9512.net
甜梦文库
当前位置:首页 >> 数学 >>

高中数学公式大全【最新最全最清晰】pdf版



高中数学常用公式及常用结论
1. 元素与集合的关系

x ? A ? x ? CU A , x ? CU A ? x ? A .
2.德摩根公式

f ( x) ? x2 ? px ? q ,则 (1)方程 f ( x) ? 0 在区间 (m,??) 内有根的充要条件为 f (m) ? 0 或

<

br />CU ( A B) ? CU A CU B; CU ( A B) ? CU A CU B .
3.包含关系

A B ? A ? A B ? B ? A ? B ? CU B ? CU A ? A CU B ? ? ? CU A B ? R
4.容斥原理

card ( A B) ? cardA ? cardB ? card ( A B)
card ( A B C) ? cardA ? cardB ? cardC ? card ( A B)

? card ( A B) ? card (B C) ? card (C A) ? card ( A B C ) .
5.集合 {a1 , a2 , 有

, an } 的子集个数共有 2n

个;真子集有

2n –1 个;非空子集

2n

–1 个;非空的真子集有 –2 个. 6.二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式 (2)顶点式

2n

? p 2 ? 4q ? 0 ? ; ? p ? ? m ? ? 2 (2)方程 f ( x) ? 0 在区间 (m, n) 内有根的充要条件为 ? f ( m) ? 0 ? f ( n) ? 0 ? ? f ( m) ? 0 ? f ( n ) ? 0 ? 或? ; f (m) f (n) ? 0 或 ? p 2 ? 4q ? 0 或 ? ?af (n) ? 0 ?af (m) ? 0 ? ?m ? ? p ? n ? ? 2 (3)方程 f ( x) ? 0 在区间 (??, n) 内有根的充要条件为 f (m) ? 0 或 ? p 2 ? 4q ? 0 ? ? p ?? ? m ? 2
.

f ( x) ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) ;

f ( x) ? a( x ? h)2 ? k (a ? 0) ; (3)零点式 f ( x) ? a( x ? x1 )( x ? x2 )(a ? 0) . 7. 解连不等式 N ? f ( x) ? M 常有以下转化形式 N ? f ( x) ? M ? [ f ( x) ? M ][ f ( x) ? N ] ? 0 M ?N M ?N f ( x) ? N ? | f ( x) ? ? |? ?0 2 2 M ? f ( x) 1 1 . ? ? f ( x) ? N M ? N 8.方程 f ( x) ? 0 在 (k1 , k 2 ) 上有且只有一个实根,与 f (k1 ) f (k 2 ) ? 0 不等价,前者是后者的一个必要而不是充分条件.特别地,
程 ax

11.定区间上含参数的二次不等式恒成立的条件依据 (1)在给定区间 (??,??) 的子区间 L (形如

?? ,??? 不同)上含参数的二次不等式 f ( x, t ) ? 0 ( t 为参数)恒成立的充要条
f ( x, t )min ? 0( x ? L) . (2)在给定区间 (??,??) 的子区间上含参数的二次不等式 f ( x, t ) ? 0 ( t 为参数)恒成立的充要条件是 f ( x, t ) man ? 0( x ? L) .
件是 方

?? , ? ? , ?? ?, ? ?,

? bx ? c ? 0(a ? 0) 有且只有一个实根在 (k1 , k 2 ) 内,等价于 b k1 ? k 2 ? ,或 f (k1 ) f (k 2 ) ? 0 ,或 f (k1 ) ? 0 且 k1 ? ? 2a 2 k ? k2 b ?? ? k2 . f (k 2 ) ? 0 且 1 2 2a
2

?a ? 0 ? 4 2 (3) f ( x) ? ax ? bx ? c ? 0 恒成立的充要条件是 ?b ? 0 或 ?c ? 0 ? ?a ? 0 . ? 2 ?b ? 4ac ? 0
12.真值表 p q 真 真 真 假 假 真 假 假 13.常见结论的否定形式 原结论 是 都是 大于 小于 对所有 成立 非p 假 假 真 真 反设词 不是 不都是 不大于 不小于 p或q 真 真 真 假 p且q 真 假 假 假 原结论 至少有一个 至多有一个 至少有 个 至多有 个 反设词 一个也没有 至少有两个 至多有( 至少有(

二次函数

f ( x) ? ax 2 ? bx ? c(a ? 0) 在闭区间 ? p, q? 上的最值只能在 b x ? ? 处及区间的两端点处取得,具体如下: 2a b ? ? p, q ?,则 (1)当 a>0 时,若 x ? ? 2a b f ( x)min ? f (? ), f ( x) max ?max ? f ( p), f (q)? ; 2a b x ? ? ? ? p, q ?, f ( x)max ?max ? f ( p), f (q)? , 2a f ( x)min ?min ? f ( p), f (q)? .
(2)当 a<0 时,若

9.闭区间上的二次函数的最值

n n

n ? 1 )个 n ? 1 )个

x, x

存在某 不成立 存在某 成立

x, x,

p 或q p 且q

?p 且 ?q ?p 或 ?q

对任何 , 不成立 14.四种命题的相互关系

x??

b ? ? p, q ?,则 2a

f ( x)min ? min ? f ( p), f (q)? ,若 x ? ? f ( x)max
一个实根 . 10.一元二次方程的实根分布 依据:若

b ? ? p, q ?,则 2a ? max ? f ( p), f (q)? , f ( x)min ? min ? f ( p), f (q)? .
f (m) f (n) ? 0 ,则方程 f ( x) ? 0 在区间 (m, n) 内至少有
15. 充要条件 (1)充分条件:若

p ? q ,则 p 是 q 充分条件.

q ? p ,则 p 是 q 必要条件. (3)充要条件:若 p ? q ,且 q ? p ,则 p 是 q 充要条件.
(2)必要条件:若 注:如果甲是乙的充分条件,则乙是甲的必要条件;反之亦然 . 16.函数的单调性 (1)设 1

单位,得到曲线

f ( x ? a, y ? b) ? 0 的图象.

