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高中数学必修一集合测试题含详细答案



高中数学必修一集合测试题含详细答案 (120 分钟 150 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项 中,只有一项是符合题目要求的) 1.已知集合 A={x|x 2-2x>0},B={x|- 5 <x< 5 },则( A.A∩B=? C.B?A B.A∪B=R D.A?B )

2.已知集合

S={1,2}, 集合 T={a},?表示空集,如果 S∪T=S,那么 a 的值构成的集 合是( A.? ) B.{1} C.{2} D.{1,2} )

3.已知命题 p:? x0∈R, -3x0+3≤0,则下列说法正确的是( A. p:? x0∈R, -3x0+3>0,且 p 为真命题 B. p:? x0∈R, -3x0+3>0,且 p 为假命题 C. p:? x∈R,x2-3x+3>0, 且 p 为真命题 D. p:? x∈R,x2-3x+3>0, 且 p 为假命题 4.已知集合 A={0,1,2,3,4} ,B={x||x|<2},则 A∩B=( A.{0} C.{0,2} B.{0,1} D.{0,1,2} ) )

5.已知 ab>0, 若 a>b,则 < 的否命题是( A.已知 ab≤0,若 a≤b,则 ≥ B.已知 ab≤0,若 a>b, 则 ≥ C.已知 ab>0, 若 a≤b,则 ≥

D.已知 ab>0, 若 a>b,则 ≥ 6.已知集合{1,2,3,4,5} 的非空子集 A 具有性质 P:当 a∈A 时,必有 6-a∈A.则具 有性质 P 的集合 A 的个数是( A.8 B.7 C.6 ) D.5 )

7.设 a,b 为实数,则“0<ab<1”是“b< ”成立的( A.充分不必要条件 C.充分必要条件 8.给定下列两个命题: ①“p∨q”为真是“ p”为假的必要不充分条件; B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

②“? x0∈R,使 sinx0>0”的否定是“? x∈R,使 sinx≤0”. 其中说法正确的是( A.①真②假 C.①和②都为假 ) B.①假②真 D.①和②都为真 )

9.给定两个命题 p,q,若 p 是 q 的必要而不充分条件,则 p 是 q 的( A.充分而不必要条件 C.充要条件 10.)给出下列命题: B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

(1)等比数列{an}的公比为 q,则“q>1”是“an+1>an(n∈N*)”的既不充分也不必要 条件;(2)“x≠1”是“x2≠1”的必要不充分条件;(3)函数 y=lg(x 2+ax+1)的值域 为 R,则实数-2<a<2;(4) “a=1”是“函数 y=cos2ax-sin2ax 的最小正周期为π ” 的充要条件. 其中真命题的个数是( )

A.1

B.2

C.3

D.4 )

11.已知函数 f(x)=x2+bx+c, 则“c<0”是“? x0∈R,使 f(x0)<0”的( A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 12.已知下列四个命题: ①命题“若α = ,则 tanα =1”的逆否命题为假命题; ②命题 p:? x∈R,sinx ≤1,则 p:? x0∈R,使 sinx0>1; ③“φ= +kπ (k∈Z)”是“函数 y=sin(2x+ φ)为偶函数”的充要条件; B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

④命题 p:“? x0∈R,使 sinx 0+cosx0= ”;命题 q:“若 sinα >sin β ,则α >β ”, 那么( p)∧q 为真命题. 其中正确的个数是( A.1 B.2 ) C.3 D.4

二、 填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.请把正确答案填在题中横线 上) 13. 若 命 题 “ ? x0 ∈ R, 是 14.已知 A= A∪B= . . ,B={x|log2(x-2)<1},则 +(a-3)x0+4<0 ” 为 假 命 题 , 则 实 数 a 的 取 值 范 围

15.已知命题 p:函数 f(x)=2ax2-x-1(a≠0)在(0,1)内恰有一个零点;命题 q:函数 y=x2-a 在 (0,+ ∞ ) 上 是减 函 数 . 若 p 且 q 为 真 命题 , 则 实 数 a 的 取 值范 围 是 .

