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?1 ? 3 函数的基本性质
学习目标(1)掌握函数的基本性质(单调性、最大值或最小值、奇偶性) ,能应 用函数的基本性质解决一些问题。 (2) 从形与数两方面理解函数单调性的概念, 初步掌握利用函数图象和 单调性定义判断、证明函数单调性的方法. (3)了解奇偶性的概念,回 会利用定义判断简单函数的奇偶性。
重点与难点 (1)判断或证明函数的单调性; (2)奇偶性概念的形成与函数奇偶性的判断。

学习过程 一、 函数的单调性
1.单调函数的定义 (1)增函数:一般地,设函数 f ( x ) 的定义域为 I :如果对于属于 I 内某个区间上的任意 两个自变量的值 x1 、 x2 ,当 x1 ? x2 时都有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,那么就说 f ( x ) 在这个区间上 是增函数。 (2)减函数:如果对于属于 I 内某个区间上的任意两个自变量的值 x1 、 x2 ,当 x1 ? x2 时 (3)单调性:如果函数 y ? f ( x) 在某个区间是增函数或减函数。那么就说函数 y ? f ( x) 在这一区间具有(严格的)单调性,这一区间叫做 y ? f ( x) 的单调区间。 2、单调性的判定方法 (1)定义法: 判断下列函数的单调区间: y ? 都有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,那么就说 f ( x ) 在这个区间上是减函数。

1 x2

(2)图像法:从左往右,图像上升即为增函数,从左往右,图像下降即为减函数。 (3)复合函数的单调性的判断: 设 y ? f ( x) ,u ? g ( x) ,x ? [a, b] ,u ? [m, n] 都是单调函数, 则 y ? f [ g ( x)] 在 [ a, b] 上也是单调函数。 ①若 y ? f ( x) 是 [m, n] 上的增函数,则 y ? f [ g ( x)] 与定义在 [ a, b] 上的函数 u ? g ( x) 的单调性相 同。 ②若 y ? f ( x) 是[m, n] 上的减函数,则 y ? f [ g ( x)] 与定义在[ a, b] 上的函数 u ? g ( x) 的单调性相 同。 即复合函数的单调性: 当内外层函数的单调性相同时则复合函数为增函数; 当内外层函数的 单调性相反时则复合函数为增减函数。也就是说:同增异减(类似于“负负得正” ) 练习: (1)函数 y ?

4 ? x2 的 单 调 递 减 区 间 是

,单调递增区间

为 (2) y ?



1 x ? 4x ? 5
2

的单调递增区间为



3、函数单调性应注意的问题:
①单调性是对定义域内某个区间而言的,离开了定义域和相应区间就谈不上单调性. ②对于某个具体函数的单调区间, 可以是整个定义域(如一次函数), 可以是定义域内某个区 间(如二次函数),也可以根本不单调(如常函数). ③函数在定义域内的两个区间 A,B 上都是增(或减)函数,一般不能认为函数在 是增(或减)函数 4.例题分析 上

1 在 (0, ??) 上是减函数。 x 证明:设任意 x1 , x2 ∈(0,+∞)且 x1 ? x2 , 1 1 x2 ? x1 则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ? , ? x1 x2 x1 x2 由 x1 , x2 ∈(0,+∞) ,得 x1 x2 ? 0 ,又 x1 ? x2 ,得 x2 ? x1 ? 0 , ∴ f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 1 所以, f ( x) ? 在 (0, ??) 上是减函数。 x 1 说明:一个函数的两个单调区间是不可以取其并集,比如: y ? 不能说 x (??,0) ? (0,??) 是原函数的单调递减区间;
证明:函数 f ( x) ? 练习:1. .根据单调函数的定义,判断函数 f ( x) ? x3 ? 1 的单调性。 2.根据单调函数的定义,判断函数 f ( x) ?

x 的单调性。

二、函数的奇偶性
1.奇偶性的定义: (1)偶函数:一般地,如果对于函数 f ( x ) 的定义域内任意一个 x ,都有 f (? x) ? f ( x) ,
2 4 那么函数 f ( x ) 就叫做偶函数。例如:函数 f ( x) ? x ? 1 , f ( x) ? x ? 2 等都是偶函 数。

(2)奇函数:一般地,如果对于函数 f ( x ) 的定义域内任意一个 x ,都有 f (? x) ? ? f ( x) , 那么函数 f ( x ) 就叫做奇函数。例如:函数 f ( x) ? x , f ( x) ?

