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坐 标 系 与 参 数 方 程 数 学 试 题


























) D、

x ? sin 2? 一、选择题 1、下列在曲线错误!未找到引用源。 ? 上的点是( (? 为参数) ? ? y ? cos ? ? sin ?

A、( 1 , ? 2 )
2

B、 错误! 未找到引用源。( 3 , 1 )
4 2

C、 错误! 未找到引用源。(2, 3)

(1, 3)
2、在极坐标系中点 ? 2, ? ? 到圆ρ =2cosθ 的圆心距离为(
? ? ? 3?

)A.2

B. 4 ? ? 2 C.
9

1?

?2
9

D. 3

3、在极坐标系中,圆ρ =-2sinθ 圆心极坐标是(

)A.(1, ? ) B.(1,- ? ) C.(1,0) D.(1,π )
2 2

x ? ?1 ? t 4、极坐标方程ρ =cosθ 和参数方程 ? (t 为参数)所表示的图形分别是( ? y ? 2 ? 3 t ?
A.圆、直线 B.直线、圆 C. 圆、圆 D.直线、直线 )

)

5、极坐标方程为(ρ -1)(θ -π )=0(ρ ≥0)表示的图形是(

A.两个圆 B.两条直线 C.一个圆和一条射线 D.一条直线和一条射线 二、填空题:6. 在极坐标系中圆ρ =4sinθ 的圆心到直线θ = ? (ρ ∈R)距离是___
6
? ?x=2+t, 7. 直线? ?y=-1-t ?

x ? 3 cos? (t 为参数)与曲线 ? (α 为参数)的交点个数为________ ? ? y ? 3 sin ?
?x ? (t 为参数)和 ?

x?t 8 .在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 和 C2 的参数方程分别为 ? ? ?y ?

t

? ? ?y ?

2 cos? 2 sin ?

(θ 为参数),则曲线 C1 与 C2 的交点坐标为________. ? ? ?x=t+1, ?x=asinθ , 9.在直角坐标系 xOy 中,已知曲线 C1:? (t 为参数)与曲线 C2:? (θ 为 ?y=1-2t ?y=3cosθ ? ? 参数,a>0)有一个公共点在 x 轴上,则 a=____ π 10.在直角坐标系 xOy 中,以原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立坐标系.射线θ = 与曲线 4
?x ? t ? 1 (t 为参数)相交于 A,B 两点,则线段 AB 的中点的直角坐标为________. ? 2 ? y ? (t ? 1)
? ? ) ? x ? 5 cos?( ? 为参数 11、曲线 C1 和 C2 的参数方程分别为 ? 和 ?x 0 ?? ? ? ? 2 ? ? ? y ? 5 sin ? 2 t 2 ?y ? ? 2 t ? 2 ? ? 1?

(t 为参数),

则曲线 C1 与 C2 在平面直角坐标系中的交点坐标为__________. 12.在极坐标系中,圆 ? ? 2 cos ? 圆心到直线 ? cos ? ? 2 的距离是____. 13、直角坐标系 xOy 中以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,设点 A,B 分别在曲线 C1:

? x ? 3 ? cos? (θ 为参数)和曲线 C2:ρ =1 上,则|AB|的最小值为________. ? ? y ? 4 ? sin ?
14、直线 2ρ cosθ =1 与圆ρ =2cosθ 相交的弦长为________. 15、在极坐标系中,曲线 C1ρ ( 2cosθ +sinθ )=1 与曲线 C2ρ =a(a>0)的一个交点在极轴上,则 a=___
2 16.已知抛物线 C 的参数方程为 ? x ? 8t (t 为参数),若斜率为 1 的直线经过抛物线 C 的焦点,且与

? ? y ? 8t

圆(x-4) +y =r (r>0)相切,则 r=________.

2

2

2

5 2 17.两曲线参数方程分别为 ? x ? 5 cos? (0≤θ <π )和 ? ? x ? t (t∈R),它们交点坐标为________.

? ? y ? sin ?

4 ? ? ?y ? t

三、解答题 18、已知在直角坐标系错误!未找到引用源。中,直线错误!未找到引用源。的参数方程 为错误!未找到引用源。(错误!未找到引用源。为参数) ,在极坐标系(与直角坐标系错误!未找 到引用源。取相同的长度单位,且以原点错误!未找到引用源。为极点,以错误!未找到引用源。轴 正半轴为极轴)中,曲线错误!未找到引用源。的极坐标方程为错误!未找到引用源。.①求直线错 误!未找到引用源。普通方程和曲线错误!未找到引用源。的直角坐标方程;②设点错误!未找到引 用源。是曲线错误!未找到引用源。上的一个动点,求它到直线错误!未找到引用源。的距离的取值 范围.