16.已知下列四个结论:

①命题“若 p,则 q”与命题“若 q,则 p”互为逆否命题; ②命题 p:? x0∈[0,1], ≥1,

命题 q:? x0∈R, +x0+1<0,则 p∨q 为真; ③若 p∨q 为假命题,则 p,q 均为假命题; ④“若 am2<bm2,则 a<b”的逆命题为真命题.其中正确结论的序号是 .

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答时应写出必要的文字说明、证明过 程或演算步骤) 17.(10 分)已知 A={x||x-a|<4},B={x||x-2|>3}. (1)若 a=1,求 A∩B. (2)若 A∪B=R,求实数 a 的取值范围. 18.(12 分)已知命题 p:方程 x2+mx+1=0 有两个不相等的负实根,命题 q:不等式 4x2+4(m-2)x+1>0 的解集为 R.若 p∨q 为真命题、p∧q 为假命题,求实数 m 的取 值范围. 19.(12 分)已知全集 U=R,集合 A={x|(x-2)(x-3)<0}, B={x|(x-a)(x-a2-2)<0}. (1)当 a= 时,求(?UB)∩A. (2)命题 p:x∈A,命题 q:x∈B,若 q 是 p 的必要条件,求实数 a 的取值范围. 20.(12 分 ) 设 p: 实 数 x 满 足 x2-4ax+3a2<0, 其 中 a ≠ 0,q: 实 数 x 满 足

(1)若 a=1,且 p∧q 为真,求实数 x 的取值范围. (2)若 p 是 q 的必要不充分条件,求实数 a 的取值范围. 21.(12 分)求证:方程 ax2+2x+1=0 有且只有一个负数根的充要条件为 a≤0 或

a=1. 22.(12 分)已知函数 f(x)=4x 2-2(p-2)x-2p2-p+1 在区间[-1,1] 上至少存在一个实 数 x0,使 f(x0)>0,求 p 的取值范围.

答案解析
1.【解析】选 B.由 A={x|x2-2x>0}得,A={x|x<0 或 x>2},又 B={x|- 5 <x< 5 }, 所以 A∪B=R. 2.【解析】选 D.因为 S={1,2},T={a},S∪T=S,所以 T? S,a∈S,所以 a=1 或 a=2, 故选 D. 3.【解析】选 C.依题意,命题 p:? x0∈R, -3x0+3≤0 的否命题为不存在 x∈R, 使得 x2-3x+3≤0,即对任意的 x∈R,x2-3x+3>0.又 x2-3x+3= 题 p 为假命题,所以 p 为真命题. 4.【解析】选 B. B={x||x|<2}={x|-2<x<2},则 A∩B={0,1,2,3,4}∩ {x|-2<x<2}={0,1}. 5.【解析】选 C.条件 ab>0 是大前提,所以其否命题是:已知 ab>0,若 a≤b,则 ≥ . 6.【解析】选 B.由题意,知 3∈A 可以,若 1∈A,则 5∈A,若 2∈A,则 4∈A,所以具 有性质 P 的集合 A 有{3},{1,5},{1,3,5},{2,4},{2,3,4},{1,2,4,5}, {1,2,3,4,5},共 7 个. 7.【解析】选 D.若 0<ab<1,则当 a>0 时,有 b< ,当 a<0 时,有 b> .当 b< 时,不妨 设 b=-1,a=1,则满足 b< ,但 ab=-1,不满足 0<ab<1.所以 0<ab<1 是 b< 成立的既 + >0,所以命

