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高中数学公式大全【最新最全最清晰】pdf版



高中数学常用公式及常用结论
1. 元素与集合的关系

x ? A ? x ? CU A , x ? CU A ? x ? A .
2.德摩根公式

f ( x) ? x2 ? px ? q ,则 (1)方程 f ( x) ? 0 在区间 (m,??) 内有根的充要条件为 f (m) ? 0 或

<

br />CU ( A B) ? CU A CU B; CU ( A B) ? CU A CU B .
3.包含关系

A B ? A ? A B ? B ? A ? B ? CU B ? CU A ? A CU B ? ? ? CU A B ? R
4.容斥原理

card ( A B) ? cardA ? cardB ? card ( A B)
card ( A B C) ? cardA ? cardB ? cardC ? card ( A B)

? card ( A B) ? card (B C) ? card (C A) ? card ( A B C ) .
5.集合 {a1 , a2 , 有

, an } 的子集个数共有 2n

个;真子集有

2n –1 个;非空子集

2n

–1 个;非空的真子集有 –2 个. 6.二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式 (2)顶点式

2n

? p 2 ? 4q ? 0 ? ; ? p ? ? m ? ? 2 (2)方程 f ( x) ? 0 在区间 (m, n) 内有根的充要条件为 ? f ( m) ? 0 ? f ( n) ? 0 ? ? f ( m) ? 0 ? f ( n ) ? 0 ? 或? ; f (m) f (n) ? 0 或 ? p 2 ? 4q ? 0 或 ? ?af (n) ? 0 ?af (m) ? 0 ? ?m ? ? p ? n ? ? 2 (3)方程 f ( x) ? 0 在区间 (??, n) 内有根的充要条件为 f (m) ? 0 或 ? p 2 ? 4q ? 0 ? ? p ?? ? m ? 2
.

f ( x) ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) ;

f ( x) ? a( x ? h)2 ? k (a ? 0) ; (3)零点式 f ( x) ? a( x ? x1 )( x ? x2 )(a ? 0) . 7. 解连不等式 N ? f ( x) ? M 常有以下转化形式 N ? f ( x) ? M ? [ f ( x) ? M ][ f ( x) ? N ] ? 0 M ?N M ?N f ( x) ? N ? | f ( x) ? ? |? ?0 2 2 M ? f ( x) 1 1 . ? ? f ( x) ? N M ? N 8.方程 f ( x) ? 0 在 (k1 , k 2 ) 上有且只有一个实根,与 f (k1 ) f (k 2 ) ? 0 不等价,前者是后者的一个必要而不是充分条件.特别地,
程 ax

11.定区间上含参数的二次不等式恒成立的条件依据 (1)在给定区间 (??,??) 的子区间 L (形如

?? ,??? 不同)上含参数的二次不等式 f ( x, t ) ? 0 ( t 为参数)恒成立的充要条
f ( x, t )min ? 0( x ? L) . (2)在给定区间 (??,??) 的子区间上含参数的二次不等式 f ( x, t ) ? 0 ( t 为参数)恒成立的充要条件是 f ( x, t ) man ? 0( x ? L) .
件是 方

?? , ? ? , ?? ?, ? ?,

? bx ? c ? 0(a ? 0) 有且只有一个实根在 (k1 , k 2 ) 内,等价于 b k1 ? k 2 ? ,或 f (k1 ) f (k 2 ) ? 0 ,或 f (k1 ) ? 0 且 k1 ? ? 2a 2 k ? k2 b ?? ? k2 . f (k 2 ) ? 0 且 1 2 2a
2

?a ? 0 ? 4 2 (3) f ( x) ? ax ? bx ? c ? 0 恒成立的充要条件是 ?b ? 0 或 ?c ? 0 ? ?a ? 0 . ? 2 ?b ? 4ac ? 0
12.真值表 p q 真 真 真 假 假 真 假 假 13.常见结论的否定形式 原结论 是 都是 大于 小于 对所有 成立 非p 假 假 真 真 反设词 不是 不都是 不大于 不小于 p或q 真 真 真 假 p且q 真 假 假 假 原结论 至少有一个 至多有一个 至少有 个 至多有 个 反设词 一个也没有 至少有两个 至多有( 至少有(

二次函数

f ( x) ? ax 2 ? bx ? c(a ? 0) 在闭区间 ? p, q? 上的最值只能在 b x ? ? 处及区间的两端点处取得,具体如下: 2a b ? ? p, q ?,则 (1)当 a>0 时,若 x ? ? 2a b f ( x)min ? f (? ), f ( x) max ?max ? f ( p), f (q)? ; 2a b x ? ? ? ? p, q ?, f ( x)max ?max ? f ( p), f (q)? , 2a f ( x)min ?min ? f ( p), f (q)? .
(2)当 a<0 时,若

9.闭区间上的二次函数的最值

n n

n ? 1 )个 n ? 1 )个

x, x

存在某 不成立 存在某 成立

x, x,

p 或q p 且q

?p 且 ?q ?p 或 ?q

对任何 , 不成立 14.四种命题的相互关系

x??

b ? ? p, q ?,则 2a

f ( x)min ? min ? f ( p), f (q)? ,若 x ? ? f ( x)max
一个实根 . 10.一元二次方程的实根分布 依据:若

b ? ? p, q ?,则 2a ? max ? f ( p), f (q)? , f ( x)min ? min ? f ( p), f (q)? .
f (m) f (n) ? 0 ,则方程 f ( x) ? 0 在区间 (m, n) 内至少有
15. 充要条件 (1)充分条件:若

p ? q ,则 p 是 q 充分条件.

q ? p ,则 p 是 q 必要条件. (3)充要条件:若 p ? q ,且 q ? p ,则 p 是 q 充要条件.
(2)必要条件:若 注:如果甲是乙的充分条件,则乙是甲的必要条件;反之亦然 . 16.函数的单调性 (1)设 1

单位,得到曲线

f ( x ? a, y ? b) ? 0 的图象.

26.互为反函数的两个函数的关系

x ? x2 ? ?a, b?, x1 ? x2 那么 ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 )? ? 0 ?

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ? f ( x)在?a, b?上是增函数; x1 ? x2

f (a) ? b ? f ?1 (b) ? a . 27.若函数 y ? f (kx ? b) 存在反函数,则其反函数为 1 y ? [ f ?1 ( x) ? b] ,并不是 y ? [ f ?1 (kx ? b) ,而函数 k 1 y ? [ f ?1 (kx ? b) 是 y ? [ f ( x) ? b] 的反函数. k
28.几个常见的函数方程 (1)正比例函数

( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 )? ? 0 ?

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ? f ( x)在?a, b? 上是减函数. x1 ? x2 (2)设函数 y ? f ( x) 在某个区间内可导,如果 f ?( x) ? 0 ,则 f ( x) 为增 函数;如果 f ?( x) ? 0 ,则 f ( x) 为减函数. 17.如果函数 f ( x) 和 g ( x) 都是减函数,则在公共定义域内,和函数 f ( x) ? g ( x) 也是减函数; 如果函数 y ? f (u) 和 u ? g ( x) 在其对应的定 义域上都是减函数,则复合函数 y ? f [ g ( x)] 是增函数.
18.奇偶函数的图象特征 奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于 y 轴对称;反过来,如果一个函数 的图象关于原点对称,那么这个函数是奇函数;如果一个函数的图象关于 y 轴对称, 那么这个函数是偶函数.

f ( x) ? cx , f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y), f (1) ? c .

(2)指数函数 (3)对数函数

f ( x) ? a x , f ( x ? y) ? f ( x) f ( y), f (1) ? a ? 0 .

f ( x) ? log a x , f ( xy) ? f ( x) ? f ( y), f (a) ? 1(a ? 0, a ? 1) . f ( x) ? x? , f ( xy) ? f ( x) f ( y), f ' (1) ? ? . (5)余弦函数 f ( x) ? cos x ,正弦函数 g ( x) ? sin x , f ( x ? y ) ? f ( x) f ( y ) ? g ( x) g ( y ) , g ( x) f (0) ? 1, lim ?1. x ?0 x
(4)幂函数 29.几个函数方程的周期(约定 a>0)

y ? f ( x) 是偶函数,则 f ( x ? a) ? f (? x ? a) ;若函数 y ? f ( x ? a) 是偶函数,则 f ( x ? a) ? f (? x ? a) . 20.对于函数 y ? f ( x) ( x ? R ), f ( x ? a) ? f (b ? x) 恒成立,则 a?b 函数 f ( x) 的对称轴是函数 x ? ;两个函数 y ? f ( x ? a) 与 2 a?b 对称. y ? f (b ? x) 的图象关于直线 x ? 2 a 21.若 f ( x) ? ? f (? x ? a) ,则函数 y ? f ( x) 的图象关于点 ( ,0) 2 对称; 若 f ( x) ? ? f ( x ? a) ,则函数 y ? f ( x) 为周期为 2a 的周期函数.
19.若函数

f ( x) ? f ( x ? a) ,则 f ( x) 的周期 T=a; (2) f ( x) ? f ( x ? a) ? 0 , 1 或 f ( x ? a) ? ( f ( x) ? 0) , f ( x) 1 或 f ( x ? a) ? ? ( f ( x) ? 0) , f ( x) 1 或 ? f ( x) ? f 2 ( x) ? f ( x ? a), ( f ( x) ? ?0,1?) ,则 f ( x) 2
(1) 的周期 T=2a;

P( x) ? an x n ? an?1 x n?1 ? ? a0 的奇偶性 多项式函数 P( x) 是奇函数 ? P( x) 的偶次项(即奇数项)的系数全为零. 多项式函数 P( x) 是偶函数 ? P( x) 的奇次项(即偶数项)的系数全为零. 23.函数 y ? f ( x) 的图象的对称性 (1)函数 y ? f ( x) 的图象关于直线 x ? a 对称 ? f ( a ? x ) ? f ( a ? x) ? f (2a ? x) ? f ( x) . a?b (2)函数 y ? f ( x) 的图象关于直线 x ? 对称 2 ? f (a ? mx) ? f (b ? mx) ? f (a ? b ? mx) ? f (mx) .
22.多项式函数 24.两个函数图象的对称性 (1)函数 对称. (2)函数

1 ( f ( x) ? 0) ,则 f ( x) 的周期 T=3a; f ( x ? a) f ( x1 ) ? f ( x2 ) (4) f ( x1 ? x2 ) ? 且 1 ? f ( x1 ) f ( x2 ) f (a) ? 1( f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 1,0 ?| x1 ? x2 |? 2a) ,则 f ( x) 的周期
(3)

f ( x) ? 1 ?