1 都是奇函数。 x

(3)奇偶性:如果函数 f ( x ) 是奇函数或偶函数,那么我们就说函数 f ( x ) 具有奇偶性。 说明:从函数奇偶性的定义可以看出,具有奇偶性的函数: (1)其定义域关于原点对称;

(2) f (? x) ? f ( x) 或 f (? x) ? ? f ( x) 必有一成立。 因此,判断某一函数的奇偶性时,首先看其定义域是否关于原点对称,若对称,再计 算 f (? x) , 看是等于 f ( x ) 还是等于 ? f ( x) , 然后下结论; 若定义域关于原点不对称, 则函数没有奇偶性。 (3)无奇偶性的函数是非奇非偶函数。 ( 4 ) 函 数 f ( x) ? 0 既 是 奇 函 数 也 是 偶 函 数 , 因 为 其 定 义 域 关 于 原 点 对 称 且 既 满 足

f ( x) ? f (? x) 也满足 f ( x) ? ? f (? x) 。
(5)一般的,奇函数的图象关于原点对称,反过来,如果一个函数的图象关于原点对称, 那么这个函数是奇函数。 偶函数的图象关于 y 轴对称, 反过来, 如果一个函数的图形关于 y 轴对称,那么这个函数是偶函数。 (6)奇函数若在 x ? 0 时有定义,则 f (0) ? 0 . 2、函数的奇偶性判定方法 (1)定义法 (2)图像法 (3)性质罚 3.例题分析: 判断下列函数的奇偶性: (1) f ( x) ?| x | ? x 2 (

1 ? x2 ( ) 2? | x ? 2 | 说 明 : 在 判 断 f (? x) 与 f ( x ) 的 关 系 时 , 可 以 从 f (? x) 开 始 化 简 ; 也 可 以 去 考 虑 f (? x) f ( x) ? f ( ? x) 或 f ( x) ? f (? x) ;当 f ( x ) 不等于 0 时也可以考虑 与 1 或 ?1 的关系。 f ( x)
) (2)

f ( x) ?

五.小结:1.函数奇偶性的定义; 2.判断函数奇偶性的方法; 3.特别要注意判断函数奇偶性时,一定要首先看其定义域是否关于原点对称, 否则将会导致结论错误或做无用功。

二、函数的最大值或最小值

学习评价
※ 自我评价 你完成本节学案的情况为( ). A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差

经典例题
1.下面说法正确的选项 A.函数的单调区间可以是函数的定义域 B.函数的多个单调增区间的并集也是其单调增区间 C.具有奇偶性的函数的定义域定关于原点对称 D.关于原点对称的图象一定是奇函数的图象 2.在区间 (??,0) 上为增函数的是 ( )





x ?2 1? x C. y ? ? x 2 ? 2 x ? 1 D. y ? 1 ? x 2 3.函数 y ? x 2 ? bx ? c ( x ? (??,1)) 是单调函数时, b 的取值范围 A. b ? ? 2 B. b ? ? 2 C . b ? ?2 D. b ? ? 2 4.如果偶函数在 [ a, b] 具有最大值,那么该函数在 [?b,?a] 有
A. y ? 1 B. y ? A.最大值 B.最小值 C .没有最大值



) )

( D. 没有最小值

课后作业
1.在区间(0,+∞)上不是增函数的函数是 A.y=2x+1 C.y= B.y=3x2+1 D.y=2x2+x+1
-





2 x

2.函数 y=(x-1) 2 的减区间是___

_.

? 3.偶函数 f ( x) 在 ? 0, ? ? 上单调递增,则 f ( 2), f (?3), f (? ) 从小到大排列的顺 2 序是 ; 4.已知 f ( x) 是 R 上的偶函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? x2 ? 2x ,求 f ( x) 的解析式。
5. (12 分)判断下列函数的奇偶性 ①y?x ?
3

1 ; x

②y?

