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2012届高考数学第一轮专题复习测试卷第十九讲 三角恒等变换 2



第十九讲

三角恒等变换

一、选择题:(本大题共 6 小题,每小题 6 分,共 36 分,将正确答案的代号填在题后的括号内.) π ? 3 ?α ? 1.已知 α 是锐角,且 sin? ?2+α?=4,则 sin?2+π?的值等于( A. C. 2 4 14 4 B.- D.- 2 4 14 4 )

π 3 3 +α

?= 得 cosα= ,又 α 为锐角. 解析:由 sin? 2 ? ? 4 4 α ? α ∴sin? ?2+π?=-sin2=- 3 1- 4 =- 2 1-cosα 2

=- 答案:B 2.

1 2 =- . 8 4

sin(180° +2α) cos2α · 等于( 1+cos2α cos(90° +α) B.-cosα D.cosα

)

A.-sinα C.sinα

(-sin2α)· cos2α 解析:原式= (1+cos2α)· (-sinα) = 2sinα· cosα· cos2α =cosα.故选 D. 2 2cos α· sinα

答案:D 3π 3.若-2π<α<- ,则 2 α A.sin 2 α C.-sin 2 解析: = 1-cos(α-π) = 2 1-cos(α-π) 的值是( 2 α B.cos 2 α D.-cos 2 1-cos(π-α) 2 )

1+cosα ? α? =?cos2?, 2

3π α 3π α ∵-2π<α<- ,∴-π< <- ,∴cos <0, 2 2 4 2

α α cos ?=-cos ,故选 D. ∴? ? 2? 2 答案:D 4. cosα-cos3α 的结果为( sin3α-sinα )

A.tanα B.tan2α C.cotα D.cot2α cosα-cos3α -2sin2αsin(-α) 解析: = =tan2α. 2cos2αsinα sin3α-sinα 答案:B 1 5.若 cos(α+β)cos(α-β)= ,则 cos2α-sin2β=( 3 2 A.- 3 1 C. 3 1 B.- 3 2 D. 3 )

1 解析:∵cos(α+β)cos(α-β)= , 3 1 1 ∴ (cos2α+cos2β)= , 2 3 1 1 ∴ (2cos2α-1+1-2sin2β)= , 2 3 1 ∴cos2α-sin2β= . 3 答案:C 1 6.函数 y= sin2x+sin2x,x∈R 的值域是( 2 1 3? A.? ?-2,2? C.?- 3 1? B.? ?-2,2? D.?- )

?

2 1 2 1? + , + 2 2 2 2?

?

2 1 2 1? - , - 2 2 2 2?

1 1 1 1 解析:y= sin2x+sin2x= sin2x- cos2x+ 2 2 2 2 = π 1 2 ? sin?2x-4? ?+2,故选择 C. 2

答案:C 评析: 本题是求有关三角函数的值域的一种通法, 即将函数化为 y=Asin(ωx+φ)+b 或 y=Acos(ωx+φ)

+b 的模式.一般地,acosx+bsinx= a2+b2?

? a cosx+ b sinx?= a2+b2(sinφcosx+cosφsinx)= ? a2+b2 ? a2+b2 ?

a a2+b2sin(x+φ),其中 tanφ= ,也可以变换如下:acosx+bsinx= a2+b2(cosφcosx+sinφsinx)= a2+b2 b b cos(x-φ),其中 tanφ= . a 二、填空题:(本大题共 4 小题,每小题 6 分,共 24 分,把正确答案填在题后的横线上.) 7.sin(θ+75° )+cos(θ+45° )- 3cos(θ+15° )的值为____. 解析:设 θ+15° =α, 原式=sin(α+60° )+cos(α+30° )- 3cosα =sinαcos60° +cosαsin60° +cosαcos30° -sinαsin30° - 3cosα=0. 答案:0 8.(2010· 山东潍坊检测)已知 α、β 均为锐角,且 cos(α+β)=sin(α-β),则 tanα=________. 解析:由 cos(α+β)=sin(α-β), π ? 得 sin? ?2-α-β?=sin(α-β), π 又 -α-β 与 α-β 在同一单调区间内, 2 π π 故 -α-β=α-β,∴α= ,tanα=1. 2 4 答案:1 cos70° 9.(tan5° -cot5° )· =________. 1+sin70° cos70° 解析:(tan5° -cot5° )· 1+sin70° = tan25° -1 sin20° 1 · =-2· · tan10° =-2. tan5° 1+cos20° tan10°

