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公式法解一元二次方程PPT课件定稿



人教版数学九年级上册

复习与回顾
? 1.一元二次方程的概念 ? 等号两边都是整式,只含有一个未知数, 并且未知数的最高次数是2(二次)的方程, 叫做一元二次方程. ? 它的一般形式:ax2+bx+c=0(a≠0) ? 判断一个方程是不是一元二次方程时应抓 住三点:①只含有一个未知数;②未知数 的最高次数是2;③方程是整式方程(即含 有未知数的式

子是整式).三者必须同时满 足,否则就不是一元二次方程. (只有整式方程才
有次数,分式方程和无理方程只有元。)

2.解一元二次方程的方法
? 基本思想:将次转换 ? (1)直接开平方法(理论依据:平方根的定义) ? x2=a (a≥0) ? (2)配方法(理论依据:完全平方公式) ? (x+h)2=k (k≥0)

.用配方法解下列方程 2x? -12x+5=0

4.用配方解一元二次方程的步骤 是什么?

归纳

配方法的步骤

1、若二次项系数不是1,把二次项系数 化为1(方程两边都除以二次项系数); 2、把常数项移到方程右边; 3、在方程的两边各加上一次项系数一 半的平方,使左边成为完全平方; 4、如果方程的右边整理后是非负数, 用直接开平方法解之,如果右边是个 负数,则指出原方程无实根。

公式法是这样生产的
你能用配方法解方程
2

ax2+bx+c=0(a≠0)吗?

b c ?1.化1:把二次项系数化为1; 解 : x ? x ? ? 0. a a b c 2 ?2.移项:把常数项移到方程的右边; x ? x?? . a a 2 2 b ? b ? ? b ? c ?3.配方:方程两边都加上一次项 2 x ? x?? ? ? ? ? ? . a ? 2a ? ? 2a ? a 系数绝对值一半的平方; 2 b ? b 2 ? 4ac ? ?4.变形:方程左分解因式, . ?x? ? ? 2 2a ? 4a ? 右边合并同类; 当b 2 ? 4ac ? 0时,
b b ? 4ac x? ?? . 2a 2a 2 ? b ? b ? 4ac 2 ?x ? . b ? 4ac ? 0 .
2

?

?

?5.开方:根据平方根意义, 方程两边开平方; ?6.求解:解一元一次方程; ?7.定解:写出原方程的解.

? 一般地,对于一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0) 2 当b ? 4ac ? 0时, 它的根是 :
? b ? b ? 4ac 2 ?x ? . b ? 4ac ? 0 . 2a
2

?

?

当 时,方程 有实数根 吗

b 2 ? 4ac ? 0

?上面这个式子称为一元二次方程的 求根公式. ?用求根公式解一元二次方程的方法 称为公式法

学习是件很愉快的事

公式法

? 例1、用公式法解方程 5x2-4x-12=0 解 : a ? 5, b ? ?4, c ? ?12 ? ?1.变形:化已知 2 方程为一般形式 2 b ? 4ac ? ?? 4? ? 4 ? 5 ? (?12) ? 256 ? 0. ?2.确定系数: ? b ? b 2 ? 4ac 用a,b,c写出各 ?x ? 2a 项系数; ?3.计算: b2? ?? 4 ? ? 256 4 ? 16 ? ? . 4ac的值; 2?5 10 ?4.代入:把有 2?8 关数值代入公 ? 5 式计算; 6 ?5.定根:写出 ? x1 ? ? ; x 2 ? 2. 原方程的根. 5

求根公式 : X=

(a≠0, b2-4ac≥0)
例2.用公式法解方程2x2+5x-3=0 解: a=2 b=5 c= -3

∴ b2-4ac=52-4×2×(-3)=49

∴x= = 即 x1= - 3 x2=

=

求根公式 : X= (a≠0, b2-4ac≥0)

练习:用公式法解方程

2+x-6=0 2x

求根公式 : X=

(a≠0, b2-4ac≥0)

例3:用公式法解方 程x2+4x=2 解:移项,得 x2+4x-2=0
a= 1 ,b= 4 ,c = -2 . = x= . 42-4×1×(-2) 24
? 4 ? 24 ? 4 ? 2 6 = 2 ?1 = 2.