T=4a;

f ( x) ? f ( x ? a) ? f ( x ? 2a) f ( x ? 3a) ? f ( x ? 4a) ? f ( x) f ( x ? a) f ( x ? 2a) f ( x ? 3a) f ( x ? 4a) ,则 f ( x) 的周期 T=5a; (6) f ( x ? a) ? f ( x) ? f ( x ? a) ,则 f ( x) 的周期 T=6a.
(5) 30.分数指数幂 (1)

an ?

m

1
n

(2)

a

m ? n

?

a 1

m

(a

? 0, m, n ? N ? ,且 n ? 1 ).

y ? f ( x) 与函数 y ? f (? x) 的图象关于直线 x ? 0 (即 y 轴) y ? f (mx ? a) 与函数 y ? f (b ? mx) 的图象关于直线

a
(1) (
n

m n

(a

? 0, m, n ? N ? ,且 n ? 1 ).

31.根式的性质

a )n ? a .

x?

a?b 对称. 2m ?1 ( x) 的图象关于直线 y=x 对称. (3)函数 y ? f ( x) 和 y ? f 25.若将函数 y ? f ( x) 的图象右移 a 、上移 b 个单位,得到函数 y ? f ( x ? a) ? b 的图象; 若将曲线 f ( x, y ) ? 0 的图象右移 a 、 上移 b 个

n 为奇数时, n a n ? a ; ? a, a ? 0 n n 当 n 为偶数时, a ?| a |? ? . ? ? a, a ? 0
(2)当 32.有理指数幂的运算性质 (1)

a r ? a s ? a r ? s (a ? 0, r , s ? Q) .

(2)

(a r )s ? a rs (a ? 0, r, s ? Q) .
r

(3) (ab)

? a b (a ? 0, b ? 0, r ? Q) .
r r

an ? a1q n?1 ?

a1 n ? q (n ? N * ) ; q

注: 若 a>0,p 是一个无理数,则 ap 表示一个确定的实数.上述有理指数幂的 运算性质,对于无理数指数幂都适用. 33.指数式与对数式的互化式

其前 n 项的和公式为

log a N ? b ? ab ? N (a ? 0, a ? 1, N ? 0)
34.对数的换底公式

.

log a N ?

N ? 0 ).
推论

log m N log m a

? a1 (1 ? q n ) ,q ?1 ? sn ? ? 1 ? q ?na , q ? 1 ? 1
? a1 ? an q ,q ?1 ? 或 sn ? ? 1 ? q . ?na , q ? 1 ? 1
42.等比差数列

(

a ? 0 ,且 a ? 1 , m ? 0 ,且 m ? 1,

n log a b ( a ? 0 ,且 a ? 1 , m, n ? 0 ,且 m m ? 1, n ? 1 , N ? 0 ). log am bn ?
35.对数的四则运算法则 若 a>0,a≠1,M>0,N>0,则 (1) log a ( MN ) (2)

?an ? : an?1 ? qan ? d , a1 ? b(q ? 0) 的通项公式为

? loga M ? loga N ;

M ? log a M ? log a N ; N n (3) log a M ? n log a M (n ? R) . log a
36.设函数

?b ? (n ? 1)d , q ? 1 ? an ? ? bq n ? (d ? b)q n ?1 ? d ; ,q ?1 ? q ?1 ?
其前 n 项和公式为

f ( x) ? log m (ax 2 ? bx ? c)(a ? 0) ,记

?nb ? n(n ? 1)d , (q ? 1) ? sn ? ? . d 1 ? qn d ( b ? ) ? n, (q ? 1) ? 1 ? q q ?1 1 ? q ?
43. 分期付款(按揭贷款) 每次还款

? ? b 2 ? 4ac .若 f ( x) 的定义域为 R ,则 a ? 0 ,且 ? ? 0 ;若 f ( x) 的值域为 R ,则 a ? 0 ,且 ? ? 0 .对于 a ? 0 的情形,需要单独检验.
37. 对数换底不等式及其推广 若

x?

ab(1 ? b)n 元(贷款 a 元, n 次还清, 每期利率为 b ). (1 ? b)n ? 1

a ? 0 , b ? 0, x ? 0 , x ?

1 ,则函数 y ? log ax (bx) a

44.常见三角不等式 (1)若

(1)当



1 1 a ? b 时,在 (0, ) 和 ( , ??) 上 y ? log ax (bx) 为增函数. a a 1 1 (2)当 a ? b 时,在 (0, ) 和 ( , ??) 上 y ? log ax (bx) 为减函数. a a
推论:设

x ? (0, ) ,则 sin x ? x ? tan x . 2

?

(2) 若 (3)

x ? (0, ) ,则 1 ? sin x ? cos x ? 2 . 2 | sin x | ? | cos x |? 1 . sin ? cos ?


?

45.同角三角函数的基本关系式

n ? m ? 1, p ? 0 , a ? 0 ,且 a ? 1 ,则
p) ? log m n .

sin 2 ? ? cos2 ? ? 1 , tan ? =
46.正弦、余弦的诱导公式

tan ? ? cot? ? 1 .

(1) log m? p (n ? (2) log a

m log a n ? log a 2

m?n . 2
p ,则对于时间 x 的总产值 y ,

38. 平均增长率的问题 如果原来产值的基础数为 N,平均增长率为 有

n ? 2 ( ? 1) sin ? , n? ? sin( ? ? ) ? ? n ?1 2 ?(?1) 2 co s ? , ?

(n 为偶数) (n 为奇数) (n 为偶数) (n 为奇数)

y ? N (1 ? p)

x

.

39.数列的同项公式与前 n 项的和的关系

n ?1 ? s1 , an ? ? ( ? sn ? sn ?1 , n ? 2 sn ? a1 ? a2 ? ? an ).
40.等差数列的通项公式

数列 {an } 的前 n 项的和为

? s , n? ?(? 1) co ? co s ( ? ? )? ? n ?1 2 ?(? 1) 2 s i? n , ?
n 2

an ? a1 ? (n ? 1)d ? dn ? a1 ? d (n ? N * ) ;
其前 n 项和公式为

sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos? sin ? ; cos(? ? ? ) ? cos? cos ? sin ? sin ? ; tan ? ? tan ? . tan(? ? ? ) ? 1 tan ? tan ? sin(? ? ? )sin(? ? ? ) ? sin 2 ? ? sin 2 ? (平方正弦公式);

47.和角与差角公式

cos(? ? ? ) cos(? ? ? ) ? cos2 ? ? sin 2 ?

.

n(a1 ? an ) n(n ? 1) ? na1 ? d 2 2 d 1 ? n2 ? (a1 ? d )n . 2 2 sn ?
41.等比数列的通项公式

a sin ? ? b cos? = a 2 ? b2 sin(? ? ? ) (辅助角 ? 所在象限由点 b (a, b) 的象限决定, tan ? ? ). a
48.二倍角公式

sin 2? ? sin ? cos? .

cos 2? ? cos2 ? ? sin 2 ? ? 2cos2 ? ?1 ? 1 ? 2sin 2 ? . 2 tan ? . tan 2? ? 1 ? tan 2 ?
49. 三倍角公式

cos x ? a(| a |? 1) ? x ? (2k? ? arccos a, 2k? ? arccos a), k ?
. .

cos x ? a(| a |? 1) ? x ? (2k? ? arccos a, 2k? ? 2? ? arccos a)

sin 3? ? 3sin ? ? 4sin ? ? 4sin ? sin( ? ? )sin( ? ? ) 3 3
3

?

?

tan x ? a(a ? R) ? x ? (k? ? arctan a, k? ? ), k ? Z . 2 tan x ? a(a ? R) ? x ? (k? ?
57.实数与向量的积的运算律 设λ、μ为实数,那么 (1) 结合律:λ(μa)=(λμ)a; (2)第一分配律:(λ+μ)a=λa+μa; (3)第二分配律:λ(a+b)=λa+λb. 58.向量的数量积的运算律: (1) a·b= b·a (交换律); (2)( a) ·b= (a·b)= a·b= a· ( b); (3)(a+b) ·c= a ·c +b·c. 59.平面向量基本定理 如果 e1 、e 2 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量, 有且只有一对实数λ1 、λ2 ,使得 a=λ1 e1 +λ2 e2 . 不共线的向量 e1 、e2 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底. 60.向量平行的坐标表示 设 a= ( x1 , y1 ) ,b= ( x2 , a b(b

?

?

.

cos3? ? 4cos3 ? ? 3cos? ? 4cos? cos( ? ? ) cos( ? ? ) 3 3
.

?

?

2

, k? ? arctan a), k ? Z .

tan 3? ?
.

3tan ? ? tan 3 ? ? ? ? tan ? tan( ? ? ) tan( ? ? ) 2 1 ? 3tan ? 3 3

?

?

?

?

