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因式分解常用方法及练习



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1、用提公因式法把多项式进行因式分解
【知识精读】 如果多项式的各项有公因式, 根据乘法分配律的逆运算, 可以把这个公因式提到括号外 面,将多项式写成因式乘积的形式。 提公因式法是因式分解的最基本也是最常用的方法。 它的理论依据就是乘法分配律。 多 项式的公因式的确定方法是: (1)当多项式有相同字母时

,取相同字母的最低次幂。 (2)系数和各项系数的最大公约数,公因式可以是数、单项式,也可以是多项式。 下面我们通过例题进一步学习用提公因式法因式分解 【分类解析】 1. 把下列各式因式分解 (1) ?a x
2 m? 2

? abx m?1 ? acx m ? ax m?3
3 2 2

(2) a (a ? b) ? 2a (b ? a ) ? 2ab(b ? a ) 分析:(1)若多项式的第一项系数是负数,一般要提出“-”号,使括号内的第一项 系数是正数,在提出“-”号后,多项式的各项都要变号。 解: ?a x
2 m? 2

? abx m?1 ? acx m ? ax m?3 ? ?ax m (ax 2 ? bx ? c ? x 3 )

(2)有时将因式经过符号变换或将字母重新排列后可化为公因式,如:当 n 为自然数 时, (a ? b) 变换。 解: a (a ? b) ? 2a (b ? a ) ? 2ab(b ? a )
3 2 2 2n

? (b ? a ) 2 n ;(a ? b) 2 n ?1 ? ?(b ? a ) 2 n ?1 ,是在因式分解过程中常用的因式

? a(a ? b) 3 ? 2a 2 (a ? b) 2 ? 2ab(a ? b) ? a(a ? b)[( a ? b) 2 ? 2a(a ? b) ? 2b] ? a(a ? b)(3a 2 ? 4ab ? b 2 ? 2b)

2. 利用提公因式法简化计算过程 例:计算 123 ?

987 987 987 987 ? 268 ? ? 456 ? ? 521 ? 1368 1368 1368 1368

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分析:算式中每一项都含有 解:原式 ?

987 ,可以把它看成公因式提取出来,再算出结果。 1368

987 ? (123 ? 268 ? 456 ? 521) 1368 987 ? ? 1368 ? 987 1368

5、中考点拨: 例 1。因式分解 3x( x ? 2) ? (2 ? x) 解: 3x( x ? 2) ? (2 ? x)

? 3x ( x ? 2) ? ( x ? 2) ? ( x ? 2)(3x ? 1)
说明:因式分解时,应先观察有没有公因式,若没有,看是否能通过变形转换得到。 例 2.分解因式: 4q (1 ? p) ? 2( p ? 1)
3 2

解: 4q (1 ? p) ? 2( p ? 1)
3

2

? 4q (1 ? p) 3 ? 2(1 ? p) 2 ? 2(1 ? p) 2 [2q (1 ? p) ? 1] ? 2(1 ? p) 2 (2q ? 2 pq ? 1)
说明:在用提公因式法分解因式前,必须对原式进行变形得到公因式,同时一定要注意 符号,提取公因式后,剩下的因式应注意化简。

【实战模拟】 1. 分解因式: (1) ?4m n ? 12m n ? 2mn
2 3 3 2

(2) a x

2

n?2

? abx n?1 ? acx n ? adx n?1 (n 为正整数)
3 2 2 2

(3) a (a ? b) ? 2a (b ? a ) ? 2ab(b ? a ) 2. 计算: ( ?2) A. 2
100
11

? ( ?2) 10 的结果是(
B. ?2
10

) C. ?2 D. ?1

3. 已知 x、y 都是正整数,且 x( x ? y) ? y( y ? x) ? 12 ,求 x、y。

2、运用公式法进行因式分解

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【知识精读】 把乘法公式反过来,就可以得到因式分解的公式。 主要有:平方差公式 完全平方公式 【分类解析】 1. 把 a 2 ? 2a ? b 2 ? 2b 分解因式的结果是( A. (a ? b)(a ? 2)(b ? 2) C. (a ? b)(a ? b) ? 2
2 2 2

a 2 ? b 2 ? (a ? b)(a ? b) a 2 ? 2ab ? b 2 ? (a ? b) 2



B. (a ? b)(a ? b ? 2) D. (a ? 2b)(b ? 2a )
2 2 2 2 2

分析: a ? 2a ? b ? 2b ? a ? 2a ? 1 ? b ? 2b ? 1 ? (a ? 1) ? (b ? 1) 。 3. 在几何题中的应用。 例:已知 a、b、c 是 ?ABC 的三条边,且满足 a ? b ? c ? ab ? bc ? ac ? 0 ,试判
2 2 2