? ?x=2cosφ , 19、已知曲线 C1 的参数方程是? (φ 为参数),以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建 ?y=3sinφ , ? 立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程是ρ =2,正方形 ABCD 的顶点都在 C2 上,且 A、B、C、D 依逆时针

π 次序排列,点 A 的极坐标为(2, ).(Ⅰ) 求点 A、B、C、D 的直角坐标; 3 2 2 2 2 (Ⅱ) 设 P 为 C1 上任意一点,求|PA| +|PB| +|PC| +|PD| 的取值范围.

20、在直角坐标系 xOy 中,圆 C1:x +y =4,圆 C2:(x-2) +y =4. (Ⅰ)在以 O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,分别写出圆 C1,C2 的极坐标方程,并求出圆 C1, C2 的交点坐标(用极坐标表示);(Ⅱ)求圆 C1 与 C2 的公共弦的参数方程.

2

2

2

2

21.在直角坐标系 xOy 中,直线 l 的方程为 x-y+4=0,曲线 C 的参数方程为 ? x

? 3 cos? ? y ? ? sin ?

(α 为

参数).(1)已知在极坐标系(与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以 x 轴正半 轴为极轴)中,点 P 的极坐标为(4, ? ),判断点 P 与直线 l 的位置关系;(2)设点 Q 是曲线 C 上的一
2

个动点,求它到直线 l 的距离的最小值.

x ? 2 cos? 22、曲线 C1 的参数方程为 ? (α 为参数).M 是 C1 上的动点,P 点满足 OP ? 2OM ,P ? ? y ? 2 ? 2 sin ?

点的轨迹为曲线 C2.(1)求 C2 的方程;(2)在以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线θ = π 与 C1 的异于极点的交点为 A,与 C2 的异于极点的交点为 B,求|AB|. 3

23、 .已知 P 为半圆 C:?

?x=cosθ ? ?y=sinθ ?

(θ 为参数,0≤θ ≤π )上的点,点 A 的坐标为(1,0),O 为坐标 π .(1)以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴 3

原点,点 M 在射线 OP 上,线段 OM 与 C 的弧 AP 的长度均为

建立极坐标系,求点 M 的极坐标;(2)求直线 AM 的参数方程.

π? π? 3 ? ? 24、在极坐标系中,已知圆 C 经过点 P? 2, ?,圆心为直线ρ sin?θ - ?=- 与极轴的交点, 4? 3? 2 ? ? 求圆 C 的极坐标方程.

25、在平面直角坐标系中,以坐标原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知直线 l 上 两点 M,N 的极坐标分别为(2,0),?

?x=2+2cosθ , ?2 3 π ? , ?,圆 C 的参数方程为? 2? ? 3 ?y=- 3+2sinθ

(θ 为参数).

(1)设 P 为线段 MN 的中点,求直线 OP 的平面直角坐标方程;(2)判断直线 l 与圆 C 的位置关系.

选择题:1-5 C D B A C π π π 2、[答案] D[解析] 极坐标?2, 3 ?化为直角坐标为 2cos ,2sin ,即(1, 3),圆的极坐标方程 ρ ? ? 3 3 =2cosθ 可化为 ρ =2ρcosθ,化为直角坐标方程为 x +y -2x=0,即(x-1) +y =1,所以圆心坐标 为(1,0),则由两点间距离公式 d= ?1-1? +? 3-0? = 3,故选 D.
2 2 2 2 2 2 2

3、[答案] B[解析] 由 ρ=-2sinθ 得:ρ2=-2ρsinθ, π ∴x2+y2=-2y,即 x2+(y+1)2=1,∴圆心直角坐标为(0,-1),极坐标为(1,- ),选 B. 2 4、[答案] A[解析] 将题中两个方程分别化为直角坐标方程为 x2+y2=x,3x+y+1=0,它们分别表 示圆和直线. 5、[答案] C[解析] 由(ρ-1)(θ-π)=0 得 ρ=1 或者 θ=π,又 ρ≥0,故该方程表示的图形是一个圆 和一条射线.

填空题:6:

3.

7 :2

8:(1,1)

3 9: 2

5 5? 10:? ?2,2?

11:(2,1)

12:1 、

13:3 6. 3

14: 3

15:

2 2

、16、 2

2 5? 17:?1, 5 ? ?