50.三角函数的周期公式

y ? sin(? x ? ? ) ,x∈R 及函数 y ? cos(? x ? ? ) ,x∈R(A, 2? ω, ? 为常数,且 A≠0,ω>0)的周期 T ? ;函数 y ? tan(? x ? ? ) ,
函数

x ? k? ?

?
2

?

y2 ) ,且 b ? 0,则

, k ? Z (A,ω, ? 为常数,且 A≠0,ω>0)的周期 T ?

? ?

.

? 0) ? x 1 y2 ? x2 y1 ? 0 .

51.正弦定理

a b c ? ? ? 2R . sin A sin B sin C
52.余弦定理

53. a 与 b 的数量积(或内积) a·b=|a||b|cosθ. 61. a·b 的几何意义 数量积 a·b 等于 a 的长度|a| 与 b 在 a 的方向上的投影|b|cosθ的乘积. 62.平面向量的坐标运算 (1)设 a= ( x1 , y1 ) ,b= ( x2 , (2)设 a= ( x1 , y1 ) ,b= ( x2 , (3)设 A ( x1 , y1 ) ,B ( x2 ,

y2 ) ,则 a+b= ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) . y2 ) ,则 a-b= ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) .

a ? b ? c ? 2bc cos A ; b2 ? c2 ? a2 ? 2ca cos B ; c2 ? a 2 ? b2 ? 2ab cos C .
2 2 2

y2 ) ,则

53.面积定理 (1)

S? S?

1 1 1 aha ? bhb ? chc ( ha、hb、hc 分别表示 a、b、c 2 2 2

AB ? OB ? OA ? ( x2 ? x1 , y2 ? y1 ) . (4)设 a= ( x, y ), ? ? R ,则 ? a= (? x, ? y ) . (5)设 a= ( x1 , y1 ) ,b= ( x2 , y2 ) ,则 a·b= ( x1 x2 ? y1 y2 ) .
63.两向量的夹角公式

边上的高).

1 1 1 ab sin C ? bc sin A ? ca sin B . 2 2 2 1 (3) S?OAB ? (| OA | ? | OB |)2 ? (OA ? OB) 2 . 2
(2) 54.三角形内角和定理 在△ABC 中,有

cos? ?

x1 x2 ? y1 y2
2 2 x12 ? y12 ? x2 ? y2

(a= ( x1 , y1 ) ,b= ( x2 ,

y2 ) ).

64.平面两点间的距离公式

d A, B = | AB |? AB ? AB

A ? B ? C ? ? ? C ? ? ? ( A ? B) C ? A? B ? ? ? ? 2C ? 2? ? 2( A ? B) . 2 2 2

? ( x2 ? x1 )2 ? ( y2 ? y1 )2
65.向量的平行与垂直 设 a= ( x1 , y1 ) ,b= ( x2 , A||b

(A ( x1 , y1 ) ,B ( x2 ,

y2 ) ).

y2 ) ,且 b ? 0,则

55. 简单的三角方程的通解

sin x ? a ? x ? k? ? (?1)k arcsin a(k ? Z ,| a |? 1) . co s x ? a ? x ? 2k? ? arccos a(k ? Z ,| a |? 1) . tan x ? a ? x ? k? ? arctan a(k ? Z , a ? R) .
特别地,有

? b=λa ? x 1 y2 ? x2 y1 ? 0 . a ? b(a ? 0) ? a·b=0 ? x 1 x2 ? y1 y2 ? 0 .
66.线段的定比分公式 设P 1 ( x1 , y1 ) , P 2 ( x2 , 且 1

y2 ) , P( x, y) 是线段 PP 1 2 的分点, ? 是实数,

x ? ? x2 ? x? 1 ? OP ? ? OP2 ? 1? ? ? OP ? 1 ? 56.最简单的三角不等式及其解集 1? ? ? y ? y1 ? ? y2 sin x ? a(| a |? 1) ? x ? (2k? ? arcsin a, 2k? ? ? ? arcsin a), k ? Z ? ? 1? ? . 1 sin x ? a(| a |? 1) ? x ? (2k? ? ? ? arcsin a, 2k? ? arcsin a), k ? Z ? OP ? tOP 1 ? (1 ? t )OP 2 (t ? 1? ? .
67.三角形的重心坐标公式

sin ? ? sin ? ? ? ? k? ? (?1)k ? (k ? Z ) . co s? ? cos ? ? ? ? 2k? ? ? (k ? Z ) . tan ? ? tan ? ? ? ? k? ? ? (k ? Z ) .

PP ? ? PP2 ,则

).

△ABC 三个顶点的坐标分别为 A(x1 ,y1 )、 B(x2 ,y2 )、 C(x3 ,y3 ),则 △ABC 的重心的坐标是 G ( 68.点的平移公式
' ' ? ? ?x ? x ? h ?x ? x ? h ? OP' ? OP ? PP' . ?? ? ' ' ? ? ?y ? y ? k ?y ? y ? k ' ' ' ' 注:图形 F 上的任意一点 P(x,y)在平移后图形 F 上的对应点为 P ( x , y ) ,

74.含有绝对值的不等式 当 a> 0 时,有

x1 ? x2 ? x3 y1 ? y2 ? y3 , ). 3 3

x ? a ? x 2 ? a ? ?a ? x ? a .
2

x ? a ? x 2 ? a 2 ? x ? a 或 x ? ?a .
75.无理不等式

(1)



PP ' 的坐标为 (h, k ) .
69.“按向量平移”的几个结论 (1)点 (2)

P( x, y) 按向量 a= (h, k ) 平移后得到点 P' ( x ? h, y ? k ) . ' ' (2) 函数 y ? f ( x) 的图象 C 按向量 a= (h, k ) 平移后得到图象 C ,则 C 的函数解析式为 y ? f ( x ? h) ? k . ' (3) 图象 C 按向量 a= (h, k ) 平移后得到图象 C ,若 C 的解析式 y ? f ( x) ,则 C ' 的函数解析式为 y ? f ( x ? h) ? k . ' ' (4)曲线 C : f ( x, y ) ? 0 按向量 a= (h, k ) 平移后得到图象 C ,则 C 的 方程为 f ( x ? h, y ? k ) ? 0 . (5) 向量 m= ( x, y ) 按向量 a= (h, k ) 平移后得到的向量仍然为 m= ( x, y ) .
70. 三角形五“心”向量形式的充要条件 设

(3)

? f ( x) ? 0 ? . f ( x) ? g ( x) ? ? g ( x) ? 0 ? f ( x) ? g ( x) ? f ? ( x) ? 0 ? f ( x) ? 0 ? . f ( x) ? g ( x) ? ? g ( x) ? 0 或? ? f ( x) ? [ g ( x)]2 ? g ( x) ? 0 ? ? f ( x) ? 0 ? . f ( x) ? g ( x) ? ? g ( x) ? 0 ? f ( x) ? [ g ( x)]2 ?

76.指数不等式与对数不等式

O 为 ?ABC 所在平面上一点,角 A, B, C 所对边长分别为 a, b, c ,则
2 2 2

O 为 ?ABC 的外心 ? OA ? OB ? OC . (2) O 为 ?ABC 的重心 ? OA ? OB ? OC ? 0 . (3) O 为 ?ABC 的垂心 ? OA ? OB ? OB ? OC ? OC ? OA . (4) O 为 ?ABC 的内心 ? aOA ? bOB ? cOC ? 0 . (5) O 为 ?ABC 的 ?A 的旁心 ? aOA ? bOB ? cOC .
(1) 71.常用不等式:

? a 2 ? b2 ? 2ab (当且仅当 a=b 时取“=”号). a?b ? (2) a, b ? R ? ? ab (当且仅当 a=b 时取“=”号). 2 3 3 3 (3) a ? b ? c ? 3abc(a ? 0, b ? 0, c ? 0).
(1) a, b ? R (4)柯西不等式

a ? 1 时, a ? a g ( x ) ? f ( x) ? g ( x) ; ? f ( x) ? 0 ? log a f ( x) ? log a g ( x) ? ? g ( x) ? 0 . ? f ( x) ? g ( x) ? (2)当 0 ? a ? 1 时, a f ( x ) ? a g ( x ) ? f ( x) ? g ( x) ; ? f ( x) ? 0 ? log a f ( x) ? log a g ( x) ? ? g ( x) ? 0 ? f ( x) ? g ( x) ?
(1)当
f ( x)

77. 斜率公式

k?

y2 ? y1 x2 ? x1

(P 1 ( x1 , y1 ) 、 P 2 ( x2 ,

y2 ) ).

78. 直线的五种方程 (1)点斜式

(a ? b )(c ? d ) ? (ac ? bd ) , a, b, c, d ? R.
2 2 2 2 2

y ? y1 ? k ( x ? x1 )

(直线 过点 P 1 ( x1 , y1 ) ,且斜率为

l

(5)

a ? b ? a?b ? a ? b .

k ).

72.极值定理 已知 x, y 都是正数,则有

xy 是定值 p ,则当 x ? y 时和 x ? y 有最小值 2 p ; 1 2 s . (2)若和 x ? y 是定值 s ,则当 x ? y 时积 xy 有最大值 4 2 2 推广 已知 x, y ? R ,则有 ( x ? y ) ? ( x ? y ) ? 2 xy (1)若积 xy 是定值,则当 | x ? y | 最大时, | x ? y | 最大; 当 | x ? y | 最小时, | x ? y | 最小. (2)若和 | x ? y | 是定值,则当 | x ? y | 最大时, | xy | 最小; 当 | x ? y | 最小时, | xy | 最大.
(1)若积 73.一元二次不等式

y ? kx ? b (b 为直线 l 在 y 轴上的截距). y ? y1 x ? x1 ? (3)两点式 ( y1 ? y2 )( P 1 ( x1 , y1 ) 、 y2 ? y1 x2 ? x1 P2 ( x2 , y2 ) ( x1 ? x2 )). x y ? ? 1 ( a、b 分别为直线的横、纵截距, a、b ? 0 ) (4)截距式 a b (5)一般式 Ax ? By ? C ? 0 (其中 A、B 不同时为 0).
(2)斜截式 79. 两条直线的平行和垂直 (1)若 l1 ① l1 ② l1

: y ? k1 x ? b1 , l2 : y ? k2 x ? b2

|| l2 ? k1 ? k2 , b1 ? b2 ;

ax2 ? bx ? c ? 0(或 ? 0) (a ? 0, ? ? b2 ? 4ac ? 0) ,如果 a 与 ax2 ? bx ? c 同号,则其解集在两根之外;如果 a 与 ax2 ? bx ? c 异号,则
其解集在两根之间.简言之:同号两根之外,异号两根之间.