26.互为反函数的两个函数的关系

x ? x2 ? ?a, b?, x1 ? x2 那么 ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 )? ? 0 ?

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ? f ( x)在?a, b?上是增函数; x1 ? x2

f (a) ? b ? f ?1 (b) ? a . 27.若函数 y ? f (kx ? b) 存在反函数,则其反函数为 1 y ? [ f ?1 ( x) ? b] ,并不是 y ? [ f ?1 (kx ? b) ,而函数 k 1 y ? [ f ?1 (kx ? b) 是 y ? [ f ( x) ? b] 的反函数. k
28.几个常见的函数方程 (1)正比例函数

( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 )? ? 0 ?

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ? f ( x)在?a, b? 上是减函数. x1 ? x2 (2)设函数 y ? f ( x) 在某个区间内可导,如果 f ?( x) ? 0 ,则 f ( x) 为增 函数;如果 f ?( x) ? 0 ,则 f ( x) 为减函数. 17.如果函数 f ( x) 和 g ( x) 都是减函数,则在公共定义域内,和函数 f ( x) ? g ( x) 也是减函数; 如果函数 y ? f (u) 和 u ? g ( x) 在其对应的定 义域上都是减函数,则复合函数 y ? f [ g ( x)] 是增函数.
18.奇偶函数的图象特征 奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于 y 轴对称;反过来,如果一个函数 的图象关于原点对称,那么这个函数是奇函数;如果一个函数的图象关于 y 轴对称, 那么这个函数是偶函数.

f ( x) ? cx , f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y), f (1) ? c .

(2)指数函数 (3)对数函数

f ( x) ? a x , f ( x ? y) ? f ( x) f ( y), f (1) ? a ? 0 .

f ( x) ? log a x , f ( xy) ? f ( x) ? f ( y), f (a) ? 1(a ? 0, a ? 1) . f ( x) ? x? , f ( xy) ? f ( x) f ( y), f ' (1) ? ? . (5)余弦函数 f ( x) ? cos x ,正弦函数 g ( x) ? sin x , f ( x ? y ) ? f ( x) f ( y ) ? g ( x) g ( y ) , g ( x) f (0) ? 1, lim ?1. x ?0 x
(4)幂函数 29.几个函数方程的周期(约定 a>0)

y ? f ( x) 是偶函数,则 f ( x ? a) ? f (? x ? a) ;若函数 y ? f ( x ? a) 是偶函数,则 f ( x ? a) ? f (? x ? a) . 20.对于函数 y ? f ( x) ( x ? R ), f ( x ? a) ? f (b ? x) 恒成立,则 a?b 函数 f ( x) 的对称轴是函数 x ? ;两个函数 y ? f ( x ? a) 与 2 a?b 对称. y ? f (b ? x) 的图象关于直线 x ? 2 a 21.若 f ( x) ? ? f (? x ? a) ,则函数 y ? f ( x) 的图象关于点 ( ,0) 2 对称; 若 f ( x) ? ? f ( x ? a) ,则函数 y ? f ( x) 为周期为 2a 的周期函数.
19.若函数

f ( x) ? f ( x ? a) ,则 f ( x) 的周期 T=a; (2) f ( x) ? f ( x ? a) ? 0 , 1 或 f ( x ? a) ? ( f ( x) ? 0) , f ( x) 1 或 f ( x ? a) ? ? ( f ( x) ? 0) , f ( x) 1 或 ? f ( x) ? f 2 ( x) ? f ( x ? a), ( f ( x) ? ?0,1?) ,则 f ( x) 2
(1) 的周期 T=2a;

P( x) ? an x n ? an?1 x n?1 ? ? a0 的奇偶性 多项式函数 P( x) 是奇函数 ? P( x) 的偶次项(即奇数项)的系数全为零. 多项式函数 P( x) 是偶函数 ? P( x) 的奇次项(即偶数项)的系数全为零. 23.函数 y ? f ( x) 的图象的对称性 (1)函数 y ? f ( x) 的图象关于直线 x ? a 对称 ? f ( a ? x ) ? f ( a ? x) ? f (2a ? x) ? f ( x) . a?b (2)函数 y ? f ( x) 的图象关于直线 x ? 对称 2 ? f (a ? mx) ? f (b ? mx) ? f (a ? b ? mx) ? f (mx) .
22.多项式函数 24.两个函数图象的对称性 (1)函数 对称. (2)函数

1 ( f ( x) ? 0) ,则 f ( x) 的周期 T=3a; f ( x ? a) f ( x1 ) ? f ( x2 ) (4) f ( x1 ? x2 ) ? 且 1 ? f ( x1 ) f ( x2 ) f (a) ? 1( f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 1,0 ?| x1 ? x2 |? 2a) ,则 f ( x) 的周期
(3)

f ( x) ? 1 ?

