方程为 y= x,曲线的普通方程为 (x- 1)2 +(y-2)2=4, ∴|AB|=2
答案 14
? |1- 2| ? ? ?2 22-? ? = ? 1+ 1?

14.

课前自主学习

课堂讲练互动

教材超级链接

【 例 3 】 (2008· 福 建 高 考 ) 若 直 线 3x + 4y + m = 0 与 圆
? ?x=1+cos θ, ? ? ?y=-2+sin θ

(θ 为参数)没有公共点,则实数 m 的取值

范围是________.
把圆的参数方程化成普通方程为(x- 1)2+(y+ 2)2=1, |3×1+4×(-2)+m| 由已知直线与圆相离, ∴ >1, 解得 m<0 5 或 m>10,故填(-∞,0)∪(10,+∞). 解析

答案

(-∞,0)∪(10,+∞)

课前自主学习

课堂讲练互动

教材超级链接

[P24思考] 这里定点Q在圆O外,你能判断这个轨迹表示什么曲 线吗?如果定点Q在圆O上,轨迹是什么?如果定点Q在 圆O内,轨迹又是什么? 答 由参数方程直接判断曲线的类型不太容易, 化为普通 方程后, 曲线的类型就比较容易识别了. 设 Q 点坐标为(a, 0), 因为 P 点坐标为(2cos θ,2sin θ),所以点 M 的轨迹的参数 a ? ?x=cos θ+ , ? a? 2 2 方程是 ? 化为普通方程,即 ?x-2? + y2 = 1. 因 ? ? ? ?y=sin θ. 此,无论 Q 在什么位置,点 M 的轨迹都是半径为 1 的圆(圆心 随 a 的变化而移动).
课前自主学习 课堂讲练互动

教材超级链接

[P26思考]

为什么例4(2)中的两个参数方程合起来才是椭圆的参
数方程? 答 涉及到了转化的等价性问题,第(1)小题中,由y2

=4sin2 φ得到y=±2sin φ,但是由于φ的任意性(即
φ∈R),无论2sin φ还是-2sin φ都可以取到区间[-2,2] 内的任何值,因此简化形式为y=2sin φ.
第(2)小题中,由 x2=9(1-t2)得到 x=± 3 1-t2,需要考虑 x 的正、负两种取值情况,因为它们分别对应了椭圆在 y 轴的 右、左两部分,所以参数方程是由两部分组成的. 这种方程转化的等价性问题在做题时是比较容易忽视和做错 的一类问题,因此要特别注意!
课前自主学习 课堂讲练互动

教材超级链接

[课后习题解答] 习题2.1 (第26页)
1.解 取投放点为原点,飞机飞行航线所在直线为 x 轴,过 原点和地心的直线为 y 轴建立平面直角坐标系, 得到被投 ? ?x=100t, 放物资的轨迹方程为? 1 2 y =- gt . ? ? 2 (t 是参数,表示时间) 令 x=1 000 m,解得 t=10 s. 1 1 当 t= 10 s 时,由方程得到 y=- ×g×102≈- ×9.8× 2 2 102=- 490 (m). 即飞机投放救灾物资时的飞行高度约为 490 m.

课前自主学习

课堂讲练互动

教材超级链接

2.解 法一 设经过时间 t,动点的位置是 M(x,y),那么有 x-2=3t,y-1=4t. 于是点 M 法二
? ?x=2+3t, 的轨迹的参数方程为? (以时间 ? y = 1 + 4 t . ?

t 为参数)

设 M(x,y)是直线上任意一点,它离 M0(2,1)的有向距 3 离为 t.根据已知条件,由速度合成的知识可知:x-2= t,y 5 4 -1= t. 5 3 ? ?x=2+5t, 于是点 M 的轨迹的参数方程为? (以位移 t 为参数) ?y=1+4t. ? 5

课前自主学习

课堂讲练互动

教材超级链接

3.解 不妨设△ABC 的外接圆的半径为 1, 建立如图的平面直角坐标系,使点 B,C 关于 x 轴对称.那么外接圆的参数方程是
? ?x= cos ? ? ?y= sin

θ , (θ 是参数). θ
? 1 的坐标分别为(1,0),?- , ? 2 ? 1 ? 3? 3 ? ,?- ,- ?. 2? ? 2 2?