? l2 ? k1k2 ? ?1 . (2)若 l1 : A A2 、 1x ? B 1 y ? C1 ? 0 , l2 : A2 x ? B 2 y ? C2 ? 0 , 且 A1 、
B 1 、B 2 都不为零, ① l1 ② l1

x1 ? x ? x2 ? ( x ? x1 )( x ? x2 ) ? 0( x1 ? x2 ) ; x ? x1 , 或x ? x2 ? ( x ? x1 )( x ? x2 ) ? 0( x1 ? x2 ) .

|| l2 ?

A1 B1 C1 ? ? A2 B2 C2



? l2 ? A1 A2 ? B1B2 ? 0 ;

80. 夹角公式

(1) tan ( l1

? ?|

k2 ? k1 |. 1 ? k2 k1

( A1 x ? B1 y ? C1 )( A2 x ? B2 y ? C2 ) ? 0 或 ? 0 所表示的平面区域
是:

: y ? k1 x ? b1 , l2 : y ? k2 x ? b2 , k1k2 ? ?1 ) A1 B2 ? A2 B1 (2) tan ? ?| |. A1 A2 ? B1B2 ( l1 : A 1x ? B 1 y ? C1 ? 0 , l2 : A2 x ? B 2 y ? C2 ? 0 , A1 A2 ? B1B2 ? 0 ).

( A1 x ? B1 y ? C1 )( A2 x ? B2 y ? C2 ) ? 0 所表示的平面区域上下两
部分;

( A1 x ? B1 y ? C1 )( A2 x ? B2 y ? C2 ) ? 0 所表示的平面区域上下两
部分. 86. 圆的四种方程 (1)圆的标准方程 (2)圆的一般方程 >0).

( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 . x2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 ( D2 ? E 2 ? 4F

? 直线 l1 ? l2 时,直线 l1 与 l2 的夹角是 . 2 81. l1 到 l2 的角公式 k2 ? k1 (1) tan ? ? . 1 ? k2 k1 ( l1 : y ? k1 x ? b 1 , l2 : y ? k2 x ? b2 , k1k2 ? ?1 ) A1 B2 ? A2 B1 (2) tan ? ? . A1 A2 ? B1B2 ( l1 : A 1x ? B 1 y ? C1 ? 0 , l2 : A2 x ? B 2 y ? C2 ? 0 ,
直线 l1

? x ? a ? r cos? . ? ? y ? b ? r sin ? (4)圆的直径式方程 ( x ? x1 )( x ? x2 ) ? ( y ? y1 )( y ? y2 ) ? 0 (圆 的直径的端点是 A( x1 , y1 ) 、 B( x2 , y2 ) ).
(3)圆的参数方程 87. 圆系方程 (1)过点

A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) 的圆系方程是

( x ? x1 )( x ? x2 ) ? ( y ? y1 )( y ? y2 ) ? ?[( x ? x1 )( y1 ? y2 ) ? ( y ? ( x ? x1 )( x ? x2 ) ? ( y ? y1 )( y ? y2 ) ? ? (ax ? by ? c) ? 0 ,其 中 ax ? by ? c ? 0 是直线 AB 的方程,λ是待定的系数. (2)过直线 l : Ax ? By ? C ? 0 与圆

A1 A2 ? B1B2 ? 0 ). ? l2 时,直线 l1 到 l2 的角是

? . 2

82.四种常用直线系方程

P0 ( x0 , y0 ) 的直线系方程为 y ? y0 ? k ( x ? x0 ) (除直线 x ? x0 ),其中 k 是待定的系数;
(1)定点直线系方程:经过定点 待定的系数. (2)共点直线系方程:经过两直线

经过定点

P0 ( x0 , y0 ) 的直线系方程为 A( x ? x0 ) ? B( y ? y0 ) ? 0 ,其中 A, B 是 l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 , l2 : A2 x ? B 2 y ? C2 ? 0 的交点的直线系方
程为 ( A 1x ? B 1 y ? C1 ) ? 定的系数.

C : x2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 的交点的圆系方程是 x2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? ? ( Ax ? By ? C ) ? 0 ,λ是待定的系数. 2 2 (3) 过圆 C1 : x ? y ? D 1 x ? E1 y ? F 1 ? 0 与圆
C2 : x2 ? y 2 ? D2 x ? E2 y ? F2 ? 0 的交点的圆系方程是
x2 ? y 2 ? D1 x ? E1 y ? F1 ? ? ( x 2 ? y 2 ? D2 x ? E2 y ? F2 ) ? 0
λ是待定的系数. 88.点与圆的位置关系 点 P( x0 , 若 ,

? ( A2 x ? B2 y ? C2 ) ? 0 (除 l2 ),其中λ是待

y0 ) 与圆 ( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2 的位置关系有三种
,则

y ? kx ? b 中当斜率 k 一定而 b 变动时, 表示平行直线系方程.与直线 Ax ? By ? C ? 0 平行的直线系方程是 Ax ? By ? ? ? 0 ( ? ? 0 ),λ是参变量. (4)垂直直线系方程:与直线 Ax ? By ? C ? 0 (A≠0,B≠0)垂直 的直线系方程是 Bx ? Ay ? ? ? 0 ,λ是参变量.
(3)平行直线系方程:直线 83. 点到直线的距离 (点 P( x0 , y0 ) , 直线 l : A2 ? B 2 Ax ? By ? C ? 0 ). 84. Ax ? By ? C ? 0 或 ? 0 所表示的平面区域 设直线 l : Ax ? By ? C ? 0 ,则 Ax ? By ? C ? 0 或 ? 0 所表示的 平面区域是: 若

d ? (a ? x0 )2 ? (b ? y0 )2

点 P 在圆外; 圆内. 89.直线与圆的位置关系 直线 有三种:

d ?r ?

d ? r ? 点 P 在圆上; d ? r ? 点 P 在

Ax ? By ? C ? 0 与圆 ( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2 的位置关系

d?

| Ax0 ? By0 ? C |

d ? r ? 相离 ? ? ? 0 ; d ? r ? 相切 ? ? ? 0 ; d ? r ? 相交 ? ? ? 0 . Aa ? Bb ? C 其中 d ? . A2 ? B 2
90.两圆位置关系的判定方法 设两圆圆心分别为 O1 ,O2 ,半径分别为 r1 ,r2 ,

B ? 0, 当 B 与 Ax ? By ? C 同号时, 表示直线 l 的上方的区域; 当B 与 Ax ? By ? C 异号时,表示直线 l 的下方的区域. 简言之, 同号在上, 异号在下. 若 B ? 0, 当 A 与 Ax ? By ? C 同号时, 表示直线 l 的右方的区域; 当A 与 Ax ? By ? C 异号时,表示直线 l 的左方的区域. 简言之, 同号在右, 异号在左. 85. ( A 1x ? B 1 y ? C1 )( A2 x ? B2 y ? C2 ) ? 0 或 ? 0 所表示的平面
区域 设曲线 C : ( A 1x ? (

O1O2 ? d

d ? r1 ? r2 ? 外离 ? 4条公切线 ; d ? r1 ? r2 ? 外切 ? 3条公切线 ; r1 ? r2 ? d ? r1 ? r2 ? 相交 ? 2条公切线 ;
d ? r1 ? r2 ? 内切 ? 1条公切线 ; 0 ? d ? r1 ? r2 ? 内含 ? 无公切线 .
91.圆的切线方程 (1)已知圆

B1 y ? C1 )( A2 x ? B2 y ? C2 ) ? 0

A1 A2 B1B2 ? 0 ) ,则

x2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 .

y0 ) 在圆上,则切线只有一条,其方程是 D( x0 ? x) E ( y0 ? y ) x0 x ? y0 y ? ? ? F ? 0. 2 2 当 ( x0 , y0 ) 圆外时, D( x0 ? x) E ( y0 ? y ) x0 x ? y0 y ? ? ? F ? 0 表示过两个切点 2 2
的切点弦方程. ②过圆外一点的切线方程可设为 ③斜率为 k 的切线方程可设为 两条切线.

①若已知切点 ( x0 ,

?

2 2 x0 y0 ? ?1. a 2 b2

(2)点 P( x0 ,

y0 ) 在双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的外部 a 2 b2

?

2 2 x0 y0 ? ?1. a 2 b2

98.双曲线的方程与渐近线方程的关系

y ? y0 ? k ( x ? x0 ) ,再利用相切条

件求 k,这时必有两条切线,注意不要漏掉平行于 y 轴的切线.

(1)若双曲线方程为

y ? kx ? b ,再利用相切条件求 b,必有

x2 y2 ? ? 1 ? 渐近线方程: a2 b2

x2 ? y 2 ? r 2 . 2 ①过圆上的 P 0 ( x0 , y0 ) 点的切线方程为 x0 x ? y0 y ? r ;
(2)已知圆 ②斜率为

x2 y 2 b ? 2 ?0? y ?? x. 2 a b a
(2)若渐近线方程为

y??

k 的圆的切线方程为 y ? kx ? r 1 ? k 2
2 2

x y b x ? ? ? 0 ? 双曲线可设为 a b a

.

