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不等式解法



第二节不等式的解法

教 材 面 面 观 基础知识常梳理 自主探究强记忆 1.一元二次不等式的解法 先将不等式化为标准形式 ax2 +bx+c >0(或<0)且 a>0,再应用以下程序写出解 集:设 ax2+bx+c=0(a>0)的两根为 x1, x2(x1<x2),Δ=b2-4ac,不等式 ax2+bx+c > 0(a > 0) 的 解 集 为 ①Δ > 0

时 , 解 集 为 ________;②Δ=0 时,解集为________; ③Δ<0 时,解集为________. 不等式 ax2+bx+c<0(a>0)的解集为 ①Δ>0 时,解集为________; ②Δ=0 时,解集为________; ③Δ<0 时,解集为________. 答案 {x|x>x2 或 x<x1} {x|x∈R 且 b x≠- } R {x|x1<x<x2} ? ? 2a 2.分式不等式的解法 (1)如能判断分母的符号,可直接去分 母,转化为整式不等式;

?f?x?· g?x?≥0, ? f?x? (2) ≥0?? g?x? ? ; ? (3)用穿根法或数轴标根法. 答案 g(x)≠0 3.简单的高次不等式的解法 (1)把不等式变形为一边是一次因式的 积,另一边是________的形式; (2) 各 因 式 中 x 的 系 数 全 部 变 为 ________,约去偶次因式; (3)把各个根从小到大依次排好, 从右上 方向左下方穿根; (4)严格检查因式的根(特别是约去的偶 次因式的根)是否在解集内. 答案 0 1 4.解指数不等式或对数不等式时应先 把 不 等 号 两 端 化 为 ________ 指 数 幂 或 ________对数形式,再结合指数函数或对数 函数的________解不等式. 答案 同底 同底 单调性

考 点 串 串 讲 考点归纳与解析 思维拓展与迁移 1.一元二次不等式的解法 (1)含有未知数的最高次数是二次的一

元不等式叫做一元二次不等式. (2)一元二次不等式的解法(如下表所 示) 设 a>0,x1,x2 是一元二次方程 ax2+ bx+c=0 的两实根,且 x1<x2. 类型解 ax2+bx ax2+bx ax2+bx ax2+bx 集 +c>0 +c≥0 +c<0 +c≤0 {x|x<x1 {x|x≤x1 {x|x1< {x|x1≤ Δ>0 或 x> 或 x≥x2} x<x2} x≤x2} x2} {x|x≠- {x|x= b R Δ=0 ? b , 2a - } 2a x∈R} R R Δ<0 ? ? (3)对于一元二次不等式的解法需注意: x-a ① ≥0(a<b)的解集为: {x|x≤a 或 x x-b x-a >b}; ≤0(a<b)的解集为: {x|a≤x<b}. x-b ②从函数观点来看,一元二次不等式 ax2 +bx+c>0(a>0)的解集是一元二次函 数 y=ax2+bx+c(a>0)在 x 轴上方的点的横 坐标的集合.

③三个“二次”的关系 常说的三个“二次”即指二次函数、一 元二次方程和一元二次不等式,这三者之间 有着密切的联系,这种联系点可以成为高考 中的命题点.处理其中某类问题时,要善于 产生对于另外两个“二次”的联想,或进行 转化,或帮助分析.具体到解一元二次不等 式时,就是要善于利用相应的二次函数的图 象进行解题分析,要能抓住一元二次方程的 根与一元二次不等式的解集区间的端点值 的联系. 2.解一元二次不等式的方法: (1)图象法:先求不等式对应方程的根, 再根据图象写出解集. (2)公式法步骤: ①先化成标准型:ax2+bx+c>0(或< 0),且 a>0; ②计算对应方程的判别式 Δ; ③求对应方程的根; ④利用口诀“大于零在两边,小于零在 中间”写出解集. 3.一般分式不等式的解法: f?x? f?x? (1)整理成标准型 >0(或<0)或 g?x? g?x?

≥0(或≤0). (2)化成整式不等式来解: f?x? ① >0?f(x)· g(x)>0 g?x? f?x? ② <0?f(x)· g(x)<0 g?x? ?f?x?· g?x?≥0 ? f?x? ? ③ ≥0? g?x? ?g?x?≠0 ?
?f?x?· g?x?≤0 ? f?x? ④ ≤0?? g?x? ?g?x?≠0 ?