断 ?ABC 的形状。 分析:因为题中有 a 、b 、 ? ab ,考虑到要用完全平方公式,首先要把 ?ab 转成
2 2

?2ab 。所以两边同乘以 2,然后拆开搭配得完全平方公式之和为 0,从而得解。
解:? a ? b ? c ? ab ? bc ? ac ? 0
2 2 2

? 2a 2 ? 2b 2 ? 2c 2 ? 2ab ? 2bc ? 2ac ? 0
? (a 2 ? 2ab ? b 2 ) ? (b 2 ? 2bc ? c 2 ) ? (c 2 ? 2ac ? a 2 ) ? 0 ? (a ? b) 2 ? (b ? c) 2 ? (c ? a) 2 ? 0 ? (a ? b) 2 ? 0,(b ? c) 2 ? 0,(c ? a ) 2 ? 0

? a ? b ? 0,b ? c ? 0,c ? a ? 0

?a ? b ? c ??ABC 为等边三角形。
5、中考点拨:
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例 1:因式分解: x ? 4 xy ? ________。
3 2

解: x ? 4 xy ? x ( x ? 4 y ) ? x ( x ? 2 y )( x ? 2 y )
3 2 2 2

说明:因式分解时,先看有没有公因式。此题应先提取公因式,再用平方差公式分解彻 底。 例 2:分解因式: 2 x y ? 8 x y ? 8 xy ? _________。
3 2 2 3

解: 2 x y ? 8 x y ? 8 xy ? 2 xy ( x ? 4 xy ? 4 y ) ? 2 xy ( x ? 2 y )
3 2 2 3 2 2

2

题型展示: 例 1. 已知: a ?
2

1 1 1 m ? 1,b ? m ? 2 ,c ? m ? 3 , 2 2 2
2 2

求 a ? 2ab ? b ? 2ac ? c ? 2bc 的值。 解: a ? 2ab ? b ? 2ac ? c ? 2bc
2 2 2

? (a ? b) 2 ? 2c(a ? b) ? c 2 ? (a ? b ? c) 2

?a ?

1 1 1 m ? 1,b ? m ? 2 ,c ? m ? 3 2 2 2

?原式 ? (a ? b ? c) 2
1 1 ? 1 ? ? ?( m ? 1) ? ( m ? 2) ? ( m ? 3) ? 2 2 ? 2 ? ? 1 2 m 4
2

1. 分解因式: (2) x ( x ? 2 y ) ? x (2 y ? x )
5 2

(3) a ( x ? y ) ? 2a ( x ? y) ? ( x ? y)
2 2 3

4

2. 已知: x ?

1 1 ? ?3 ,求 x 4 ? 4 的值。 3. 若 a,b,c 是三角形的三条边,求证: x x

a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc ? 0
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3.用分组分解法进行因式分解

【知识精读】 分组分解法的原则是分组后可以直接提公因式,或者可以直接运用公式。使用这种方法 的关键在于分组适当,而在分组时, 必须有预见性。 能预见到下一步能继续分解。而“预见” 源于细致的“观察”,分析多项式的特点,恰当的分组是分组分解法的关键。 。1. 在数学计算、化简、证明题中的应用 例 1. 把多项式 2a(a 2 ? a ? 1) ? a 4 ? a 2 ? 1 分解因式,所得的结果为(
A. (a 2 ? a ? 1) 2 C. (a 2 ? a ? 1) 2 B. (a 2 ? a ? 1) 2 D. (a 2 ? a ? 1) 2



分析:先去括号,合并同类项,然后分组搭配,继续用公式法分解彻底。 故选择 C 例 2. 分解因式 x 5 ? x 4 ? x 3 ? x 2 ? x ? 1 2. 在几何学中的应用 例:已知三条线段长分别为 a、b、c,且满足 a ? b,a 2 ? c 2 ? b 2 ? 2ac 证明:以 a、b、c 为三边能构成三角形 分析:构成三角形的条件,即三边关系定理,是“两边之和大于第三边,两边之差小于 第三边” 证明:?a 2 ? c 2 ? b 2 ? 2ac

