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一轮复习 第八章 平面解析几何 8.2 两条直线的位置关系课时规范训练



【高考领航】2017 届高考数学大一轮复习 第八章 平面解析几何 8.2 两条直线的位置关系课时规范训练 理 北师大版
A 级 基础演练] 1.(2016·株洲模拟)点(1,-1)到直线 x-y+1=0 的距离是( A. C. 1 2 3 2 2 B. D. 3 2 2 2 |1+1+1| 1+?-1? = 3 2 . 2 )

解析:由点到直线的距

离公式得距离为 答案:C

2

2.(2016·枣庄三中月考)若三条直线 l1:4x+y=4,l2:mx+y=0,l3:2x-3my=4 不能围成三角形,则实数 m 的取值最多有( A.2 个 C.4 个 )

B.3 个 D.6 个

解析:三条直线不能围成三角形,则至少有两条直线平行或三条直线相交于同一点.若

l1∥l2,则 m=4;若 l1∥l3,则 m=- ;若 l2∥l3,则 m 的值不存在;若三条直线相交于同
2 一点,则 m=-1 或 ,故实数 m 的取值最多有 4 个. 3 答案:C 3.(2016·宁夏银川模拟)已知直线 l1:x+ay+6=0 和 l2:(a-2)x+3y+2a=0,则

1 6

l1∥l2 的充要条件是 a 等于(
A.3 C.-1 解析:由题意知,l1∥l2? 答案:C

) B.1 D.3 或-1 1 a 6 = ≠ ,即 a=-1.故选 C. a-2 3 2a

4.(2015·黄石模拟)直线 l1 的斜率为 2,l1∥l2,直线 l2 过点(-1,1)且与 y 轴交于点

P,则 P 点坐标为(
A.(3,0) C.(0,-3)

) B.(-3,0) D.(0,3)

y-1 解析:∵点 P 在 y 轴上,∴设 P(0,y),又∵kl1=2,l1∥l2,∴kl2= =y- 0-?-1?
1=2,∴y=3,∴P(0,3).
1

答案:D 5.(2016·武汉模拟)已知两直线 l1:mx+8y+n=0 和 l2:2x+my-1=0,当 l1 与 l2 相交于点 P(m,-1)时,m,n 的值分别为________、________. 解析:∵m -8+n=0,2m-m-1=0,∴m=1,n=7. 答案:1 7
2

6.(2014·高考四川卷)设 m∈R,过定点 A 的动直线 x+my=0 和过定点 B 的动直线 mx -y-m+3=0 交于点 P(x,y),则|PA|·|PB|的最大值是________. 解析:求出定点 A,B 的坐标,并注意已知两直线互相垂直. ∵直线 x+my=0 与 mx-y-m+3=0 分别过定点 A,B, ∴A(0,0),B(1,3). 当点 P 与点 A(或 B)重合时,|PA|·|PB|为零; 当点 P 与点 A,B 均不重合时,∵P 为直线 x+my=0 与 mx-y-m+3=0 的交点,且易 知此两直线垂直, ∴△APB 为直角三角形,∴|AP| +|BP| =|AB| =10, |PA| +|PB| 10 ∴|PA|·|PB|≤ = =5,当且仅当|PA|=|PB|时,上式等号成立. 2 2 答案:5 7.已知直线 l1 经过点 A(2,a),B(a-1,3),直线 l2 经过点 C(1,2),D(-3,a+2). (1)若 l1∥l2,求 a 的值; (2)若 l1⊥l2,求 a 的值. 3 解:设直线 l1、l2 的斜率分别为 k1、k2,若 a=3,则 k1 不存在,k2=- ,则 l1 与 l2 既 4 不平行,也不垂直.
2 2 2 2 2

a-3 a+2-2 a 因此 a≠3,k1= =-1,k2= =- . 3-a -3-1 4
(1)∵l1∥l2,∴k1=k2. ∴-1=- .∴a=4. 4 (2)∵l1⊥l2,∴k1k2=-1. ∴(-1)?- ?=-1. ? 4? ∴a=-4. 8.过点 P(-1,2)引一直线,两点 A(2,3),B(-4,5)到该直线的距离相等,求这条直线 的方程. 解:法一:当斜率不存在时,过点 P(-1,2)的直线方程为:x=-1,A(2,3)到 x=-1

a

? a?