(3)再讨论各因式的符号或按数轴标根 法写出解集. 4.一元高次不等式的解法 解一元高次不等式最好的方法是用数 轴标根法(或称穿针引线法). 先将一元高次不等式化为标准形式:一 端为 0,一端在实数范围内分解成一次因式 或二次因式的积,将恒不为 0 的二次因式在 不等式两边约去,将原不等式化为 f(x)=(x -x1)(x-x2)?(x-xn)>0(或<0)的形式,求 出 f(x)=0 的 n 个根 x1,x2,?,xn 并标在 数轴上,然后从右至左,自上而下依次穿过 几个根对应的点,遇奇次重根一次穿过,遇

偶次重根穿而不过,画一条连续曲线则在数 轴上方的曲线对应的区间为 f(x)>0 的解集, 在数轴下方的曲线对应的区间为 f(x)<0 的 解集. 5.解高次不等式与分式不等式需注意 (1)根据多项式理论, 每个一元多项式都 可以分解为一些一次、二次因式的乘积,其 中二次因式恒正或恒负,因此高次不等式都 可转化为一些一次因式的乘积的不等式,然 后采用穿根法完成. (2)有些高次不等式因式分解后, 可能会 出现重因式,由于奇次重因式的符号与一次 因式的符号一致,因此奇次重因式可以直接 改写为一次因式;如果是偶次重因式,则分 偶次重因式等于 0 和大于 0 两种情形讨论. (3)大部分分式不等式转化为整式不等 式后,实际上就是转化成了高次不等式,用 高次不等式的解法求解即可. (4)对于右边不为零的分式不等式的求 解,一般是通过不等式两边加上同一个数 (或式)使右边变为 0,然后采用以上方法求 解,切忌将左边的分母不讨论符号直接乘到 右边,进行去分母. (5)分解的各个因式中,x 的系数须为正

数. (6)画曲线遵循“从右至左, 自上而下” 的原则. 6.无理不等式的解法 解无理不等式的基本思想是将不等式 等价转化为有理不等式求解. 一般有 ?f?x?>g?x? ? (1) f?x?> g?x??? ? ?g?x?≥0 (2) f?x?>g(x)? ?g?x?<0 ?g?x?≥0 ? ? ? 或? 2 ?f?x?≥0 ?f?x?>g ?x? ? ?

?g?x?>0 ? (3) f?x?<g(x)??f?x?≥0 ?f?x?<g2?x? ?
7.指数不等式与对数不等式的解法 (1)当 a>1 时,af(x)>(<)ag(x) ?f(x)>(<)g(x) (2)当 0<a<1 时,af(x)>(<)ag(x) ?f(x)<(>)g(x) (3)当 a>1 时,logaf(x)>(<)logag(x)

?f?x?>0 ? ??g?x?>0 ?f?x?>?<?g?x? ?
(4)当 0<a<1 时, af(x)>(<)logag(x) log

?f?x?>0 ? ??g?x?>0 ?f?x?<?>?g?x? ?
解指数不等式与对数不等式时首先要 保证不等式有意义,然后化为同底幂或同底 对数形式,去对数符号时要注意底数 a 的范 围,从而判断不等号方向是否改变. 8.解抽象函数不等式 解抽象函数不等式去掉对应法则符号 “f ”是关键,也是难点,常用函数的单调 性去“f ”,另外注意保证 f(x)有意义. 典 例 对 对 碰 反思例题有法宝 变式迁移有技巧 题型一一元一次不等式的解法 例 1 解不等式:ax>x+3(a≠1). 解析 原不等式可化为(a-1)x>3. 3 当 a>1 时,a-1>0,∴x> ; a-1

3 . a-1 故 a>1 时,不等式的解集为 {x|x> 当 a<1 时,a-1<0,∴x< 3 }, a-1 3 a<1 时,不等式的解集为{x|x< }. a-1 变式迁移 1 不等式 ax-1>4b 的解集为{x|x<1}, 则实数 a、b 需满足的条件为________. ?a<0 答案 ? ?4b+1=a 解析 ax-1>4b,即 ax>4b+1, 解集为{x|x<1}. 4b+1 ∴a<0 且 a =1, ?a<0, ? 即? ?4b+1=a. ?