92.椭圆

? x ? a cos ? x y . ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的参数方程是 ? 2 a b ? y ? b sin ?

93.椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 焦半径公式 a 2 b2 a2 a2 PF1 ? e( x ? ) , PF2 ? e( ? x) . c c
P( x0 , y0 ) 在椭圆

x2 y2 ? ??. a2 b2 x2 y2 x2 y2 (3)若双曲线与 有公共渐近线,可设为 ? ? 1 ? ?? a2 b2 a2 b2 ( ? ? 0 ,焦点在 x 轴上, ? ? 0 ,焦点在 y 轴上).
99. 双曲线的切线方程

94.椭圆的的内外部 (1)点

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的内部 a 2 b2

?

2 2 x0 y0 ? ? 1. a 2 b2

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 上一点 P( x0 , y0 ) 处的切线方程 a 2 b2 x0 x y0 y 是 ? 2 ? 1. a2 b x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 外一点 P( x0 , y0 ) 所引两条切线的 (2) 过双曲线 a 2 b2
(1)双曲线 切点弦方程是

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的外部 (2)点 P( x0 , y0 ) 在椭圆 a 2 b2 2 x 2 y0 ? 0 ? ? 1. a 2 b2
95. 椭圆的切线方程

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 上一点 P( x0 , y0 ) 处的切线方程是 (1)椭圆 a 2 b2 x0 x y0 y ? 2 ? 1. a2 b x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 外一点 P( x0 , y0 ) 所引两条切线的切 (2)过椭圆 a 2 b2
点弦方程是

x0 x y0 y ? 2 ? 1. a2 b x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 与直线 Ax ? By ? C ? 0 相切的条件 (3) 椭圆 a 2 b2 2 2 2 2 2 是 A a ?B b ?c . x2 y 2 96.双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的焦半径公式 a b a2 a2 PF1 ?| e( x ? ) | , PF2 ?| e( ? x) | . c c
97.双曲线的内外部 (1)点

x0 x y0 y ? 2 ? 1. a2 b x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 与直线 Ax ? By ? C ? 0 相切的 (3)双曲线 a 2 b2 2 2 2 2 2 条件是 A a ? B b ? c . 2 100. 抛物线 y ? 2 px 的焦半径公式 p 2 抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 焦半径 CF ? x0 ? . 2 p p ? x2 ? ? x1 ? x2 ? p . 过焦点弦长 CD ? x1 ? 2 2 2 y? 2 101.抛物线 y ? 2 px 上的动点可设为 P ( , y? ) 或 2p P(2 pt 2 ,2 pt )或 P ( x , y ) ,其中 y 2 ? 2 px .
102.二次函数

b 2 4ac ? b2 ) ? (a ? 0) 的图象是抛物线: 2a 4a b 4ac ? b 2 ( ? , ); (1)顶点坐标为 (2)焦点的坐标为 2a 4a b 4ac ? b 2 ? 1 4ac ? b 2 ? 1 (? , ); (3)准线方程是 y ? . 2a 4a 4a y ? ax 2 ? bx ? c ? a( x ?
103.抛物线的内外部 (1)点 P( x0 ,

P( x0 , y0 ) 在双曲线

x y ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的内部 2 a b

2

2

y0 ) 在抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的内部

? y 2 ? 2 px( p ? 0) .



P( x0 , y0 ) 在抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的外部

? y 2 ? 2 px( p ? 0) . 2 (2)点 P( x0 , y0 ) 在抛物线 y ? ?2 px( p ? 0) 的内部 ? y 2 ? ?2 px( p ? 0) . 2 点 P( x0 , y0 ) 在抛物线 y ? ?2 px( p ? 0) 的外部 ? y 2 ? ?2 px( p ? 0) . 2 (3)点 P( x0 , y0 ) 在抛物线 x ? 2 py ( p ? 0) 的内部 ? x2 ? 2 py( p ? 0) . 2 点 P( x0 , y0 ) 在抛物线 x ? 2 py ( p ? 0) 的外部 ? x2 ? 2 py( p ? 0) . 2 (4) 点 P( x0 , y0 ) 在抛物线 x ? 2 py ( p ? 0) 的内部 ? x2 ? 2 py( p ? 0) . 2 点 P( x0 , y0 ) 在抛物线 x ? ?2 py ( p ? 0) 的外部 ? x2 ? ?2 py( p ? 0) .
104. 抛物线的切线方程

y0 ? y 代 y 即得方程 2 x y ? xy0 x ?x y ?y Ax0 x ? B ? 0 ? Cy0 y ? D ? 0 ?E? 0 ?F ?0 2 2 2
,曲线的切线,切点弦,中点弦,弦中点方程均是此方程得到 . 109.证明直线与直线的平行的思考途径 (1)转化为判定共面二直线无交点; (2)转化为二直线同与第三条直线平行; (3)转化为线面平行; (4)转化为线面垂直; (5)转化为面面平行. 110.证明直线与平面的平行的思考途径 (1)转化为直线与平面无公共点; (2)转化为线线平行; (3)转化为面面平行. 111.证明平面与平面平行的思考途径 (1)转化为判定二平面无公共点; (2)转化为线面平行; (3)转化为线面垂直. 112.证明直线与直线的垂直的思考途径 (1)转化为相交垂直; (2)转化为线面垂直; (3)转化为线与另一线的射影垂直; (4)转化为线与形成射影的斜线垂直. 113.证明直线与平面垂直的思考途径 (1)转化为该直线与平面内任一直线垂直; (2)转化为该直线与平面内相交二直线垂直; (3)转化为该直线与平面的一条垂线平行; (4)转化为该直线垂直于另一个平行平面; (5)转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直. 114.证明平面与平面的垂直的思考途径 (1)转化为判断二面角是直二面角; (2)转化为线面垂直. 115.空间向量的加法与数乘向量运算的运算律 (1)加法交换律:a+b=b+a. (2)加法结合律:(a+b)+c=a+(b+c). (3)数乘分配律:λ(a+b)=λa+λb. 116.平面向量加法的平行四边形法则向空间的推广 始点相同且不在同一个平面内的三个向量之和,等于以这三个向量为棱的平行六 面体的以公共始点为始点的对角线所表示的向量. 117. 共线向量定理

y 2 ? 2 px 上一点 P( x0 , y0 ) 处的切线方程是 y0 y ? p( x ? x0 ) .
(1)抛物线 (2)过抛物线

y 2 ? 2 px 外一点 P( x0 , y0 ) 所引两条切线的切点弦方程是 y0 y ? p( x ? x0 ) . y 2 ? 2 px( p ? 0) 与直线 Ax ? By ? C ? 0 相切的条件是 pB2 ? 2 AC .
105.两个常见的曲线系方程 (1)过曲线

(3)抛物线

f1 ( x, y) ? 0 , f 2 ( x, y) ? 0 的交点的曲线系方程是

f1 ( x, y) ? ? f 2 ( x, y) ? 0 ( ? 为参数).

x2 y2 ? ? 1 ,其中 a 2 ? k b2 ? k k ? max{a 2 , b2 } .当 k ? min{a 2 , b2 } 时,表示椭圆; 当 min{a 2 , b2 } ? k ? max{a 2 , b2 } 时,表示双曲线.
(2)共焦点的有心圆锥曲线系方程 106.直线与圆锥曲线相交的弦长公式

? 存在实数λ使 a=λb. P、A、B 三点共线 ? AP || AB ? AP ? t AB ? OP ? (1 ? t )OA ? tOB .
对空间任意两个向量 a、b(b≠0 ),a∥b

AB || CD ? AB 、 CD 共线且 AB、CD 不共线

? AB ? tCD 且 AB、CD 不共线.
118.共面向量定理 向量 p 与两个不共线的向量 a、b 共面的

AB ? ( x1 ? x2 )2 ? ( y1 ? y2 )2 或
?y ? kx ? b (弦端点 A ( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) ,由方程 ? 消去 y 得到 ?F( x, y) ? 0 ax 2 ? bx ? c ? 0 , ? ? 0 , ? 为直线 AB 的倾斜角, k 为直线的斜率).
107.圆锥曲线的两类对称问题

? 存在实数对 x, y ,使

ax AB ? (1 ? k 2 )( x2 ? x1 )2 ?| x1 ? x2 | 1 ? tan 2 ? ?| y1 ? y2 | 1p ?? co t 2? ?by .
推论

空间一点 P 位于平面 MAB 内的

? 存在有序实数对 x, y ,使

MP ? xMA ? yMB ,
或对空间任一定点 O,有序实数对 119.对空间任一点

x, y ,使 OP ? OM ? xMA ? yMB .

F ( x, y) ? 0 关于点 P( x0 , y0 ) 成中心对称的曲线是 F (2 x0 -x, 2 y0 ? y) ? 0 . (2)曲线 F ( x, y ) ? 0 关于直线 Ax ? By ? C ? 0 成轴对称的曲线是 2 A( Ax ? By ? C ) 2 B( Ax ? By ? C ) F (x ? ,y? ) ? 0. 2 2 A ?B A2 ? B 2
(1)曲线 108.“四线”一方程

O 和不共线的三点 A、B、C,满足 ,则当 k ? 1 时,对于空 OP ? xOA ? yOB ? zOC ( x ? y ? z ? k ) 间任一点 O ,总有 P、A、B、C 四点共面;当 k ? 1 时,若 O ? 平面 ABC,则 P、A、 B、C 四点共面;若 O ? 平面 ABC,则 P、A、B、C 四点不共面. A、B、 C、D 四点共面 ? AD 与 AB 、 AC 共面 ? AD ? x AB ? y AC ?
OD ? (1 ? x ? y)OA ? xOB ? yOC ( O ? 平面 ABC).
120.空间向量基本定理 如果三个向量 a、b、c 不共面,那么对空间任一向量 p,存在一个唯一的有序实 数组 x,y,z,使 p=xa+yb+zc. 推论 设 O、A、B、C 是不共面的四点,则对空间任一点 P,都存在唯一的三个有 序实数 x,y,z,使 OP

Ax2 ? Bxy ? Cy 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 ,用 x y ? xy0 x0 ? x x0 x 代 x 2 ,用 y0 y 代 y 2 ,用 0 代 xy ,用 代 x ,用 2 2
对于一般的二次曲线

? xOA ? yOB ? zOC .