2

的距离等于 3,且 B(-4,5)到 x=-1 的距离也等于 3,符合题意; 当直线的斜率存在时,设斜率为 k,过点 P(-1,2)的直线方程为:y-2=k(x+1),即

kx-y+k+2=0,
|2k-3+k+2| |-4k-5+k+2| 1 依题设知: = ,解上式得:k=- ,所以,所求直线方 2 2 3 k +1 k +1 程为:x+3y-5=0; 综上可知,所求直线方程为 x=-1 或 x+3y-5=0. 法二:依题设知:符合题意的直线共有两条,一条是过点 P(-1,2)与 AB 平行的直线, 另一条是过点 P 及 AB 中点的直线. 3-5 1 因为 A(2,3),B(-4,5),所以 kAB= =- , 2+4 3 因此,过点 P 与 AB 平行的直线的方程为:

y-2=- (x+1),即 x+3y-5=0;
又因为 A(2,3),B(-4,5)的中点坐标 D(-1,4), 所以过点 P 及 AB 中点的直线方程为 x=-1; 综上可知,所求直线方程为 x=-1 或 x+3y-5=0. [B 级 能力突破] 1.(2016·浙江台州中学质检)已知 b>0,直线(b +1)x+ay+2=0 与直线 x-b y-1= 0 互相垂直,则 ab 的最小值为( A.1 C.2 2
2 2 2

1 3

) B.2 D.2 3
2 2 2

解析: 由已知两直线垂直得(b +1)-ab =0, 即 ab =b +1.两边同除以 b, 得 ab= 1 1 =b+ .由基本不等式,得 b+ ≥2

b2+1 b

b

b

b· =2 当且仅当 b=1 时等号成立,故选 B. b

1

答案:B 2. (2016·泉州模拟)若点(m, n)在直线 4x+3y-10=0 上, 则 m +n 的最小值是( A.2 C.4 解析:法一:数形结合法 (1)m +n =(m-0) +(n-0) 表示点(m,n)与(0,0)距离的平方,∴ m +n 表示点(m,
2 2 2 2 2 2 2 2

)

B.2 2 D.2 3

n)与(0,0)的距离,其最小值为原点到直线的距离.

3

当过原点的直线与直线 4m+3n-10=0 垂直时,原点到点(m,n)的距离的最小值为 d= |-10| 4 +3
2 2

=2,∴m +n 的最小值为 4.

2

2

(2)由题意知点(m,n)为直线上到原点最近的点,

?5 ? ? 10? 直线与两坐标轴交于 A? ,0?,B?0, ?, 3? ?2 ? ?
5 10 直角三角形 OAB 中,OA= ,OB= , 2 3 斜边 AB=

?5?2+?10?2=25, ?2? ? 3 ? 6 ? ? ? ?
2 2

斜边上的高 h 即为所求 m +n 的算术平方根, 1 1 ∴S△OAB= ·OA·OB= AB·h, 2 2 5 10 × OA·OB 2 3 ∴h= = =2, AB 25 6 ∴m +n 的最小值为 h =4. 法二:函数法 因点(m,n)在直线 4x+3y-10=0 上, 10-3n ∴4m+3n-10=0,∴m= , 4
2 2 2

?10-3n?2+n2=100-60n+25n . ∴m +n =? ? 16 ? 4 ?
2 2

2

6 2 2 当 n= 时,m +n 的最小值为 4. 5 答案:C 3. (2016·武汉模拟)若点 A(3,5)关于直线 l: y=kx 的对称点在 x 轴上, 则 k 是( A. -1± 5 2 B.± 3 )

4

C.