题型二一元二次不等式的解法 例 2 已知不等式 ax2+bx+c>0 的解为 0<α<x<β,求不等式 cx2+bx+a>0 的解

集. 解析 因不等式 ax2+bx+c>0 的解为 0<α<x<β,所以 a<0,且方程 ax2+bx+ b c=0 的两根为 α、 β.所以 α+β=-a>0, β α· c c b =a>0,所以a>0,a<0,又 a<0,所以 c <0. 设方程 cx2+bx+a=0 的两根为 x1 与 x2. 由韦达定理 b -b -a x1+x2= c = c a α+β 1 1 = = + , α· β α β a 1 1 11 x1·2= c = c= =α·. x β α· β a 1 1 2 ∴方程 cx +bx+a=0 的两根为α,β. ∵0<α<β, 1 1 ∴α>β>0. 1 2 ∴不等式 cx +bx+a>0 的解集为{x|β

1 <x<α}. 点评 本题从一元二次不等式解区间 的端点值就是相应二次方程的根入手,结合 韦达定理,用系数 a,b,c 将两个方程的根 联系起来,使问题解决.一般地,欲解一元 二次不等式,应首先求出相应方程的根 (Δ≥0 时), 然后据二次项的系数与不等号的 方向确定解集. 变式迁移 2 1 若关于 x 的不等式- x2+2x>mx 的解 2 集 为 {x|0 < x < 2} , 则 实 数 m 的 值 为 ________. 答案 1 解析 由原不等式得 x2 +(2m-4)x< 0,又 0<x<2 时,有 x(x-2)<0,即 x2- 2x<0, 比较系数得 2m-4=-2, 2m=2, 即 故 m=1. 题型三分式不等式的解法 例 3 解 不 ?x-2?3?2x+5?2?x-3??x+1? >0. ?2x+5?2?x-1?





分析 分子或分母上有因式(ax+b)2k + 或(ax+b)2k 1(k∈N)的情况,通常做如下处 理: ①去掉(ax+b)2k; b b ②视 x 可能取-a而注上 x≠-a或 x= b - a; ③解化简后的不等式,并在解中去掉- b b a或添上-a. 解析 原不等式可化为

??x-2??x-3??x+1? >0, ? x-1 ? ?x≠-1,x≠-5. ? 2 2
如图所示,故原不等式的解集为 5 5 (-∞,- )∪(- ,-1)∪(1,2)∪(3, 2 2 +∞). 点评 此类题极易去掉(ax+b)2k 因式, b 而不考虑 x 是否可取-a,导致结论错误.

变式迁移 3 x2+2x-3 解不等式 <0. -x2+x+6 解析 原不等式的解集是由下面两个 不等式组的解集的并集构成. ?x2+2x-3>0, ① ? (1)? 2 ?x -x-6>0. ② ?
?x2+2x-3<0, ? (2)? 2 ?x -x-6<0. ④ ?



由①解得{x|x<-3 或 x>1}, 由②解得{x|x<-2 或 x>3}. ∴不等式组(1)的解集是{x|x<-3 或 x >3} 由③解得{x|-3<x<1}, 由④解得{x|-2<x<3}. ∴不等式组(2)的解集是{x|-2<x<1}. 综上,由不等式组(1)、(2)的解集可得 原不等式的解集是{x|x<-3 或-2<x<1 或 x>3}. 题型四高次不等式的解法 例 4 解不等式:(x2-1)(x2-6x+8)≥0.

分析 可等价转化为不等式组,也可利 用数轴标根法. 解 析 解 法 一 : 由 (x2 - 1)(x2 - 6x + 8)≥0 可得: ?x2-1≥0, ? ? 2 (1) ?x -6x+8≥0, ?
?x2-1≤0, ? 或? 2 ?x -6x+8≤0, ?