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? a 2 ? c 2 ? b 2 ? 2ac ? 0 ? a 2 ? 2ac ? c 2 ? b 2 ? 0,即 ( a ? c) 2 ? b 2 ? 0 ? ( a ? c ? b)( a ? c ? b) ? 0 又 ?a ? c ? b ? a ? c ? b ? a ? c ? b ? 0 ,a ? c ? b ? 0 ? a ? b ? c, a ? b ? c 即a ? b ? c ? a ? b ? 以a、b、c为三边能构成三角形

4、中考点拨 例 1.分解因式: 1 ? m2 ? n 2 ? 2mn ? _____________。 例 2.分解因式: x 2 ? y 2 ? x ? y ? ____________ 例 3. 分解因式: x 3 ? 3x 2 ? 4x ? 12 ? ____________ 解: x 3 ? 3x 2 ? 4x ? 12 ? x 3 ? 4x ? 3x 2 ? 12
? x( x 2 ? 4) ? 3( x 2 ? 4) ? ( x ? 3)( x ? 2)( x ? 2)

【实战模拟】 1. 填空题:
(1)分解因式:a 2 ? 3a ? b 2 ? 3b ? ( 2 )分解因式:x 2 ? 2 x ? 4 xy ? 4 y 2 ? 4 y ? ( 3)分解因式:1 ? mn(1 ? mn) ? m 3 n 3 ?

2. 已知: a ? b ? c ? 0,求a 3 ? a 2 c ? abc ? b 2 c ? b 3 的值。

4、因式分解小结

【知识精读】 因式分解是把一个多项式分解成几个整式乘积的形式, 它和整式乘法互为逆运算, 在初 中代数中占有重要的地位和作用,在其它学科中也有广泛应用,学习本章知识时,应注意以

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下几点。 1. 因式分解的对象是多项式; 2. 因式分解的结果一定是整式乘积的形式; 3. 分解因式,必须进行到每一个因式都不能再分解为止; 4. 公式中的字母可以表示单项式,也可以表示多项式; 5. 结果如有相同因式,应写成幂的形式; 6. 题目中没有指定数的范围,一般指在有理数范围内分解; 7. 因式分解的一般步骤是: 通常采用一“提”、二“公”、三“分”、四“变”的步骤。即首先看有无公因式可提, 其次看能否直接利用乘法公式;如前两个步骤都不能实施,可用分组分解法,分组的目的是 使得分组后有公因式可提或可利用公式法继续分解;

例 1. 分解因式 x 3 ? 3x 2 ? 4 解一:将 3x 2 拆成 2x 2 ? x 2 ,则有
原式 ? x 3 ? 2 x 2 ? ( x 2 ? 4) ? x 2 ( x ? 2) ? ( x ? 2)( x ? 2) ? ( x ? 2)( x 2 ? x ? 2) ? ( x ? 1)( x ? 2) 2

解二:将常数 ?4 拆成 ?1 ? 3 ,则有
原式 ? x 3 ? 1 ? (3x 2 ? 3) ? ( x ? 1)( x 2 ? x ? 1) ? ( x ? 1)(3x ? 3) ? ( x ? 1)( x 2 ? 4 x ? 4) ? ( x ? 1)( x ? 2) 2

中考点拨: 例 1.在 ?ABC 中,三边 a,b,c 满足 a 2 ? 16b 2 ? c 2 ? 6ab ? 10bc ? 0

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求证: a ? c ? 2b 证明:?a 2 ? 16b 2 ? c 2 ? 6ab ? 10bc ? 0
? a 2 ? 6ab ? 9 b 2 ? c 2 ? 10bc ? 25b 2 ? 0 即 (a ? 3b) 2 ? (c ? 5b) 2 ? 0 (a ? 8b ? c)(a ? 2 b ? c) ? 0 ?a ? b ? c ? a ? 8b ? c,即a ? 8b ? c ? 0 于是有a ? 2 b ? c ? 0 即a ? c ? 2 b

说明:此题是代数、几何的综合题,难度不大,学生应掌握这类题不能丢分。 例 2. 已知: x ?
1 1 ? 2,则x 3 ? 3 ? __________ x x 1 1 1 解: x 3 ? 3 ? ( x ? )( x 2 ? 1 ? ) x x x 1 1 ? ( x ? )[( x ? ) 2 ? 2 ? 1] x x ? 2 ?1

?2

说明:利用 x 2 ?