T=4a;

f ( x) ? f ( x ? a) ? f ( x ? 2a) f ( x ? 3a) ? f ( x ? 4a) ? f ( x) f ( x ? a) f ( x ? 2a) f ( x ? 3a) f ( x ? 4a) ,则 f ( x) 的周期 T=5a; (6) f ( x ? a) ? f ( x) ? f ( x ? a) ,则 f ( x) 的周期 T=6a.
(5) 30.分数指数幂 (1)

an ?

m

1
n

(2)

a

m ? n

?

a 1

m

(a

? 0, m, n ? N ? ,且 n ? 1 ).

y ? f ( x) 与函数 y ? f (? x) 的图象关于直线 x ? 0 (即 y 轴) y ? f (mx ? a) 与函数 y ? f (b ? mx) 的图象关于直线

a
(1) (
n

m n

(a

? 0, m, n ? N ? ,且 n ? 1 ).

31.根式的性质

a )n ? a .

x?

a?b 对称. 2m ?1 ( x) 的图象关于直线 y=x 对称. (3)函数 y ? f ( x) 和 y ? f 25.若将函数 y ? f ( x) 的图象右移 a 、上移 b 个单位,得到函数 y ? f ( x ? a) ? b 的图象; 若将曲线 f ( x, y ) ? 0 的图象右移 a 、 上移 b 个

n 为奇数时, n a n ? a ; ? a, a ? 0 n n 当 n 为偶数时, a ?| a |? ? . ? ? a, a ? 0
(2)当 32.有理指数幂的运算性质 (1)

a r ? a s ? a r ? s (a ? 0, r , s ? Q) .

(2)

(a r )s ? a rs (a ? 0, r, s ? Q) .
r

(3) (ab)

? a b (a ? 0, b ? 0, r ? Q) .
r r

an ? a1q n?1 ?

a1 n ? q (n ? N * ) ; q

注: 若 a>0,p 是一个无理数,则 ap 表示一个确定的实数.上述有理指数幂的 运算性质,对于无理数指数幂都适用. 33.指数式与对数式的互化式

其前 n 项的和公式为

log a N ? b ? ab ? N (a ? 0, a ? 1, N ? 0)
34.对数的换底公式

.

log a N ?

N ? 0 ).
推论

log m N log m a

? a1 (1 ? q n ) ,q ?1 ? sn ? ? 1 ? q ?na , q ? 1 ? 1
? a1 ? an q ,q ?1 ? 或 sn ? ? 1 ? q . ?na , q ? 1 ? 1
42.等比差数列

(

a ? 0 ,且 a ? 1 , m ? 0 ,且 m ? 1,

n log a b ( a ? 0 ,且 a ? 1 , m, n ? 0 ,且 m m ? 1, n ? 1 , N ? 0 ). log am bn ?
35.对数的四则运算法则 若 a>0,a≠1,M>0,N>0,则 (1) log a ( MN ) (2)

?an ? : an?1 ? qan ? d , a1 ? b(q ? 0) 的通项公式为

? loga M ? loga N ;

M ? log a M ? log a N ; N n (3) log a M ? n log a M (n ? R) . log a
36.设函数

?b ? (n ? 1)d , q ? 1 ? an ? ? bq n ? (d ? b)q n ?1 ? d ; ,q ?1 ? q ?1 ?
其前 n 项和公式为

f ( x) ? log m (ax 2 ? bx ? c)(a ? 0) ,记

?nb ? n(n ? 1)d , (q ? 1) ? sn ? ? . d 1 ? qn d ( b ? ) ? n, (q ? 1) ? 1 ? q q ?1 1 ? q ?
43. 分期付款(按揭贷款) 每次还款

? ? b 2 ? 4ac .若 f ( x) 的定义域为 R ,则 a ? 0 ,且 ? ? 0 ;若 f ( x) 的值域为 R ,则 a ? 0 ,且 ? ? 0 .对于 a ? 0 的情形,需要单独检验.
37. 对数换底不等式及其推广 若

x?

ab(1 ? b)n 元(贷款 a 元, n 次还清, 每期利率为 b ). (1 ? b)n ? 1

a ? 0 , b ? 0, x ? 0 , x ?

1 ,则函数 y ? log ax (bx) a

44.常见三角不等式 (1)若

(1)当



1 1 a ? b 时,在 (0, ) 和 ( , ??) 上 y ? log ax (bx) 为增函数. a a 1 1 (2)当 a ? b 时,在 (0, ) 和 ( , ??) 上 y ? log ax (bx) 为减函数. a a
推论:设

x ? (0, ) ,则 sin x ? x ? tan x . 2

?

(2) 若 (3)

x ? (0, ) ,则 1 ? sin x ? cos x ? 2 . 2 | sin x | ? | cos x |? 1 . sin ? cos ?


?

45.同角三角函数的基本关系式

n ? m ? 1, p ? 0 , a ? 0 ,且 a ? 1 ,则
p) ? log m n .

sin 2 ? ? cos2 ? ? 1 , tan ? =
46.正弦、余弦的诱导公式

tan ? ? cot? ? 1 .

(1) log m? p (n ? (2) log a

m log a n ? log a 2

m?n . 2
p ,则对于时间 x 的总产值 y ,

38. 平均增长率的问题 如果原来产值的基础数为 N,平均增长率为 有

n ? 2 ( ? 1) sin ? , n? ? sin( ? ? ) ? ? n ?1 2 ?(?1) 2 co s ? , ?

(n 为偶数) (n 为奇数) (n 为偶数) (n 为奇数)

y ? N (1 ? p)

x

.

