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不等式证明19个典型例题[1]



不等式证明 19 个典型例题学生版 典型例题一 例 1 若 0 ? x ? 1 ,证明 loga (1 ? x) ? loga (1 ? x) ( a ? 0 且 a ? 1 ) . 例 10 设 n 是正整数,求证 1 1 1 1 ? ? ? ?? ? 1. 2 n ?1 n ? 2 2n 典型例题十一 例 11 已知 a ? b ? 0 ,求证: ( a ? b)

2 a ? b ( a ? b) 2 ? ? ab ? . 8a 2 8b 典型例题二 例2 设 a ? b ? 0 ,求证: a b ? a b . a b b a 典型例题十二 例 12 如果 x , y , z ? R ,求证: x8 ? y8 ? z 8 ? x 2 y 3 z 3 ? y 2 z 3 x3 ? z 2 x3 y 3 . 典型例题三 a 4 ? b4 a?b 4 ?( ) (当且仅当 a ? b 时取等号) 例 3 对于任意实数 a 、 b ,求证 2 2 典型例题十三 (1 ? b)c, (1 ? c)a 三数中,不可能都大于 例 13 已知 0 ? a ? 1 , 0 ? b ? 1 , 0 ? c ? 1 ,求证:在 (1 ? a)b, 1 . 4 典型例题十四 典型例题四 1 1 1 例 4 已知 a 、 b 、 c ? R , a ? b ? c ? 1 ,求证 ? ? ? 9. a b c ? 例 14 已知 a 、 b 、 c 都是正数,求证: 2? ?a?b ? ?a?b?c 3 ? ? ab ? ? 3? ? abc? . 3 ? 2 ? ? ? 典型例题五 例 5 已知 a ? b ? c ,求证: 典型例题十五 例 15 已知 a ? 0 , b ? 0 ,且 a ? b ? 1 .求证: 0 ? 1 1 1 ? ? >0. a ?b b?c c?a 1 1 1 ( a? )( b ? ) ?1 a a b 典型例题六 例 6 若 a ? 0, b ? 0 ,且 2c ? a ? b ,求证: c ? c2 ? ab ? a ? c ? c2 ? ab. 典型例题十六 例 16 已知 x 是不等于 1 的正数, n 是正整数,求证 (1 ? x n )(1 ? x) n ? 2 n?1 ? x n 典型例题七 例 7 若 a 3 ? b 3 ? 2 ,求证 a ? b ? 2 . 典型例题十七 例 17 已知, x , y , z ? R ? ,且 x ? y ? z ? 1 ,求证 x ? y ? z ? 3. 典型例题八 例 8 设 x 、 y 为正数,求证 x 2 ? y 2 ? 3 x 3 ? y 3 . 例 18 求证 1 ? 典型例题十八 1 1 1 ? 2 ??? 2 ? 2 . 2 2 3 n 典型例题九 例 9 已知 1 ? x 2 ? y 2 ? 2 ,求证 典型例题十九 例 19 在 ?ABC 中,角 A 、 B 、 C 的对边分别为 a , b , c ,若 A ? C ? 2 B ,求证 a 4 ? c 4 ? 2b 4 . 1 ? x 2 ? xy ? y 2 ? 3 . 2 典型例题十 1 典型例题一 例 1 若 0 ? x ? 1 ,证明 loga (1 ? x) ? loga (1 ? x) ( a ? 0 且 a ? 1 ) . 分析 1 用作差法来证明.需分为 a ? 1 和 0 ? a ? 1 两种情况,去掉绝对值符号,然后比较法证明.


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