这里的a、b、 c的值是什么?

b2-4ac=



x1= ? 2 ?

, 6

x 2= ? 2 ? 6 .

求根公式 : X=
(a≠0, b2-4ac≥0)

用公式法解一元二次方程的一般步骤: 2、求出b2-4ac的值。
3、代入求根公式 : X=
(a≠0, b2-4ac≥0)

1、把方程化成一般形式,并写出a,b,c的值。

4、写出方程的解: x1=?, x2=?

练习:
用公式法解下列方程:

1、x2 +2x =5

2、 6t2 -5 =13t

例4

解方程:

x ? 3 ? 2 3x
2
2

解: 原方程化为: x ?
2

? x1 ? x2 ? 0
结论:当 相等的实数根.

? b ? 4ac ? ?? 2 3? ? 4 ?1 ? 3 ? 0 ? ?? 2 3 ? ? 0 2 3 ?x ? ? ? 3 2 ?1 2
b 2 ? 4ac ? 0
时,一元二次方程有两个

?a ? 1, b ? ?2 23, c ? 3

? 2 3x ? 3 ? 0



用公式法解方程:
x2 – x =0

例 用公式法解方程:
x2 +3 = 2 解:移项,得 x2 -2 x+3 = 0 ,c=3 )2-4×1×3=0 = = x

解:方程两边同乘以 3
得 2 x2 -3x-2=0 a=2,b= -3,c= -2. ∴b2-4ac=(-3) 2-4×2×(-2)=25. ∴x= = 即 x1=2, x2 = =

a=1,b=-2 b2-4ac=(-2 ∴x= x1 = x 2 =

一元二次方程的根的情况

ax ? bx ? c ? 0 (a ? 0) (1)当 b 2 ? 4ac ? 0 时,有两个不等的
2

实数根。 2 2 ?b ? b ? 4ac ?b ? b ? 4ac x1 ? , x2 ? ; 2a 2a (2)当b 2 ? 4ac ? 0 时,有两个相等的实数根。 ?b x1 ? x 2 ? ; 2a (3)当 b 2 ? 4ac ? 0 时,没有实数根。

用公式法解一元二次方程的

小结

一般步骤:

由配方法解一般的一元二 1、把方程化成一般形式, 次方程 ax2+bx+c=0 并写出a,b,c的值。 (a≠0) 若 b2-4ac≥0 2、求出b2-4ac的值。 得 3、代入求根公式 :
求根公式 : X=
X=

(a≠0, b2-4ac≥0) 4、写出方程的解: x1=?, x2=?

独立 作业

知识的升华

祝你成功!

思考题: 1、关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)。 当 a,b,c 满足什么条件时,方程的两根为 互为相反数?

2、m取什么值时,方程 x2+(2m+1)x+m2-4=0
有两个相等的实数解

想一想:

关于一元二次方程 ax ? bx ? c ? 0 a ? a,b,c满足什么条件时,方程的两根互
2

?

0? ,当

为相反数?

一元二次方程 解:
x1 ? ?b?

ax 2 ? bx ? c ? 0 ?a ? 0 ? 的解为:

b 2 ? 4ac ? b ? b 2 ? 4ac , x2 ? 2a 2a

? x1 ? ? x2
? b ? b 2 ? 4ac b ? b 2 ? 4ac ? ? 2a 2a b ?b ? ? 2a 2a

?b ? 0

提高练习 已知方程2X? +7X+c=0,方程的根为一个实数, 求c和x的值.

解:

? a ? 2, b ? 7, c ? c
2 2

又 ? b ? 4ac ? 7 ? 4 ? 2 ? c ? 0
49 ?8c ? 49,即c ? 8 b 7 7 ? x1 ? x2 ? ? ? ? ?? 2a 2?2 4

五、小结
用公式法解一元二次方程的关键是解题步骤:

1.先写出a,b,c 2.再求出

b ? 4ac
2

3.最后代入公式
当 当

b 2 ? 4ac ? 0 b 2 ? 4ac ? 0

时,有两个实数根 时,方程无实数 解



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