39.数列的同项公式与前 n 项的和的关系

n ?1 ? s1 , an ? ? ( ? sn ? sn ?1 , n ? 2 sn ? a1 ? a2 ? ? an ).
40.等差数列的通项公式

数列 {an } 的前 n 项的和为

? s , n? ?(? 1) co ? co s ( ? ? )? ? n ?1 2 ?(? 1) 2 s i? n , ?
n 2

an ? a1 ? (n ? 1)d ? dn ? a1 ? d (n ? N * ) ;
其前 n 项和公式为

sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos? sin ? ; cos(? ? ? ) ? cos? cos ? sin ? sin ? ; tan ? ? tan ? . tan(? ? ? ) ? 1 tan ? tan ? sin(? ? ? )sin(? ? ? ) ? sin 2 ? ? sin 2 ? (平方正弦公式);

47.和角与差角公式

cos(? ? ? ) cos(? ? ? ) ? cos2 ? ? sin 2 ?

.

n(a1 ? an ) n(n ? 1) ? na1 ? d 2 2 d 1 ? n2 ? (a1 ? d )n . 2 2 sn ?
41.等比数列的通项公式

a sin ? ? b cos? = a 2 ? b2 sin(? ? ? ) (辅助角 ? 所在象限由点 b (a, b) 的象限决定, tan ? ? ). a
48.二倍角公式

sin 2? ? sin ? cos? .

cos 2? ? cos2 ? ? sin 2 ? ? 2cos2 ? ?1 ? 1 ? 2sin 2 ? . 2 tan ? . tan 2? ? 1 ? tan 2 ?
49. 三倍角公式

cos x ? a(| a |? 1) ? x ? (2k? ? arccos a, 2k? ? arccos a), k ?
. .

cos x ? a(| a |? 1) ? x ? (2k? ? arccos a, 2k? ? 2? ? arccos a)

sin 3? ? 3sin ? ? 4sin ? ? 4sin ? sin( ? ? )sin( ? ? ) 3 3
3

?

?

tan x ? a(a ? R) ? x ? (k? ? arctan a, k? ? ), k ? Z . 2 tan x ? a(a ? R) ? x ? (k? ?
57.实数与向量的积的运算律 设λ、μ为实数,那么 (1) 结合律:λ(μa)=(λμ)a; (2)第一分配律:(λ+μ)a=λa+μa; (3)第二分配律:λ(a+b)=λa+λb. 58.向量的数量积的运算律: (1) a·b= b·a (交换律); (2)( a) ·b= (a·b)= a·b= a· ( b); (3)(a+b) ·c= a ·c +b·c. 59.平面向量基本定理 如果 e1 、e 2 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量, 有且只有一对实数λ1 、λ2 ,使得 a=λ1 e1 +λ2 e2 . 不共线的向量 e1 、e2 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底. 60.向量平行的坐标表示 设 a= ( x1 , y1 ) ,b= ( x2 , a b(b

?

?

.

cos3? ? 4cos3 ? ? 3cos? ? 4cos? cos( ? ? ) cos( ? ? ) 3 3
.

?

?

2

, k? ? arctan a), k ? Z .

tan 3? ?
.

3tan ? ? tan 3 ? ? ? ? tan ? tan( ? ? ) tan( ? ? ) 2 1 ? 3tan ? 3 3

?

?

?

?

50.三角函数的周期公式

y ? sin(? x ? ? ) ,x∈R 及函数 y ? cos(? x ? ? ) ,x∈R(A, 2? ω, ? 为常数,且 A≠0,ω>0)的周期 T ? ;函数 y ? tan(? x ? ? ) ,
函数

x ? k? ?

?
2

?

y2 ) ,且 b ? 0,则

, k ? Z (A,ω, ? 为常数,且 A≠0,ω>0)的周期 T ?

? ?

.

? 0) ? x 1 y2 ? x2 y1 ? 0 .

51.正弦定理

a b c ? ? ? 2R . sin A sin B sin C
52.余弦定理

53. a 与 b 的数量积(或内积) a·b=|a||b|cosθ. 61. a·b 的几何意义 数量积 a·b 等于 a 的长度|a| 与 b 在 a 的方向上的投影|b|cosθ的乘积. 62.平面向量的坐标运算 (1)设 a= ( x1 , y1 ) ,b= ( x2 , (2)设 a= ( x1 , y1 ) ,b= ( x2 , (3)设 A ( x1 , y1 ) ,B ( x2 ,

y2 ) ,则 a+b= ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) . y2 ) ,则 a-b= ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) .

a ? b ? c ? 2bc cos A ; b2 ? c2 ? a2 ? 2ca cos B ; c2 ? a 2 ? b2 ? 2ab cos C .
2 2 2

y2 ) ,则

53.面积定理 (1)

S? S?

1 1 1 aha ? bhb ? chc ( ha、hb、hc 分别表示 a、b、c 2 2 2

AB ? OB ? OA ? ( x2 ? x1 , y2 ? y1 ) . (4)设 a= ( x, y ), ? ? R ,则 ? a= (? x, ? y ) . (5)设 a= ( x1 , y1 ) ,b= ( x2 , y2 ) ,则 a·b= ( x1 x2 ? y1 y2 ) .
63.两向量的夹角公式

边上的高).

1 1 1 ab sin C ? bc sin A ? ca sin B . 2 2 2 1 (3) S?OAB ? (| OA | ? | OB |)2 ? (OA ? OB) 2 . 2
(2) 54.三角形内角和定理 在△ABC 中,有

cos? ?

x1 x2 ? y1 y2
2 2 x12 ? y12 ? x2 ? y2

(a= ( x1 , y1 ) ,b= ( x2 ,

y2 ) ).

