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上海市崇明中学2012学年度高一上学期数学期中考试



上海市崇明中学 2012—2013 学年度上学期期中考试

高一数学试题
(满分 100 分,答卷时间 90 分钟) 一.填空题: (共 12 小题,每小题 3 分) 1.已知集合 A ? (x,y) y=x+3 , B ? (x,y) y=3x-1 ,则 A∩ B=________。 2.写出 x ? 1 的一个必要非充分条件__________。

3.不等式

?

?

?

?

1 (用区间表示) ? 1 的解集为_____________。 x

4.命题“已知 x, y ? R ,如果 x ? y ? 2 ,那么 x ? 0 或 y ? 2 。”是_____命题。 (填“真”或“假”) 5.函数 f ( x ) ?
2x ? 3 的定义域是____________(用区间表示) x ?1

2 6.若集合 A ? x ? a ? 1? x ? 3 x ? 2 ? 0 有且仅有两个子集,则 a =_________。

?

?

7.若不等式 ax ? 2 ? 6 的解集为(-1,2) ,则实数 a ? _________。 8.已知 f ? x ? = ?

? x 2 ? 1,

x?0 ,则 f ?1? ? ? f ( x ? 2), x ? 0



9.Δ 和 ? 各代表一个自然数,且满足 值时,Δ= ,? =

1 9 + =1,则当这两个自然数的和取最小 ? ?


10.已知集合 A ? ??1, 2 , B ? x mx ? 1 ? 0 ,若 A∪ B=B,则实数 m 的取值范围 ? 是_________。 11.规定 ? 与 ? 是两个运算符号,其运算法则如下:对任意实数 a , b 有:

?

?

a ? b ? ab, a ? b ? b(a2 ? b2 ? 1) ,若 ?2 ? a ? b ? 2,a,b ? Z 用列举法表示集合

? a ?b? A ? ? x x ? 2(a ? b) ? ? 。则 A = b ? ?
2



2 2 12 . 如 果 关 于 x 的 三 个 方 程 x ? 4ax ? 4a ? 3 ? 0 , x ? ? a ?1? x ? a ? 0 ,

x 2 ? 2ax ? 2a ? 0 中,
有 且 只 有 一 个 方 程 有 实 数 解 , 则 实 数 a 的 取 值 范 围 是 ______________ _。

二. 选择题: (共 4 小题,每题 3 分)

-1-

13.与函数 y ? x 有相同的图象的函数是……………………………………………………( (A) y ? ( x )2 (B) y ?


3

x2

(C) y ?

x2 x

(D) y ? )

x3

14.下列命题中的真命题是……………………………………………………………………( (A)若 a ? b, c ? d , 则 ac ? bd (C)若 a ? b, 则 a ? b
2 2

(B)若 a ? b, 则 a ? b
2 2

2

(D)若 a ? b , 则 a ? b

2

15. 直线 y ? ax ? 2a ? 1 , ? 1 ? x ? 1 时, y 的值有正有负, 当 则实数 a 的取值范围是 ( (A) a ?



1 3

(B) a ?

1 或a ? 1 3

(C) a ? 1

(D)

1 ? a ?1 3

16.设实数集 R 为全集,集合 P ? ?x | f ( x) ? 0? Q ? ?x | g ( x) ? 0?, H ? ?x | h( x) ? 0?, ,

则方程

f 2 ( x) ? g 2 ( x) ? 0 的解集是……………………………………………………( h( x )
(B) P ? Q (C) P ? Q ? H



(A) P ? Q ? CR H

(D) P ? Q ? H

三.解答题: (共 5 小题,本大题要有必要的过程) 17. (本题 8 分)已知集合 A ? x x ? a ? 1 , B ? x x 2 ? 5 x ? 4 ? 0 ,且 A ? B ? ? , 求实数 a 的取值范围。

?

?

?

?

18. (本题 8 分)已知 a 为非负实数,解关于 x 的不等式 ax ? (a ? 1) x ? 1 ? 0 。
2

19. (本题 10 分)已知直角梯形 ABCD 如图所示, CD ? 2, AB ? 4, AD ? 2 线段 AB 上有一点 P , 过点 P 作 AB 的垂线 l , 当点 P 从点 A 运动到点 B 时, AP ? x , 记

l 截直角梯形的左边部分面积为 y 。
(1)试写出 y 关于 x 的函数关系式 y ? f ? x ? ; (2)作出函数 y ? f ? x ? 的草图。 A
-2-

D

C

P

B

20. (本题 14 分)已知 f (x ) 是二次函数,对任意 x ? R 都满足 f ( x ? 1) ? f ( x) ? ?2 x ? 1 , 且 f (0) ? 1 。 (1)求 f (x ) 的解析式; (2)如果函数 y ? f ( x) 的图像恒在 y ? ? x ? m 的图像下方,求实数 m 的取值范围; (3)如果 m?? ?1,1? 时,不等式 f ( x) ? mx ? 1 恒成立,求实数 x 的取值范围。

21. (本题 12 分)先阅读下列不等式的证法,再解决后面的问题: 已知 a1 , a2 ? R, a1 ? a2 ? 1,求证: a1 ? a2 ?
2 2
2 2

1 。 2

证明:构造函数 f ? x ? ? ? x ? a1 ? ? ? x ? a2 ? ,即

f ? x ? ? 2x2 ? 2 ? a1 ? a 2? x ? a 21 a ?

