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等差数列的性质(教师版)



等差数列的性质(教师版)
1、等差数列的定义 如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数 叫做等差数列的公差,通常用字母 d 表示. 2、等差数列的通项公式 (1)若等差数列{an}的首项是 a1,公差是 d,则其通项公式为 an=a1+(n-1)d. an-am (2)推广的通项公式:an=am+(n-m)d

(n,m∈N*) ?d= . n-m 3、等差中项 如果 a , A , b 成等差数列,那么 A 叫做 a 与 b 的等差中项,即: a+b A 是 a 与 b 的等差中项 ?A= , A , b 成等差数列. 2 ?a 4、等差数列的单调性 若等差数列{an}的公差为 d,则: (1)d>0?数列{an}为递增数列;(2)d<0?数列{an}为递减数列;(3)d=0?数列{an}为常数列; 5、下标和性质 若{an}为等差数列,且 m+n=p+q,则 am+an=ap+aq(m,n,p,q∈N*).注:左右项数必须相等; 6、两个重要性质 (1)若数列{an}与{bn}都为等差数列,公差分别为 d1,d2,则数列{pan+qbn}仍为等差数列,且公差为 pd1+qd2; (2)若{an}是等差数列,公差为 d,则 ak,ak+m,ak+2m,…(k,m∈N*)是公差为 md 的等差数列. 7、等差数列的判断与证明 (1)定义法:an+1-an=d(常数)(n∈N*)?数列{an}是等差数列; (2)等差中项法:2an+1=an+an+2(n∈N*)?数列{an}是等差数列; (3)通项公式法:an=pn+q(p,q 为常数,n∈N*)?数列{an}是等差数列; (4)前 n 项和公式法:Sn=An2+Bn(A,B 为常数,n∈N*)?数列{an}是等差数列; 注:如果要证明一个数列是等差数列,则必须用定义法或等差中项法. 考向一 等差数列的通项公式 例 1 求解下列各题: (1)在等差数列{an}中,首项 a1=-1,公差 d=3,那么当 an=2 012 时,n 等于( A.671 B.672 C.673 D.674 (2)在等差数列{an}中,若 a3=12,a6=27,则 a10=__________. (3)在等差数列 40,37,34,…中,第一个负数项是( ). A.第 13 项 B.第 14 项 C.第 15 项 D.第 16 项 解:(1)B (2)47 (3)C

).

(1)若等差数列{an}的首项是 a1,公差是 d,则其通项公式为 an=a1+(n-1)d; an-am (2)推广的通项公式:an=am+(n-m)d(n,m∈N*) ?d= . n-m 变式 1 在等差数列{an}中,求解下列各题: 1 (1)a1= ,d>0,且从第 10 项开始每项都大于 1,则此等差数列公差 d 的取值范围是__________. 25 (2)在公差不为零的等差数列{an}中,a1,a2 为方程 x2-a3x+a4=0 的两个根,则{an}的通项公式是 . ? ? a + a = a , a + a + d = a + 2 d , ? 1 2 3 ? 1 1 1 8 3 解:(1) <d≤ ;(2)依题意可得? 若设公差为 d,则有? 解得 a1=d=2,所以 75 25 ?a1a2=a4, ?a1(a1+d)=a1+3d, ? ? {an}的通项公式为 an=2n(n∈N*).

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考向二 等差中项的应用 例 2—1 设 x 是 a 与 b 的等差中项,x 是 a 与-b2 的等差中项,则有( ). A.a=-b B.a=3b C.a=3b 或 a=-b D.a=b=0 ?a+b?2=a2-b2,整理得 a2-2ab-3b2=0,所以 a=3b 或 a=-b. 解:2x=a+b,2x2=a2-b2,消去 x 可得 2· ? 2 ?
2 2

例 2—2 若 log32,log3(2x-1),log3(2x+11)成等差数列,则 x 的值为多少? 解:由 log32,log3(2x-1),log3(2x+11)成等差数列,得 2log3(2x-1)=log32+log3(2x+11). ∴(2x-1)2=2· (2x+11),化简,得(2x)2-4· 2x-21=0.解得 2x=7 或 2x=-3(舍去),故 x=log27.