121.射影公式



AB =a 和轴 l ,e 是 l 上与 l 同方向的单位向量.作 A 点在 l 上的射影 ' A ,作 B 点在 l 上的射影 B ' ,则 A' B' ?| AB | cos 〈a,e〉=a·e
已知向量 122.向量的直角坐标运算 设 a= (a1 , a2 , a3 ) ,b= (b 1 , b2 , b3 ) 则 (1)a+b= (a1 (2)a-b= (a1 (3)λa= (

tan 2 ?1 ? tan 2 ?2 ? (sin 2 A' ? sin 2 B' ) tan 2 ? .
特别地,当 ?AOB
2 2

? 90 时,有 sin ?1 ? sin ?2 ? sin 2 ? . 131. 二面角 ? ? l ? ? 的平面角

? b1 , a2 ? b2 , a3 ? b3 ) ; ? b1 , a2 ? b2 , a3 ? b3 ) ;
(λ∈R);

? ? arc cos

? a1 , ? a2 , ? a3 )

? , ? 的法向量).
132.三余弦定理

m?n m?n 或 ? ? arc cos ( m , n 为平面 | m || n | | m || n |

(4)a·b= a1b 1

? a2b2 ? a3b3 ; y2 , z2 ) ,则

123.设 A ( x1 , y1 , z1 ) ,B ( x2 ,

? AB 与 AC 所成的角为 ? 2 ,AO 与 AC 所成的角为 ? .则 cos? ? cos?1 cos? 2 .
133. 三射线定理 若夹在平面角为

设 AC 是α内的任一条直线,且 BC⊥AC,垂足为 C,又设 AO 与 AB 所成的角为 1 ,

AB ? OB ? OA = ( x2 ? x1 , y2 ? y1 , z2 ? z1 ) .


? 的二面角间的线段与二面角的两个半平面所成的角是

r r a ? ( x1 , y1 , z1 ) , b ? ( x2 , y2 , z2 ) ,则

124.空间的线线平行或垂直

? x1 ? ? x2 r r r r r r ? a P b ? a ? ? b(b ? 0) ? ? y1 ? ? y2 ; ?z ? ? z 2 ? 1 r r r r a ? b ? a ? b ? 0 ? x1 x2 ? y1 y2 ? z1 z2 ? 0 .
125.夹角公式 设 a= (a1 , a2 , a3 ) ,b= (b 1 , b2 , b3 ) ,则 cos〈a,b〉=

?1 , ? 2 ,与二面角的棱所成的角是θ,则有 sin 2 ? sin 2 ? ? sin 2 ?1 ? sin 2 ? 2 ? 2sin ?1 sin ? 2 cos ? ; | ?1 ? ? 2 |? ? ? 180 ? (?1 ? ? 2 ) (当且仅当? ? 90 时等号成立).
134.空间两点间的距离公式 若 A ( x1 , y1 , z1 ) ,B ( x2 ,

y2 , z2 ) ,则

d A, B = | AB |? AB ? AB

a1b1 ? a2b2 ? a3b3
2 2 2 a ? a2 ? a3 b12 ? b2 ? b32 2 1

.

推论

2 2 2 2 此 (a1b1 ? a2b2 ? a3b3 )2 ? (a12 ? a2 ? a3 )(b12 ? b2 ? b3 ),

? ( x2 ? x1 )2 ? ( y2 ? y1 )2 ? ( z2 ? z1 )2 . 135.点 Q 到直线 l 距离 1 直线 l 的方向向量 h? (| a || b |)2 ? (a ? b)2 (点 P 在直线 l 上, |a|
a= PA ,向量 b= PQ ). 136. 异面直线间的距离

即三维柯西不等式. 126. 四面体的对棱所成的角 四面体

ABCD 中, AC 与 BD 所成的角为 ? ,则
| ( AB 2 ? CD 2 ) ? ( BC 2 ? DA2 ) | . 2 AC ? BD

cos ? ?

r r cos ? ?| cos a, b | r r | x1 x2 ? y1 y2 ? z1 z2 | | a ?b | r ? = r 2 | a |?| b | x1 ? y12 ? z12 ? x2 2 ? y2 2 ? z2 2 r r o o b 所成角, a, b 分别表示异面直线 (其中 ? ( 0 ? ? ? 90 )为异面直线 a, a, b 的方向向量) 128. 直线 AB 与平面所成角 AB ? m ? ? arc sin ( m 为平面 ? 的法向量). | AB || m | 129.若 ?ABC 所在平面若 ? 与过若 AB 的平面 ? 成的角 ? ,另两边 AC , BC 与平面 ? 成的角分别是 ?1 、 ? 2 , A、B 为 ?ABC 的两个内角,


127.异面直线所成角

| CD ? n | ( l1 , l2 是两异面直线,其公垂向量为 n , C、D 分别是 |n| l1 , l2 上任一点, d 为 l1 , l2 间的距离). 137. 点 B 到平面 ? 的距离 | AB ? n | ( n 为平面 ? 的法向量, AB 是经过面 ? 的一条斜线, d? |n| A ? ? ). d?
138. 异面直线上两点距离公式

d ? h2 ? m2 ? n2 2mn cos ?

. .

d ? h2 ? m2 ? n2 ? 2mn cos EA' , AF
d ? h2 ? m2 ? n2 ? 2mn cos ?
(两条异面直线 a、b 所成的角为θ,其公垂线段 139.三个向量和的平方公式 (

? ? E ? AA' ? F ).

AA' 的长度为 h.在直线 a、b 上分别 ' 取两点 E、F, A E ? m , AF ? n , EF ? d ).

(a ? b ? c)2 ? a ? b ? c ? 2a ? b ? 2b ? c ? 2c ? a
2 2 2

2

2

2

sin ?1 ? sin ?2 ? (sin A ? sin B)sin ? .
2 2 2 2 2

? a ? b ? c ? 2 | a | ? | b | cos a, b ? 2 | b | ? | c | cos b, c ?
140. 长度为 的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为

特别地,当 ?ACB
2 2

? 90 时,有 sin ?1 ? sin ?2 ? sin 2 ? . 130.若 ?ABC 所在平面若 ? 与过若 AB 的平面 ? 成的角 ? ,另两边

l1、l2、l3 ,夹角分别为 ?1、? 2、? 3 ,则有
2 l 2 ? l12 ? l2 ? l32 ? cos2 ?1 ? cos2 ? 2 ? cos2 ?3 ? 1

l

AC , BC 与平面 ? 成的角分别是 ?1 、 ? 2 , A'、B' 为 ?ABO 的两个内角,

? sin 2 ?1 ? sin 2 ?2 ? sin 2 ?3 ? 2 .
(立体几何中长方体对角线长的公式是其特例). 141. 面积射影定理

(3)

m m?1 ; An ? nAn ?1 n n ?1 n ; ? An ?1 ? An

(4) nAn (5)

S' S? cos?

. (6)

m m m?1 . An ?1 ? An ? mAn 1!? 2 ? 2!? 3 ? 3!? ? n ? n! ? (n ? 1)!?1 .

(平面多边形及其射影的面积分别是

? ).
142. 斜棱柱的直截面

S 、S

'

,它们所在平面所成锐二面角的为

153.组合数公式

已知斜棱柱的侧棱长是 ,侧面积和体积分别是 S斜棱柱侧 和 V斜棱柱 ,它的直截 面的周长和面积分别是 c1 和 S1 ,则 ①

l

Anm n(n ? 1) ?(n ? m ? 1) n! = = ( n ∈N , m Am 1? 2 ? ?? m m! ? (n ? m)! m ? N ,且 m ? n ).
m = Cn
*

154.组合数的两个性质 (1) C n = C n (2)
m n?m

S斜棱柱侧 ? c1l . ? S1l .

;
m Cn ?1 .

② V斜棱柱

C

m n +

C
0

m ?1 = n

143.作截面的依据 三个平面两两相交,有三条交线,则这三条交线交于一点或互相平行 . 144.棱锥的平行截面的性质 如果棱锥被平行于底面的平面所截,那么所得的截面与底面相似,截面面积与底 面面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比(对应角相等,对应边对应成比例 的多边形是相似多边形,相似多边形面积的比等于对应边的比的平方) ;相应小棱锥与 小棱锥的侧面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比. 145.欧拉定理(欧拉公式)

注:规定 C n

?1.

155.组合恒等式

V ? F ? E ? 2 (简单多面体的顶点数 V、棱数 E 和面数 F). E =各面多边形边数和的一半.特别地,若每个面的边数为 n 的多边形,则 1 面数 F 与棱数 E 的关系: E ? nF ; 2 1 (2) 若每个顶点引出的棱数为 m , 则顶点数 V 与棱数 E 的关系: E ? mV . 2
(1) 146.球的半径是 R,则

n ? m ? 1 m?1 Cn ; m n m m (2) Cn ? Cn ?1 ; n?m n m?1 m (3) Cn ? Cn ?1 ; m
(1) Cn
m

?