-1± 30 4

D.

-3± 34 5

解 析 : 由 题 设 点 A(3,5) 关 于 直 线 l : y = kx 的 对 称 点 为 B(x0,0) , 依 题 意 得 5-0 1 ? ?3-x =-k, ?5+0 3+x ? ? 2 =k× 2 ,
0 0

-3± 34 解得 k= . 5 答案:D 4.(2016·河南郑州一中月考)点 P 为 x 轴上的一点,A(1,1),B(3,4),则|PA|+|PB| 的最小值是________. 解析:点 A(1,1)关于 x 轴的对称点 A′(1,-1),则|PA|+|PB|的最小值是线段 A′B 的长= 5 +2 = 29. 答案: 29 5.(2014·高考江苏卷)在平面直角坐标系 xOy 中,若曲线 y=ax + (a,b 为常数)过 点 P(2, -5), 且该曲线在点 P 处的切线与直线 7x+2y+3=0 平行, 则 a+b 的值是________. 解析:y=ax + 的导数为 y′=2ax- 2, 7 直线 7x+2y+3=0 的斜率为- . 2
2 2 2 2

b x

b x

b x

b ? ?4a+2=-5, 由题意得? b 7 ?4a-4=-2, ?
答案:-3

解得?

? ?a=-1, ?b=-2, ?

则 a+b=-3.

6.已知方程 mx+ny-m-2n=0 对任意不同时为 0 的 m,n 恒成立,则 ________.

n2
2

m + n2

的最大值为

解析:由已知方程 mx+ny-m-2n=0 表示一条直线 l,整理得 m(x-1)+n(y-2)=0, 由等式恒成立的条件,可知?
? ?x-1=0, ?y-2=0, ?

解得?

? ?x=1, ? y= 2, ?

即直线 l 恒过点 P(1,2).

取点 A(1,-1),则点 A 到直线 l 的距离

d=

|m-n-m-2n| 3|n| = 2 . 2 2 m +n m +n2
5

因 为 直 线 l 恒 过 点 P(1,2) , 所 以 点 A 到 直 线 l 的 距 离 的 最 大 值 等 于 |AP| = ?1-1? +?-1-2? =3, 即 的最大值为 1. 答案:1 7.(2016·广东中山检测)已知点 A(2,-1), (1)求过点 A 且与原点距离为 2 的直线 l 的方程; (2)求过点 A 且与原点距离最大的直线 l 的方程,并求最大距离; (3)是否存在过点 A 且与原点距离为 6 的直线?若存在,求出方程,若不存在,请说明 理由. 解:(1)过点 A 的直线 l 与原点距离为 2,而点 A 的坐标为(2,-1),当斜率不存在时, 直线 l 的方程为 x=2,此时,原点到直线 l 的距离为 2,符合题意; 当斜率存在时,设直线 l 的方程为 y+1=k(x-2), 即 kx-y-2k-1=0. |-2k-1| 3 由已知得 =2,解得 k= , 2 4 k +1 此时直线 l 的方程为 3x-4y-10=0. 综上可知,直线 l 的方程为 x=2 或 3x-4y-10=0. (2)过点 A 且与原点 O 距离最大的直线是过点 A 与 OA 垂直的直线,由 l⊥OA,得 k1kOA =-1,所以 k1=- 1
2 2

3|n|

m2+n

的最大值为 3, 所以 2

|n|

m2+n

的最大值为 1, 即 2

n2
2

m +n2

kOA

=2,

由直线的点斜式方程得 y+1=2(x-2), |OA|= ?2-0? +?-1-0? = 5. 即 2x-y-5=0,即直线 2x-y-5=0 是过点 A 且与原点距离最大的直线 l 的方程,且 最大距离为 5. (3)不存在,由②可知,过点 A 不存在到原点距离超过 5的直线,因此不存在过点 A 且 与原点距离为 6 的直线.
2 2

6



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