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双曲线及其标准方程(公开课)2


沈阳市第七十六中学

问题1:椭圆的定义是什么?
平面内与两个定点|F1F2|的距离的和等于常数(大于|F1F2| ) 的点的轨迹叫做椭圆。 问题2:椭圆的标准方程是怎样的?
x2 y2 y 2 x2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0)或 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b a b

,c , ab
2

关系如何?
2 2

a ?b ?c

问题3:如果把椭圆定义中“距离的和”改为“距离的差” 那么动点的轨迹会发生怎样的变化?

一、双曲线的定义
平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于常数 (小于|F1F2|,且不等于0)的点的轨迹叫做双曲线。 这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫 做双曲线的焦距。

通常情况下,我们把|F1F2|记为2c(c>0); 常数记为2a(a>0).
问题3:定义中为什么强调距离差的绝对值为常数? 问题4: 定义中为什么强调常数要小于|F1F2|且不等于0(即0<2a<2c)? 如果不对常数加以限制 ,动点的轨迹会是什么?

分3种情况来看: ①若2a=2c,则轨迹是什么?

此时轨迹为以F1或F2为端点的两条射线
F1 F2 ②若2a>2c,则轨迹是什么? 此时轨迹不存在 ③若2a=0,则轨迹是什么? 此时轨迹为线段F1F2的垂直平分线

F1

F2

二、双曲线标准方程的推导
① 建系

y

y轴为线段 使 轴经过两焦点 F1 , F2 , 的垂直平分线。
② 设点
设 M ( x, y )是双曲线上任一点,

x

F1 , F2

M
F1
O

F2 x

焦距为2c(c ? 0) ,那么 焦点 F 1 (?c,0), F 2 (c,0) 又设|MF1|与|MF2| 的差的绝对值等于常数 2 a 。

③ 列式


MF1 ? MF2 ? 2a

( x ? c) 2 ? y 2 ? ( x ? c) 2 ? y 2 ? ?2a

④化简

?x ? c ?2 ? y 2 ? ?x ? c ?2 ? y 2

? 2a
? ?2a

将上述方程化为:

?x ? c ?2 ? y 2 ? ?x ? c ?2 ? y 2
2

2 cx ? a ? ?a 移项两边平方后整理得:

?x ? c ?2 ? y 2

两边再平方后整理得:?c

? a2 x2 ? a2 y2 ? a2 c2 ? a2

?

?

?

2 2 x y 2 2 2 ?1 两边同时除以 a ?c ? a ? 得: 2 ? 2 2 a c ?a 2 2 2c ? 2a 即: c ? a ?c ? a ? 0 由双曲线定义知:

设 c 2 ? a 2 ? b 2 ?b ? 0? 代入上式整理得:

x2 y2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 a b
这个方程叫做双曲线的标准方程 ,它所表示的双曲线的焦 点在x轴上,焦点是 F1(-c,0),F2(c,0). 其中c2=a2+b2.

类比椭圆的标准方程,请思考焦点在y轴上的 y 双曲线的标准方程是什么?

F2

y2 x2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 a b

O

x
F1

这个方程叫做双曲线的标准方程 ,它所表示的双曲线的焦 点在y轴上,焦点是 F1(0,-c),F2(0,c). 其中c2=a2+b2.

三.双曲线两种标准方程的比较
x2 y2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 a b y
M F1
O F 2

y2 x2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 a b y
M

F2
x F1
O

x

① 方程用“-”号连接。 ② 分母是 a ③
2

, b2 , a ? 0, b ? 0 但 a , b


大小不定。

c 2 ? a 2 ? b2
2

④如果 x 的系数是正的,则焦点在 焦点在 y轴上。

x

轴上;如果

y 2的系数是正的,则

四、双曲线与椭圆之间的区别与联系

定义



双曲线
||MF1|-|MF2||=2a

|MF1|+|MF2|=2a

方程

2 2 x2 y 2 x y ? 2 ? 1(a ? b ? 0) ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 2 a b a b 2 2 y 2 x2 y x ? 2 ? 1(a ? b ? 0) ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 2 a b a b

焦点

F(±c,0)

F(±c,0)

F(0,±c)
a.b.c的关 系

F(0,±c)
a>0,b>0,但a不一 定大于b,c2=a2+b2

a>b>0,a2=b2+c2

判断下列方程是否表示双曲线?若是,求出

a, b, c及焦点坐标。

x2 y2 ?1? ? ? 1 4 2 x2 y2 ?3? ? ? ?1 4 2
答案:

x2 y2 ?2? ? ? 1 2 2 x2 y2 ?4? ? ? 1(m ? 0, n ? 0) m n

题后反思:

