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无锡市2014年秋学期高三期中考试试卷



无锡市 2014 年秋学期高三期中考试试卷

数 学
命题单位:宜兴市教研室 制卷单位:无锡市教育科学研究院 一.填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分.请把答案填写 在答题卡相应位 置上 . ) ...... .. 1.已知复数 z ? i(1 ? i)(i 为虚数单位) ,则复数 z 在复平面上对应的点位于 第 ▲ 象限.

2.已知全集 U ? ?1,3,5,7,9? , A ? ?1,5,9?, B ? ?3,5,9? ,则 ?U ( A 子集个数为 ▲ . 3.若 f ( x ) 是定义在 R 上的函数,则“ f (0) ? 0 ”是“函数 f ( x ) 为奇函 数”的 ▲ 条件(从“充分不必要” 、 “必要不 充分” 、 “充要” 、 “既不充分也不必要” 中选一个) . 4.某班要选 1 名学生做代表,每个学生当选是 等可能的,若“选出代表是男生”的概率是“选 出代表是女生”的概率的

B) 的

2 ,则这个班的女生 3

人数占全班人数的百分比为 ▲ . 5 .执行如图所示的程序框图 , 若输出 s 的值为 11,则输入自然数 n 的值是 ▲ . 6. 直线 x ? a 和函数 y ? x ? x ?1 的图象公共
2

点的个数为 ▲ . 7 .已知向 量 e1 , e2 是两个 不共线的 向量, 若

a ? 2e1 ? e2 与 b ? e1 ? ?e2 共 线 , 则 ? ?
▲ . 8.若一直角三角形的三边长构成公差为 2 的等差数列,则该直角三角形的 周长为 ▲ .
高三期中考试数学试卷 第 1 页 (共 12 页)

x 的 图 象 向 左 平 移 ? (? ? 0 ) 个 单 位 , 可 得 到 函 数 9 . 将 函 数 y ? si n 2
y ? sin(2 x?

?
4

? 的最小值为 ▲ ) 的图象,则



10. 已知函数 f ( x) ? x2 ? ax ? 1 ? a 在区间 (0,1) 上有两个零点, 则实数 a 的 取值范围为 ▲ .

x ? , x ? 0, 2 ? ? x ? x ?1 11. 已知函数 f ( x) ? ? 则函数 f ( x ) 的值域为 ▲ . 3 x ? e ? , x ≤ 0, ? ? 4
? x ≥ 0, ? 12.若点 P( x, y) 满足约束条件 ? x ? 2 y ≤ a , 且点 P( x, y) 所形成区域的面 ? x ? y ≤ 2, ?
积为 12 ,则实数 a 的值为 ▲ .

1 sin(? x) 与函数 g ( x) ? x3 ? bx ? c 的定义域为 [0, 2] , 4 它们在同一点有相同的最小值,则 b ? c ? ▲ .
13.若函数 f ( x) ?
2 2 14.已知实数 y ? x ? 0 ,若以 x ? y , x ? y , ? x 为三边长能构成一个三

角形,则实数 ? 的范围为 ▲



二、解答题: (本大题共 6 小题,共 90 分.解答应写出文字说明,证明过程或演 算步骤. ) 15.已知 a ?

2, b ? 1, a 与 b 的夹角为 135 .

(1)求 (a ? b ) ? (2a ? b ) 的值; (2)若 k 为实数,求 a ? kb 的最小值.

高三期中考试数学试卷 第 2 页 (共 12 页)

16. 在正四面体 ABCD 中, 点 F 在 CD 上, 点 E 在 AD 上, 且 DF∶FC=DE∶ EA=2∶3. 证明: (1)EF∥平面 ABC; (2)直线 BD⊥直线 EF.

(a, b ? R) . 17. 已知函数 f ( x) ? 2 3a sin x cos x ? a sin 2 x ? a cos2 x ? b ,
(1)若 a ? 0 ,求函数 f ( x ) 的单调增区间; (2) 若 x ? [ ? , ] 时, 函数 f ( x ) 的最大值为 3, 最小值为 1 ? 3 , 求 a, b

? ?