2 2

2 2 因为对一切 x ? R ,恒有 f ( x ) ? 0成立,所以 ? ? 4 ? 8(a1 ? a2 ) ? 0 ,

从而证得 a1 ? a2 ?
2 2

1 。 2

(1)若 a1 , a2 , ……, an ? R , a1 ? a2 ? ……+ an =1,请写出上述结论的推广形式; (2)参考上述证法,对你推广的结论加以证明。

参考答案
-3-

(满分 100 分,90 分钟完成) 一.填空题: (共 12 小题,每小题 3 分) 1.已知集合 A={(x,y)|y=x+3},B={(x,y)|y=3x-1},则 A∩ B=________。{(2,5)} 2.写出 x>1 的一个必要非充分条件__________。x>0(答案不唯一) 3.不等式

1 (用区间表示) (-∞,0)∪ *1,+∞) ? 1 的解集为_____________。 x

4.命题“已知 x、y∈ R,如果 x+y≠2,那么 x≠0 或 y≠2.”是_____命题。 (填 “真”或“假”)真 5. 函数 f ( x ) ?
2x ? 3 ? 3 ? 的定义域是____________(用区间表示) ? ? , ?1? ? ? ?1, ?? ? x ?1 ? 2 ?

6. 集合 A={x|(a-1)x 2+3x-2=0}有且仅有两个子集,则 a=_________。0 或 ? 7. 若不等式|ax+2|<6 的解集为(-1,2) ,则实数 a 等于_________。 ?4 8. 已知 f ? x ? = ?

1 8

? x 2 ? 1,

x?0 ,则 f ?1? ? ? f ( x ? 2), x ? 0

。 0

9. Δ 和 ? 各代表一个自然数,且满足

1 9 + =1,则当这两个自然数的和取最小 ? ?

值时,Δ=_______, ? =_______. 4 和 12 10.已知集合 A={-1,2},B={x|mx+1>0},若 A∪ B=B,则实数 m 的取值范围 是_________。( ? ,1) 11.规定 ? 与 ? 是两个运算符号,其运算法则如下:对任意实数 a , b 有:

1 2

a ? b ? ab, a ? b ? b(a2 ? b2 ? 1)若 ? 2 ? a ? b ? 2,a,b ? Z ,用列举法表示集合

? a ?b? A ? ?x x ? 2 a ? b ? ( ) ? 。则 A = b ? ?

。 ?1, 2?

12.如果关于 x 的三个方程 x2+4ax-4a+3=0,x 2+(a-1)x+a 2=0,x 2+2ax-2a=0 中, 有且只有一个方程有实数解,则实数 a 的取值范围是_______________。 (-2, ? ]∪ [-1,0)∪ , (

3 2

1 1 ) 3 2

二.选择题: (共 4 小题,每题 3 分) 13.与函数 y ? x 有相同的图象的函数是……………………………………………………( D )

-4-

(A) y ? ( x )2

(B) y ?

x

2

(C) y ?

x2 x

(D) y ?

3

x3

14.下列命题中的真命题是……………………………………………………………………( B ) (A)若 a ? b, c ? d , 则 ac ? bd (C)若 a ? b, 则 a ? b
2 2

(B)若 a ? b , 则 a ? b
2 2

2

(D)若 a ? b, 则 a ? b

2

15.直线 y ? ax ? 2a ? 1 ,当 ? 1 ? x ? 1 时, y 的值有正有负,则实数 a 的取值范围是 ( D ) (A) a ?

1 3

(B) a ?

1 或a ? 1 3

(C) a ? 1

(D)

1 ? a ?1 3

16.设实数集 R 为全集,集合 P ? ?x | f ( x) ? 0? Q ? ?x | g ( x) ? 0?, H ? ?x | h( x) ? 0?, ,

f 2 ( x) ? g 2 ( x) 则方程 ? 0 的解集是……………………………………………………( A ) h( x )
(A) P ? Q ? CR H (B) P ? Q (C) P ? Q ? H (D) P ? Q ? H

三.解答题: (共 5 小题,本大题要有必要的过程) 17.(本题 8 分)已知集合 A ? x x ? a ? 1 , B ? x x 2 ? 5 x ? 4 ? 0 ,且 A ? B ? ? , 求实数 a 的取值范围。 解:A=[a-1,a+1] B=(-∞,1)∪ (4,+∞) ……3 分 ……3 分 a-1≥1 且 a+1≤4, ∴ a∈ [2,3] ……2 分

?

