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(新课标)高考数学一轮复习 名校尖子生培优大专题 高频考点分析之最值探讨 不等式求最值2 新人教A版



(新课标) 高考数学一轮复习 名校尖子生培优大专题 高频考点分析之最值探讨 不等式求最值 2 新人教 A 版
例 7.)下列不等式一定成立的是【 】

? 2 1? A.lg?x + ?>lgx(x>0) 4? ?
1 B.sinx+ ≥2(x≠kπ ,k∈ Z ) sinx C.x +1≥2|x|(x∈ R ) D. 1 >1(x∈ R

) x +1
2 2

【答案】C。 【考点】不等式的性质以及基本不等式的应用。 1 ? 2 1? 【解析】对于 A,当 x= 时,lg?x + ?=lgx,所以 A 不一定成立; 4? 2 ? 对于 B,当 sinx>0 时,不等式才成立,所以 B 不一定成立; 对于 C,命题显然正确; 对于 D,∵x +1≥1,∴0< 故选 C。 例 8.已知曲线 C: (5-m)x 2+(m-2)y 2 ? 8(m ? R) (1)若曲线 C 是焦点在 x 轴点上的椭圆,求 m 的取值范围; (2)设 m=4,曲线 c 与 y 轴的交点为 A,B(点 A 位于点 B 的上方) ,直线 y ? kx ? 4 与曲线 c 交于不同的两 点 M、N,直线 y=1 与直线 BM 交于点 G。求证:A,G,N 三点共线。 【答案】 (1)原曲线方程可化为:
2

1

x2+1

≤1,所以 D 不成立.

x2 y2 + ?1。 8 8 5-m m-2

∵曲线 C 是焦点在 x 轴点上的椭圆,

8 ? 8 ? 5-m > m-2 ? 7 ? 8 ∴? ,是 < m < 5 。 >0 2 ? 5 -m ? 8 ? m-2 > 0 ?
∴若曲线 C 是焦点在 x 轴点上的椭圆,则 m 的取值范围为

7 <m<5。 2

1

(2)证明:∵m=4,∴曲线 c 的方程为 x 2+2y 2 ? 8 。 将已知直线代入椭圆方程化简得:

? 2k

2

? 1 x 2 ? 16kx ? 24=0 。
2

?

由 ? = ?16k ? ? 4 ? 2k 2 ? 1 ? 24=32 2k 2 ? 3 > 0 得,

?

?

?

?

3 k2 > 。 2
由韦达定理得: x M +x N = ?

16k 24 。 ,x M ? x N = 2 2 2k ? 1 2k ? 1

设 M ? x M,kx M ? 4 ?,N ? x N,kx N ? 4 ?,G ? x G, 1? 。 则 MB 的方程为 y=

? 3x M ? kx M ? 6 , 1? 。 x ? 2 ,∴ G ? xM ? kx M ? 6 ?

AN 的方程为 y=

kx N ? 2 x?2。 xN

欲证 A,G,N 三点共线,只需证点 G 在直线 AN 上。

? 3x M ? kx ? 2 kx ? 2 3x M , 1? 代入 y= N x ? 2 ,得 1= N ? ? 2, 将G? xN xN kx M ? 6 ? kx M ? 6 ?
即 ? kx M ? x N ? 6x N =3kx M ? x N ? 6x M ,即 4kx M ? x N ? 6 ? x M ? x N ? =0 , 即 4?

? 16k ? ? 6??? 2 ? =0 ,等式恒成立。 2k ? 1 ? 2k ? 1 ? 24
2

? 3x M ? , 1? 在直线 AN 上。 由于以上各步是可逆的,从而点 G ? ? kx M ? 6 ?
∴A,G,N 三点共线。 【考点】椭圆的性质,韦达定理的应用,求直线方程,三点共线的证明。 【解析】(1)根据椭圆长轴大于短轴和长、短轴大于 0 得不等式组求解即得 m 的取值范围。 (2)欲证 A,G,N 三点共线,只需证点 G 在直线 AN 上。故需求出含待定系数的直线 MB 和 AN 的 方程,点 G 的坐标,结合韦达定理的应用用逆推证明。也可通过证明直线 MB 和 AN 在 y=1 时横坐标相等来证 A,G,N 三点共线或直线 AN 和 AG 斜率相等。还可用向量求解。 例 9.如图,动点 M 到两定点 A(?1, 0) 、 B (2, 0) 构成 ?MAB ,且 ?MBA ? 2?MAB ,设动点 M 的轨迹为