( 4)

r ?0 r ( 5) r

?C
0

n

r n =

2n ;

r r ?1 C ? Crr?1 ? Crr? 2 ? ? ? Cn ? Cn ?1 . 1 2 r n ? Cn ? Cn ? ? ? Cn ? ? ? Cn ? 2n . 3 5 0 2 4 ? Cn ? Cn ? ? ? Cn ? Cn ? Cn ? ?2 n?1 .

4 3 其体积 V ? ? R , 3 2 其表面积 S ? 4? R .
147.球的组合体 (1)球与长方体的组合体: 长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长. (2)球与正方体的组合体: 正方体的内切球的直径是正方体的棱长, 正方体的棱切球的直径是正方体的面对 角线长, 正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长. (3) 球与正四面体的组合体: 棱长为

(6) C n

(7) C n (8) C n
1

1

2 3 n ? 2Cn ? 3Cn ? ? ? nCn ? n2 n?1 . r 0 r ?1 1 0r r r ? Cm Cn ? ? ? Cm Cn ? Cm ?n .

(9) C m C n (10) (C n

a 的正四面体的内切球的半径为

6 6 a ,外接球的半径为 a. 12 4

0 2

1 2 2 2 n 2 n ) ? (Cn ) ? (Cn ) ? ? ? (Cn ) ? C2 n.

148.柱体、锥体的体积

156.排列数与组合数的关系
m m An ?m ! ? Cn

1 V柱体 ? Sh ( S 是柱体的底面积、 h 是柱体的高). 3 1 V锥体 ? Sh ( S 是锥体的底面积、 h 是锥体的高). 3
149.分类计数原理(加法原理)

.

157.单条件排列 以下各条的大前提是从 个元素中取 (1) “在位”与“不在位”

n

m 个元素的排列.

①某(特)元必在某位有 集思想) ?

m ?1 m m ?1 An ?1 种;②某(特)元不在某位有 An ? An ?1 (补

N ? m1 ? m2 ? N ? m1 ? m2 ?
151.排列数公式

? mn . ? mn .

1 m ?1 m 1 m ?1 An ?1 An ?1 (着眼位置) ? An ?1 ? Am ?1 An ?1 (着眼元素)种. m?k ? m ? n) 个元在固定位的排列有 Akk An ? k 种.

150.分步计数原理(乘法原理)

(2)紧贴与插空(即相邻与不相邻) ①定位紧贴: k (k

m An = n(n ? 1) ?(n ? m ? 1) =

m ? n ).
m n

n! .( n , m ∈N ,且 (n ? m)!
*

②浮动紧贴:

n ? k ?1 k n 个元素的全排列把 k 个元排在一起的排法有 An ? k ?1 Ak 种. 注:

此类问题常用捆绑法;

注:规定 . 152.排列恒等式 (1)

0!? 1

k ? h ? 1) ,把它们合在一起来作全排列, h k k 个的一组互不能挨近的所有排列数有 Ah Ah ?1 种.
③插空:两组元素分别有 k、h 个( (3)两组元素各相同的插空

A ? (n ? m ? 1) A
m An ?

m?1 ; n

(2)

n m An ?1 ; n?m

m 个大球 n 个小球排成一列,小球必分开,问有多少种排法? n Am n ?1 ? Cm 当 n ? m ? 1 时,无解;当 n ? m ? 1 时,有 ?1 种排法. n An
(4)两组相同元素的排列:两组元素有 m 个和 n 个,各组元素分别相同的排列

数为 Cm ? n . 158.分配问题 (1)(平均分组有归属问题)将相异的 其分配方法数共有

n

160.不定方程 x1 +x2 +

+xn ? m 的解的个数

m 、n 个物件等分给 m 个人,各得 n 件,
(mn)! . (n!) m

(1)方程 个.

x1 +x2 +

n ?1 +xn ? m ( n, m ? N ? )的正整数解有 C m ?1

n n n n n N ? C mn ? C mn ? n ? C mn ? 2 n ? ? ? C 2 n ? C n ?

(2) 方程 x1 +x2 +
1 C nn?? 个. m?1

+xn ? m ( n, m ? N ? )的非负整数解有 +xn ? m ( n, m ? N ? )满足条件 +xn ? m ( n, m ? N ? )满足条件
2 n ?1 ? (?1)n?2 Cnn?? Cm?1?( n?2) k 2

(2) (平均分组无归属问题)将相异的 堆,其分配方法数共有

m n 个物体等分为无记号或无顺序的 m
·

(3) 方程 x1 +x2 +

n n n n n Cmn ? Cmn (mn)! ? n ? Cmn ? 2 n ... ? C2 n ? Cn . ? m! m!(n!)m (3)(非平均分组有归属问题)将相异的 P(P=n1 +n2 + +n m ) 个物体分给 m 个人,物件必须被分完,分别得到 n1 , n2 ,?, nm 件,且 n1 ,n2 ,?, nm 这 m 个数彼此不相等,则其分配方法数共有

N?

n ?1 个. xi ? k ( k ? N ? , 2 ? i ? n ? 1 )的非负整数解有 C m ?1 ? ( n ? 2)( k ?1)

(4) 方程 x1 +x2 +

xi ? k ( k ? N ? , 2 ? i ? n ? 1 )的正整数解有
1 n ?1 n ?1 Cnn?? ? C1 Cm ? Cn2?2 Cm ? m?1 n? 2 ? n ?k ? 2 ?n?2 k ?3

nm n1 n2 N ? Cp ? Cp ? n1 ...Cn m ? m!?

p!m! . n1!n2!...nm!

个. 161.二项式定理

(4)(非完全平均分组有归属问题)将相异的 P(P=n1 +n2 + 分给

+n m ) 个物体

0 n 1 n ?1 2 n ?2 2 r n?r r (a ? b) n ? Cn a ? Cn a b ? Cn a b ? ? ? Cn a b

m 个人,物件必须被分完,分别得到 n1 , n2 ,?, nm 件,且 n1 , n2 ,?, nm 这 m 个数中分别有 a、b、c、?个相等,则其分配方法数有
N? p !m! . a!b!c!... n1 !n2 !...nm !(a !b !c !...) (5)(非平均分组无归属问题)将相异的 P(P=n1 +n2 + +n m ) 个物体分为 ? C ?C
n1 p n2 p ? n1

; 二项展开式的通项公式
r n?r r Tr ?1 ? Cn a b (r ? 0, 1 , 2?,n) .

162.等可能性事件的概率

...C

nm nm

? m!

P( A) ?

m . n

m 堆,且 n1 , n2 ,?, nm 这 m 个数彼 p! 此不相等,则其分配方法数有 N ? . n1!n2!...nm! +n m ) 个物体 (6)(非完全平均分组无归属问题)将相异的 P(P=n1 +n2 + 分为任意的 n1 , n2 ,?, nm 件无记号的 m 堆,且 n1 , n2 ,?, nm 这 m 个
任意的 n1 , n2 ,?, nm 件无记号的 数中分别有 a、b、c、?个相等,则其分配方法数有

163.互斥事件 A,B 分别发生的概率的和 P(A+B)=P(A)+P(B). 164. 个互斥事件分别发生的概率的和 P(A1+A2+?+An)=P(A1)+P(A2)+?+P(An).

n

165.独立事件 A,B 同时发生的概率 P(A·B)= P(A)·P(B). 166.n 个独立事件同时发生的概率 P(A1· A2·?· An)=P(A1)· P(A2)·?· P(An). 167.n 次独立重复试验中某事件恰好发生 k 次的概率
k k Pn (k ) ? Cn P (1 ? P)n?k .

168.离散型随机变量的分布列的两个性质 (1) P i

p! . N? n1!n2!...nm!(a!b!c!...)
(7)(限定分组有归属问题)将相异的 给甲、乙、丙,??等

? 0(i ? 1, 2, ) ; ? P2 ? ? 1. ? xn Pn ?

p ( p ? n1 +n2 +

(2) P 1

+nm )个物体分

169.数学期望

m 个人,物体必须被分完,如果指定甲得 n1 件,乙得 n2 件, 丙得 n3 件,?时,则无论 n1 , n2 ,?, nm 等 m 个数是否全相异或不全相异其
分配方法数恒有
nm n1 n2 N ? Cp ? Cp ? n1 ...Cn m ?

E? ? x1P 1 ? x2 P 2 ?
170.数学期望的性质 ( 1) E ( a

p! . n1!n2!...nm!

159. “错位问题”及其推广

? ? b) ? aE(? ) ? b . (2)若 ? ~ B(n, p) ,则 E? ? np . k ?1 (3) 若 ? 服从几何分布,且 P(? ? k ) ? g (k , p) ? q p ,则 1 E? ? . p
171.方差

n 封信与 n 个信封全部错位的组合数为 1 1 1 1 f (n) ? n ![ ? ? ? ? (?1)n ] . 2! 3! 4! n! 推广: n 个元素与 n 个位置, 其中至少有 m 个元素错位的不同组合总数为
贝努利装错笺问题:信

D? ? ? x1 ? E? ? ? p1 ? ? x2 ? E? ? ? p2 ?
2 2

? ? xn ? E? ? ? pn
2

172.标准差

??
4 m

=

D?

.

f (n, m) ? n !? C (n ? 1)!? C (n ? 2)!? C (n ? 3)!? C (n ? 4)!
1 m 2 m 3 m

173.方差的性质 (1)

?

p ? (?1) p Cm (n ? p)!?

m ? (?1) m Cm (n ? m)!

D ? a? ? b ? ? a 2 D? ; (2)若 ? ~ B(n, p) ,则 D? ? np(1 ? p) .
(3)

? n ![1 ?
.