1 ? ( x ? ) 2 ? 2 等式化繁为易。 x x
2

1

2. 将 a 2 ? (a ? 1) 2 ? (a 2 ? a) 2 分解因式,并用分解结果计算6 2 ? 7 2 ? 42 2 。 解: a 2 ? (a ? 1) 2 ? (a 2 ? a) 2
? a 2 ? a 2 ? 2a ? 1 ? ( a 2 ? a ) 2 ? 2( a 2 ? a ) ? 1 ? ( a 2 ? a ) 2 ? (a 2 ? a ? 1) 2

? 6 2 ? 7 2 ? 42 2 ? (36 ? 6 ? 1) 2 ? 432 ? 1849

说明:利用因式分解简化有理数的计算。 【实战模拟】
1 1 1 1 1 1 5. 已知: a、 b、 c 是非零实数, 且 a2 ? b2 ? c2 ? 1,a( ? ) ? b( ? ) ? c( ? ) ? ?3 , 求 a+b+c b c c a a b

的值。 6. 已知:a、b、c 为三角形的三边,比较 a 2 ? b 2 ? c 2 和4a 2 b 2 的大小。
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【试题答案】
2. 解:? x 2 ? y 2 ? ( x ? y) 2 ? 2xy
? 36 ? 2 ? 38
? x 3 ? y 3 ? ( x ? y)( x 2 ? xy ? y 2 ) ? 6 ? ( 38 ? 1) ? 234

4. 证明: n 3 ? 5n
? n 3 ? n ? 6n ? n( n ? 1)( n ? 1) ? 6n ? 当n为整数时,n( n ? 1)( n ? 1) 是 6的倍数。 ? n 3 ? 5n是 6的倍数

5. 解:? abc ? 0, 用 abc 乘以第二个条件等式的两边,得

a 2 c ? a 2 b ? ab 2 ? b 2 c ? bc 2 ? ac 2 ? ?3abc 即ab(a ? b) ? bc(b ? c) ? ac(a ? c) ? abc ? abc ? abc ? 0 ? (a ? b ? c)( ab ? bc ? ac) ? 0 则a ? b ? c ? 0或ab ? bc ? ac ? 0 若ab ? bc ? ac ? 0 则(a ? b ? c) 2 ? (a 2 ? b 2 ? c 2 ) ? 2(ab ? bc ? ac) ? 0 ? a2 ? b2 ? c2 ? 1 ? (a ? b ? c) 2 ? 1 ? a ? b ? c ? ?1
说明:因式分解与配方法是代数式化简与求值中常用的方法和手段,应当熟练掌握。 6. 分析:比较两式大小最基本的方法是作差看它们与零的大小。 解:? (a 2 ? b 2 ? c 2 ) 2 ? 4a 2 b 2
? ( a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2ab)(a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2ab) ? [( a ? b) 2 ? c 2 ][( a ? b) 2 ? c 2 ] ? ( a ? b ? c)( a ? b ? c)( a ? b ? c)( a ? b ? c)

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? a , b, c为三角形三边,且由三角形两边之和大于第三边可知 a ? b ? c ? 0 ,a ? b ? c ? 0 ,a ? b ? c ? 0 ,a ? b ? c ? 0 ? ( a 2 ? b 2 ? c 2 ) ? 4a 2 b 2 ? 0 ? a 2 ? b 2 ? c 2 ? 4a 2 b 2