4 4

的值.

高三期中考试数学试卷 第 3 页 (共 12 页)

18.在等差数列 ?an ? 中, a1 ? 3 ,其前 n 项和为 Sn ,等比数列 ?bn ? 的各项 均为正数, b1 ? 1 ,其前 n 项和为 Tn ,且 b2 ? S2 ? 11, 2S3 ? 9b3 . (1)求数列 ?an ? 和数列 ?bn ? 的通项; (2)问是否存在正整数 m, n, r ,使得 Tn ? am ? r ? bn 成立?如果存在,请 求出 m, n, r 的关系式;如果不存在,请说明理由.

19.如图,ABC 为一直角三角形草坪,其中 ?C ? 90 , BC ? 2 米, AB ? 4 米,为了重建草坪,设计师准备了两套方案:

方案二

方案一:扩大为一个直角三角形,其中斜边 DE 过点 B,且与 AC 平行,DF 过点 A,EF 过点 C; 方案二:扩大为一个等边三角形,其中 DE 过点 B,DF 过点 A,EF 过点 C.

高三期中考试数学试卷 第 4 页 (共 12 页)

(1)求方案一中三角形 DEF 面积 S1 的最小值; (2)求方案二中三角形 DEF 面积 S2 的最大值.

20.已知函数 f ( x) ? x ? ln x, g ( x) ? ax ?
3

1 2 x? . 2 3e

(1)求 f ( x ) 的单调增区间和最小值; (2) 若函数 y ? f ( x) 与函数 y ? g ( x) 在交点处存在公共切线, 求实数 a 的 值;
2 ( 3 ) 若 x ? (0, e ] 时 , 函 数 y ? f ( x) 的 图 象 恰 好 位 于 两 条 平 行 直 线

l1 : y ? kx;

l2 : y ? kx ? m 之间,当 l1 与 l2 间的距离最小时,求实数 m 的值.

高三期中考试数学试卷 第 5 页 (共 12 页)

无锡市 2014 年秋学期高三期中考试数学答案
一、填空题: (本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分. ) 1.一 2.2 3.必要不充分 4. 60% 5.4 7. ? 6.1

1 2

8.24

9.

? 8
1 4


10. (2 2 ? 2,1)

11. (?

3 1 , ] 4 3

12. a ? ?16

13. ?

14. 1 ? ? ? 2 ? 2

二、解答题: (本大题共 6 小题,共 90 分. ) 15 . : 因 为

(a ? b ) ? (2a ? b ) ? 2a 2 ? b 2 ? a ? b ???????????????? 3


? 4 ? 1 ? 2 ?1? (?
??6 分 (

2 )?2. 2

????????????????

2



a ? kb ? a 2 ? k 2b 2 ? 2ka ? b
???8 分

2

?????????????????

? k 2 ? 2k ? 2 ? (k ?1)2 ? 1 .???????????????????
???10 分 当
2

k ?1





a?

k

的 b









1,?????????????????????12 分 即

a ? kb











1. ??????????????????????14 分 16.证: (1)因为点 F 在 CD 上,点 E 在 AD 上,且 DF∶FC=DH∶HA=2∶ 3, ??1 分 所 以 EF ∥ AC, ?????????????????????????????? 3分
高三期中考试数学试卷 第 6 页 (共 12 页)

又 EF ? 平面 ABC, AC ? 平面 ABC, 所 以 EF ∥ 平 面 ABC.????????????????????????????6 分 (2)取 BD 的中点 M,连 AM,CM, 因 为 ABCD 为 正 四 面 体 , 所 以 AM ⊥ BD , CM ⊥ BD, ??????????????8 分 又 AM CM=M , 所 以 BD ⊥ 平 面 AMC, ??????????????????10 分 又 AC 平 面 AMC , 所 以 BD ⊥ ? AC, ????????????????????12 分 又 HF∥AC, 所 以 直 线 BD ⊥ 直 线 HF.??????????????????????????14 分 17.解: (1)因为 f ( x) ? 2 3a sin x cos x ? a sin 2 x ? a cos2 x ? b

? 3a sin 2x ? a cos 2x ? b
2分

????????????????