2x ? 1 ? 1 ? 2x ;

高中数学必修 1 函数的基本性质
1.奇偶性 (1)定义:如果对于函数 f(x)定义域内的任意 x 都有 f(-x)=-f(x),则称 f(x)为奇函数; 如果对于函数 f(x)定义域内的任意 x 都有 f(-x)=f(x),则称 f(x)为偶函数。 如果函数 f(x)不具有上述性质,则 f(x)不具有奇偶性.如果函数同时具有上述两条性质, 则 f(x)既是奇函数,又是偶函数。 注意: 1 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性,函数的奇偶性是函数的整体性质; ○ 2 由函数的奇偶性定义可知,函数具有奇偶性的一个必要条件是,对于定义域内的任 ○ 意一个 x,则-x 也一定是定义域内的一个自变量(即定义域关于原点对称) 。 (2)利用定义判断函数奇偶性的格式步骤: 1 首先确定函数的定义域,并判断其定义域是否关于原点对称; ○ 2 确定 f(-x)与 f(x)的关系; ○ 3 作出相应结论: ○ 若 f(-x) = f(x) 或 f(-x)-f(x) = 0,则 f(x)是偶函数; 若 f(-x) =-f(x) 或 f(-x)+f(x) = 0,则 f(x)是奇函数。 (3)简单性质: ①图象的对称性质:一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称;一个函 数是偶函数的充要条件是它的图象关于 y 轴对称; ②设 f ( x ) , g ( x) 的定义域分别是 D1 , D2 ,那么在它们的公共定义域上: 奇+奇=奇,奇 ? 奇=偶,偶+偶=偶,偶 ? 偶=偶,奇 ? 偶=奇 2.单调性 (1)定义:一般地,设函数 y=f(x)的定义域为 I, 如果对于定义域 I 内的某个区间 D 内的任意两个自变量 x1,x2,当 x1<x2 时,都有 f(x1)<f(x2)(f(x1)>f(x2)) ,那么就说 f(x)在区间 D 上是增函数(减函数) ; 注意: 1 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质,是函数的局部性质; ○ 2 必须是对于区间 D 内的任意两个自变量 x1,x2;当 x1<x2 时,总有 f(x1)<f(x2) ○ (2)如果函数 y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数,那么就说函数 y=f(x)在这一区 间具有(严格的)单调性,区间 D 叫做 y=f(x)的单调区间。 (3) 设复合函数 y= f[g(x)], 其中 u=g(x) , A 是 y= f[g(x)]定义域的某个区间, B 是映射 g : x→u=g(x) 的象集: ①若 u=g(x) 在 A 上是增(或减)函数,y= f(u)在 B 上也是增(或减)函数,则函数 y= f[g(x)]在 A 上是增函数; ②若 u=g(x)在 A 上是增 (或减) 函数, 而 y= f(u)在 B 上是减 (或增) 函数, 则函数 y= f[g(x)] 在 A 上是减函数。 (4)判断函数单调性的方法步骤 利用定义证明函数 f(x)在给定的区间 D 上的单调性的一般步骤: 1 任取 x1,x2∈D,且 x1<x2; ○ 2 作差 f(x1)-f(x2); ○ 3 变形(通常是因式分解和配方) ○ ; 4 定号(即判断差 f(x1)-f(x2)的正负) ○ ;

5 下结论(即指出函数 f(x)在给定的区间 D 上的单调性) ○ 。 (5)简单性质 ①奇函数在其对称区间上的单调性相同; ②偶函数在其对称区间上的单调性相反; ③在公共定义域内:

增函数 f ( x) ? 增函数 g ( x) 是增函数; 减函数 f ( x) ? 减函数 g ( x) 是减函数; 增函数 f ( x) ? 减函数 g ( x) 是增函数;减函数 f ( x) ? 增函数 g ( x) 是减函数。 3.最值 (1)定义: 最大值:一般地,设函数 y=f(x)的定义域为 I,如果存在实数 M 满足:①对于任意的 x ∈I,都有 f(x)≤M;②存在 x0∈I,使得 f(x0) = M。那么,称 M 是函数 y=f(x)的最大值。 最小值:一般地,设函数 y=f(x)的定义域为 I,如果存在实数 M 满足:①对于任意的 x ∈I,都有 f(x)≥M;②存在 x0∈I,使得 f(x0) = M。那么,称 M 是函数 y=f(x)的最大值。 注意: 1 函数最大(小)首先应该是某一个函数值,即存在 x0∈I,使得 f(x0) = M; ○ 2 函数最大(小)应该是所有函数值中最大(小)的,即对于任意的 x∈I,都有 f(x) ○ ≤M(f(x)≥M) 。 (2)利用函数单调性的判断函数的最大(小)值的方法: 1 利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值; ○ 2 利用图象求函数的最大(小)值; ○ 3 利用函数单调性的判断函数的最大(小)值: ○ 如果函数 y=f(x)在区间[a,b]上单调递增,在区间[b,c]上单调递减则函数 y=f(x)在 x=b 处有最大值 f(b); 如果函数 y=f(x)在区间[a,b]上单调递减,在区间[b,c]上单调递增则函数 y=f(x)在 x=b 处有最小值 f(b); 4.周期性 (1) 定义: 如果存在一个非零常数 T, 使得对于函数定义域内的任意 x, 都有 f(x+T)= f(x), 则称 f(x)为周期函数; (2)性质:①f(x+T)= f(x)常常写作 f ( x ?