64.平面两点间的距离公式

d A, B = | AB |? AB ? AB

A ? B ? C ? ? ? C ? ? ? ( A ? B) C ? A? B ? ? ? ? 2C ? 2? ? 2( A ? B) . 2 2 2

? ( x2 ? x1 )2 ? ( y2 ? y1 )2
65.向量的平行与垂直 设 a= ( x1 , y1 ) ,b= ( x2 , A||b

(A ( x1 , y1 ) ,B ( x2 ,

y2 ) ).

y2 ) ,且 b ? 0,则

55. 简单的三角方程的通解

sin x ? a ? x ? k? ? (?1)k arcsin a(k ? Z ,| a |? 1) . co s x ? a ? x ? 2k? ? arccos a(k ? Z ,| a |? 1) . tan x ? a ? x ? k? ? arctan a(k ? Z , a ? R) .
特别地,有

? b=λa ? x 1 y2 ? x2 y1 ? 0 . a ? b(a ? 0) ? a·b=0 ? x 1 x2 ? y1 y2 ? 0 .
66.线段的定比分公式 设P 1 ( x1 , y1 ) , P 2 ( x2 , 且 1

y2 ) , P( x, y) 是线段 PP 1 2 的分点, ? 是实数,

x ? ? x2 ? x? 1 ? OP ? ? OP2 ? 1? ? ? OP ? 1 ? 56.最简单的三角不等式及其解集 1? ? ? y ? y1 ? ? y2 sin x ? a(| a |? 1) ? x ? (2k? ? arcsin a, 2k? ? ? ? arcsin a), k ? Z ? ? 1? ? . 1 sin x ? a(| a |? 1) ? x ? (2k? ? ? ? arcsin a, 2k? ? arcsin a), k ? Z ? OP ? tOP 1 ? (1 ? t )OP 2 (t ? 1? ? .
67.三角形的重心坐标公式

sin ? ? sin ? ? ? ? k? ? (?1)k ? (k ? Z ) . co s? ? cos ? ? ? ? 2k? ? ? (k ? Z ) . tan ? ? tan ? ? ? ? k? ? ? (k ? Z ) .

PP ? ? PP2 ,则

).

△ABC 三个顶点的坐标分别为 A(x1 ,y1 )、 B(x2 ,y2 )、 C(x3 ,y3 ),则 △ABC 的重心的坐标是 G ( 68.点的平移公式
' ' ? ? ?x ? x ? h ?x ? x ? h ? OP' ? OP ? PP' . ?? ? ' ' ? ? ?y ? y ? k ?y ? y ? k ' ' ' ' 注:图形 F 上的任意一点 P(x,y)在平移后图形 F 上的对应点为 P ( x , y ) ,

74.含有绝对值的不等式 当 a> 0 时,有

x1 ? x2 ? x3 y1 ? y2 ? y3 , ). 3 3

x ? a ? x 2 ? a ? ?a ? x ? a .
2

x ? a ? x 2 ? a 2 ? x ? a 或 x ? ?a .
75.无理不等式

(1)



PP ' 的坐标为 (h, k ) .
69.“按向量平移”的几个结论 (1)点 (2)

P( x, y) 按向量 a= (h, k ) 平移后得到点 P' ( x ? h, y ? k ) . ' ' (2) 函数 y ? f ( x) 的图象 C 按向量 a= (h, k ) 平移后得到图象 C ,则 C 的函数解析式为 y ? f ( x ? h) ? k . ' (3) 图象 C 按向量 a= (h, k ) 平移后得到图象 C ,若 C 的解析式 y ? f ( x) ,则 C ' 的函数解析式为 y ? f ( x ? h) ? k . ' ' (4)曲线 C : f ( x, y ) ? 0 按向量 a= (h, k ) 平移后得到图象 C ,则 C 的 方程为 f ( x ? h, y ? k ) ? 0 . (5) 向量 m= ( x, y ) 按向量 a= (h, k ) 平移后得到的向量仍然为 m= ( x, y ) .
70. 三角形五“心”向量形式的充要条件 设

(3)

? f ( x) ? 0 ? . f ( x) ? g ( x) ? ? g ( x) ? 0 ? f ( x) ? g ( x) ? f ? ( x) ? 0 ? f ( x) ? 0 ? . f ( x) ? g ( x) ? ? g ( x) ? 0 或? ? f ( x) ? [ g ( x)]2 ? g ( x) ? 0 ? ? f ( x) ? 0 ? . f ( x) ? g ( x) ? ? g ( x) ? 0 ? f ( x) ? [ g ( x)]2 ?

76.指数不等式与对数不等式

O 为 ?ABC 所在平面上一点,角 A, B, C 所对边长分别为 a, b, c ,则
2 2 2

O 为 ?ABC 的外心 ? OA ? OB ? OC . (2) O 为 ?ABC 的重心 ? OA ? OB ? OC ? 0 . (3) O 为 ?ABC 的垂心 ? OA ? OB ? OB ? OC ? OC ? OA . (4) O 为 ?ABC 的内心 ? aOA ? bOB ? cOC ? 0 . (5) O 为 ?ABC 的 ?A 的旁心 ? aOA ? bOB ? cOC .
(1) 71.常用不等式:

? a 2 ? b2 ? 2ab (当且仅当 a=b 时取“=”号). a?b ? (2) a, b ? R ? ? ab (当且仅当 a=b 时取“=”号). 2 3 3 3 (3) a ? b ? c ? 3abc(a ? 0, b ? 0, c ? 0).
(1) a, b ? R (4)柯西不等式

a ? 1 时, a ? a g ( x ) ? f ( x) ? g ( x) ; ? f ( x) ? 0 ? log a f ( x) ? log a g ( x) ? ? g ( x) ? 0 . ? f ( x) ? g ( x) ? (2)当 0 ? a ? 1 时, a f ( x ) ? a g ( x ) ? f ( x) ? g ( x) ; ? f ( x) ? 0 ? log a f ( x) ? log a g ( x) ? ? g ( x) ? 0 ? f ( x) ? g ( x) ?
(1)当
f ( x)

77. 斜率公式

k?

y2 ? y1 x2 ? x1

(P 1 ( x1 , y1 ) 、 P 2 ( x2 ,

y2 ) ).