[解析] 本题考查极坐标与直角坐标的互化,圆的方程,点到直线的距离. ? ?x=ρcosθ, 应用极坐标与直角坐标的互化公式? 将圆 ρ=4sinθ 化为直角坐标方程为 x2+(y-2)2=4, ?y=ρsinθ ? π 3 直线 θ= 化为直角坐标方程为 y= x.因为 x2+(y-2)2=4 的圆心为(0,2), 所以圆心(0,2)到直线 y 6 3 |2×(-3)| 3 = x,即 3x-3y=0 的距离为 d= = 3. 3 ( 3)3+32 7.2 [解析] 本题主要考查直线和圆的位置关系,考查参数方程和普通方程之间的转化等基础知识, 考查数形结合思想的运用. 方程转化为普通方程,直线为 x+y=1,圆为 x2+y2=9, |1| 1 法一圆心到直线的距离为 d= = <3,所以直线与圆相交,答案为 2. 2 2 2 2 ? x + y = 9 , ? 法二联立方程组? 消去 y 可得 x2-x-4=0,Δ>0,所以直线和圆相交答案为 2. ?x+y=1, ? 8.(1,1) [解析] 本题考查参数方程与直角坐标方程之间的转化,突破口是把参数方程转化为直角坐 标方程,利用方程思想解决,C1 的直角坐标方程为:y2=x(x≥0),C2 的直角坐标方程为:x2+y2=2, ?y2=x, ?x=1, ? ? 联立方程得:? 2 2 解得? 所以交点坐标为(1,1). ?x +y =2, ?y=1, ? ? 3 9. [解析] 考查直线与椭圆的参数方程,此类问题的常规解法是把参数方程转化为普通方程求解, 2 此题的关键是,得出两曲线在 x 轴上的一个公共点,即为曲线 C1 与 x 轴的交点,化难为易.曲线 C1:

?x ? 1 ? t x2 y2 ( t 为参数 ) 的普通方程是 2 x + y - 3 = 0 ,曲线 C 的普通方程是 + =1,两曲线在 x 轴上 2 ? a2 9 ? y ? 1 ? 2t ?3?2 2 ?2? 0 3 ? 3 ,0 ,代入曲线 C2,得 2 + =1,解得 a= . 的一个公共点,即为曲线 C1 与 x 轴的交点? ?2 ? a 9 2
5 5? 10.? ?2,2?

?x=t+1, [解析] 曲线? ?y=(t-1)2

π 化为直角坐标方程是 y=(x-2)2,射线 θ= 化为直角坐标方程 4

?y=(x-2)2, x ≥ 0 ).联立? 是 y=x( 消去 y 得 x2-5x+4=0,解得 x1=1,x2=4.所以 y1=1,y2=4.故 ?y=x(x≥0), x1+x2 y1+y2? ?5,5? 线段 AB 的中点的直角坐标为? ? 2 , 2 ?,即?2 2?.
11、(2,1) 曲线 C1 的方程为 x2+y2=5(0≤x≤ 5),曲线 C2 的方程为 y=x-1,则?

? ?x2+y2=5 ?y=x-1 ?

?x=

2 或 x=-1(舍去),则曲线 C1 和 C2 的交点坐标为(2,1).

12、答案: 1 13、[答案] 3[解析] C1 为圆(x-3)2+(y-4)2=1,C2 为圆 x2+y2=1.∴|AB|min= 32+42-1-1=3. 3 [解析] 本题考查了极坐标的相关知识, 解题的突破口为把极坐标化为直角坐标. 由 2ρcosθ 3 =1 得 2x=1①,由 ρ=2cosθ 得 ρ2=2ρcosθ,即 x2+y2=2x②,联立①②得 y=± ,所以弦长为 3. 2 14、 C.

15、

2 2

普通方程得 C1:

1 2 2x+y=1,C2:x2+y2=a2,令 y=0,解得 a2= ?a= (a>0). 2 2

16[答案]

2[解析]

2 ? ?x=8t 根据抛物线 C 的参数方程? ,得出 y2=8x,得出抛物线焦点坐标为(2,0), ?y=8t ?

所以直线方程:y=x-2,利用圆心到直线距离等于半径,得出 r=

2 = 2. 2

?x= 5cosθ x2 2 5? 17、答案] ?1, [解析] ? (0≤θ≤π) 化为普通方程为 +y2=1(0≤y≤1), 5 5 ? ? ?y=sinθ
5 ? ? +y =1?0≤y≤1? ?x=4t2 5 2 5 而? 为普通方程 x= y ,? 4 5 ?y=t ? x= y2
2

x2

?

4

x=1 ? ? 2 5? 得? 2 5 ,交点坐标为?1, 5 ? ? ?y= 5 ? ………2

解答题: 18、 【答案】 ①直线错误! 未找到引用源。 的普通方程为: 错误! 未找到引用源。 .


曲线错误! 未找到引用源。 的直角坐标方程为: 错误! 未找到引用源。 【或错误! 未找到引用源。 】 . ………4 分 ②曲线错误!未找到引用源。的标准方程为错误!未找到引用源。,圆心错误!未找到引用源。,半径 为 1; ∴圆心错误!未找到引用源。到直线错误!未找到引用源。的距离为:错误!未找到引用 源。 …………………6 分 所以点 错误!未找到引用源。 到直线 错误!未找到引用源。 的距离的取值范围是 错误!未找到引用 源。 ………………7 分

19、解:(Ⅰ)由已知可得 A(2cos ,2sin ),B(2cos( + ),2sin( + )),C(2cos( +π),2sin( +π)),
3 3 3 2 3 2 3 3

π

π

π π

π π

π

π

D(2cos( +

π 3π π 3π ),2sin( + )),即 A(1, 3 2 3 2

3),B(-

3,1),C(-1,-

3),D(

3,-1).