a+b A 是 a 与 b 的等差中项 ?A= , A , b 成等差数列. 2 ?a 变式 2—1 lg( 5+2)与 lg( 5-2)的等差中项是( ). A. 5 B.2 C.lg 5 D.0 lg( 5+2)+lg( 5-2) lg(5-4) 解:等差中项是 = =0 D 2 2

变式 2—2 已知 x,y,z 成等差数列,求证:x2(y+z),y2(x+z),z2(y+x)也成等差数列. 证明:因为 x,y,z 成等差数列,所以 2y=x+z,而 x2(y+z)+z2(y+x)=x2y+x2z+z2y+z2x =x2y+z2y+xz(x+z)=x2y+z2y+2xyz=y(x+z)2=2y2(x+z),因此 x2(y+z),y2(x+z),z2(y+x)也成等差数列.

考向三 下标和性质的应用 例 3—1 在等差数列{an}中,a1+3a8+a15=120,则 2a9-a10 的值为( ) A.24 B.22 C.20 D.-8 解:设等差数列{an}公差为 d.∵a1+3a8+a15=120,∴5a8=120,∴a8=24,∴2a9-a10=a8=24.

例 3—2 已知 a2+a3+a4+a5=34,a2· a5=52,求公差 d.
? ? ? a5=52, ?a2· ?a2=4, ?a2=13, 解:由 a2+a3+a4+a5=34,得 2(a2+a5)=34.即 a2+a5=17,解? 得? 或? ?a2+a5=17, ?a5=13, ? ? ? ?a5=4. a5-a2 13-4 a5-a2 4-13 ∴d= = =3 或 d= = 3 3 5-2 5-2

若{an}为等差数列,且 m+n=p+q,则 am+an=ap+aq(m,n,p,q∈N*).注:左右项数必须相等;

变式 3—1 在等差数列{an}中,若 a3+a5+a7+a9+a11=100,则 3a9-a13 的值为( A.20 B.30 C.40 D.50 解:选 C.由 a3+a5+a7+a9+a11=(2a7)× 2+a7=5a7,可得 a7=20. 所以 3a9-a13=3(a7+2d)-(a7+6d)=2a7=40,故选 C.

)

变式 3—2 设{an}是公差为正数的等差数列,若 a1+a2+a3=15,a1a2a3=80,则 a11+a12+a13=________. 答案:105

-2-

考向四 两个重要性质的应用 例 4—1 已知数列{an}与{bn}都为等差数列,若 a2+b2=14,a5+b5=35,则 a50+b50=



例 4—2 在等差数列{an}中,a15=33,a25=66,则 a135=________. 解:由 a25 是 a15 与 a35 的等差中项知,2a25=a15+a35,∴a35=99.

(1)若数列{an}与{bn}都为等差数列,公差分别为 d1,d2,则数列{pan+qbn}仍为等差数列,且公差为 pd1+qd2;(2)若{an}是等差数列,公差为 d,则 ak,ak+m,ak+2m,…(k,m∈N*)是公差为 md 的等差数列. 变式 4—1 已知数列{an}是等差数列,且 a2+a3=12,a5+a6=18,则 a14+a15 等于__________. 解析:在等差数列中,连续 n 项之和构成的数列仍然是等差数列,即 Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…组成公差为 n2d 的等差数列.例如 a1+a2,a3+a4,a5+a6 仍然是等差数列.所以 a1+a2+a3,a4+a5+a6,a7+a8+a9 组成等差 数列.∴2(a4+a5+a6)=(a1+a2+a3)+(a7+a8+a9).即 a7+a8+a9=2× 18-12=24.

变式 4—2 已知数列{an},{bn}都是等差数列,且 a1=4,b1=-3,a24-b24=7,则 a12-b12 的值等于( ). A.7 B.-7 C.0 D.12 解:由于数列{an},{bn}都是等差数列,所以{an-bn}也是等差数列,而 a1-b1=4-(-3)=7=a24-b24,所以{an -bn}是常数列,故 a12-b12=7.