?

?

?

A ∵ ? B ? ? ,∴

18.(本题 8 分)已知 a 为非负实数,解关于 x 的不等式 ax 2-(a+1)x+1<0. 解: (1)a=0 时,原不等式即为-x+1<0,∴ 原不等式解集为(1,+∞) ;…2 分 (2)a≠0 时,不等式对应方程的两根为 1 和

1 。 a 1 1 当 0<a<1 时, >1,原不等式解集为(1, );……2 分 a a 1 当 a=1 时, =1, ,原不等式解集为 Ф; ……2 分 a 1 1 当 a>1 时, <1 原不等式解集为( ,1) ……2 分 a a

19. (本题满分 10 分)已知直角梯形 ABCD 如图所示, CD ? 2, AB ? 4, AD ? 2 线段 AB 上有一点 P , 过点 P 作 AB 的垂线 l , 当点 P 从点 A 运动到点 B 时, AP ? x , 记
-5-

l 截直角梯形的左边部分面积为 y 。
(1)试写出 y 关于 x 的函数关系式 y ? f ? x ? ; (2)作出函数 y ? f ? x ? 的草图。 解: (1)设 AP ? x ,则 0 ? x ? 4 ( x 对端点 0,4 是否取到不作严格要求) 当 0 ? x ? 2 时, y ? 2 x ………………………….2 分 当 2 ? x ? 4 时, y ? 6 ? A P B D C

1 (4 ? x) 2 ……………..2 分 2

,0 ? x ? 2 ?2 x ? ……………2 分 ?y?? 1 2 ?? 2 ( x ? 4) ? 6 , 2 ? x ? 4 ?
(2)图略(关键点的坐标不标注,酌情扣分。 )……………………………….4 分 20. (本题 14 分)已知 f (x ) 是二次函数,对任意 x ? R 都满足 f ( x ? 1) ? f ( x) ? ?2 x ? 1 , 且 f (0) ? 1 。 (1)求 f (x ) 的解析式; (2)如果函数 y ? f ( x) 的图像恒在 y ? ? x ? m 的图像下方,求实数 m 的取值范围; (3)如果 m?? ?1,1? 时,不等式 f ( x) ? mx ? 1 恒成立,求实数 x 的取值范围。 解: (1)设 f ( x) ? ax ? bx ? c (a ? 0) ,……………………………………………..1 分
2

? f (0) ? 1 ? c ? 1 ,………………………………………………………….2 分
又 f ( x ? 1) ? f ( x) ? 2ax ? a ? b ? ?2 x ? 1 , ? a ? ?1, b ? 2 ,…………….2 分 故 f ( x) ? ? x ? 2 x ? 1 ………………………………………………………….1 分
2

(2) 由题意 ? x ? 2 x ? 1? ? x ? m 在 x ? R 上恒成立, m ? ? x ? 3x ? 1 在 x ? R 上恒成立。 即
2 2 2 令 g ( x) ? ? x ? 3x ? 1 易知 g ( x) max ? g ( ) ?

3 2

13 13 ,所以 m ? 。………4 分 4 4

说明:此题若直接用 ? 做同样得满分。
2 (3)因为 m?? ?1,1? 时,不等式 f ( x) ? mx ? 1 恒成立,即 xm ? ( x ? 2x) ? 0 在 m?? ?1,1?

上恒成立。

-6-

令 g (m) ? xm ? ( x2 ? 2x) ,由 ?

? g (?1) ? 0 ? 0 ? m ? 1………………………….4 分 ? g (1) ? 0

21. (本题 12 分)先阅读下列不等式的证法,再解决后面的问题: 已知 a 1、a 2∈ R,a1+a 2=1,求证:a 12+a 22≥ 证明:构造函数 f(x)=(x-a 1) 2+(x-a 2) 2, f(x)=2x 2-2(a 1+a 2)x+a 12+a 22 因为对一切 x∈ R,恒有 f(x)≥0 成立,所以 Δ=4-8(a12+a 2 2)≤0, 从而证得 a 12+a 22≥

1 . 2

1 . 2

(1)若 a 1、a 2、…、a n∈ R,a 1+a 2+…+a n=1,请写出上述结论的推广形式; (2)参考上述解法,对你推广的结论加以证明。 解: (1)若 a 1、a 2、…、a n∈ R,a 1+a 2+…+a n=1, 求证:a12+a 22+…+a n2≥

1 。 n

……4 分

(2)证明:构造函数 f(x)=(x-a 1) 2+(x-a 2) 2+…+ (x-a n) 2, ……………2 分 f(x)=nx 2-2(a 1+a 2+…+a n)x+a 12+a 2 2+…+a n2 因为对一切 x∈ R,恒有 f(x)≥0 成立,所以 Δ=4-4n(a 12+a 22+…+a n2)≤0, 从而证得 a12+a22+…+an2≥

1 . n

……6 分

-7-



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