78. 直线的五种方程 (1)点斜式

(a ? b )(c ? d ) ? (ac ? bd ) , a, b, c, d ? R.
2 2 2 2 2

y ? y1 ? k ( x ? x1 )

(直线 过点 P 1 ( x1 , y1 ) ,且斜率为

l

(5)

a ? b ? a?b ? a ? b .

k ).

72.极值定理 已知 x, y 都是正数,则有

xy 是定值 p ,则当 x ? y 时和 x ? y 有最小值 2 p ; 1 2 s . (2)若和 x ? y 是定值 s ,则当 x ? y 时积 xy 有最大值 4 2 2 推广 已知 x, y ? R ,则有 ( x ? y ) ? ( x ? y ) ? 2 xy (1)若积 xy 是定值,则当 | x ? y | 最大时, | x ? y | 最大; 当 | x ? y | 最小时, | x ? y | 最小. (2)若和 | x ? y | 是定值,则当 | x ? y | 最大时, | xy | 最小; 当 | x ? y | 最小时, | xy | 最大.
(1)若积 73.一元二次不等式

y ? kx ? b (b 为直线 l 在 y 轴上的截距). y ? y1 x ? x1 ? (3)两点式 ( y1 ? y2 )( P 1 ( x1 , y1 ) 、 y2 ? y1 x2 ? x1 P2 ( x2 , y2 ) ( x1 ? x2 )). x y ? ? 1 ( a、b 分别为直线的横、纵截距, a、b ? 0 ) (4)截距式 a b (5)一般式 Ax ? By ? C ? 0 (其中 A、B 不同时为 0).
(2)斜截式 79. 两条直线的平行和垂直 (1)若 l1 ① l1 ② l1

: y ? k1 x ? b1 , l2 : y ? k2 x ? b2

|| l2 ? k1 ? k2 , b1 ? b2 ;

ax2 ? bx ? c ? 0(或 ? 0) (a ? 0, ? ? b2 ? 4ac ? 0) ,如果 a 与 ax2 ? bx ? c 同号,则其解集在两根之外;如果 a 与 ax2 ? bx ? c 异号,则
其解集在两根之间.简言之:同号两根之外,异号两根之间.

? l2 ? k1k2 ? ?1 . (2)若 l1 : A A2 、 1x ? B 1 y ? C1 ? 0 , l2 : A2 x ? B 2 y ? C2 ? 0 , 且 A1 、
B 1 、B 2 都不为零, ① l1 ② l1

x1 ? x ? x2 ? ( x ? x1 )( x ? x2 ) ? 0( x1 ? x2 ) ; x ? x1 , 或x ? x2 ? ( x ? x1 )( x ? x2 ) ? 0( x1 ? x2 ) .

|| l2 ?

A1 B1 C1 ? ? A2 B2 C2



? l2 ? A1 A2 ? B1B2 ? 0 ;

80. 夹角公式

(1) tan ( l1

? ?|

k2 ? k1 |. 1 ? k2 k1

( A1 x ? B1 y ? C1 )( A2 x ? B2 y ? C2 ) ? 0 或 ? 0 所表示的平面区域
是:

: y ? k1 x ? b1 , l2 : y ? k2 x ? b2 , k1k2 ? ?1 ) A1 B2 ? A2 B1 (2) tan ? ?| |. A1 A2 ? B1B2 ( l1 : A 1x ? B 1 y ? C1 ? 0 , l2 : A2 x ? B 2 y ? C2 ? 0 , A1 A2 ? B1B2 ? 0 ).

( A1 x ? B1 y ? C1 )( A2 x ? B2 y ? C2 ) ? 0 所表示的平面区域上下两
部分;

( A1 x ? B1 y ? C1 )( A2 x ? B2 y ? C2 ) ? 0 所表示的平面区域上下两
部分. 86. 圆的四种方程 (1)圆的标准方程 (2)圆的一般方程 >0).

( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 . x2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 ( D2 ? E 2 ? 4F

? 直线 l1 ? l2 时,直线 l1 与 l2 的夹角是 . 2 81. l1 到 l2 的角公式 k2 ? k1 (1) tan ? ? . 1 ? k2 k1 ( l1 : y ? k1 x ? b 1 , l2 : y ? k2 x ? b2 , k1k2 ? ?1 ) A1 B2 ? A2 B1 (2) tan ? ? . A1 A2 ? B1B2 ( l1 : A 1x ? B 1 y ? C1 ? 0 , l2 : A2 x ? B 2 y ? C2 ? 0 ,
直线 l1

? x ? a ? r cos? . ? ? y ? b ? r sin ? (4)圆的直径式方程 ( x ? x1 )( x ? x2 ) ? ( y ? y1 )( y ? y2 ) ? 0 (圆 的直径的端点是 A( x1 , y1 ) 、 B( x2 , y2 ) ).
(3)圆的参数方程 87. 圆系方程 (1)过点