分解因式的常用方法
一、本节学习指导
本节较为复杂,因式分解大多讲究技巧,于是我们要多做练习,慢慢总结。

二、知识要点
1、 因式分解的思路与解题步骤: (1)先看各项有没有公因式,若有,则先提取公因式; (2)再看能否使用公式法; (3)用分组分解法,即通过分组后提取各组公因式或运用公式法来达到分解的目的; (4)因式分解的最后结果必须是几个整式的乘积,否则不是因式分解; (5)因式分解的结果必须进行到每个因式在有理数范围内不能再分解为止. 2、 提公共因式法 (1) 、 如果一个多项式的各项含有公因式,那么就可以把这个公因式提出来,从而将多项式 化成两个因式乘积的形式.这种分解因式的方法叫做提公因式法. 如:ab+ac=a(b+c) (2)、概念内涵: (1)因式分解的最后结果应当是“积”; (2)公因式可能是单项式,也可能是多项式; (3)提公因式法的理论依据是乘法对加法的分配律,即: ma+mb-mc=m(a+b-c) (3)、易错点: (1)注意项的符号与幂指数是否搞错; (2)公因式是否提“干净”; (3)多项式中某一项恰为公因式,提出后,括号中这一项为+1,不漏掉. 3、 运用公式法

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(1)、如果把乘法公式反过来,就可以用来把某些多项式分解因式.这种分解因式的方法叫 做运用公式法. (2)、主要公式: (1)平方差公式: a ? b ? (a ? b)( a ? b)
2 2

(2)完全平方公式: a ? 2ab ? b ? (a ? b)
2 2

2

a 2 ? 2ab ? b 2 ? (a ? b) 2

(3)、易错点: 因式分解要分解到底.如 x ? y ? ( x ? y )( x ? y ) 就没有分解到底.
4 4 2 2 2 2

4、怎样选择公式 (1)、平方差公式: ①应是二项式或视作二项式的多项式; ②二项式的每项(不含符号)都是一个单项式(或多项式)的平方; ③二项是异号. (2)、完全平方公式: ①应是三项式; ②其中两项同号,且各为一整式的平方; ③还有一项可正负,且它是前两项幂的底数乘积的 2 倍. 5、 分组分解法: (1)、分组分解法:利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法. 如: am ? an ? bm ? bn ? a(m ? n) ? b(m ? n) ? (a ? b)(m ? n) (2)、概念内涵: 分组分解法的关键是如何分组,要尝试通过分组后是否有公因式可提,并且可继续分解,分组 后是否可利用公式法继续分解因式. (3)、 注意: 分组时要注意符号的变化. 5、十字相乘法 有些二次三项式, 可以把第一项和第三项的系数分别分解为两个数之积, 然后借助画十 字交叉线的方法,把二次三项式进行因式分解,这种方法叫十字相乘法。 简单的说十字相乘法就是:十字左边相乘等于二次项系数,右边相乘等于常数项,交叉 相乘再相加等于一次项系数。

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注意: 十字相乘法不是适合所有二次三项式, 只有在一次项系数和二次项系数以及常数 项存在一种特殊关系时才能用,这个特殊关系我们通过例题来说明: 例:分解 x ? 6 x ? 7
2

分析: 第一步:观察常数项-7 和二次项系数 1 以及一次项系数 6 我们可以得出:因为-7=7× -1 所以把-7 列竖式表示为 7、-1,如上图;二次项系数 1=1× 1,所以列竖式 1、1 我们把 它们交叉相乘然后相加得到 7-1=6,我们发现刚好是一次项系数于是决定用十字相乘法。这 一步也是能不能使用十字相乘法的条件。 第二步:我们把横着的第一排 1、7 用括号括起来写成(1x+7),1 为 x 的系数,把第 二排 1、-1 也用括号括起来(1x-1),最后把两个括号括起来的相乘就得到最终结果。 第三步:写出分解结果得:(1x+7)× (1x-1) 注意: 我们在用十字相乘法之前一定要根据第一步判断是否能用十字相乘法。 我们在分 解常数项和二次项系数时变化多端, 目的是交叉相乘之和要等于一次项系数, 如何分配常数 项和二次项系数要根据情况而定。十字相乘法在对系数分解时易出错,因此我们要小心;分 解的结果与原式不等,这时通常采用多项式乘法还原后检验分解的是否正确。 易错点: (1)十字相乘法在对系数分解时易出错; (2)分解的结果与原式不等,这时通常采用多项式乘法还原后检验分解的是否正确.

三、经验之谈:
通常,把一个多项式分解因式,应先提公因式,再应用公式法,或者其他方法。进行 多项式因式分解时,必须把每一个因式都分解到不能再分解为止。

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