C。
(Ⅰ)求轨迹 C 的方程;
2

(Ⅱ)设直线 y ? ?2 x ? m 与 y 轴交于点 P ,与轨迹 C 相交于点 Q、R ,且 | PQ |?| PR | ,求 范围。

| PR | 的取值 | PQ |

y

M

A

O

B x

【答案】解: (Ⅰ)设 M 的坐标为(x,y) ,显然有 x>0 且 y ? 0 。 当∠MBA=90°时,点 M 的坐标为(2,, ±3) 。 当∠MBA≠90°时,x≠2。由 ?MBA ? 2?MAB 得

| y| 2 tan ?MAB | y| x ?1 ? tan∠MBA= ,即 ? 2 x ? 2 1 ? ( | y | )2 1 ? tan ?MAB x ?1 2
化简得: 3 x 2 ? y 2 ? 3 ? 0 。 而点(2,,±3)在 3 x 2 ? y 2 ? 3 ? 0 上。 ∵ y =0 时, x =1 ,∴ x > 1 。 综上可知,轨迹 C 的方程为 3 x 2 ? y 2 ? 3 ? 0 ( x > 1 ) 。

(II)由方程

? y ? ?2 x ? m 消去 y,可得 x 2 ? 4mx ? m 2 ? 3 ? 0 。 ( *) ? 2 2 ?3 x ? y ? 3 ? 0
2 2

由题意,方程(*)有两根且均在(1,+ ? )内,设 f ( x) ? x ? 4mx ? m ? 3 ,

? ? 4m ?? 2 ? 1 ? ? 2 2 ∴ ? f (1) ? 1 ? 4m ? m ? 3 ? 0 ,解得,m>1 且 m ? 2。 ?? ? (?4m) 2 ? 4(m 2 ? 3) ? 0 ? ? ?
设 Q、R 的坐标分别为 ( xQ , yQ ),( xR , yR ) ,由 PQ ? PR 有

xR ? 2m ? 3(m 2 ? 1), xQ ? 2m ? 3(m 2 ? 1) 。

3

1 ) 2 PR xR 2m ? 3(m ? 1) 4 m ∴ 。 ? ? ? ? ?1 ? 2 PQ xQ 2m ? 3(m ? 1) 1 1 2 ? 3(1 ? 2 ) 2 ? 3(1 ? 2 ) m m
2

2 ? 3(1 ?

由 m>1 且 m ? 2 得

1 ? ?1 ?

4 1 2 ? 3(1 ? 2 ) m

? 7 ? 4 3 且 ?1 ?

?7。 1 2? 3 ( 1 ? 2) m

4



PR 的取值范围是 ?1,7 ? ? (7,7 ? 4 3 ) 。 PQ

【考点】直线、双曲线、轨迹方程的求法,倍角公式的应用。 【解析】 (Ⅰ) 设 M 的坐标为 (x, y) , 当∠MBA=90°时, 可直接得到点 M 的坐标为 (2, , ±3) ; 当∠MBA≠90° 时,由 ?MBA ? 2?MAB 应用倍角公式即可得到轨迹 C 的方程。 (Ⅱ)直线 y ? ?2 x ? m 与 3 x 2 ? y 2 ? 3 ? 0 联立,消元可得 x 2 ? 4mx ? m 2 ? 3 ? 0 ①,利用①有两根 且均在(1,+∞)内可知,m>1,m≠2。设 Q,R 的坐标,求出 xR,xQ,利用 的取值范围。 例 10.如图, 动点 M 与两定点 A(?1, 0) 、B (1, 0) 构成 ?MAB , 且直线 MA、MB 的斜率之积为 4, 设动点 M 的轨迹为 C 。 (Ⅰ)求轨迹 C 的方程; (Ⅱ)设直线 y ? x ? m(m ? 0) 与 y 轴交于点 P ,与轨迹 C 相交于点 Q、R ,且 | PQ |?| PR | ,求 取值范围。

PR PQ

?

PR xR ,即可确定 xQ PQ

| PR | 的 | PQ |

y

M

A

O B

x

【答案】解: (Ⅰ)设 M 的坐标为(x,y) , ∵当 x=-1 时,直线 MA 的斜率不存在;当 x=1 时,直线 MB 的斜率不存在; ∴ x ? ?1 ,MA 的斜率为

y y ,MB 的斜率为 。 x ?1 x ?1
4

由题意,有

y y ? =4,化简可得, 4 x 2 ? y 2 ? 4 ? 0 。 x ?1 x ?1

∴轨迹 C 的方程为 4 x 2 ? y 2 ? 4 ? 0 ( x ? ?1 ) 。 (Ⅱ)由 ?