A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) 的圆系方程是

( x ? x1 )( x ? x2 ) ? ( y ? y1 )( y ? y2 ) ? ?[( x ? x1 )( y1 ? y2 ) ? ( y ? ( x ? x1 )( x ? x2 ) ? ( y ? y1 )( y ? y2 ) ? ? (ax ? by ? c) ? 0 ,其 中 ax ? by ? c ? 0 是直线 AB 的方程,λ是待定的系数. (2)过直线 l : Ax ? By ? C ? 0 与圆

A1 A2 ? B1B2 ? 0 ). ? l2 时,直线 l1 到 l2 的角是

? . 2

82.四种常用直线系方程

P0 ( x0 , y0 ) 的直线系方程为 y ? y0 ? k ( x ? x0 ) (除直线 x ? x0 ),其中 k 是待定的系数;
(1)定点直线系方程:经过定点 待定的系数. (2)共点直线系方程:经过两直线

经过定点

P0 ( x0 , y0 ) 的直线系方程为 A( x ? x0 ) ? B( y ? y0 ) ? 0 ,其中 A, B 是 l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 , l2 : A2 x ? B 2 y ? C2 ? 0 的交点的直线系方
程为 ( A 1x ? B 1 y ? C1 ) ? 定的系数.

C : x2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 的交点的圆系方程是 x2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? ? ( Ax ? By ? C ) ? 0 ,λ是待定的系数. 2 2 (3) 过圆 C1 : x ? y ? D 1 x ? E1 y ? F 1 ? 0 与圆
C2 : x2 ? y 2 ? D2 x ? E2 y ? F2 ? 0 的交点的圆系方程是
x2 ? y 2 ? D1 x ? E1 y ? F1 ? ? ( x 2 ? y 2 ? D2 x ? E2 y ? F2 ) ? 0
λ是待定的系数. 88.点与圆的位置关系 点 P( x0 , 若 ,

? ( A2 x ? B2 y ? C2 ) ? 0 (除 l2 ),其中λ是待

y0 ) 与圆 ( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2 的位置关系有三种
,则

y ? kx ? b 中当斜率 k 一定而 b 变动时, 表示平行直线系方程.与直线 Ax ? By ? C ? 0 平行的直线系方程是 Ax ? By ? ? ? 0 ( ? ? 0 ),λ是参变量. (4)垂直直线系方程:与直线 Ax ? By ? C ? 0 (A≠0,B≠0)垂直 的直线系方程是 Bx ? Ay ? ? ? 0 ,λ是参变量.
(3)平行直线系方程:直线 83. 点到直线的距离 (点 P( x0 , y0 ) , 直线 l : A2 ? B 2 Ax ? By ? C ? 0 ). 84. Ax ? By ? C ? 0 或 ? 0 所表示的平面区域 设直线 l : Ax ? By ? C ? 0 ,则 Ax ? By ? C ? 0 或 ? 0 所表示的 平面区域是: 若

d ? (a ? x0 )2 ? (b ? y0 )2

点 P 在圆外; 圆内. 89.直线与圆的位置关系 直线 有三种:

d ?r ?

d ? r ? 点 P 在圆上; d ? r ? 点 P 在

Ax ? By ? C ? 0 与圆 ( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2 的位置关系

d?

| Ax0 ? By0 ? C |

d ? r ? 相离 ? ? ? 0 ; d ? r ? 相切 ? ? ? 0 ; d ? r ? 相交 ? ? ? 0 . Aa ? Bb ? C 其中 d ? . A2 ? B 2
90.两圆位置关系的判定方法 设两圆圆心分别为 O1 ,O2 ,半径分别为 r1 ,r2 ,

B ? 0, 当 B 与 Ax ? By ? C 同号时, 表示直线 l 的上方的区域; 当B 与 Ax ? By ? C 异号时,表示直线 l 的下方的区域. 简言之, 同号在上, 异号在下. 若 B ? 0, 当 A 与 Ax ? By ? C 同号时, 表示直线 l 的右方的区域; 当A 与 Ax ? By ? C 异号时,表示直线 l 的左方的区域. 简言之, 同号在右, 异号在左. 85. ( A 1x ? B 1 y ? C1 )( A2 x ? B2 y ? C2 ) ? 0 或 ? 0 所表示的平面
区域 设曲线 C : ( A 1x ? (

O1O2 ? d

d ? r1 ? r2 ? 外离 ? 4条公切线 ; d ? r1 ? r2 ? 外切 ? 3条公切线 ; r1 ? r2 ? d ? r1 ? r2 ? 相交 ? 2条公切线 ;
d ? r1 ? r2 ? 内切 ? 1条公切线 ; 0 ? d ? r1 ? r2 ? 内含 ? 无公切线 .
91.圆的切线方程 (1)已知圆

B1 y ? C1 )( A2 x ? B2 y ? C2 ) ? 0

A1 A2 B1B2 ? 0 ) ,则

x2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 .

y0 ) 在圆上,则切线只有一条,其方程是 D( x0 ? x) E ( y0 ? y ) x0 x ? y0 y ? ? ? F ? 0. 2 2 当 ( x0 , y0 ) 圆外时, D( x0 ? x) E ( y0 ? y ) x0 x ? y0 y ? ? ? F ? 0 表示过两个切点 2 2
的切点弦方程. ②过圆外一点的切线方程可设为 ③斜率为 k 的切线方程可设为 两条切线.