? 2a sin(2 x ? ) ? b . 6
4分 且

?

????????????????????

a?0







函 数

f ( x)







增 区





[?


?
6

? k? ,
2

?
3

? k? ], k ? Z . ??????6 分




x ? [?

? ?
4 4

,

时]



2x ?

?
6

2 ?[

2sin(2 x ? ) ? [?2, 3] , ??8 分 4
则当 a ? 0 时,函数 f ( x ) 的最大值为 3a ? b ,最小值为 ?2a ? b . 所 以

?

? 3

?

,, 3

?

]

? 3a ? b ? ? ? ? ??2a ? b ? ?

3 1



, 3



,

高三期中考试数学试卷 第 7 页 (共 12 页)

a ? 1, b ? 3 ? 3 .

?????????????10 分

当 a ? 0 时,函数 f ( x ) 的最大值为 ?2a ? b ,最小值为 3a ? b . 所 以

? ? 3a ? b ? ? ? ? ? ?2a ? b ?

1 3 ,

3



,



a ? ?1 b ? . , ?????????????? 1 12 分
综 上 ,

a ? 1, b ? 3 ? 3



a ? ?1, b ? 1 .?????????????????14 分
18.解:设等差数列 ?an ? 的公差为 d ,则

q ? 3 ? 3 ? d ? 11, ? ? 2 ?2(3 ? 3 ? d ? 3 ? 2d ) ? 9q ,
???2 分 解

??????????????????



d ? 3 q ? . ?????????????????????????,
4分 所 以
n?1

an ? 3n bn ?
6分 (



??????????????????????

,

2


n ? 2 ? ,
n ?1





Tn ? 1 ? ?
n

?

n?1

??????????????? 7分 2 2

1

所以有 2 ? 1 ? 3m ? r ? 2 若r ≥ 2, 则r ?2
n ?1

.???(*)

?2 n ? 1 , (*) 不成立, 所以 r ? 1 ,m ?

2n ?1 ? 1 . ??? 3

9分 m ?0, 若 n 为奇数, ①当 n ? 1 时, 不成立, ????????????? 10 分
高三期中考试数学试卷 第 8 页 (共 12 页)





n ≥1







n?2

, t ? 1N* , t ?



m?


2n?1 ? 1 22t ? 1 4t ? 1 ? ? ? Z ??12 分 3 3 3

n
2n?1 ? 3










t?

n ? 2t , t ? N*
21 ? 4 ? ,
t?


1 1 ?



m?

1

?

2t ?

2 ? 3

1

?

1?

2 3

? 3

3


?

4

1

1





4t ?1 ? 1 ?Z 3





m ? Z .????????????????????14 分
综上所述,只有当 n 为大于 1 的奇数时, r ? 1, m ? 当 在.

2n ?1 ? 1 . 3


为 偶 数 时 , 不 ??????????????????????16 分

n

19.解: (1)在方案一:在三角形 AFC 中,设 ?ACF ? ? , ? ? (0,90 ) , 则

AF ? 2 3sin ? , FC ? 2 3 cos ? ,
????2 分 因为 DE∥AC,所以 ?E ? ? , EC ? 且

????????????

2 , sin ?
, 即

FA FC ? AD CE

2 AD


?

?

? 3
2 s ?



?????????????4 分

s

i

n

i

n


AD ?

2 c ?



??????????????????????

o

??6 分 所
高三期中考试数学试卷 第 9 页 (共 12 页)



S1 ?


1 2 2 4 (2 3 sin ? ? )(2 3 cos ? ? ) ? 3(sin 2? ? )?4 3 2 cos ? sin ? 3sin 2?
s i ?n? 2 , 即 1 ? ? 45
时 ,

所 以 当

S1 有 最 小 值

7 ? 4 3 . ??????????8 分
( 2 )在方案二:在三角形 DBA 中,设 ?DBA ? ? , ? ? (0,120 ) ,则

DB AB ? , sin(120? ? ) sin 60
解 得

DB ?