(2)

由(1)解得:x≥4,或 1≤x≤2,或 x≤ -1 由(2)得:x∈?, ∴原不等式的解集为 {x|x≤-1,或 1≤x≤2,或 x≥4}. 解法二:将原不等式变形为 (x+1)(x-1)(x-2)(x-4)≥0, 令 f(x)=(x+1)(x-1)(x-2)(x-4),各 因式根依次为-1,1,2,4. 如图,可得原不等式的解集为{x|x≤- 1,或 1≤x≤2,或 x≥4}. 点评 (1)解法一仅适用于次幂较低的 高次不等式.解法二是利用数轴标根法求解 的,适用于任何高次不等式.

(2)用数轴标根法解不等式时要注意: ① 将 原 不 等 式 化 为 (x - x1)a1(x - x2)a2?(x-xn)an>0(或<0)的形式. ②各因式中 x 的系数必须为正. ③根的重数.对于偶次重根,线穿而不 过;对于奇次重根,线穿根而过. (3)高次不等式一般用数轴标根法求解. 变式迁移 4 解不等式:(x-1)(x2 -5x+6)(x2 -x- 2)2≥0. 解析 原不等式可变形为 (x-1)(x-2)(x-3)(x-2)2(x+1)2≥0 即(x+1)2(x-1)(x-2)3(x-3)≥0 由数轴标根法知, x 的取值范围为 x=-1 或 1≤x≤2 或 x≥3.

题型五分段函数型不等式 ?2ex-1,x<2, ? 例 5 设 f(x)=? 则不 2 ? ?log3?x -1?,x≥2. 等式 f(x)>2 的解集为( )

A.(1,2)∪(3,+∞) ∞)

B.( 10,+

C.(1,2)∪( 10,+∞) D.(1,2) - 解析 当 x<2 时, 2ex 1>2 得 x>1, 由 故 1<x<2; 当 x≥2 时, log3(x2-1)>2 得 x> 10 由 或 x<- 10,故 x> 10. ∴不等式 f(x)>2 的解集为(1,2)∪( 10, +∞),选 C. 答案 C 点评 利用分段函数的各段解析式,将 原不等式化为分段的几个不等式,将各不等 式的解集与该段的 x 的取值范围取交集,得 到在各段内符合条件的 x 的取值范围,然后 取并集即可.

变式迁移 5 已知函数
?-x+1, ?x<0?, ? f(x)=? ?x-1, ?x≥0?, ?

则不等式 x+(x+1)f(x+1)≤1 的解集是 ( ) A.{x|-1≤x≤ 2-1} B.{x|x≤1}

C.{x|x≤ 2-1} D.{x|- 2-1≤x≤ 2-1} 答案 C 解析 不等式 x+(x+1)f(x+1)≤1 等 价于 (1) ?x+1<0, ① ? ? ?x+?x+1?· [-?x+1?+1]≤1 ② ? 或 ?x+1≥0, ③ ? (2)? ?x+?x+1?· [?x+1?-1]≤1. ④ ? 由①得 x<-1,由②得 x∈R, ∴不等式组(1)的解集为(-∞,-1). 由 ③ 得 x≥ - 1 , 由 ④ 得 - 2 - 1≤x≤ 2-1, ∴不等式组(2)的解集为[-1, 2-1]. 故原不等式的解集为(-∞, 2-1].

题型六指数不等式的解法 1 x2+2 x -5 例 6 解不等式:2 >( ) . 2 分析 首先化同底,然后把指数不等式 转化为非指数不等式.
2x 2-3 x +1

解析 2
-x 2-2 x +5

原不等式即 2

2x 2-3 x +1



, ∴2x2-3|x|+1>-x2-2|x|+5, 即 3x2-|x|-4>0,即 3|x|2-|x|-4>0, ∴(|x|+1)(3|x|-4)>0, ∴3|x|-4>0, 4 ∴原不等式的解集为{x|x> 或 x<- 3

4 }. 3 变式迁移 6 1 x2-8 - 解不等式:( ) >3 2x. 3 解析 由已知得-x2+8>-2x, 即 x2-2x-8<0. 解得-2<x<4. ∴原不等式的解集为{x|-2<x<4}. 题型七对数不等式的解法 例 7 解下列不等式: 1 lgx 2 (1)( 2) < ; 2 + (2)log2(2x-1)· 2(2x 1-2)<2. log 分析 按指数不等式,对数不等式的基