?1?a ? 2, b ? 2, c ? 6 (? 6,0).( 6,0) 先把非标准方程 化成标准方程, ?2?a ? 2, b ? 2, c ? 2 (?2,0).(2,0) 再判断焦点所在 ?3?a ? 2, b ? 2, c ? 6 (0, 6 ).(0,? 6 ) 的坐标轴。 ?4?a ? m, b ? n, c ? m ? n ( m ? n,0).(? m ? n,0)

例1、已知双曲线的焦点 F1(-5,0), F2(5,0),双曲线上一点P到焦 点的距离差的绝对值等于8,求双曲线的标准方程。
解:因为双曲线的焦点在x轴上,所以设它的标准方程为

根据已知条件,|F1F2|=10. ||PF1|-|PF2||=8,
所以2c=10,2a=8。即a=4,c=5 那么b2=c2-a2=25-16=9 因此,双曲线的标准方程为

x2 y2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 a b

x2 y2 ? ? 1. 16 9

变式训练
1.若|PF1|-|PF2|=8呢?
x y ? ? 1.( x ? 0) 16 9
2 2

题后反思: 求标准方程要做到 先定型,后定量。

2.若||PF1|-|PF2||=10呢?

轨迹不存在

3.若||PF1|-|PF2||=12呢? 两条射线

求适合下列条件的双曲线的标准方程。

x上, a ? 4, b ? 3; ②焦点在在轴 x 上,经过点 ( ? 2 ,? 3 ), (
①焦点在在轴

x2 y2 ? ?1 答案: ① 16 9

15 , 2) . 3

x2 y2 ② 设双曲线的标准方程为 2 ? 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) a b

15 , 2) 得 代入点 (? 2 ,? 3 ), ( 3
3 ? 2 ? ?1 ? a2 b2 ? 5 2 ? 2 ? 2 ?1 b ? 3a

2m ? 3n ? 1 ? 1 1 ? 令 m ? 2 ,n ? 2 则 5 ? m ? 2n ? 1 a b ? ?3

m ?1 ? ? 1 解得 ? n ? ? 3 ?

2 y 故所求双曲线的标准方程为 x 2 ? ? 1. 3

例2已知A,B两地相距800m,在A地听到炮弹爆炸声比在B地

晚2s,且声速为340m/s,求炮弹爆炸点的轨迹方程.
解: 由声速及在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2s,可知A地与爆炸点
的距离比B地与爆炸点的距离远680m.因为|AB|>680m,所以爆炸点 的轨迹是以A、B为焦点的双曲线在靠近B处的一支上.

如图所示,建立直角坐标系xOy, 使A、B两点在x轴上,并 且点O与线段AB的中点重合 y P 设爆炸点P的坐标为(x,y), 则 PA ? PB ? 340 ? 2 ? 680 A o B x 即 2a=680,a=340 ? AB ? 800 ? 2c ? 800, c ? 400, b2 ? c 2 ? a 2 ? 44400 ? 800 ? PA ? PB ? 680 ? 0 , ? x ? 0 x 2 y2 ? ? 1( x ? 0) 因此炮弹爆炸点的轨迹方程为 115600 44400

双曲线的定义

双曲线的标准方程

应用

51页练习A组1、2;

56页习题2.3 A组1、2题。

几点说明:
通常|F1F2|记为2c;距离的差的绝对值记为2a.

(1) 定义中强调在平面内,否则轨迹不是双曲线。
(2)定义中为什么 0〈2a〈|F1F2|? ①当 2a=| | MF1|-|MF2| |=0时, 轨迹是线段F1F2的垂直平分线. ②当2a=|F1F2|时
P
F1
O

F2

M

F1

F2

Q

| | MF1|-|MF2| | =|F1F2 | 时,M点一定在上图中的 射线F1P,F2Q 上,此时点的轨迹为两条射线F1P,F2Q。

(1)先把非标准方程化成标准方程,再判断焦点所在的坐标轴。

x2 y2 ? ? 1(m n ? 0) 是否表示双曲线? (2) m n

?m ? 0 ? ?n ? 0 ?m ? 0 ? ?n ? 0

表示焦点在

x 轴上的双曲线;

表示焦点在 y轴上的双曲线。

x2 y2 ? ? 1 表示双曲线,求 m的范围。 2 ? m m ?1
答案:m

? ?1或m ? ?2 。


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