A, B, C

设点 M(cos θ ,sin θ ), 则 |MA|2+|MB|2+ |MC|2 = [(cos θ - 1) + sin θ
?? +??cos ??
2 2

?? ] + ??cos ??

?2? 1 ?2 ? 3 θ + ? +?sin θ - ? ? 2? ? 2? ?

?2 ? 1 ?2 ? 3 θ + ? +?sin θ + ? ?= 6(定值 ). 2? ? 2? ?

课前自主学习

课堂讲练互动

教材超级链接

4.解

(1)2x-y-7=0,它表示直线.

(2)y=2x2,x∈[-1,1],它表示以(-1,2),(1,2)为
端点的一段抛物线弧. (3)x2-y2=4,它表示双曲线.
x2 y2 (4) + =1,它表示椭圆. 25 9
5.解
2 ? ?x= t - 3t+ 1, (1)? ? ?y= t- 1;

(t 为参数 );

4 ? ?x= acos (2)? 4 ? ?y= asin

φ, (φ 为参数 ) φ.

课前自主学习

课堂讲练互动

教材超级链接



更多相关文章:
选修4-4坐标系与参数方程(解析版)
选修4-4:坐标系与参数方程【知识点梳理】 1.极坐标系的概念 在平面上取个...若圆心在点 M(a,b),半径为 R,则圆的参数方程为? 0≤α<2π. ?y=b+...
选修4-4第2讲:参数方程(教师版)
选修4-42讲:参数方程(教师版)_数学_高中教育_...参数方程的定义 1.一般地,在平面直角坐标系中,如果...圆心为 O1(a,b),半径为 r 的圆的参数方程为:...
选修4-4第二讲参数方程(文)
通用版 选修 4-4讲参数方程(文) 校 ...中时间与物体位置的关系,了解参数方程的概念,体会其...2. 理解直线、圆、椭圆的参数方程及其参数的意义,...
选修4-4坐标系与参数方程_知识点总结
选修4-4坐标系与参数方程_知识点总结_数学_高中教育...2.极坐标系的概念 (1)极坐标系 如图所示,在平面...这就是圆心在原点 O ,半径为 r 的圆的参数方程,...
选修4-4参数方程
选修 4-4 坐标系与参数方程2 课时书(理)195...?y=-1+4t y+1 4 解: =,-(y+1)a+4x-12...?x=cosθ,解:(1)圆的参数方程为? ?y=1+...
选修4-4 第二讲 参数方程(曲线的参数方程)
选修4-4参数方程(曲线的参数方程)_理学_...(1)判断点 M1(0,1),M2(5,4)与曲线 C 的...则 A(300,0) ,圆的 方程为 x 2 + y 2 = ...
高中数学选修4-4《坐标系与参数方程》复习提纲
高中数学选修4-4《坐标系与参数方程》复习提纲_数学...8.参数方程的概念:在平面直角坐标系中,如果曲线上...9.常见曲线的参数方程 (1)圆 ( x ? a)2 ? ...
选修4-4 第二讲 参数方程(曲线的参数方程) 教案
选修4-4讲 参数方程(曲线的参数方程) 教案_...由参数方程解有关的量;掌握圆的参 数方程的推导...2 ?a = 2t + 1 练习:一架救援飞机以 100m/s...
2.1高中数学4-4圆的参数方程导学案
高中数学4-4圆的参数方程导学案白城实验高中 高二数学 选修 4-4 编号:4 编制...的参数方程【学习目标】 1.明白参数方程的定义; 2.能将参数方程与普通方程互...
选修4-4第二章 参数方程
选修4-4参数方程_数学_高中教育_教育专区...直线 OB 与圆交与 M 1 ,和过 A 点的切 线交...1 的参数方程( 1 ? ?x ? t 2 A. ? 1 ...
更多相关标签:
参数方程的概念    参数方程的概念ppt    人教版物理选修3 1    人教版数学选修2 1    人教版英语选修6    人教版选修六英语单词    人教版高中英语选修6    高中英语人教版选修六    

All rights reserved Powered by 甜梦文库 9512.net

copyright ©right 2010-2021。
甜梦文库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com|网站地图