①若已知切点 ( x0 ,

?

2 2 x0 y0 ? ?1. a 2 b2

(2)点 P( x0 ,

y0 ) 在双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的外部 a 2 b2

?

2 2 x0 y0 ? ?1. a 2 b2

98.双曲线的方程与渐近线方程的关系

y ? y0 ? k ( x ? x0 ) ,再利用相切条

件求 k,这时必有两条切线,注意不要漏掉平行于 y 轴的切线.

(1)若双曲线方程为

y ? kx ? b ,再利用相切条件求 b,必有

x2 y2 ? ? 1 ? 渐近线方程: a2 b2

x2 ? y 2 ? r 2 . 2 ①过圆上的 P 0 ( x0 , y0 ) 点的切线方程为 x0 x ? y0 y ? r ;
(2)已知圆 ②斜率为

x2 y 2 b ? 2 ?0? y ?? x. 2 a b a
(2)若渐近线方程为

y??

k 的圆的切线方程为 y ? kx ? r 1 ? k 2
2 2

x y b x ? ? ? 0 ? 双曲线可设为 a b a

.

92.椭圆

? x ? a cos ? x y . ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的参数方程是 ? 2 a b ? y ? b sin ?

93.椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 焦半径公式 a 2 b2 a2 a2 PF1 ? e( x ? ) , PF2 ? e( ? x) . c c
P( x0 , y0 ) 在椭圆

x2 y2 ? ??. a2 b2 x2 y2 x2 y2 (3)若双曲线与 有公共渐近线,可设为 ? ? 1 ? ?? a2 b2 a2 b2 ( ? ? 0 ,焦点在 x 轴上, ? ? 0 ,焦点在 y 轴上).
99. 双曲线的切线方程

94.椭圆的的内外部 (1)点

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的内部 a 2 b2

?

2 2 x0 y0 ? ? 1. a 2 b2

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 上一点 P( x0 , y0 ) 处的切线方程 a 2 b2 x0 x y0 y 是 ? 2 ? 1. a2 b x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 外一点 P( x0 , y0 ) 所引两条切线的 (2) 过双曲线 a 2 b2
(1)双曲线 切点弦方程是

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的外部 (2)点 P( x0 , y0 ) 在椭圆 a 2 b2 2 x 2 y0 ? 0 ? ? 1. a 2 b2
95. 椭圆的切线方程

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 上一点 P( x0 , y0 ) 处的切线方程是 (1)椭圆 a 2 b2 x0 x y0 y ? 2 ? 1. a2 b x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 外一点 P( x0 , y0 ) 所引两条切线的切 (2)过椭圆 a 2 b2
点弦方程是

x0 x y0 y ? 2 ? 1. a2 b x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 与直线 Ax ? By ? C ? 0 相切的条件 (3) 椭圆 a 2 b2 2 2 2 2 2 是 A a ?B b ?c . x2 y 2 96.双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的焦半径公式 a b a2 a2 PF1 ?| e( x ? ) | , PF2 ?| e( ? x) | . c c
97.双曲线的内外部 (1)点

x0 x y0 y ? 2 ? 1. a2 b x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 与直线 Ax ? By ? C ? 0 相切的 (3)双曲线 a 2 b2 2 2 2 2 2 条件是 A a ? B b ? c . 2 100. 抛物线 y ? 2 px 的焦半径公式 p 2 抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 焦半径 CF ? x0 ? . 2 p p ? x2 ? ? x1 ? x2 ? p . 过焦点弦长 CD ? x1 ? 2 2 2 y? 2 101.抛物线 y ? 2 px 上的动点可设为 P ( , y? ) 或 2p P(2 pt 2 ,2 pt )或 P ( x , y ) ,其中 y 2 ? 2 px .
102.二次函数

b 2 4ac ? b2 ) ? (a ? 0) 的图象是抛物线: 2a 4a b 4ac ? b 2 ( ? , ); (1)顶点坐标为 (2)焦点的坐标为 2a 4a b 4ac ? b 2 ? 1 4ac ? b 2 ? 1 (? , ); (3)准线方程是 y ? . 2a 4a 4a y ? ax 2 ? bx ? c ? a( x ?
103.抛物线的内外部 (1)点 P( x0 ,

P( x0 , y0 ) 在双曲线

x y ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的内部 2 a b

2

2

y0 ) 在抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的内部

? y 2 ? 2 px( p ? 0) .



P( x0 , y0 ) 在抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的外部

? y 2 ? 2 px( p ? 0) . 2 (2)点 P( x0 , y0 ) 在抛物线 y ? ?2 px( p ? 0) 的内部 ? y 2 ? ?2 px( p ? 0) . 2 点 P( x0 , y0 ) 在抛物线 y ? ?2 px( p ? 0) 的外部 ? y 2 ? ?2 px( p ? 0) . 2 (3)点 P( x0 , y0 ) 在抛物线 x ? 2 py ( p ? 0) 的内部 ? x2 ? 2 py( p ? 0) . 2 点 P( x0 , y0 ) 在抛物线 x ? 2 py ( p ? 0) 的外部 ? x2 ? 2 py( p ? 0) . 2 (4) 点 P( x0 , y0 ) 在抛物线 x ? 2 py ( p ? 0) 的内部 ? x2 ? 2 py( p ? 0) . 2 点 P( x0 , y0 ) 在抛物线 x ? ?2 py ( p ? 0) 的外部 ? x2 ? ?2 py( p ? 0) .
104.