T T ) ? f ( x ? ), 若 f(x)的周期中,存在一个最小 2 2

的正数,则称它为 f(x)的最小正周期;②若周期函数 f(x)的周期为 T,则 f(ω x)(ω ≠0)是 周期函数,且周期为

T |? |



四.典例解析
【奇偶性典型例题】 例 1.以下五个函数: (1) y ? (5) y ? log2 ( x ? 数是 _________

1 4 x ( x ? 0) ; (2) y ? x ? 1 ; (3) y ? 2 ; (4) y ? log2 x ; x

x 2 ? 1) ,其中奇函数是____ __,偶函数是__ ____,非奇非偶函

点评:判断函数的奇偶性是比较基本的问题,难度不大,解决问题时应先考察函数的定

义域,若函数的解析式能化简,一般应考虑先化简,但化简必须是等价变换过程(要保证定 义域不变) 。 题型二:奇偶性的应用 例 2.设 f(x)是定义在 R 上的奇函数,若当 x≥0 时,f(x)=log3(1+x) ,则 f(-2)=____ _。

例 3.已知 f ( x ) 奇函数,当 x ∈(0,1)时, f ( x) ? lg

1 ,那么当 x ∈(-1,0)时, 1? x

f ( x) 的表达式是



例 4.若奇函数 f ( x) 是定义在( ?1,1)上的增函数,试求 a 的范围: f (a ? 2) ? f (a2 ? 4) ? 0 .
2 解:由已知得 f (a ? 2) ? ? f (a ? 4)

因 f(x)是奇函数,故 ? f (a 2 ? 4) ? f (4 ? a 2 ) ,于是 f (a ? 2) ? f (4 ? a2 ) . 又 f ( x) 是定义在( ? 1,1)上的增函数,从而

??3 ? a ? 2 ? a ? 2 ? 4 ? a2 ? ? ? 3?a?2 ? ?1 ? a ? 2 ? 1 ? ?1 ? a ? 3 ??1 ? a 2 ? 4 ? 1 ? ? ?? 5 ? a ? 3或 3 ? a ? 5
即不等式的解集是 ( 3, 2) 【单调性典型例题】 例 1.(1) 设函数f ( x) ? (2a ?1) x ? b是R上的减函数, 则 a 的范围为( A. a ? )

1 2

B. a ?

1 2

C. a ? ?

1 2

D. a ?

1 2
)

(2)函数 y ? x2 ? bx ? c( x ?[0, ??) )是单调函数的充要条件是(

A. b ? 0 B. b ? 0 C. b ? 0 D. b ? 0 f ( x ) (3)已知 在区间 (??, ??) 上是减函数, a, b ? R 且 a ? b ? 0 ,则下列表达正确 的是( ) A. f (a) ? f (b) ? ?[ f (a) ? f (b)] B. f (a) ? f (b) ? f (?a) ? f (?b) C. f (a) ? f (b) ? ?[ f (a) ? f (b)] D. f (a) ? f (b) ? f (?a) ? f (?b) 提示: a ? b ? 0 可转化为 a ? ?b 和 b ? ? a 在利用函数单调性可得. (4) 如右图是定义在闭区间上的函数 y ? f ( x) 的图象,该函数的单调增 区间为 例 2.画出下列函数图象并写出函数的单调区间 (1) y ? ? x2 ? 2 | x | ?1 (2) y ?| ? x2 ? 2 x ? 3| 例 3.根据函数单调性的定义,证明函数 在 上是减函数.