不充分也不必要条件,选 D. 【解析】 选 B.由 10a>10b 得 a>b.由 lga>lgb 得 a>b>0,所以 “10a>10b” 是 “lga>lgb” 的必要不充分条件,选 B. 8.【解析】选 D.①中,“p∨q”为真,说明,p,q 至少有一为真,但不一定 p 为真, 即“ p”不一定为假;反之,“ p”为假,那么 p 一定为真,即“p∨q”为真,命题 ①为真;特称命题的否定是全称命题,所以,②为真,综上知,①和②都为真. 9.【解析】选 A.因为 p 是 q 的必要而不充分条件,所以 q 是 p 的必要而不充分 条件,即 p 是 q 的充分而不必要条件. 【解析】选 A.因为函数 f(x)=ax 在 R 上是减函数, 所以 0<a<1. 由函数 g(x)=(2-a)x3 在 R 上是增函数可得:2-a>0,即 a<2. 所以若 0<a<1,则 a<2,而若 a<2,推不出 0<a<1. 所以“函数 f(x)=ax 在 R 上是减函数”是“函数 g(x)=(2-a)x 3 在 R 上是增函数” 的充分不必要条件. 10.【解析】选 B.若首项为负,则公比 q>1 时,数列为递减数列,an+1<an(n∈N*),当 an+1>an(n∈N*)时,包含首项为正,公比 q>1 和首项为负,公比 0<q<1 两种情况,故(1) 正确;“x≠1”时,“x2≠1”在 x=-1 时不成立,“x2≠1”时,“x≠1”一定成立, 故(2)正确;函数 y=lg(x2+ax+1)的值域为 R,则 x2+ax+1=0 的Δ=a2-4≥0,解得 a≥ 2 或 a≤-2,故(3)错误;“a=1”时,“函数 y=cos2x-sin2x=cos2x 的最小正周期为 π”,但“函数 y=cos2ax-sin2ax 的最小正周期为π”时,“a=〒1”,故“a=1” 是“函数 y=cos2ax-sin2ax 的最小正周期为π”的充分不必要条件,故(4)错误. 故选 B.

【解析】 选 C.由 p∨q 为假命题知,p,q 都是假命题,所以 p, q 都为真命题,故( p) ∧( q)为真命题,A 正确;在△ABC 中,A=B?a=b?sinA=sinB,所以 B 正确;由 p 为 真知,p 为假,所以 p∧q 为假,反过来,若 p∧q 为假,则 p 与 q 都假或一个为假, 所以 p 不一定为真,故“ p”为真是“p∧q”为假的充分不必要条件,所以 C 错 误;因为 x=y=0 的否定是 x≠0 或 y≠0,即实数 x,y 中至少有一个不为 0,所以 D 正确. 11.【解析】选 A.若 c<0,则Δ=b2-4c>0,所以? x0∈R,使 f(x0)<0,成立.若? x0∈ R,使 f(x0)<0,则有Δ =b2-4c>0, 即 b2-4c>0 即可 ,所以当 c=1,b=3 时 ,满足Δ =b2-4c>0,所以“c<0”是“? x0∈R,使 f(x0)<0”的充分不必要条件,故选 A. 12.【解析】选 B.①中的原命题为真,所以逆否命题也为真,所以①错误.②根据 全称命题的否定是特称命题知 ,②为真 .③当函数为偶函数时 ,有 φ= +kπ (k∈ Z),所以为充要条件,所以③正确.④因为 sinx+cosx= sin 的最大值为

< ,所以命题 p 为假命题, p 为真,三角函数在定义域上不单调,所以 q 为假命 题,所以( p)∧q 为假命题,所以④错误.所以正确的个数为 2,故选 B. 13.【解析】由题意,知“? x∈R,x2+(a-3)x+4≥0”是真命题. 故Δ=(a-3)2-16≤0,即 a2-6a-7≤0, 解得-1≤a≤7,即 a∈[-1,7]. 答案:[-1,7] 14.【解析】因为 A= ={x|2 -3<2-x<2-1}={x|1<x<3},

B={x|log2(x-2)<1}={x|0<x-2<2}={x|2<x<4},所以 A∪B={x|1<x<4}. 答案:{x|1<x<4} 答案:{x|1≤x<2}

15. 【解析】 若 p 为真,则 f(0)· f(1)=-1· (2a-2)<0,即 a>1,若 q 为真,则 2-a<0, 即 a>2,所以 q 为真时,a≤2,故 p∧ q 为真时,1<a≤2. 答案:(1,2] 16.【解析】根据四种命题的关系,结论①正确;②中命题 p 为真命题、q 为假命 题,故 p∨q 是真命题,结论②正确;根据或命题的真假判断方法知结论③正确; ④中命题的逆命题是“若 a<b,则 am2<bm2”,这个命题在 m=0 时不成立,结论④不 正确. 答案:①②③ 17.【解析】(1)当 a=1 时,A={x|-3<x<5}, B={x|x<-1 或 x>5}. 所以 A∩B={x|-3<x<-1}. (2)因为 A={x|a-4<x<a+4}, B={x|x<-1 或 x>5},且 A∪B=R, 所以 ?
?a ? 4 ? ?1, ?1<a<3. ?a ? 4 ? 5