(Ⅱ)设 P(2cosφ,3sinφ),令 S=|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2,则 S=16cos2φ+36sin2φ+16=32+ 20sin2φ.因为 0≤sin2φ≤1,所以 S 的取值范围是[32,52].

20、解:(Ⅰ)圆 C1 的极坐标方程为ρ=2,圆 C2 的极坐标方程ρ=4cosθ.
解?

?ρ=2 ?

π π π ,得ρ=2,θ=± ,故圆 C1 与圆 C2 交点的坐标为(2, ),(2,- ). 3 3 3 ?ρ=4cosθ ?

注:极坐标系下点的表示不唯一.

? ?x=ρcosθ (Ⅱ)法一:由? ,得圆 C1 与 C2 交点的直角坐标分别为(1, 3),(1,- 3).故圆 C1 与 C2 的 ? ?y=ρsinθ ?x=1 ?x=1 ? ? 公共弦的参数方程为? ,- 3≤t≤ 3.(或参数方程写成? ,- 3≤y≤ 3) ? ? ?y=t ?y=y ? 1 ?x=ρcosθ 法二:将 x=1 代入? ,得ρcosθ=1,从而ρ= . cosθ ?y=ρsinθ ? ? π π ?x=1 于是圆 C1 与 C2 的公共弦的参数方程为? ,- ≤θ≤ . 3 3 ?y=tanθ ?

π 21、[解析] (1)把极坐标系的点 P(4, )化为直角坐标,得 P(0,4), 2 因为点 P 的直角坐标(0,4)满足直线 l 的方程 x-y+4=0,所以点 P 在直线 l 上. (2)因为点 Q 在曲线 C 上,故可设点 Q 的坐标为( 3cosα,sinα), | 3cosα-sinα+4| 从而点 Q 到直线 l 的距离 d= = 2 π 2cos?α+ ?+4 6 π = 2cos(α+ )+2 2, 6 2

π 由此得,当 cos(α+ )=-1 时,d 取得最小值,且最小值为 2. 6 x y? 22、[解析] (1)设 P(x,y),则由条件知 M? ?2,2?.由于 M 点在 C1 上,

?2=2cosα, 所以? y ?2=2+2sinα,

x

?x=4cosα, ?x=4cosα, ? ? 即? 从而 C2 的参数方程为? (α 为参数) ?y=4+4sinα. ?y=4+4sinα. ? ?

(2)曲线 C1 的极坐标方程为 ρ=4sinθ,曲线 C2 的极坐标方程为 ρ=8sinθ. π π 射线 θ= 与 C1 的交点 A 的极径为 ρ1=4sin , 3 3 π π 射线 θ= 与 C2 的交点 B 的极径为 ρ2=8sin .所以|AB|=|ρ2-ρ1|=2 3. 3 3 π π? π π 23、[解析] (1)由已知,M 点的极角为 ,且 M 点的极径等于 ,故点 M 的极坐标为? ?3,3?. 3 3
x ? 1 ? ( ? 1)t π 3π? (2)M 点的直角坐标为? , ,A(1,0),故直线 AM 的参数方程为 ? (t 为参数). 6 ? ?6 6 ? ? ?y ? ? ? 3? t 6 ?

?

π? 3 24、C.解:在 ρsin? ?θ-3?=- 2 中令 θ=0,得 ρ=1,所以圆 C 的圆心坐标为(1,0). π π 2, ?,所以圆 C 的半径 PC= ? 2?2+12-2×1× 2cos =1, 因为圆 C 经过点 P? 4? ? 4 于是圆 C 过极点,所以圆 C 的极坐标方程为 ρ=2cosθ. 2 3? 25.解:(1)由题意知,M,N 的平面直角坐标分别为(2,0),?0, ,又 P 为线段 MN 的中点,从而 3 ? ? 3 3 点 P 的平面直角坐标为?1, ?,故直线 OP 的平面直角坐标方程为 y= x. 3 3? ? 2 3 ?, (2)因为直线 l 上两点 M,N 的平面直角坐标分别为(2,0),?0, 3 ? ? 所以直线 l 的平面直角坐标方程为 3x+3y-2 3=0. 又圆 C 的圆心坐标为(2,- 3),半径 r=2, |2 3-3 3-2 3| 3 圆心到直线 l 的距离 d= = <r,故直线 l 与圆 C 相交. 2 3+9



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