本解法求解. 解析
2

(1)不等式可化为( 2)
2

lgx 2

<( 2)
2



, 1 ∵ 2>1,∴lgx <-2,∴0<x < . 100 1 1 解得- <x<0,或 0<x< . 10 10 ∴原不等式的解集为 1 1 {x|- <x<0,或 0<x< }. 10 10 + (2)∵2x 1-2=2(2x-1),∴原不等式可

化为 [log2(2x-1)]2+log2(2x-1)-2<0 解得-2<log2(2x-1)<1. 1 ∴ <2x-1<2. 4 5 5 x ∴ <2 <3.即 log2 <x<log23. 4 4 5 ∴ 原 不 等 式 的 解 集 为 {x|log2 < x < 4 log23}. 点评 在解对数不等式时,一定要注意 真数大于 0 这个条件,否则会将不等式的解 集扩大.

变式迁移 7 1 解不等式:2+log 1 (5-x)+log2x>0.
2

解析 由题得 x 的取值范围为 0<x<5. 这时原不等式可化为: 1 log 1 [ x(5-x)]>0.即 4
2

1 x(5-x)<1. 4 x2-5x+4>0. x<1 或 x>4. ∴原不等式的解集为(0,1)∪(4,5). 题型八抽象函数不等式的解法 例 8 已知 f(x)是定义在[-1,1]上的奇函 数 , 若 m , n∈[ - 1,1] , m + n≠0 时 有 f?m?+f?n? >0. m+n (1)用定义证明:f(x)在[-1,1]上是增函 数; 1 1 (2)解不等式:f(x+ )<f( ). 2 x-1 解析 (1)证明:任取-1≤x1<x2≤1, 则:

f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2) f?x1?+f?-x2? = · 1-x2). (x x1-x2 ∵-1≤x1<x2≤1, ∴x1+(-x2)≠0. f?x1?+f?-x2? 由已知 >0, x1-x2 又 x1-x2<0, ∴f(x1)-f(x2)<0. 即 f(x)在[-1,1]上为增函数. (2)∵f(x)在[-1,1]上为增函数,

?-1≤x+1≤1, 2 ? ? 1 ∴?-1≤x-1≤1, ? ?x+1< 1 . ? 2 x-1
3 解得:- ≤x<-1, 2 3 ∴不等式的解集为 {x|- ≤x<-1, 2 x∈R}. 变式迁移 8

y=f(x)是 R 上的减函数,且 y=f(x)的 图象经过点 A(0,1)和 B(3, -1), 则不等式|f(x +1)|<1 的解集为________. 答案 {x|-1<x<2} 解析 f(0)=1,f(3)=-1. ∵|f(x+1)|<1,∴-1<f(x+1)<1 ∴f(3)<f(x+1)<f(0) ∵y=f(x)是 R 上的减函数, ∴3>x+1>0,∴-1<x<2. 题型九含参数的二次不等式的解法 例 9 解关于 x 的不等式:ax2-2x+1> 0. 分析 从不等式的形式结构看,可以是 一元一次不等式,也可以是一元二次不等 式,其中为二次不等式时,又要考虑“开口 方向”和“判别式的正负”问题,注意到 Δ =4-4a,可以从中找到讨论点是“a=0” 和“a=1”. 解析 ①当 a=0 时,不等式即-2x+1 >0, 1 ∴解集为{x|x< }; 2 ②当 a<0 时,Δ=4-4a>0,

2 1 此时不等式为 x2-ax+a<0, 2 1 由于方程 x -ax+a=0 的两根分别为 1- 1-a 1+ 1-a 、 , a a 1- 1-a 1+ 1-a 且 > , a a ∴不等式的解集为: 1+ 1-a 1- 1-a {x| <x< }; a a ③当 a>0 时,若 0<a<1, 2 1 2 此时不等式即 x -ax+a>0, 1- 1-a 1+ 1-a ∵ < , a a ∴不等式的解集为 1- 1-a 1+ 1-a {x|x< ,或 x> }, a a 若 a=1,则不等式为(x-1)2>0, ∴不等式的解集为{x∈R|x≠1}; 若 a>1,则 Δ<0,不等式的解集为 R. 点评 当含有参数的一元二次不等式 对应的二次方程有两个不同的根时,判断谁 大谁小,要考虑参数的作用.
2