考向五 等差数列的证明 3 1 1 例 5 已知数列{an}中,a1= ,an=2- (n≥2,n∈N*),数列{bn}满足 bn= (n∈N*).求证:数列{bn}是 5 an-1 an-1 等差数列; 1 1 1 1 1 1 解 ∵an=2- (n≥2,n∈N*),bn= ,∴当 n≥2 时,bn-bn-1= - = - = 1 ? an-1 an-1 an-1 an-1-1 ? an-1-1 2- - 1 ? an-1? an-1 1 1 5 5 - =1.又 b1= =- .∴数列{bn}是以- 为首项,以 1 为公差的等差数列. 2 2 an-1-1 an-1-1 a1-1

证明等差数列的方法:(1)定义法:an+1-an=d(常数)(n∈N*)?数列{an}是等差数列;(2)等差中项法: 2an+1=an+an+2(n∈N*)?数列{an}是等差数列;

3x 1 变式 5 已知函数 f(x)= ,数列{xn}的通项由 xn=f(xn-1)(n≥2,且 n∈N*)确定.求证:{ }是等差数列. xn x+3 3xn-1 1 xn-1+3 1 1 1 1 1 1 证明:∵xn=f(xn-1)= (n≥2,n∈N*),∴ = = + ,∴ - = (n≥2,n∈N*),∴{ }是等差 x 3 x 3 x xn-1+3 3xn-1 xn-1 xn-1 n n n 数列.

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基础达标 1、在等差数列{an}中,若 a2,a10 是方程 x2+12x-8=0 的两个根,那么 a6 的值为__________. 解析:a2+a10=-12,因为 2a6=a2+a10,∴a6=-6.

2、等差数列{an}满足 am-1+am+1-a2 m=0,且 an≠0,则 am=________. 2 解析:因为{an}是等差数列,所以 am-1+am+1=2am,由 am-1+am+1-a2 m=0,得 2am-am=0,所以 am=2(am=0, 舍去).

3、在等差数列{an}中,已知 am=n,an=m,求 am+n 的值. am-an n-m 解:设公差为 d,则 d= = =-1,从而 am+n=am+(m+n-m)d=n+n· (-1)=0. m-n m-n

能力提升 b 4、 已知 a, , c 是公差不为 0 的等差数列的前三项, 则二次函数 f(x)=ax2+bx+c 的图象与 x 轴的交点个数为 . 2 b 解:∵a, ,c 构成等差数列,∴b=a+c,∴二次函数对应的二次方程判别式 Δ=b2-4ac=(a+c)2-4ac=(a- 2 b c)2.∵a, ,c 的公差不为 0,∴a≠c,∴Δ>0.∴f(x)的图象与 x 轴有两个交点. 2

5、成等差数列的四个数之和为 26,第二个数与第三个数之积为 40,求这四个数. 解 析 : 设 这 四 个 数 为 a - 3d , a - d , a + d , a + 3d , 则 由 题 意 得 : ? ??a-3d?+?a-d?+?a+d?+?a+3d?=26,
? ??a-d? ? a+d?=40. ?

?a= 2 , 解之得? 3 ?d=2,

13

?a= 2 , 或? 3 ?d=-2.

13

∴所求的四个数为 2,5,8,11 或 11,8,5,2.

n+1 6、已知数列{an}满足 a1=3,点(an,an+1)在直线 y= x+n+1(n∈N*)上. n an (1)求证:数列{ }是等差数列;(2)求 an. n n+1 n+1 Sn+1 Sn 解:①证明:点(Sn,Sn+1)在直线 y= x+n+1(n∈N*)上,∴Sn+1= S +n+1,同除以 n+1,则有 - n n n n+1 n Sn =1,∴数列{ }是以 3 为首项,1 为公差的等差数列. n Sn ②由(1)知 =3+(n-1)× 1,∴Sn=n2+2n. n

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