所以实数 a 的取值范围是(1,3). 18.【解析】命题 p 为真时,实数 m 满足Δ1=m2-4>0 且-m<0,解得 m>2;命题 q 为真 时,实数 m 满足Δ2=16(m-2)2-16<0,解得 1<m<3. p∨q 为真命题、p∧q 为假命题,等价于 p 真且 q 假或者 p 假且 q 真. 若 p 真且 q 假,则实数 m 满足 m>2 且 m≤1 或 m≥3,解得 m≥3; 若 p 假且 q 真,则实数 m 满足 m≤2 且 1<m<3, 解得 1<m≤2. 综上可知,所求 m 的取值范围是(1,2]∪[3,+≦).

19.【解析】(1)A={x|2<x<3}, 当 a= 时,B= ?UB= (?UB)∩A= , . .

(2)由若 q 是 p 的必要条件知 p? q,可知 A? B. 由 a2+2>a 知 B={x|a<x<a 2+2}. 所以 解得 a≤-1 或 1≤a≤2.

即 a∈(-≦,-1]∪[1,2]. 20.【解析】(1)由 当 a=1 时,由 x2-4x+3<0,得 p:1<x<3, 因为 p∧q 为真,所以 p 真,q 真. 由 得 2<x<3, 得 q:2<x≤3.

所以实数 x 的取值范围是(2,3). (2)由 x2-4ax+3a2<0, 得(x-a)(x-3a)<0. ①当 a>0 时,p:a<x<3a, 由题意,得(2,3] 所以 (a,3a),

即 1<a≤2;

②当 a<0 时,p:3a<x<a, 由题意,得(2,3] (3a,a),

所以

无解.

综上,可得 a∈(1,2]. 21.【证明】充分性:当 a=0 时,方程为 2x+1=0, 其根为 x=- ,方程只有一负根. 当 a=1 时,方程为 x2+2x+1=0,其根为 x=-1,方程只有一负根. 当 a<0 时,Δ=4(1-a)>0,方程有两个不相等的根, 且 <0,方程有一正一负两个根. 必要性:若方程 ax2+2x+1=0 有且只有一负根. 当 a=0 时,符合条件. 当 a≠0 时,方程 ax2+2x+1=0 有实根, 则Δ=4-4a≥0,所以 a≤1, 当 a=1 时,方程有一负根 x=-1. 当 a<1 时,若方程有且只有一负根, 则 所以 a<0.

综上,方程 ax2+2x+1=0 有且只有一个负根的充要条件为 a≤0 或 a=1. 22. 【 解 析 】 记 p 的 取 值 范 围 是 I, 原 题 可 作 为 命 题 : 若 p ∈ I, 则 函 数 f(x)=4x 2-2(p-2)x-2p2-p+1 在区间[-1,1]上至少存在一个实数 x0,使 f(x0)>0. 若函数 f(x)=4x2-2(p-2)x-2p2-p+1 在区间[-1,1]上对任意的 x 都有 f(x)≤0,则 p∈? I. 由对任意的 x 都有 f(x)≤0, 结合图形知 ?

? p≤-3 或 p≥ , 即? I= 所以 I= , ,故所求 p 的取值范围为 .

【解析】由 y2-(a2+a+1)y+a(a 2+1)>0,得 (y-a)(y-a2-1)>0, 由于 a2+1-a= + >0,

所以 A=(-≦,a)∪(a2+1,+≦). 集合 B 为函数 y= x2-x+ ,0≤x≤3 的值域,二次函数 y= x2-x+ 的对称轴方程为 x=1,故在[0,3]上,当 x=1 时函数值最小,当 x=3 时函数值最大,故可得 B=[2,4]. (1)若 A∩B=?,则只要 a2+1≥4 且 a≤2 即可,解得 a≤即实数 a 的取值范围是(-≦,]∪[ ,2]. 或 ≤a≤2,

(2)不等式 x2+1≥ax 对任意 x 恒成立的充要条件是 a2-4≤0,解得-2≤a≤2,最小 a 值为-2,此时 A=(-≦,-2)∪(5,+≦),?RA=[-2,5],所以(?RA)∩B=[2,4].



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