变式迁移 9 解关于 x 的不等式:a2x2-2ax+1-b2 <0(a≠0,b>0). 解析 原不等式可化为(ax-1+b)(ax -1-b)<0, ∵a≠0,a2>0, 1-b 1+b ∴(x- a )(x- a )<0,且 1-b<1 +b, 1-b 1+b ∴①若 a<0, 则 a > a , 此时不等 1+b 1-b 式的解集为{x| a <x< a }; 1-b 1+b ②若 a>0, 则 a < a , 此时不等式 1-b 1+b 的解集为{x| a <x< a }. 题型十利用不等式解实际应用问题 例 10 某 地 区 上 年 度 电 价 为 0.8 元 /kW· h,年用电量为 akW· h,本年度计划将 电价降低到 0.55 元/kW· 至 0.75 元/kW· h h 之间,而用户期望电价为 0.4 元/kW· h.经测 算,下调电价后新增的用电量与实际电价和

用户期望电价的差成反比(比例系数为 k). 该 地区电力的成本价为 0.3 元/kW· h. (1)写出本年度电价下调后, 电力部门的 收益 y 与实际电价 x 的函数关系式; (2)设 k=0.2a,当电价最低定为多少时 仍可保证电力部门的收益比上年至少增长 20%? 注:收益=实际用电量×(实际电价- 成本价). 解 析 (1) 设 下 调 后 的 电 价 为 x 元 k /kW· h,依题意知,用电量增至 +a, x-0.4 电力部门的收益为 k y = ( + a)(x - x-0.4 0.3)(0.55≤x≤0.75). (2)依题意,有
错误!

?x2-1.1x+0.3≥0, ? 整理,得? ?0.55≤x≤0.75. ?

解此不等式组,得 0.60≤x≤0.75. 答:当电价最低定为 0.60 元/kW· 时, h 仍可保证电力部门的收益比上年至少增长 20%.

点评 本题主要考查综合运用数学知 识、 数学方法、 分析和解决实际问题的能力, 考查了数学建模、反比例函数、根据实际问 题建立不等式和解不等式等数学内容. 变式迁移 10 国家为了加强对烟酒生产的宏观管理, 实行征收附加税政策,现知某种酒每瓶 70 元,不征收附加税时,每年大约产销 100 万 瓶,若政府征收附加税,每销售 100 元要征 税 R 元(叫做税率 R%),则每年的销量将减 少 10R 万瓶, 要使每年在此项经营中所收附 加税税金不少于 112 万元,问 R 应怎样确 定? 解析 设销售量为每年 x 万瓶,则销售 收入为每年 70x 万元,从中征收的税金为 70x· R%万元,其中 x=100-10R. 由题意得,70(100-10R)· R%≥112, 整 理 得 , R2 - 10R + 16≤0 , 解 得 , 2≤R≤8. 答:当 2≤R≤8(单位:元)时,每年在 此项经营中所收附加税金不少于 112 万元.

题型十一含参数的不等式问题 例 11 已知不等式 log2(ax2-3x+6)>2 的解集为{x|x<1 或 x>2}. (1)求 a 的值; c-x (2)解关于 x 的不等式 >0(c 为常 ax+2 数). 解析 (1)不等式 log2(ax2 -3x+6)> log24 可转化为 ax2-3x+2>0, 依题意 ax2-3x+2>0 的解集为{x|x<1 或 x>2}, ∴方程 ax2-3x+2=0 的两根分别为 1、 2, 利用根与系数的关系得 a=1. c-x (2)将 a=1 代入不等式得 >0, x+2 ①当 c<-2 时,原不等式的解集为{x|c <x<-2}; ②当 c=-2 时,原不等式的解集为?; ③当 c>-2 时,原不等式的解集为{x| -2<x<c}. 点评 本题第(1)问是已知不等式的解 集求参数的值,可根据一元二次不等式的解 集情况确定参数的值; 第(2)问是解含参数的