例 4.设 f ( x) 是定义在 R 上的函数, 对 m 、n ? R 恒有 f (m ? n) ? f (m) ? f (n) , 且当 x ? 0 时, 0 ? f ( x) ? 1。 (1)求证: f (0) ? 1 ; (2)证明: x ? R 时恒有 f ( x) ? 0 ; (3)求证: f ( x) 在 R 上是减函数; (4)若 f ( x) ? f (2 ? x) ? 1 ,求 x 的范围。

1 1 1 1 则 f ( ? 0) ? f ( ) f (0) ,因为 f ( ) ? 0 所以 f (0) ? 1 2 2 2 2 (2)设 x ? 0 则 ? x ? 0 由条件可知 f (? x) ? o x ? x )? f (x ) f ? ( x? ) , 0所 以 f ( x ) ? 0 又 因 为 1 ? f ( 0 )? f ( ∴ x?R 时,恒有 f ( x) ? 0 (3)设 x1 ? x2 则
解:(1)取 m=0,n=

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ? x1 ? x1 ) f ( x1 ) ? f ( x2 ? x1 ) f ( x1 ) = = f ( x1 )[1 ? f ( x2 ? x1 )] 因为 x1 ? x2 所以 x2 ? x1 ? 0 所以 f ( x2 ? x1 ) ? 1 即 1 ? f ( x2 ? x1 ) ? 0 又因为 f ( x1 ) ? 0 ,所以 f ( x1 )[1 ? f ( x2 ? x1)] ? 0 所以 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,即该函数
在 R 上是减函数. (4) 因为 f ( x) ? f (2 ? x) ? 1 ,所以 f ( x) ? f (2 ? x) ? f (2 x ? x 2) ? f (0) 所以 2 x ? x2 ? 0 ,所以 x的范围为x ? 2或x ? 0 例 5: (复合函数单调性)1.函数 y ? ? x 2 ? 2 x ? 3 的增区间是( ). A. [ ? 3, ? 1] B. [ ? 1,1] C. (??, ?3) D. [?1, ??) 1 2.函数 y= 2 的单调递增区间为( ) x ? 2 x ? 80 A. (??, ?8) B. (??,1) C. (1, ??) D. (?8, ??)

题型五:周期问题 例 6 . 已 知 函 数 y ? f ( x) 是 定 义 在 R 上 的 周 期 函 数 , 周 期 T ? 5 , 函 数

y ? f ( x)(?1 ? x ? 1) 是奇函数 又知 y ? f ( x) 在 [0,1] 上是一次函数,在 [1, 4] 上是二次函
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/

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数,且在 x ? 2 时函数取得最小值 ?5 。 ① 证明: f (1) ? f (4) ? 0 ; ② 求 y ? f ( x), x ?[1, 4] 的解析式; ③ 求 y ? f ( x) 在 [4,9] 上的解析式。 解:∵ f ( x ) 是以 5 为周期的周期函数,∴ f (4) ? f (4 ? 5) ? f (?1) , 又∵ y ? f ( x)(?1 ? x ? 1) 是奇函数,∴ f (1) ? ? f (?1) ? ? f (4) ,∴ f (1) ? f (4) ? 0 。 ② 当 x ? [1, 4] 时,由题意可设 f ( x) ? a( x ? 2) ? 5 (a ? 0) ,
2



f (1) ? f (4) ? 0



a(1 ? 2)2 ? 5 ? a(4 ? 2)2 ? 5 ? 0





a?2



∴ f ( x) ? 2( x ? 2)2 ? 5(1 ? x ? 4) 。

x) (? 1 ? x ?1 ) ③ ∵y ? f (

是奇函数,∴ f (0) ? 0 ,

又知 y ? f ( x) 在 [0,1] 上是一次函数, ∴ 可设 f ( x) ? kx(0 ? x ? 1) ,而 f (1) ? 2(1 ? 2)2 ? 5 ? ?3 , ∴k ? ?3 ,∴ 当 0 ? x ? 1 时, f ( x) ? ?3x , 从而当 ?1 ? x ? 0 时, f ( x) ? ? f (? x) ? ?3x ,故 ?1 ? x ? 1 时, f ( x) ? ?3x 。 ∴ 当 4 ? x ? 6 时,有 ?1 ? x ? 5 ? 1 , ∴ f ( x) ? f ( x ? 5) ? ?3( x ? 5) ? ?3x ? 15 。 当 6 ? x ? 9 时, 1 ? x ? 5 ? 4 , ∴ f ( x) ? f ( x ? 5) ? 2[( x ? 5) ? 2]2 ? 5 ? 2( x ? 7)2 ? 5 ∴ f ( x) ? ?

??3x ? 15,
2

4? x?6 6? x?9

?2( x ? 7) ? 5,





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