1 2 3 4 Cm Cm Cm Cm ? ? ? ? 1 2 2 4 An An An An

? (?1) p

p Cm ? Anp

? 服从几何分布,且 P(? ? k ) ? g (k , p) ? q k ?1 p ,则 m m Cm q ? (?1)D ] 2. ?? m An p
若 174.方差与期望的关系

D? ? E? 2 ? ? E? ?
175.正态分布密度函数
? 1 f ? x? ? e 2? 6

2

.

如果函数 f(x),g(x),h(x)在点 x0 的附近满足:

? x ? ? ?2
262

g ( x) ? f ( x) ? h( x) ; (2) lim g ( x) ? a, lim h( x) ? a (常数),
(1)

, x ? ? ??, ?? ? ,式中的实数μ, ?

x ? x0

x ? x0





? >0)是参数,分别表示个体的平均数与标准差.
176.标准正态分布密度函数
x ? 1 f ? x? ? e 2 , x ? ? ??, ?? ? . 2? 6 2 177.对于 N ( ? , ? ) ,取值小于 x 的概率 ? x?? ? F ? x? ? ? ? ?. ? ? ? P?x1 ? x0 ? x2 ? ? P?x ? x2 ? ? P?x ? x1 ?
2

x ? x0

lim f ( x) ? a .
本定理对于单侧极限和 183. 几个常用极限 (1) lim

x ? ? 的情况仍然成立.

1 ; ? 0 , lim a n ? 0 ( | a |? 1 ) n ?? n ?? n 1 1 (2) lim x ? x0 , lim ? . x ? x0 x x ? x0 x0
184. 两个重要的极限 (1) lim
x ?0

? F ? x2 ? ? F ? x1 ?

sin x ?1; x

? x ?? ? ? x1 ? ? ? ? ?? 2 ? ??? ?. ? ? ? ? ? ?
178.回归直线方程

(2) lim ? 1 ?

? x ?? ?

1? ? ? e (e=2.718281845?). x?
x ? x0

x

185. 函数极限的四则运算法则 若
x ? x0

lim f ( x) ? a , lim g ( x) ? b ,则
x ? x0

y ? a ? bx ,其中
n n ? x ? x y ? y xi yi ? nx y ? ?? ? ? ? i i ? i ?1 i ?1 ?b ? ? n n 2 . ? xi 2 ? nx 2 ? xi ? x ? ? ? ? i ?1 i ?1 ? ?a ? y ? bx

(1) lim (2) lim
x ? x0

? ? f ? x ? ? g ? x ?? ? ? a ?b; ? ? f ? x ? ? g ? x ?? ? ? a ?b ;

(3) lim
x ? x0

f ? x? a ? ?b ? 0? . g ? x? b
? a, lim bn ? b ,则
n ??

186. 数列极限的四则运算法则 若 lim an
n ??

179.相关系数

r?

? ? x ? x ?? y ? y ?
i ?1 i i

n

(1) (2)

lim ? an ? bn ? ? a ? b ; lim ? an ? bn ? ? a ? b ;
n ?? n ??

? (x ? x ) ? ( y ? y)
2 i ?1 i i ?1 i

n

n

2

?

? ? x ? x ?? y ? y ?
i ?1 i i

n

(3) lim

(? xi 2 ? nx 2 )(? yi 2 ? ny 2 )
i ?1 i ?1

n

n

.

(4) 187.

lim ? c ? an ? ? lim c ? lim an ? c ? a ( c 是常数).
n?? n ?? n ??

an a ? ?b ? 0? n ?? b b n

f ( x)

在 x0 处的导数(或变化率或微商)
x ? x0

|r|≤1,且|r|越接近于 1,相关程度越大;|r|越接近于 0,相关程度越小. 180.特殊数列的极限

f ?( x0 ) ? y?
188.瞬时速度

? lim

?x ?0

?0 ? n (1) lim q ? ?1 n ?? ?不存在 ?

| q |? 1 q ?1 | q |? 1或q ? ?1
(k ? t ) (k ? t ) (k ? t )
. .

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?y ? lim ? x ? 0 ?x ?x

.

? ? s?(t ) ? lim
189.瞬时加速度

?s s(t ? ?t ) ? s(t ) ? lim . ?t ?0 ?t ?t ?0 ?t

?0 ? ak n k ? ak ?1n k ?1 ? ? a0 ? at (2) lim ?? n ?? b n t ? b n t ?1 ? ? b0 t t ?1 ? bk ?不存在 ?
(3)

S ? lim
n ??

a1 1 ? q n 1? q

?

??

a1 n ?1 ( S 无穷等比数列 a q ? 1 1? q

?

( | q |? 1 )的和). 181. 函数的极限定理
x ? x0

?v v(t ? ?t ) ? v(t ) ? lim . ?t ?0 ?t ?t ?0 ?t 190. f ( x) 在 (a, b) 的导数 dy df f ?( x) ? y? ? ? dx dx ?y f ( x ? ?x) ? f ( x) ? lim ? lim . ?x ?0 ?x ?x ?0 ?x 191. 函数 y ? f ( x) 在点 x0 处的导数的几何意义 a ? v?(t ) ? lim
y ? f ( x) 在点 x0 处的导数是曲线 y ? f ( x) 在 P( x0 , f ( x0 )) 处的切线的斜率 f ?( x0 ) ,相应的切线方程是 y ? y0 ? f ?( x0 )( x ? x0 ) .
函数 192.几种常见函数的导数

lim f ( x) ? a ? lim? f ( x) ? lim? f ( x) ? a .
x ? x0 x ? x0

182. 函数的夹逼性定理

(5)

C? ? 0 (C 为常数). ' n ?1 (2) ( xn ) ? nx (n ? Q) . (3) (sin x)? ? cos x . (4) (cos x)? ? ? sin x . 1 1 e (ln x)? ? ; (log a x )? ? log a . x x x x x x (6) (e )? ? e ; (a )? ? a ln a .
(1) 193.导数的运算法则 (1) (u ? v) (2) (uv) (3)
' '

d ?| z1 ? z2 |? ( x2 ? x1 )2 ? ( y2 ? y1 )2
z2 ? x2 ? y2i ).
202.向量的垂直

( z1

? x1 ? y1i ,

? a ? bi , z2 ? c ? di 对应的向量分别是 OZ1 ,OZ 2 ,则 z OZ1 ? OZ 2 ? z1 ? z2 的实部为零 ? 2 为纯虚数 z1
非零复数 z1

? | z1 ? z2 |2 ?| z1 |2 ? | z2 |2 ? | z1 ? z2 |2 ?| z1 |2 ? | z2 |2 ? | z1 ? z2 |?| z1 ? z2 | ?

? u ' ? v' .
' '

? u 'v ? uv' .

ac ? bd ? 0 ? z1 ? ?iz2
203.实系数一元二次方程的解 实系数一元二次方程 ax ①若 ?
2 2

(λ为非零实数).

u u v ? uv ( )' ? (v ? 0) . v v2
? ? ( x) 在点 x 处有导数 ux ' ? ? ' ( x) ,函数 y ? f (u) 在点

? bx ? c ? 0 , 0 ,则 1,2

194.复合函数的求导法则 设函数 u

x 处的对应点 U 处有导数 yu ' ? f ' (u ) ,则复合函数 y ? f (? ( x)) 在点 x 处
有导数,且
' ' ' ' ' ' ,或写作 f x (? ( x)) ? f (u )? ( x) . yx ? yu ? ux

195.常用的近似计算公式(当

x

?b ? b 2 ? 4ac ; x ? ? b ? 4ac ? 2a b 2 ②若 ? ? b ? 4ac ? 0 ,则 x1 ? x2 ? ? ; 2a 2 ③若 ? ? b ? 4ac ? 0 ,它在实数集 R 内没有实数根;在复数集 C 内有
且仅有两个共轭复数根

充小时)

1 n 1 x ; 1? x ?1? x ; 2 n 1 ? (2) (1 ? x) ? 1 ? ? x(? ? R) ; ?1? x ; 1? x x (3) e ? 1 ? x ; (4) ln (1 ? x) ? x ; (5) sin x ? x ( x 为弧度) ; (6) tan x ? x ( x 为弧度) ; (7) arctan x ? x ( x 为弧度) 196.判别 f ( x0 ) 是极大(小)值的方法
(1)

x?

1? x ?1?

?b ? ?(b2 ? 4ac)i 2 (b ? 4ac ? 0) . 2a

f ( x) 在点 x0 处连续时, (1)如果在 x0 附近的左侧 f ?( x) ? 0 ,右侧 f ?( x) ? 0 ,则 f ( x0 ) 是
当函数 极大值; (2)如果在

x0 附近的左侧 f ?( x) ? 0 ,右侧 f ?( x) ? 0 ,则 f ( x0 ) 是

极小值. 197.复数的相等

a ? bi ? c ? di ? a ? c, b ? d .( a, b, c, d ? R ) 198.复数 z ? a ? bi 的模(或绝对值)
2 2 | z | = | a ? bi | = a ? b

.

199.复数的四则运算法则 (1) (a ? bi) ? (c ? di )

? (a ? c) ? (b ? d )i ; (2) (a ? bi) ? (c ? di) ? (a ? c) ? (b ? d )i ; (3) (a ? bi )(c ? di) ? (ac ? bd ) ? (bc ? ad )i ; ac ? bd bc ? ad ? i(c ? di ? 0) . (4) (a ? bi ) ? (c ? di ) ? c2 ? d 2 c2 ? d 2
200.复数的乘法的运算律 对于任何 z1 , z2 , z3 交换律: z1 ? z2

? C ,有 ? z1 ? ( z2 ? z3 ) .
.

? z2 ? z1 . ? z3 ) ? z1 ? z2 ? z1 ? z3

结合律: ( z1 ? z2 ) ? z3 分配律: z1 ? ( z2

201.复平面上的两点间的距离公式



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