不等式,需要对参数进行分类计论,关键是 把握分类的标准, 有时在大类里还需分小类. 变式迁移 11 ax-1 解关于 x 的不等式: 2 >0. x -x-2 解析 当 a=0 时,原不等式等价于 x2 -x-2<0, 解得-1<x<2. 当 a>0 时,原不等式化为 1 2 (x-a)(x -x-2)>0, 1 即(x-a)(x+1)(x-2)>0. 1 则当 a= 时,x>-1,且 x≠2. 2 1 1 当 0<a< 时,x>a或-1<x<2. 2 1 1 当 a> 时,-1<x<a或 x>2. 2 当 a<0 时,原不等式等价于 1 (x-a)(x+1)(x-2)<0. 则当 a=-1 时,x<2,且 x≠1.

1 当-1<a<0 时,x<a或-1<x<2. 1 当 a<-1 时,x<-1 或a<x<2. 方 法 路 路 通 规律方法勤探究 高考成绩优中优 1.关于一元二次不等式应明确: 不等式 ax2+bx+c>0,ax2+bx+c<0 的解就是使二次函数 y=ax2+bx+c 的函数 值大于 0 或小于 0 时 x 的取值范围,应充分 和二次函数图象结合去理解二次不等式的 解集表. 2.解带参数的不等式(x-a)(x-b)>0, 应讨论 a 与 b 的大小再确定不等式的解.解 一元二次不等式的一般过程是:一看(看二 次项系数的符号),二算(计算判别式,判断 方程根的情况),三写(写出不等式的解集). 3. 应注意讨论 ax2+bx+c>0 的二次项 系数 a 是否为零的情况. 4.在解分式不等式时一般要先移项再 通分,使不等号一侧为 0,而不要把分母乘 到不等号的另一侧. 5.一元一次、二次不等式是解不等式

的基础,其他的不等式(分式不等式、高次 不等式、无理不等式及指数、对数不等式) 可以根据不等式的性质转化为一元一次、一 元二次不等式(组)求解,因此需熟练掌握. 6.含参数的一元一次和一元二次不等 式的分类讨论是一个难点,讨论时第一要确 定分类标准,主要依据最高次项系数符号确 定不等号方向,依据判别式符号确定相应方 程根的情况,依据根的大小确定不等式解 集;第二要针对字母系数取值范围做到不重 不漏.注意含参数的不等式运用分类讨论解 决,分类要不重不漏.若讨论的字母和解的 字母不是同一个字母,要分开写,不要取并 集.若讨论的字母和解的字母是同一个字 母,则需要取并集或交集. 7.解简单的分式不等式和高次不等式, 其实质是运用化归思想方法等价转化,其中 因式分解是重要的一步. 8.不等式解法的基本思路 解不等式的过程,实质上是用同解不等 式逐步代换化简原不等式的过程,因而保持 同解变形就成为解不等式应遵循的主要原 则,实际上,高中阶段所解的不等式最后都 要转化为一元一次不等式或一元二次不等

式,所以等价转化是解不等式的主要思路. 代数化、有理化、整式化、低次化是解 初等不等式的基本思路.为此,一要能熟练 准确地解一元一次和一元二次不等式,二要 保证每步转化都是等价变形. 9.不等式组的解集是本组各不等式解 集的交集,所以在解不等式组时,先要准确 地求出本组内各不等式的解集,然后取其交 集,在取交集时,一定要利用数轴,将本组 内各不等式的解集在同一数轴上表示出来, 注意同一不等式解集的示意线要画的一样 高,不要将一个不等式解集的两个或几个区 间误看成是两个或几个不等式的解集. 10.解分式不等式和高次不等式时需注 意: ①等号问题; ②分解时 x 的符号问题; ③重根问题; ④解分式不等式时,要注意先移项,使 右边化为零,要注意含等号的分式不等式, 分母不为零. 11.用数轴标根法解高次不等式,最右 区的符号由最高次项系数的正负决定,若为 正数,则最右区的符号为正;若为负数,则

最右区的符号为负,然后从右向左 f(x)的正 负符号区相间出现. 12.不等式的结果要写成集合或区间的 形式. 正 误 题 题 辨 学海暗礁常提醒 逐波踏浪舟更轻 3-x 例解不等式: ≤1. 2x-4 错解 去分母,得 3-x≤2x-4,3x≤- 7. 7 两边同除以-3,得 x≥ . 3 7 ∴原不等式的解集为{x|x≥ }. 3 点击 虽然解方程允许去分母,但解不 等式一般不允许去分母,通常的去分母不是 解方程和解不等式的同解变形.对解方程而 言,去分母后可能增加使分母为零的解,这 种解可以通过验根剔除.对解不等式而言, 如果分母含有未知数,那么在不知道分母正 负的前提下,去分母是错误的.上述错解就 是犯了这个错误.