?y ? x ? m ?4 x ? y ? 4 ? 0
2 2

消去 y,可得 3 x 2 ? 2mx ? m 2 ? 4 ? 0 (﹡)

对于方程(﹡),其判别式 ? ? (? 2m) 2-4 ? 3 (? m 2 ? 4 ) ? 16m 2 ? 48 ? 0 , 而当 1 或-1 为方程(*)的根时,m 的值为-1 或 1, 结合题设 m ? 0 可知, m ? 0 ,且 m≠1。 设 Q、R 的坐标分别为 (xQ , yQ) , ? xR , yR ? ,,则 xQ , xR 为方程(*)的两根。 ∵ PQ ? PR ,∴ xQ ? xR 。 ∴ xQ ?

m ? 2 m2 ? 3 m ? 2 m2 ? 3 。 , xR ? 3 3

∴ PR x ? R ? PQ xQ

2 1?

3 ?1 。 2 m2 ?1? 3 3 2 1? 2 ?1 2 1 ? 2 ?1 m m

此时 1 ? ∴1 ? 1 ?

3 3 ? 1 ,且 1 ? 2 ? 2 。 2 m m
2 3 ?1 m2 ? 3 且1 ? 2 1? 2 3 ?1 m2 ? 5 。 3

2 1?
∴1 ?

x x PR PR 5 ? R ? 3且 ? R ? 。 PQ xQ PQ xQ 3
PR PQ

综上所述,

(,) 1 ? ( , 3 )。 的取值范围为

5 3

5 3

【考点】直线、双曲线、轨迹方程的求法。 【解析】 (Ⅰ)设 M 的坐标为(x,y) ,由当 x=-1 时,直线 MA 的斜率不存在;当 x=1 时,直线 MB 的斜率 不存在,得到 x ? ?1 ,由直线 MA、MB 的斜率之积为 4 列式即可得到轨迹 C 的方程。 (Ⅱ) 直线 y ? x ? m(m ? 0) 与 4 x 2 ? y 2 ? 4 ? 0 联立, 消元可得 3 x 2 ? 2mx ? m 2 ? 4 ? 0 (﹡), 利用(﹡) 有两根且 m ? 0 ,且 m≠1。设 Q,R 的坐标,求出 xR,xQ,利用

PR PQ

?

PR xR ,即可确定 的取值范围。 xQ PQ

例 11.如图,建立平面直角坐标系 xoy , x 轴在地平面上, y 轴垂直于地平面,单位长度为 1 千米.某炮位于

5

坐标原点. 已知炮弹发射后的轨迹在方程 y ? kx ? 的射程是指炮弹落地点的横坐标. (1)求炮的最大射程;

1 其中 k 与发射方向有关. 炮 (1 ? k 2 ) x 2 (k ? 0) 表示的曲线上, 20

(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小) ,其飞行高度为 3.2 千米,试问它的横坐标 a 不超过多少时, 炮弹可以击中它?请说明理由.

【答案】解: (1)在 y ? kx ?

1 1 (1 ? k 2 ) x 2 (k ? 0) 中,令 y ? 0 ,得 kx ? (1 ? k 2 ) x 2 =0 。 20 20

由实际意义和题设条件知 x > 0,k > 0 。 ∴ x=

20k 20 20 = ? =10 ,当且仅当 k =1 时取等号。 2 1 1? k ?k 2 k

∴炮的最大射程是 10 千米。 (2)∵ a > 0 ,∴炮弹可以击中目标等价于存在 k ? 0 ,使 ka ? 即关于 k 的方程 a 2 k 2 ? 20ak ? a 2 ? 64=0 有正根。 由 ? = ? ?20a ? ? 4a 2 a 2 ? 64 ? 0 得 a ? 6 。
2

1 (1 ? k 2 )a 2 =3.2 成立, 20

?

?

此时, k =

20a ?

? ?20a ?

2

? 4a 2 ? a 2 ? 64 ?

2a 2

> 0 (不考虑另一根) 。

∴当 a 不超过 6 千米时,炮弹可以击中目标。 【考点】函数、方程和基本不等式的应用。 【解析】 (1) 求炮的最大射程即求 y ? kx ?

1 (1 ? k 2 ) x 2 (k ? 0) 与 x 轴的横坐标, 求出后应用基本不等式求解。 20

(2)求炮弹击中目标时的横坐标的最大值,由一元二次方程根的判别式求解。

6



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