8 s 3

?? ,

??????????????????

i

??10 分 三 角 形 CBE 中 , 有

E s ? i

B ?

n

C B , 解 s i n



6

0

EB ?


4 s ? i ,n ????????12 分 3
等 边 三 角 形 的 边 长 为

8 4 4 sin(120 ? ? ) ? sin ? ? (2sin ? ? 3 cos ? ) ,?14 分 3 3 3
所 以 边 长 的 最 大 值 为

4 7 , 所 以 面 积 S2 的 最 大 值 为 3

3 4 7 2 28 3 .??16 分 ?( ) ? 4 3 3
20.解(1)因为 f ?( x) ? ln x ? 1 ,由 f ?( x) ? 0 ,得 x ? 所 以

1 , e
区 间 为

f ( x)









高三期中考试数学试卷 第 10 页 (共 12 页)

1 ( , ??) ,????????????????????2 分 e 1 1 又当 x ? (0, ) 时, f ?( x) ? 0 ,则 f ( x ) 在 (0, ) 上单调减, e e 1 1 当 x ? ( , ??) 时, f ?( x) ? 0 ,则 f ( x ) 在 ( , ??) 上单调增, e e
所 以

f ( x)











1 1 f ( ) ? ? . ???????????????????5 分 e e 1 2 (2)因为 f ?( x) ? ln x ? 1 , g ?( x) ? 3ax ? , 2
设 公 切 点 处 的 横 坐 标 为 x , 则 与 f ( x) 相 切 的 直 线 方 程 为 :

y ? (ln x ? 1) x ? x ,
与 g ( x) 相切的直线方程为: y ? (3ax ? ) x ? 2ax ?
2 3

1 2

2 , 3e




1 ? l x ? ? ax 2 ? ? ? 2 ? 2 ? ? x ? ?2ax 3 ? , ? 3e ?
?8 分 解 之 得

n
?????????????????????

x ln x ? ?

1 1 , 由 ( 1 ) 知 x ? e e

, 所 以

a?

e2 . ??????????10 分 6

2 2 (3)若直线 l1 过 (e , 2e ) ,则 k ? 2 ,此时有 ln x ? 1 ? 2 ( x 为切点处的

横坐标) , 所 以

x ?e



m ? ?e , ????????????????????????11 分
当 k ? 2 时,有 l2 : y ? (ln x ? 1) x ? x , l1 : y ? (ln x ? 1) x ,且 x ? 2 ,
高三期中考试数学试卷 第 11 页 (共 12 页)











线









d?


x 1 ? (ln x ? 1)2

,???????????????12 分

h( x) ? x ln x ? (ln x ? 1) x ? x







h?( x) ? ln x ? 1 ? ln x ?1 ? ln x ? ln x ,
所以当 x ? x 时, h?( x) ? 0 ,则 h( x) 在 (0, x ) 上单调减; 当 x ? x 时, h?( x) ? 0 ,则 h( x) 在 ( x , e2 ) 上单调增, 所 以 h ( x ) 有 最 小 值 h( x ) ? 0 , 即 函 数 f ( x ) 的 图 象 均 在 l 2 的 上 方,??????13 分 令 t ( x) ?

x2 ,则 ln 2 x ? 2 ln x ? 2

t ?( x) ?
, 所

2 x ln 2 x ? 4 x ln x ? 4 x ? 2 x ln x ? 2 x 2 x ln 2 x ? 2 x ln x ? 2 x ? ?0 (ln 2 x ? 2ln x ? 2)2 (ln 2 x ? 2ln x ? 2)2





x?x





t(


?


,????????????????????? 15 分 x) t( x) 当

d









x ?e



m ? ?e .???????????????????16 分

高三期中考试数学试卷 第 12 页 (共 12 页)



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