正解 ≤0.

3-x 3-x 7-3x ≤1 即 -1≤0, 2x-4 2x-4 2x-4

因为两实数的积与商是同号的,所以上 述不等式同解于如下的不等式组 ?2x-4≠0 ? ? ; ? ??7-3x??2x-4?≤0

?x≠2, ? 即? 7 6?x- ??x-2?≥0 ? ? 3
∴ 已 知 不 等 式 的 解 集 为 {x|x < 2 或 7 x≥ }. 3 知 能 层 层 练 针对考点勤钻研 金榜题名不畏难 x-2 1.不等式 ≤0 的解集是( ) x+1 A.(-∞,-1)∪(-1,2] B.[-1,2] C. (-∞, -1)∪[2, +∞) D. (-1,2] 答案 D x-2 解析 ≤0?(x-2)(x+1)≤0 且 x+1

x≠-1?-1<x≤2. 2.设函数
?x2-4x+6,x≥0 ? f(x)=? ?x+6,x<0 ?



则不等式 f(x)>f(1)的解集是( ) A.(-3,1)∪(3,+∞) B.(-3,1)∪(2,+∞) C.(-1,1)∪(3,+∞) D.(-∞,-3)∪(1,3) 答案 A 解 析 原 不 等 式 可 化 为 ?x≥0 ?x<0 ? ? ? 2 或? ,所以原不等 ?x -4x+6>3 ?x+6>3 ? ? 式的解集为(-3,1)∪(3,+∞),故选 A. 3. 若 f(x)是偶函数,且当 x∈[0,+∞) 时,f(x)=x-1,则不等式 f(x-1)<0 的解 集是( ) A.{x|-1<x<0} B.{x|x<0 或 1<x<2} C.{x|0<x<2} D.{x|1<x<2} 答案 C ?x-1 x≥0 ? 解析 ∵f(x)= ? ,∴不 ?-x-1 x<0 ?

等式 f(x)<0 的解集为{x|-1<x<1},将 x 换成 x-1,得不等式 f(x-1)<0 的解集为 {x|0<x<2},故选 C. 4.(2010· 全国卷Ⅰ)不等式 2x2+1- x≤1 的解集是________. 答案 {x|0≤x≤2} 解析 由 2x2+1-x≤1 得 2x2+1≤x ?x+1≥0 ?x≥-1 ? ? +1?? 2 ?? ? 2 ? ? ?2x +1≤?x+1? ?0≤x≤2 0≤x≤2,所以不等式的解集为{x|0≤x≤2}. 5.已知不等式 x2-3x+a<0 的解集为 {x|1<x<b,x∈R}. (1)求 a、b 的值; (2)解不等式 logc(-bx2 +3x+1-a)< 0(c>0 且 c≠1). 解析 (1)由题设知方程 x2-3x+a=0 的两根为 1,b. ?1+b=3 ? 根据韦达定理? ,解得 ? b=a ?1·
?a=2, ? ? ? ?b=2.

(2)原不等式即为 logc(-2x2+3x-1)< 0,

当 c>1 时, logc( - 2x2 + 3x - 1) < 0 ? ?-2x2+3x-1>0 ? ? 2 ?-2x +3x-1<1 ?
?2x2-3x+1<0, ? ?? 2 ?2x -3x+2>0. ?

1 <x<1. 2 当 0<c<1 时, logc(-2x2 +3x-1)<0?-2x2 +3x-1 解得 >1 ?2x2-3x+2<0. ∵Δ=9-16<0, ∴不等式的解集为?. 综上所述,当 c>1 时, ? ?1 ? 原不等式的解集为?x?2<x<1 ?; ? ? ? 当 0<c<1 时,原不等式的解集为?.



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