答案:-2 10.[2sin50° +sin10° (1+ 3tan10° )]· 1+cos20° =________. sin10° ?1+ 3· ?]· 2cos210° 解析:原式=[2sin50° +sin10° cos10° ? ? cos10° + 3sin10° ? ?· 2· =?2sin50° cos10° ? +sin10° · cos10° ? ? =2 2sin50° cos10° +sin10° · 2sin40° ·2 =2 2sin50° cos10° +2 2sin10° cos50°

=2 2sin60° = 6. 答案: 6 三、解答题:(本大题共 3 小题,11、12 题 13 分,13 题 14 分,写出证明过程或推演步骤.) π π α α 11.已知 0<α< ,0<β< 且 3sinβ=sin(2α+β),4tan =1-tan2 ,求 α+β 的值. 4 4 2 2 α 分析:由 的关系可求出 α 的正切值.再依据已知角 β 和 2α+β 构造 α+β,从而可求出 α+β 的一个三 2 角函数值,再据 α+β 的范围,从而确定 α+β. α α 解:由 4tan =1-tan2 2 2 1 得 tanα= = . 2α 2 1-tan 2 由 3sin[(α+β)-α]=sin[(α+β)+α], 得 3sin(α+β)cosα-3cos(α+β)sinα =sin(α+β)cosα+cos(α+β)sinα, ∴2sin(α+β)cosα=4cos(α+β)sinα. ∴tan(α+β)=2tanα. ∴tan(α+β)=1. π π π 又∵0<α< ,0<β< ,∴0<α+β< , 4 4 2 π ∴α+β= . 4 α α 评析:首先由 4tan =1-tan2 的形式联想倍角公式求得 tanα,再利用角的变换求 tan(α+β),据 α、β 2 2 的范围确定角 α+β.求角的问题的关键是恰当地选择一个三角函数值,再依据范围求角,两步必不可少. 12.化简:(1-sinα)(1-sinβ)-?sin α 2tan 2

?

α+β α-β?2 . -cos 2 2 ?

α+β α-β α+β α-β 分析:本题由于 + =α, - =β,因此可以从统一角入手,考虑应用和差化积公式. 2 2 2 2 解:原式=1-(sinα+sinβ)+sinαsinβ-?sin2

?

α+β - 2

α+β α-β α-β? 2sin cos +cos2 2 2 2 ? α+β α-β =1-2sin cos +sinαsinβ- 2 2

?1-cos(α+β)+1+cos(α-β)-2sinα+βcosα-β? 2 2 2 2 ? ?
1 =sinαsinβ+ [cos(α+β)-cos(α-β)] 2 1 =sinαsinβ+ · (-2)sinαsinβ=0. 2 评析:(1)必须是同名三角函数才能和差化积;(2)若是高次函数必须用降幂公式降为一次. π ? 3 12 ? π ? 13.已知 sin(2α-β)= ,sinβ=- ,且 α∈? ?2,π?,β∈?-2,0?,求 sinα 的值. 5 13 π 解:∵ <α<π,∴π<2α<2π. 2 π π 又- <β<0,∴0<-β< . 2 2 5π ∴π<2α-β< . 2 3 而 sin(2α-β)= >0, 5 5π 4 ∴2π<2α-β< ,cos(2α-β)= . 2 5 π 12 又- <β<0 且 sinβ=- , 2 13 5 ∴cosβ= , 13 ∴cos2α=cos[(2α-β)+β] =cos(2α-β)cosβ-sin(2α-β)sinβ 12 56 4 5 3 - ?= . = × - ×? 5 13 5 ? 13? 65 又 cos2α=1-2sin2α, 9 ∴sin2α= , 130 π ? 又 α∈? ?2,π?, 3 130 ∴sinα= . 130 评析:由 sin(2α-β)求 cos(2α-β)、由 sinβ 求 cosβ,忽视 2α-β、β 的范围,结果会出现错误.

?π ? ?π ? 另外, 角度变换在三角函数化简求值中经常用到, 如: α=(α+β)-β, 2α=(α-β)+(α+β), 4+α + 4-α ? ? ? ?
π =2等.



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